Luận án Tiến sĩ Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích kết cấu dầm sandwich FGM

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Lê Thị Ngọc Ánh MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM SANDWICH FGM LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT TP Hồ Chí Minh – 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Lê Thị Ngọc Ánh MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM SANDWICH FGM Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã sỗ: 52 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Đình Kiên PGS TS Trần Văn Lăng TP Hồ Chí Minh – 2021 iv 2.5 Lý thuyết bậc ba Shimpi-Patel 28 2.5.1 Trường chuyển vị 28 2.5.2 Biến dạng ứng suất 28 2.5.3 Năng lượng biến dạng đàn hồi 29 2.5.4 Động 29 2.6 Lý thuyết tựa 3D 30 2.6.1 Trường chuyển vị 30 2.6.2 Biến dạng ứng suất 30 2.6.3 Năng lượng biến dạng đàn hồi 31 2.6.4 Động 32 2.7 Ảnh hưởng đàn hồi 32 2.8 Tải trọng di động 33 2.9 Phương trình vi phân chuyển động 33 Chương Mơ hình PTHH 36 3.1 Phần tử dầm FBKO 36 3.1.1 Chuyển vị nút hàm nội suy Kosmatka 36 3.1.2 Ma trận độ cứng 38 3.1.3 Ma trận khối lượng 39 3.2 Phần tử dầm TBSH 39 3.2.1 Chuyển vị nút nội suy 40 3.2.2 Ma trận độ cứng 40 3.2.3 Ma trận khối lượng 41 3.3 Phần tử dầm TBSE 42 3.3.1 Hàm nội suy Lagrange Hermite 42 3.3.2 Phần tử với nội suy làm giàu 44 3.3.2.1 Hàm làm giàu thứ bậc 44 3.3.2.2 Ma trận độ cứng 46 3.3.2.3 Ma trận khối lượng 47 v 3.4 Phần tử dầm Q3DB 50 3.4.1 Trường nội suy 50 3.4.2 Ma trận độ cứng 50 3.4.3 Ma trận khối lượng 52 3.5 Ma trận độ cứng đàn hồi 53 3.6 Ma trận véc-tơ tải trọng di động 53 3.6.1 Lực di động 54 3.6.2 Phần tử khối lượng di động 54 3.7 Phương trình chuyển động rời rạc 56 3.8 Phương pháp Newmark 57 Chương Kết số thảo luận 61 4.1 Mở đầu 61 4.2 Dao động tự 62 4.2.1 Dao động tự dầm ba pha 62 4.2.1.1 Kiểm chứng phần tử TBSH 63 4.2.1.2 Ảnh hưởng phân bố vật liệu 64 4.2.1.3 Ảnh hưởng độ mảnh dầm 69 4.2.1.4 Ảnh hưởng đàn hồi 71 4.2.1.5 Ảnh hưởng phần tử 73 4.2.2 Dao động tự dầm hai pha 78 4.2.2.1 Kiểm chứng phần tử TBSE 81 4.2.2.2 Ảnh hưởng phân bố vật liệu 82 4.2.2.3 Ảnh hưởng độ mảnh dầm 92 4.3 Dao động cưỡng 93 4.3.1 Dầm ba pha chịu lực di động 94 4.3.1.1 Kiểm chứng phần tử FBKO 96 4.3.1.2 Lực di động với vận tốc không đổi 97 4.3.1.3 Lực di động với vận tốc thay đổi 100 vi 4.3.2 Dầm hai pha chịu khối lượng di động 102 4.3.2.1 Kiểm chứng phần tử Q3DB 104 4.3.2.2 Ảnh hưởng vận tốc khối lượng tải di động 107 4.3.2.3 Ảnh hưởng phân bố vật liệu mơ hình học vi mô 109 4.3.2.4 Ảnh hưởng độ cứng đàn hồi 112 4.3.2.5 Phân bố ứng suất 114 Kết luận kiến nghị 122 Danh mục cơng trình liên quan tới luận án 125 Tài liệu tham khảo 127 Phụ lục 142 Phụ lục A 142 Phụ lục B 145 Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Các kí hiệu thơng thường A Diện tích tiết diện ngang A11 Độ cứng dọc trục A12 Độ cứng tương hỗ kéo-uốn A22 Độ cứng chống uốn A33 Độ cứng chống trượt A34 Độ cứng tương hỗ xoắn-kéo A44 Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn A66 Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn bậc cao Aus Độ cứng tương hỗ kéo-trượt (sử dụng lý thuyết Shimpi-Patel) Abs Độ cứng tương hỗ uốn-trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel) Ass Độ cứng chống trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel) Ash Độ cứng chống trượt bậc cao (Lý thuyết Shimpi-Patel) b Chiều rộng dầm B11 , B22 , B44 Các độ cứng chống trượt (Lý thuyết bậc ba Shi) D11 , D22 , D44 Các độ cứng chống trượt (Lý