Ứng dụng phân tích svd đà khử nhiêu hình ảnh

lOMoARcPSD|18034504 ĐẠI HàC QC GIA TP Hà CHÍ MINH TR¯âNG ĐẠI HàC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI T¾P LàN ĐẠI Sị TUYN TNH GVHD: NGUYõN XUN M CHỵ 10: NG DNG PHN TCH SVD KHỵ NHIõU HèNH ắNH Nhóm thực hiện: 10 lOMoARcPSD|18034504 Giái thiåu chung - Lßp: L16 Nhóm: 10 Chă đề: 10 Danh sách thành viên MSSV Họ tên 2112172 Võ M¿nh Quỳnh 2114626 TrÁn Thiên San 2112200 Nguyán Tr°áng S¢n 2114676 Tr°¢ng Thanh S¢n 2114716 Phan Hoàng Tâm 2112252 Nguyán Bùi Quốc Tân 2110527 Nguyán Hoàng Duy Tân Ghi lOMoARcPSD|18034504 Māc Lāc LàI CÀM ¡N LàI Mâ ĐÀU I    II    III IV C¡ Sâ LÍ THUYÀT CĂA PHÂN TÍCH SVD Māc tiêu căa phân tích SVD Q trình phân tích SVD thơng qua ma trận Một số ví dā ĄNG DĀNG CĂA PHÂN TÍCH SVD TRONG KHĀ NHIàU HÌNH ÀNH Đặt v¿n đề - Ý nghĩa căa khā nhiáu hình Ánh sống 10 Khā nhiáu hình Ánh qua thuật tốn phân tích SVD 11 Q trình thực hiãn tổng quan phân tích SVD qua Matlab 12 CH¯¡NG TRÌNH MATLAB 14 TÀI LIâU THAM KHÀO 14 lOMoARcPSD|18034504 LâI C¾M ¡N Trong suốt q trình học mơn Đại số tuy¿n tính, nhóm chúng em nhận nhiÁu quan tâm, giúp đỡ ki¿n thức từ thầy/cơ, anh/chị khóa bạn khóa Ngồi nhóm em xin gửi lời cảm ơn chân thành đ¿n cô Nguyễn Xuân Mỹ giảng viên giảng dạy mơn Đại số tuy¿n tính người hướng dẫn nhóm em thực đÁ tài Nhờ cô hướng dẫn giải đáp thắc mắc, khó khăn nhóm gặp vướng mắc q trình làm vô kịp thời k¿t nhóm làm thành ti¿n độ Sự hướng dẫn cÿa kim nam giúp nhóm chúng em làm việc hiệu dù thành viên q trình liên lạc khó khăn, gắn k¿t mối quan hệ tốt thành viên nhóm sinh viên với giảng viên Lời cuối, xin lần gửi lời bi¿t ơn sâu sắc đ¿n cá nhân, thầy/cô dành thời gian dẫn cho nhóm Đây niÁm tin, nguồn động lực to lớn để nhóm đạt k¿t Nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn ạ! lOMoARcPSD|18034504 LàI Mâ ĐÀU Đ¿i số tun tính nói chung có r¿t nhiều ąng dāng hÁu hÁt lĩnh vực khoa học: kinh tÁ, môi tr°áng, công nghã máy tính, xā lí tín hiãu, đồ họa,… Một phÁn nhỏ số phÁi nhắc đÁn ph°¢ng pháp phân tích SVD nhiều tốn khác Ph°¢ng pháp phân tích suy biến (singular value decomposition) đ°ÿc