thuyết tựa 3D) Dd Hệ số động lực học G12 , G22 , G44 Độ cứng tương hỗ dọc trục-độ dãn dày, uốn-độ dãn dày trượt-độ dãn dày (Lý thuyết tựa 3D) F0 Độ lớn lực di động E f (x, z) Mô-đun đàn hồi hiệu dụng G f (x, z) Mô-đun trượt hiệu dụng Gc Mô-đun trượt gốm Gm Mô-đun trượt kim loại h Chiều cao dầm vii viii (h1 : h2 : h3 ) Tỉ số độ dày lớp dầm I Mơ-men qn tính bậc hai thiết diện ngang I11 Mô-men khối lượng dọc trục I12 Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-quay I22 Mô-men khối lượng quay I34 , I44 , I66 Mô-men khối lượng bậc cao (Lý thuyết bậc ba Shi) Ius Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel) Ibs Mô-men khối lượng tương hỗ uốn-trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel) Iss Mô-men khối khối lượng trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel) kw Độ cứng lò xo Winkler ks Độ cứng lớp trượt Pasternak k1 Tham số độ cứng lò xo Winkler k2 Tham số độ cứng lớp trượt Pasternak Kf Mô-đun khối hiệu dụng Kc Mô-đun khối gốm Km Mô-đun khối kim loại l Chiều dài phần tử L Chiều dài dầm LF Chiều dài phần dầm nằm m Khối lượng di động M1 Vật liệu M1 M2 Vật liệu M2 M3 Vật liệu M3 n Tham số vật liệu dầm sandwich 1D-FGM NE Số phần tử rời rạc dầm NEF Số phần tử rời rạc đàn hồi 118 MH Mori-Tanaka 2.3 MH Mori-Tanaka 2.9 Dd Dd MH Voigt 0.7 10 0.7 MH Voigt 1.8 1.5 10 20 40 60 k1 80 k1 100 50 k2 (a) v=30 (m/s) k2 100 (b) v=80 (m/s) Hình 4.34 Mối liên hệ hệ số động lực học dầm hai pha (2-1-1) với tham số 0.5 0.5 0.25 0.25 z/h z/h độ cứng đàn hồi (L/h = 20, nx = nz = 0.5, rm = 0.5, αF = 0.5) -0.25 -0.25 (a) (2-1-2), -0.5 -12 -6 F =0.2 (b) (2-1-2), -0.5 -5 -4 12 0.5 0.5 0.25 0.25 z/h z/h * (L/2,z) xx -0.25 F =0.5 * (L/2,z) xx -0.25 (c) (2-1-1), -0.5 -14 -9 =0.2 F (d) (2-1-1), -2 12 -0.5 -8 * (L/2,z) xx n z=0 -4 F =0.5 * (L/2,z) xx n z=0.5 n z=1 n z=5 Hình 4.35 Phân bố theo chiều cao dầm ứng suất pháp σxx dầm hai pha (2-1-1) với L/h = 10, nx = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5 v = 50 m/s 119 0.5 0.25 0.25 z/h 0.5 z/h -0.25 -0.25 (a) (2-1-2), -0.5 -0.3 =0.2 F -0.15 0.15 (b) (2-1-2), -0.5 -0.3 -0.15 0.3 * (L/2,z) zz 0.25 0.25 z/h 0.5 z/h 0.5 -0.25 F =0.5 0.15 0.3 0.3 * (L/2,z) zz -0.25 (c) (2-1-1), -0.5 -1 -0.5 F =0.2 * (L/2,z) zz (d) (2-1-1), -0.5 -0.6 -0.3 0.5 n z=0 n z=0.5 n z=1 F =0.5 * (L/2,z) zz n z=5 Hình 4.36 Phân bố theo chiều cao dầm ứng suất pháp σzz dầm hai pha (2-1-1) 0.5 0.5 0.25 0.25 z/h z/h với L/h = 10, nx = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5 v = 50 m/s -0.25 -0.25 (a) (2-1-2), -0.5 0.5 F (b) (2-1-2), =0.2 -0.5 1.5 * (0,z) xz 0.5 0.25 0.5 F =0.5 0.75 * (0,z) xz 0.5 0.25 z/h 0.25 z/h 0 -0.25 -0.25 (c) (2-1-1), F =0.2 (d) (2-1-1), -0.5 -0.5 0.5 1.5 0.25 0.5 F =0.5 0.75 * (0,z) xz * (0,z) xz n z=0 n z=0.5 n z=1 n z=5 Hình 4.37 Phân bố theo chiều cao dầm ứng suất tiếp τxz dầm hai pha (2-1-1) với L/h = 10, nx = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5 v = 50 m/s 120 0.5 0.5 (a) (2-1-2) (b) (2-1-1) 0.25 z/h z/h 0.25 0 Voigt, n z =0.5 Voigt, n z =0.5 MT, n z =0.5 -0.25 MT, n z =0.5 -0.25 Voigt, n z =5 Voigt, n z =5 MT, n z =5 MT, n z =5 -0.5 3.5 -3.5 -7 -0.5 * (L/2,z) xx -3 -7 * (L/2,z) xx Hình 4.38 Ảnh hưởng mơ hình vật liệu vi mô đến phân bố theo chiều cao ứng suất pháp σxx dầm hai pha với L/h = 10, nx = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5, 0.5 0.5 0.25 0.25 z/h z/h αF = 0.4 v = 50 m/s -0.25 -0.25 (a) (2-1-2) (b) (2-1-1) -0.5 -0.5 0.5 1.5 * (0,z) xz Voigt, nz=0.5 2.5 MT, n z=0.5 0.5 Voigt, nz=5 1.5 * (0,z) xz 2.5 MT, n z=5 Hình 4.39 Ảnh hưởng mơ hình học vi mơ đến phân bố theo chiều cao dầm ứng suất tiếp dầm hai pha với L/h = 10, nx = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5, αF = 0.4 v = 50 m/s di động, Hình 4.38 Hình 4.39 tương ứng minh họa phân bố ứng suất pháp σxx ứng suất tiếp γxz dầm đối xứng (2-1-2) dầm bất đối xứng (2-1-1) nhận từ hai mơ hình Voigt Mori-Tanaka cho trường hợp L/h = 10, nx = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5, αF = 0.4 v = 50 m/s Hình 4.39 cho thấy ứng suất tiếp nhận từ mơ hình Mori-Tanaka lớn giá trị tương ứng nhận từ 121 mơ hình Voigt Tuy nhiên, ảnh hưởng mơ hình học vi mơ lên ứng suất pháp, thấy từ hình 4.38, cịn phụ thuộc vào giá trị tham số vật liệu theo chiều dày dầm nz Như vậy, mơ hình học vi mơ khơng ảnh hưởng tới độ võng, hệ số động lực học dầm 2D-FGSW hai pha chịu khối lượng di động mà phân bố ứng suất theo chiều cao dầm Kết luận Chương Chương trình bày kết phân tích số dao động tự dao động cưỡng dầm 2D-FGSW tác động tải trọng di động sở sử dụng phần tử dầm phát triển Chương Từ so sánh kết số nhận luận án với kết công bố, Chương chứng tỏ mơ hình dầm phát triển luận án có đủ độ tin cậy việc đánh giá đặc trưng dao động dầm 2D-FGSW hai pha ba pha Kết số mơ hình phần tử dầm luận án có tốc độ hội tụ nhanh Đặc biệt, mơ hình phần tử dầm TBSE với hàm nội suy làm giàu hàm thứ bậc có tốc độ hội tụ cực nhanh, cho phép nhận tần số dao động dầm 2D-FGSW hai pha tựa giản đơn công-xôn với phần tử Ảnh hưởng phân bố vật liệu, tham số hình học dầm tham số tải trọng di động tới đặc trưng dao động dầm 2D-FGSW khảo sát chi tiết Chương sở phần tử khác luận án Ảnh hưởng phần đàn hồi dầm tựa lên tới dao động tự dầm 2D-FGSW ba pha dao động cưỡng dầm 2D-FGSW hai pha chịu khối lượng di động đánh giá chương Từ kết phân tích số cho dầm hai pha luận án khác đáng kể đặc trưng dao động dầm nhận từ mơ hình Voigt mơ hình Mori-Tanaka Kết số dao động tự dầm 2D-FGSW ba pha trình bày báo số báo số 5; Kết dao động tự dầm 2D-FGSW hai pha trình bày số 8; Kết phân tích động lực học dầm 2DFGSW ba pha chịu lực di động nội dung báo số 6; Kết phân tích dầm sandwich chịu khối lượng di động nội dung báo 10 11 Mục “Danh mục cơng trình liên quan tới luận án”, trang 125 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận nhận xét chung Luận án xây dựng bốn mơ hình PTHH dùng phân tích dao động dầm 2D-FGSW hai pha ba pha với tính biến đổi theo chiều cao chiều dài dầm theo quy luật hàm số lũy thừa Các mơ hình PTHH xây dựng sở lý thuyết biến dạng trượt trường nội suy khác Với mơ hình dầm xây dựng thuật tốn tích phân trực tiếp Newmark, luận án phát triển chương trình tính tốn số sở phương pháp PTHH Sử dụng chương trình số, luận án tiến hành phân tích số toán cụ thể dao động tự dao động cưỡng dầm 2D-FGSW hai pha ba pha tác động lực khối lượng di động Một số nhận xét ứng xử phần tử dầm ảnh hưởng phân bố vật liệu, hình học dầm tham số tải trọng di động tới dao động dầm tóm lược sau: † Về mơ hình phần tử hữu hạn: Phương pháp lượng sử dụng luận án cho phép xây dựng mơ hình PTHH dầm với lý thuyết dầm khác hiệu Với trợ giúp phần mềm Maple, phương pháp cho phép chuyển phần tử xây dựng sang chương trình tính tốn số cách dễ dàng Với lựa chọn hợp lý trường nội suy biến độc lập, mơ hình PTHH xây dựng Luận án có độ tin cậy tốc độ hội tụ cao Các phần tử xây dựng luận án có khả tốt việc mô ảnh hưởng biến dạng trượt tới đặc trưng dao động dầm 2D-FGSW Nhờ sử dụng hàm nội suy Kosmatka cho