viÁt tắt SVD ph°¢ng pháp thuộc nhóm matrix factorization (Ma trận thÿa số hóa) đ°ÿc phát trißn lÁn đÁu bãi nhà hình học vi phân Ban đÁu māc đích căa ph°¢ng pháp tìm phép xoay khơng gian cho tích vơ h°ßng căa vector khơng thay đổi Tÿ mối liên hã khái niãm ma trận trực giao hình thành đß t¿o phép xoay đặc biãt PhÂng phỏp SVD ó c phỏt triòn da trờn nhng tính ch¿t căa ma trận trực giao ma trận đ°áng chéo đß tìm ma trận x¿p xỉ vòi ma trn gc PhÂng phỏp ny sau ú ó đ°ÿc ąng dāng rộng rãi lĩnh vực nh° hình học vi phân, hồi qui tun tính, xā lý hình Ánh, cluaxstering, thuật tốn nèn giÁm chiều liãu, khā nhiáu âm thanh, khā nhiáu hình Ánh… lOMoARcPSD|18034504 I 1.1 C¡ Sä LÍ THUYÀT CĂA PHÂN TÍCH SVD: Māc tiêu căa phân tích suy biÁn SVD Ph°¢ng pháp SVD s¿ tìm lßp ma trận x¿p xỉ tốt nh¿t vßi ma trận cho tr°ßc dựa khoÁng cách norm Frobenios ma trận Ng°ái ta chąng minh đ°ÿc ma trận x¿p xỉ tốt nh¿t đ°ÿc bißu dián d°ßi d¿ng tích căa ma trận r¿t đặc biãt bao gồm ma trận trực giao (orthogonal matrix) ma trận đường chéo (diagonal matrix) Quá trình nhân ma trận thực ch¿t q trình biÁn đổi đißm liãu căa ma trận gốc thông qua phép xoay trāc (rotation) phép thay đổi độ lßn (scaling) tÿ t¿o đißm liãu mßi khơng gian mßi Điều đặc biãt căa ma trận đ°áng chéo phÁn tā căa giá trị riêng căa ma trận gốc Những đißm liãu khơng gian mßi có thß giữ đ°ÿc 100% thơng tin ban đÁu giữ phÁn lßn thơng tin căa liãu ban đÁu thông qua phép truncate SVD Bằng cách xÁp trị riêng theo thą tự giÁm dÁn đ°áng chéo thuật tốn SVD có thß thu đ°ÿc ma trận x¿p xỉ tốt nh¿t mà đÁm bÁo giÁm đ°ÿc h¿ng căa ma trận sau biÁn đổi kích th°ßc ma trận nhân tā nằm gißi h¿n cho phép Do tiÁt kiãm đ°ÿc thái gian chi phí tính tốn đồng thái tìm đ°ÿc giá trị dự báo cho ma trận gốc vßi mąc độ xác cao Do đó, đß tiÁp cận đ°ÿc thuật tốn phân tích SVD, cÁn phÁi nắm kiÁn thąc c¢ bÁn c¢ sã t¿o nên Gọi tắt C¢ sã lí thut căa viãc phân tích SVD Chúng ta có thß tham khÁo thêm khái niãm, tính ch¿t định lí liên quan đÁn v¿n đề d°ßi qua quyßn: Ā (H1: SVD cho ma trận A khi: ÿ < Ā (hình trên), ÿ > Ā (hình dưới) Σ ma trận đường chéo với phần tử giÁm dần khơng âm Màu đỏ đậm thể giá trị cao Các ô màu trắng ma trận thể giá trị 0.)  