chuyển vị ngang góc quay hợp lý, phần tử dầm FBKO xây dựng từ lý thuyết FDST không gặp tượng nghẽn trượt có tốc độ hội tụ tương đương với phần tử dựa lý thuyết biến dạng trượt bậc ba với hàm hạng Hermite Với làm giàu trường nội suy hàm thứ bậc, tốc độ hội tụ phần tử dầm TBSE xây dựng từ lý thuyết biến dạng trượt bậc ba tăng cách đáng kể Tần số dao động riêng dầm 2DFGSW hai pha với biên tựa tự cơng-xơn nhận 122 123 phần tử Với việc sử dụng lý thuyết tựa 3D, phần tử Q3DB xây dựng luận án cho phép đánh giá ảnh hưởng phân bố vật liệu mơ hình học vi mơ tới ứng suất pháp theo chiều dày dầm Bài toán dao động cưỡng dầm 2D-FGSW chịu tải trọng di động xử lý dễ dàng thông qua biểu thức tải trọng di động Các phương pháp giải tích bán giải tích khó xử lý cho trường hợp dầm tựa phần đàn hồi, ảnh hưởng phần đàn hồi dầm tựa lên tới dao động dầm dễ dàng nghiên cứu nhờ xây dựng biểu thức lượng biến dạng † Về ứng xử kết cấu: Ứng xử cụ thể kết cấu dầm phụ thuộc vào mơ hình dầm tốn cụ thể Tuy nhiên, nhận xét tóm lược từ kết phân tích dao động hai mơ hình dầm nghiên cứu luận án: Sự phân bố vật liệu, tỷ số độ dày lớp độ mảnh dầm đóng vai trị quan trọng tới dao động dầm 2D-FGSW Với lựa chọn hợp lý giá trị tham số vật liệu ta thiết kế dầm 2D-FGSW với tần số dao động riêng hệ số động lực học mong muốn Bên cạnh tham số vật liệu, tải trọng di động, độ cứng độ dài phần dầm tựa lên có ảnh hưởng rõ rệt tới tần số dao động đáp ứng động lực học dầm 2D-FGSW Hệ số động lực học dầm giảm đáng kể độ dài phần dầm tựa lên lớn Các đặc trưng dao động dầm 2D-FGSW nhận từ mơ hình học vi mô Voigt Mori-Tanaka khác rõ rệt Ảnh hưởng mơ hình học vi mơ tới đáp ứng động lực học dầm 2D-FGSW hai pha nằm phần đàn hồi chịu khối lượng di động phụ thuộc vào độ cứng chiều dài phần dầm tựa lên Sự khác đặc trưng nhận từ hai mơ hình học vi mô giảm chiều dài phần dầm tựa lên độ cứng lớn Ảnh hưởng mơ hình học vi mơ phụ thuộc vào giá trị tham số vật liệu dầm ảnh hưởng trở nên yếu tham số vật liệu dầm lớn Kết nhận từ phân tích số cho thấy mơ hình 124 Voigt cứng đáng kể so với mơ hình Mori-Tanaka Cần nhấn mạnh mơ hình Voigt khơng thỏa mãn đánh giá Hashin-Strickman, thế, đơn giản mặt toán học nhiều tác giả sử dụng, cần thận trọng việc đánh giá đặc trưng dao động nhận từ mơ hình Dao động, đặc biệt đáp ứng động lực học, dầm 2D-FGSW đối xứng không đối xứng khác rõ rệt Sự phân bố theo chiều cao dầm thành phần ứng suất dầm 2D-FGSW hai pha đối xứng chịu khối lượng di động khác xa so với dầm hai pha không đối xứng Sự phân bố theo chiều cao dầm thành phần ứng suất chịu ảnh hưởng mơ hình học vi mô Hướng nghiên cứu Kết luận án bước đầu NCS hướng nghiên cứu Để hiểu thêm ứng xử kết cấu dầm 2D-FGSW cần nhiều cố gắng Dưới số hướng nghiên cứu cần phát triển mở rộng từ Luận án: Dao động phi tuyến dầm 2D-FGSW Ứng xử dầm nhiều trường hợp thực tế vượt qua giới hạn chuyển vị nhỏ đàn hồi Để nghiên cứu dao động tự cưỡng dầm 2D-FGSW có tính tới yếu tố phi tuyến cần phát triển mơ hình phần tử dầm phi tuyến thuật tốn lặp Vấn đề địi hỏi cố gắng nhiều, dầm có chuyển vị lớn biến dạng dẻo Ảnh hưởng yếu tố môi trường Các yếu tố môi trường nhiệt độ độ ẩm làm thay đổi hệ số đàn hồi kết cấu, làm thay đổi ứng xử kết cấu Bên cạnh tải học, nhiệt độ dạng tải trọng, đóng góp đáng kể tới ứng xử kết cấu Nghiên cứu dao động dầm 2D-FGSW tính tới ảnh hưởng yếu tố mơi trường tốn quan trọng, có ý nghĩa thực tiễn cao Tải trọng phức tạp Luận án xét hai dạng tải trọng di động lực di động khối lượng di động Trên thực tế, kết cấu chịu nhiều tải trọng di động khác nhiều lực di động, hệ học (sprung-mass system) di động, nguồn nhiệt di động Phát triển mơ hình PTHH để nghiên cứu dao động dầm 2D-FGSW chịu loại tải trọng di động nói toán quan trọng, cần quan tâm nghiên cứu 125 DANH MỤC CƠNG TRÌNH LIÊN QUAN TỚI LUẬN ÁN Kết luận án cơng bố số Tạp chí khoa học Quốc tế Tạp chí Quốc gia, cụ thể: Le Thi Ngoc Anh, Nguyen Dinh Kien, Vibration of FGSW under nonuniform motion of moving load using an efficient third-order shear deformation finite element formulation, Vietnam Journal of Science and Technology, 2019, 57 (4A), 51-60 Nguyen Van Chinh, Le Cong Ich, Le Thi Ngoc Anh, Nguyen Dinh Kien, Elastostatic bending of a 2D-FGSW beam under nonuniform distributed loads, Vietnam Journal of Science and Technology, 2019, 57 (3), 381-400 Le Thi Ngoc Anh, Vu Thi An Ninh, Tran Van Lang, Nguyen Dinh Kien, Free Vibration of bidirectional functionally graded sandwich beams using a first-order shear deformation finite element formulation, Journal of Science and Technology in Civil Engineering, NUCE, 2020, 14 (3), 136–150 Tran Thi Thom, Nguyen Dinh Kien, Le Thi Ngoc Anh, Dynamic responses of an inclined FGSW beam traveled by a moving mass based on a moving mass element theory, Vietnam Journal of Mechanics, 2019, 41 (4), 319-336 Vu Thi An Ninh, Le Thi Ngoc Anh, Nguyen Dinh Kien, Free vibration of a 2D-FGSW beam based on a shear deformation theory, Vietnam Journal of Mechanics, 2020, 42, 189–205 Dinh Kien Nguyen, An Ninh Thi Vu, Ngoc Anh Thi Le, Vu Nam Pham, Dynamic Behavior of a Bidirectional Functionally Graded sandwich beam under nonuniform motion of a moving load, Shock and Vibration, 2020, Article ID 8854076, 15 pages (ISI Journal - Q2) Vu Thi An Ninh, Le Thi Ngoc Anh, Nguyen Dinh Kien, Vibation of twodirectional functionally graded sandwich Timoshenko beams traversed by harmonic load , Vietnam Journal of Science and Technology, 2020, 58 (6), 760-775 126 Cong Ich Le, Ngoc Anh T Le, Dinh Kien Nguyen, Free vibration and buckling of bidirectional functionally graded sandwich beams using an enriched third-order shear deformation beam element, Composite Structures, 2020, 261, 113309 https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2020.113309 (ISI Journal - Q1) Dinh Kien Nguyen, Thi Thom Tran, Vu Nam Pham, Ngoc Anh Thi Le, Dynamic analysis of an inclined sandwich beam with bidirectional functionally graded face sheets under a moving mass, European Journal of Mechanics, A/Solids, 2021, 88, 104276 https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2021.104276 (ISI Journal - Q1) 10 An Ninh Thi Vu, Ngoc Anh Thi Le, Dinh Kien Nguyen, Dynamic behaviour of bidirectional functionally graded sandwich beams under a moving mass with partial foundation supporting effect, Acta Mechanica, 2021, 232(4) https://doi.org/10.1007/s00707-021-02948-z (ISI Journal - Q1) 11 Le Thi Ngoc Anh, Tran Van Lang, Vu Thi An Ninh, Nguyen Dinh Kien, Dynamic analysis of a functionally graded sandwich beam traversed by a moving mass based on a refined third-order theory, Lecture Notes in Mechanical Engineering, Springer : Modern Mechanics and Applications, LNME, pp 301–315, 2022 https://doi.org/10.1007/978-981-16-3239-6_23 (Scopus Journal) Tài liệu tham khảo [1] Y Fukui Fundamental investigation of functionally graded materials manufacturing system using centrifugal force Japanese Society of Mechanical International Journal, Series 3, 34:144–148, 1991 [2] J Lambros, M.H Santare, H Li, and G.H Sapna Experimental Mechanics, pages 184–190 [3] Y.