NGUàN GÞC SVD Cho A ma trận thực mxn Ta chąng minh tập hÿp trị riêng khác không căa �㔴�㔴�㕇 �㔴�㕇 �㔴 trùng Thật vậy, giÁ sā �㔆ā trị riêng Downloaded by vu ga (vuchinhhp2@gmail.com) lOMoARcPSD|18034504 (eigenvalue) khác căa �㔴�㔴�㕇 �㕋ā vector riêng (eigenvector) căa �㔴�㔴�㕇 t°¢ng ąng Khi : �㔴�㔴�㕇 �㕋ā = �㔆ā �㕋ā ➪ Suy ra: �㔴�㕇 �㔴�㔴�㕇 �㕋ā = �㔴�㕇 iu ny tÂng Âng vòi ( ) = �㔴�㕇 (�㔆ā �㕋ā ) = �㔆ā (�㔴�㕇 �㕋ā ).Vì �㔆ā khác nên �㔴�㕇 �㕋ā khác Suy �㔆ā trị riêng căa �㔴�㕇 �㔴 (�㔴�㕇 �㕋ā ) vector riêng căa �㔴�㕇 �㔴 Vì ma trận �㔴�㔴�㕇 �㔴�㕇 �㔴 ma trận đối xąng, nên chúng chéo hóa trực giao đ°ÿc Khi đó:  �㔴�㔴�㕇 = (Ā�㗴ÿ�㕇 )(Ā�㗴ÿ�㕇 )�㕇 = Ā�㗴ÿ �㕇 ÿ�㗴 �㕇 Ā�㕇 = Ā�㗴�㗴 �㕇 Ā�㕇 (vì ÿ�㕇 ÿ = �㔼, �㔼 ma trận đ¢n vị) = Ā�㔷1 Ā�㕇  �㔴�㕇 �㔴 = (Ā�㗴ÿ�㕇 )�㕇 (Ā�㗴ÿ�㕇 ) = ÿ�㗴 �㕇 Ā�㕇 Ā�㗴ÿ�㕇 = ÿ�㗴 �㕇 �㗴ÿ�㕇 (vì Ā�㕇 Ā = �㔼, �㔼 ma trận đ¢n vị) Suy = ÿ�㔷2 ÿ�㕇 - Các cột căa ma trận Ā vector căa �㔴�㔴�㕇 �㔎1 , �㔎2 , & �㔎�㕟 trị riêng khác căa �㔴�㔴�㕇 - Các cột căa ma trận ÿ vector căa �㔴�㕇 �㔴 �㔎1 , �㔎2 , & �㔎�㕟 trị riêng khác căa �㔴�㕇 �㔴 - �㔷1 , l ma trn chộo vòi tr riờng tÂng ng căa �㔴�㔴�㕇 �㔴�㕇 �㔴 �㔎1 , �㔎2 , & �㔎�㕟 Ta xÁp �㔎1 , �㔎2 , & �㔎�㕟 cho �㔎1 > �㔎2 > ⋯ > �㔎�㕟 (hình A1)  COMPACT SVD ( SVD gán nhẹ hÂn) Gi = (ỵ1 |ỵ2 | & |ỵ ) �㕣à ÿ = (ý1 |ý2 | & |ýĀ ) ViÁt l¿i bißu thąc (!) d°ßi d¿ng tổng vßi Rank (A) = = ỵ1 ý1 + þ2 ý2 �㕇 + ⋯ + �㔎�㕟 þ�㕟 ý�㕟 �㕇 Vòi mi ỵ ý l mt ma trn cú h¿ng Downloaded by vu ga (vuchinhhp2@gmail.com) lOMoARcPSD|18034504 Rõ ràng vßi cách phân tích này, ta nhận th¿y ma trận �㔴 phā thuộc vào r cột đÁu tiên căa Ā, ÿ r phÁn tā khác không đ°áng chéo �㗴 Ta có phân tích gọn h¢n căa �㔴 gọi Compact SVD : �㔴 = Ā�㕟 �㗴�㕟 (ÿ�㕟 )�㕇 Vßi Ā�㕟 ÿ�㕟 ma trận đ°ÿc t¿o nên tÿ cột căa Ā ÿ t°¢ng ąng, �㗴�㕟 ma trận đ°ÿc t¿o bãi ÿ hàng đÁu tiên ÿ cột đÁu tiên căa �㗴 NÁu ma trận �㔴 có rank nhỏ h¢n r¿t nhiều so vßi số hàng số cột ÿ ≪ ÿ, Ā , ta s¿ đ°ÿc lÿi nhiều viãc l°u trữ D°ßi ví dā minh ho¿ vßi ÿ = 4, Ā = 6, ÿ = (H2: Biểu diễn SVD d¿ng thu gọn biểu diễn ma trận d¿ng tổng ma trận có rank 1.) 