-H Lin and M.W Trethewey Finite element analysis of elastic beams subjected to moving dynamic loads Journal of Sound and Vibration, 136(2):323– 342, 1990 [4] M Koizumi FGM activities in Japan Composites: Part B, 28:1–4, 1997 [5] V Birman and L.W Byrd Modeling and analysis of functionally graded materials and structures Applied Mechanics Reviews, 60:195–216, 2007 [6] D.K Jha, T Kant, and R.K Singh A critical review of recent research on functionally graded plates Composite Structures, 96:66–97, 2013 [7] A Mahi, E.A Adda Bedia, A Tounsi, and I Mechab An analytical method for temperature-dependent free vibration analysis of functionally graded beams with general boundary conditions Composite Structures, 92:1877–1887, 2010 [8] Mori T and Tanaka K Average stress in the matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions Acta Metall, 21(5):571–74, 1973 [9] J.R Zuiker Functionally graded materials: Choice of micromechanics model and limitations in property variation Composite Structures, 5:807–819, 1995 [10] M.A.R Loja, J.I Barbosa, and C.M Mota Soares A study on the modeling of sandwich functionally graded particulate composites Composite Structures, 94:2209–2217, 2012 [11] S Chakraverty and K.K Pradhan Vibration of functionally graded beams and plates Elsevier, London, U.K., 2016 127 128 [12] M Aydogdu and V Taskin Free vibration analysis of functionally graded beams with simply supported edges Materials and Design, 28:1651–1656, 2007 [13] M.A Benatta, I Mechab, A Tounsi, and E.A Adda Bedia Static analysis of functionally graded short beams including warping and shear deformation effects Computational Materials Science, 44:765–773, 2008 [14] S.A Sina, H.M Navazi, and H Haddadpour An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams Materials and Design, 30:741– 747, 2009 [15] Y Huang and X.F Li A new approach for free vibration of axially functionally graded beams with non-uniform cross-section Journal of Sound and Vibration, 329:2291–2303, 2010 [16] N Wattanasakulpong, B.G Gangadhara, and D.W Kelly Thermal buck- ling and elastic vibration of third-order shear deformable functionally graded beams International Journal of Mechanical Science, 53:734–743, 2011 [17] S.C Pradhan and S Chakraverty Effects of different shear deformation theories on free vibration of functionally graded beams International Journal of Mechanical Science, 82:149–160, 2014 [18] M Sáimsáek and T Kocatăurk Free and forced vibration of a functionally graded beam subjected to a concentrated moving harmonic load Composite Structures, 90:465–473, 2009 [19] M S¸ims¸ek Vibration analysis of a functionally graded beam under a moving mass by using differenet beam theory Composite Structures, 92:904–917, 2010 [20] M Sáimsáek, T Kocatăurk, and D Sá Akbasá Dynamic behavior of an axially functionally graded beam under action of a moving harmonic load Composite Structures, 94:2358–2364, 2012 [21] S.M.R Khalili, A.A Jafari, and S.A Eftekhari A mixed Ritz-DQ method for forced vibration of functionally graded beams carrying moving loads Composite Structures, 92:2497–2511, 2010 129 [22] K Rajabi, M.H Kargarnovin, and M Gharini Dynamic analysis of a functionally graded simply supported Euler–Bernoulli beam subjected to a moving oscillator Acta Mechanica, 224:425–446, 2013 [23] Y Wang and D Wu Thermal effect on the dynamic response of axially