1.3 Sau đây, ta s¿ xét mßt sß ví dā vß phân tích SVD căa mßt ma tr¿n bất kì: B°ßc : Xác định ma trận A(cỡ bao nhiêu) đß tiÁn hành phân tích SVD B°ßc : Thực hiãn chéo hóa trực giao : �㔴�㔴�㕇 = Ā�㔷1 Ā�㕇 2.1 : ViÁt ph°¢ng trình đặc tr°ng căa �㔴�㔴�㕇 Tÿ s¿ tính đ°ÿc giá trị riêng căa �㔴�㔴�㕇 ViÁt đ°ÿc ma trận đ°áng chéo �㔷1 có phÁn tā giá trị riêng, ta vÿa tìm đ°ÿc.(L°u ý phÁi xÁp theo thą tự giÁm dÁn) 2.2 : Tìm vecto riêng căa �㔴�㔴�㕇 Tÿ ta tính đ°ÿc ma trận Ā, cột căa Ā vecto riêng căa �㔴�㔴�㕇 B°ßc : Thực hiãn chéo hóa trực giao �㔴�㕇 �㔴 = ÿ�㔷2 ÿ�㕇  T°¢ng tự b°ßc 2.1, 2.2 ta tính đ°ÿc ÿ �㔷2  Chọn �㗴ÿ×Ā cách chọn ma trận cỡ tÂng ng phự hp vòi hay Sau l¿y bậc căa t¿t cÁ phÁn tā đ°áng chéo Downloaded by vu ga (vuchinhhp2@gmail.com) lOMoARcPSD|18034504 B°ßc : Vậy phân tích SVD căa ma trận A s¿ : �㔴ÿ× Ā = Āÿ×ÿ �㗴ÿ×Ā (ÿĀ×Ā ) �㕇 Nhận xét: Nh° tÿ liãu ban đÁu, có thß viÁt d°ßi d¿ng ma trận Q trình chéo hóa trực giao ma trận ma trận chun vị căa nó, đ°ÿc phân tích SVD Trên c¢ sã đó, ta có thß dá dàng ąng dāng chúng vào nhiều lĩnh vực khác khoa học ĄNG DĀNG CĂA PHÂN TÍCH SVD TRONG VIọC KHỵ NHIõU HèNH ắNH t đß: II Trong sống hiãn nay, bắt gặp đ°ÿc r¿t nhiều lo¿i hình Ánh khác tÿng hoàn cÁnh khác Chẳng h¿n nh°: hinh Ánh đ°ÿc chāp selfie, Ánh gia đình, bąc Ánh đÁy tính nghã thuật căa nhiÁp Ánh gia, Ánh thẻ mà b¿n sinh viên dung làm thẻ sinh viên,….Hình Ánh phát kiÁn tuyãt vái căa nhân lo¿i, chúng ghi l¿i khoÁng khắc b¿t chÿt khiÁn ta dá dàng hình dung vật viãc thái đißm viãc xÁy rồi, có thß chiêm ng°ỡng khung cÁnh đẹp tÿng khoÁng cách vô xa, b¿t cą lỳc no, ò cú Âc mt bc nh ta cú thò s dng nhiu phÂng tión khỏc nh nh ión tho¿i, máy chāp Ánh Nh°ng nhiều tr°áng hÿp tập tin hình Ánh có thß bị nhèo đi, bị nhiáu, ch¿t l°ÿng hình Ánh bị giÁm hiãn t°ÿng "Noise" Ánh hay gọi nhiáu Ánh th°áng dá dàng bắt gặp mắt th°áng, giống vßi hiãn t°ÿng h¿t nhiáu (Grain) Ánh film Các đốm l¿m t¿m nhỏ xu¿t hiãn hình Ánh chāp vùng tối n¢i có điều kiãn ánh sáng th¿p trình quay, chāp Ánh điều kiãn môi tr°áng tác động khiÁn cho hình Ánh khơng cịn giữ đ°ÿc độ chân thực căa Nh° vậy, v¿n đề cÁn đặt đß khā nhiáu đ°ÿc tập tin hình Ánh mà mong muốn? Downloaded by