functionally graded beam subjected to a moving harmonic load Acta Astronaut, 127:171–181, 2016 [24] P Malekzadeh Two-dimensional in-plane free vibrations of functionally graded circular arches with temperature-dependent properties Composite Structures, 91:38–47, 2009 [25] P Malekzadeh, M.R Golbahar Haghighi, , and M.M Atashi Out-of-plane free vibration of functionally graded circular curved beams in thermal environment Composite Structures, 92:541–552, 2010 [26] A Shahba and S Rajasekaran Free vibration and stability of tapered EulerBernoulli beams made of axially functionally graded Applied Mathematical Modelling, pages 683–696, 2011 doi:10.1016/j/apm.2011.09.073 [27] S Rajasekaran Buckling and vibration of axially functionally graded nonuniform beams using differential transformation based dynamic stiffness approach Meccanica, 48:1053–1070, 2013 [28] S Rajasekaran and E.N Tochaei Free vibration analysis of axially functionally graded tapered Timoshenko beams using differential transformation element method and differential quadrature element method of lowest-order Meccanica, 49:995–1009, 2014 [29] D.V Bambill, C.A Rossit, and D.H Felix Free vibrations of stepped axially functionally graded Timoshenko beams Meccanica, 50:1073–1087, 2015 [30] D Ghazaryan, V.N Burlayenko, A Avetisyan, and A Bhaskar Free vibration analysis of functionally graded beams with non-uniform cross-section using the differential transform method Journal of Engineering Mathematics, 110:97–121, 2018 130 [31] A.E Alshorbagy, M.A Eltaher, and F.F Mahmoud Free vibration chatacteristics of a functionally graded beam by finite element method Applied Mathematical Modelling, 35:412–425, 2011 [32] A Shahba, R Attarnejad, M T Marvi, and S Hajilar Free vibration and stability analysis of axially functionally graded tapered Euler-Bernoulli beams Shock and Vibration, 18:683–696, 2011 [33] A Shahba, R Attarnejad, M T Marvi, and S Hajilar Free vibration and stability analysis of axially functionally graded tapered Timoshenko beams with classical and non-classical boundary conditions Composites: Part B, 42:801– 808, 2011 [34] M.A Eltaher, A.E Alshorbagy, and F.F Mahmoud Determination of neutral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded macro/nanobeams Composite Structures, 99:193–201, 2013 [35] M.A Eltaher, A.A Abdelrahman, A Al-Nabawy, M Khater, and A Mansour Vibration of nonlinear graduation of nano-Timoshenko beam considering the neutral axis position Applied Mathematics and Computation, 235:512–529, 2014 [36] M Hemmatnezhada, R Ansarib, and G.H Rahimic Large-amplitude free vibrations of functionally graded beams by means of a finite element formulation Applied Mathematical Modelling, 37:8495–8504, 2013 [37] B.S Gan, T.H Trinh, T.H Le, and D.K Nguyen Dynamic response of nonuniform Timoshenko beams made of axially FGM subjected to multiple moving point loads Structural Engineering Mechanics, 53:981–995, 2015 [38] Y Wang and D Wu Thermal effect on the dynamic response of axially functionally graded beam subjected to a moving harmonic load Acta Astronautica, 127:171–181, 2016 [39] I Esen, M.A Koc¸, and Y C ¸ ay Finite element formulation and analysis of a functionally graded Timoshenko beam subjected to an accelerating mass including inertial effects of the mass Latin American Journal of Solids and Structures, 15:e119, 2018 131 [40] I Esen Dynamic response of a functionally graded Timoshenko beam on two-parameter elastic foundations due to a variable velocity moving mass International Journal of Mechanical Science, 153–154:21–35, 2019 [41] I Esen beams load Dynamic in a thermal response of functional graded Timoshenko environment subjected to accelerating an European Journal of Mechanics, A-Solid, 78:103841, 2019 http://dx.doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2019.01.033 [42] P.S Ghatage, V.R Kar, and P.E Sudhagar On the numerical modelling and analysis of multi-directional f2020unctionally graded composite structures: A review Composite Structures, 236:111837, 2020 [43] C.F Lău, W.Q Chen, R.Q Xu, and C.W Lim Semi-analytical elasticity solutions for bi-directional functionally graded beams International Journal of Solids and Structures, 45(1):258–275, 2008 [44] M S¸ims¸ek Bi-directional functionally graded materials (BDFGMs) for free and forced vibration of Timoshenko beams with various boundary conditions Composite Structures, 133:968–978, 2015 [45] Z Wang, X Wang, G Xu, S Cheng, and T Zeng Free vibration of twodirectional functionally graded beams Composite structures, 135:191–198, 2016 [46] H Deng and W Cheng Dynamic characteristics analysis of bi-directional functionally graded timoshenko beams Composite Structures, 141:253–263, 2016 [47] M Lezgy-Nazargah Fully coupled thermo-mechanical analysis of bi- directional FGM beams using NURBS isogeometric finite element approach Aerospace Science and Technology, 45:154–164, 2015 [48] T.A Huynh, X.Q Lieu, and J Lee NURBS-based modeling of bidirectional functionally graded Timoshenko beams for free vibration problem Composite Structures, 160:1178–1190, 2017 132 [49] T.-T Nguyen and J Lee Flexural-torsional vibration and buckling of thinwalled bi-directional functionally graded beams Composites Part B: Engineering, 154:351–362, 2018 [50] A Heydari and A Jalali A new scheme for buckling analysis of bidirectional functionally graded Euler beam having arbitrary thickness variation rested on Hetenyi elastic foundation Modares Mechanical Engineering, 17(1):47–55, 2017 [51] N.I Kim, T.A Huynh, Q.X Lieu, and J Lee Nurbs-based optimization of natural frequencies for bidirectional functionally graded beams Archives of Mechanics, 70(4), 2018 [52] N Shafiei and M Kazemi Buckling analysis on the bi-dimensional functionally graded porous tapered nano-/micro-scale beams Aerospace Science and Technology, 66:1–11, 2017 [53] N Shafiei, S.S Mirjavadi, B Mohasel Afshari, S Rabby, and M Kazemi Vibration of two-dimensional imperfect functionally graded (2D-FG) porous nano-/micro-beams Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 322:615–632, 2017 [54] A Karamanlı Elastostatic analysis of two-directional functionally graded beams using various beam theories and symmetric smoothed particle hydrodynamics method Composite Structures, 160:653–669, 2017 [55] A Karamanlı Free vibration analysis of two directional functionally graded beams using a third order shear deformation theory Composite Structures, 189:127–136, 2018 [56] Y Yang, K Kunpang, C Lam, and V Iu Dynamic behaviors of tapered bidirectional functionally graded beams with various boundary conditions under action of a moving harmonic load Engineering Analysis with Boundary Elements, 104:225–239, 2019 [57] W.-R Chen and H Chang Vibration analysis of bidirectional functionally graded Timoshenko beams using Chebyshev collocation method International Journal of Structural Stability and Dynamics, page 2150009, 2020