vu ga (vuchinhhp2@gmail.com) lOMoARcPSD|18034504  Về mặt ý nghĩa: NÁu nh°, có thß xā lí tốt tập tin hình Ánh theo tiêu chí (trọng tâm, xác , hiãu q tiÁt kiãm thái gian) viãc s¿ giúp ích cho ta r¿t nhiều Trong nghiên cąu hình Ánh, s¿ giúp ta tiÁt kiãm thái gian h¢n Cịn doanh nghiãp chun lĩnh vực truyền thơng đa ph°¢ng tiãn, nÁu xā lí tốt file hình Ánh, s¿ tiÁt kiãm đ°ÿc r¿t nhiều chi phí viãc thiÁt kÁ phÁn mềm đó, hay đ¢n giÁn tăng ch¿t l°ÿng hình Ánh q trình thiÁt kÁ poster, trang trí, thiÁt kÁ hình Ánh qng cáo chun nghiãp Tÿ s¿ h°ßng đÁn nhiu i tng khỏch hng hÂn vòi mt tri nghióm ch¿t l°ÿng hình Ánh tuyãt vái, chân thật đặt biãt khơng cịn bị nhiáu, bị nhèo  Các tập đồn cơng nghã lßn ngày đÁu t° vào lĩnh vực hình Ánh, có thß th¿y rõ nét nh¿t mÁng điãn tho¿i thông minh thiÁt bị di động căa sā dāng ngày khơng cịn nghe, gọi, nhắn tin mà camera gắn lên chúng ngày đ°ÿc nâng c¿p cÁ số l°ÿng lẫn ch¿t l°ÿng xā lí đß chāp bąc Ánh kỉ niãm, selfie bąc Ánh đẹp, xu thÁ căa t°¢ng lai nắm bắt đ°ÿc xu thÁ nắm bắt đ°ÿc thành cơng Khÿ nhiãu hình ¿nh qua thu¿t tốn phân tích SVD a Về ąng dāng hỗ trÿ: Hiãn t¿i có r¿t nhiều ąng dāng hỗ trÿ xā lí hình Ánh, đặc biãt khā nhiáu dá sā dāng tiÁp cận vßi ng°ái dùng cách nhanh chóng Có thß kß đÁn nh°:, Adobe Photoshop, Adobe Photoshop Lightroom, Affinity Photo, CyberLink PhotoDirector, Corel PaintShop Pro,… Đißm chung căa t¿t cÁ phÁn mềm chúng đ°ÿc viÁt dựa đo¿n Code xā lí hình Ánh C++, C#, Pascal, Python, Matlab….Chúng ta s¿ nghiên cąu cách xā lí hình Ánh tÿ ngơn ngữ lập trình Trên ph°¢ng diãn khÁo sát căa nhóm, s¿ thực hiãn khā nhiáu hình Ánh Matlab bãi l¿: phÁn mềm cung c¿p mơi tr°áng hồn hÁo cơng cā tính tốn nh° lập trình Ng°ái sā dāng có thß thực hiãn phép tính tốn vßi ma trận , v¿ đồ Downloaded by vu ga (vuchinhhp2@gmail.com) lOMoARcPSD|18034504 thị, hàm số t¿o thuật tốn riêng cho Đồng thái matlab liên kÁt vßi nhiều ngơn ngữ lập trình khác thuận tiãn cho ng°ái sā dāng b Về thuật toán Trong Matlab, cú rt nhiu phÂng phỏp khỏc ò khā nhiáu hình Ánh nh° phép biÁn đổi Fourier hữu h¿n, phân tích SVD, phân tích thành phÁn PCA… Ành gốc