Luận án tiến sĩ kỹ thuật phân tích dao động dầm, tấm sandwich 2d fgm hai và ba pha bằng phương pháp phần tử hữu hạn

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi Các số liệu kết trình bày Luận án trung thực chưa công bố cơng trình trước Nghiên cứu sinh Phạm Vũ Nam i LỜI CẢM ƠN Lời xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn tận tình hướng dẫn, định hướng ln ủng hộ, giúp đỡ tơi hồn thành luận án Tôi xin cảm ơn thành viên nhóm nghiên cứu có chia sẻ kinh nghiệm, giúp đỡ, động viên tơi q trình nghiên cứu để hồn thành luận án Trong q trình thực luận án, nhận nhiều giúp đỡ, tạo điều kiện tập thể Lãnh đạo, nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên Học viện Khoa học Công nghệ; tập thể Ban lãnh đạo, cán Viện Cơ học, Viện hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành giúp đỡ Tơi xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến người thân gia đình chia sẻ, động viên, giúp đỡ để tơi hồn thành luận án Tác giả luận án Phạm Vũ Nam ii Mục lục Danh mục ký hiệu chữ viết tắt vi Danh sách hình vẽ x Danh sách bảng xiv Mở đầu Chương Tổng quan 1.1 Vật liệu có tính biến thiên 1.2 Dao động tự dầm FGM 1.2.1 Dầm FGM có tính biến đổi ngang 1.2.2 Dầm FGM có tính biến đổi dọc 11 1.2.3 Dầm 2D-FGM 12 1.3 Dao động tự dầm sandwich FGM 13 1.4 Dầm FGM dầm sandwich FGM chịu tải trọng di động 15 1.5 Dao động FGM 16 1.6 Phân tích sandwich FGM 17 1.7 Phân tích 2D-FGM 19 1.8 Tình hình nghiên cứu nước 19 1.9 Định hướng nghiên cứu 21 Chương Dầm sandwich 2D-FGM hai pha 24 2.1 Mơ hình dầm sandwich 2D-FGM hai pha 24 2.2 Tính chất hiệu dụng vật liệu FGM hai pha 25 2.3 Trường chuyển vị theo lý thuyết biến dạng trượt bậc ba 27 2.4 Trường biến dạng ứng suất 27 2.5 Năng lượng biến dạng đàn hồi 28 2.6 Động 28 2.7 Thế lực điều hòa di động 29 2.8 Phương trình vi phân chuyển động dầm hai pha 29 iii iv 2.9 Mơ hình phần tử hữu hạn cho dầm hai pha 30 2.10 Ma trận độ cứng ma trận khối lượng phần tử 31 2.11 Vec-tơ lực nút lực điều hòa di động 33 2.12 Phương trình chuyển động dạng rời rạc 34 2.13 Thuật toán số 34 2.14 Kết số thảo luận 36 2.14.1 Nghiên cứu kiểm chứng 36 2.14.2 Tần số dao động riêng 40 2.14.3 Đáp ứng động lực học 44 Chương Dầm sandwich 2D-FGM ba pha 55 3.1 Mơ hình dầm sandwich 2D-FGM ba pha 55 3.2 Tính chất hiệu dụng vật liệu FGM ba pha 56 3.3 Trường chuyển vị theo lý thuyết biến dạng trượt lượng giác 58 3.4 Các thành phần biến dạng ứng suất 58 3.5 Năng lượng biến dạng đàn hồi 59 3.6 Động 59 3.7 Thế khối lượng di động 60 3.8 Phương trình vi phân chuyển động dầm ba pha 60 3.9 Mơ hình phần tử hữu hạn cho dầm ba pha 61 3.9.1 Trường nội suy làm giàu 61 3.9.2 Ma trận độ cứng phần tử 63 3.9.3 Ma trận khối lượng phần tử 65 3.9.4 Phần tử khối lượng di động véc-tơ lực nút 67 3.9.5 Phương trình chuyển động dạng rời rạc 68 3.10 Kết số thảo luận 69 3.10.1 Nghiên cứu kiểm chứng hội tụ 69 3.10.2 Tần số dao động tự 73 3.10.3 Đáp ứng động lực học 78 v Chương Dao động tự sandwich 2D-FGM ba pha 87 4.1 Mơ hình sandwich 2D-FGM ba pha 87 4.2 Trường chuyển vị theo lý thuyết Mindlin 89 4.3 Trường biến dạng ứng suất 89 4.4 Các biểu thức lượng 90 4.5 Phương trình vi phân chuyển động ba pha 91 4.6 Phần tử Q9 với nội suy liên kết 92 4.6.1 Phương pháp nội suy liên kết 92 4.6.2 Ma trận độ cứng phần tử Q9 95 4.6.3 Ma trận khối lượng phần tử Q9 96 4.7 Phương trình chuyển động dạng rời rạc 98 4.8 Kết số thảo luận 98 4.8.1 Nghiên cứu kiểm chứng 99 4.8.2 Kết số 101 4.8.2.1 Ảnh hưởng phân bố vật liệu 101 4.8.2.2 Ảnh hưởng mơ hình đồng hóa vật liệu 104 4.8.2.3 Ảnh hưởng tỷ số chiều dài chiều dày 107 4.8.2.4 Các dạng dao động 108 Kết luận kiến nghị 114 Danh mục cơng trình liên quan tới luận án 117 TÀI LIỆU THAM KHẢO 118 Phụ Lục 133 Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Các kí hiệu thơng thường a Chiều dài A Diện tích tiết diện ngang dầm Ai j , Bi j ,Ci j , Di j Các hệ số độ cứng dầm b Chiều rộng dầm Dd Tham số động lực học F0 Biên độ lực di động điều hịa E f (x, z) Mơ-đun đàn hồi hiệu dụng G f (x, z) Mô-đun trượt hiệu dụng ν f (x, z) Hệ số Poisson hiệu dụng Gc Mô-đun trượt gốm Gm Mô-đun trượt kim loại h Chiều cao dầm I Mô-men quán tính bậc hai thiết diện ngang dầm Ii j (i j = 6) Mô-men khối lượng dầm Ji j (i j = 1, 2) Mô-men khối lượng Kf Mô-đun khối hiệu dụng Kc Mô-đun khối gốm Km Mô-đun khối kim loại l Chiều dài phần tử dầm L Chiều dài dầm m Khối lượng di động NE Số phần tử rời rạc dầm nx Tham số vật liệu theo chiều dài nz Tham số vật liệu theo chiều cao P1 Tính chất vật liệu vật liệu M1 P2 Tính chất vật liệu vật liệu M2 vi vii P3 Tính chất vật liệu vật liệu M3 Pf Tính chất hiệu dụng Pc Tính chất vật liệu gốm Pm Tính chất vật liệu kim loại u1 Chuyển vị điểm dầm, theo phương trục x u2 Chuyển vị theo phương trục y u3 Chuyển vị ngang điểm dầm, T Động dầm U Năng lượng biến dạng đàn hồi dầm, v Vận tốc tải trọng di động V Thế tải trọng di động V Thể tích dầm V1 , V2 , V3 Tỷ phần thể tích vật liệu M1, M2, M3 Vc Tỷ phần thể tích gốm Vm Tỷ phần thể tích kim loại rm Tỷ số khối lượng w(x, z,t) Chuyển vị ngang điểm thuộc dầm wb (x,t) Thành phần uốn chuyển vị ngang dầm ws (x,t) Thành phần trượt chuyển vị ngang dầm w(L/2,t) Độ võng động lực học dầm Véc-tơ ma trận C Ma trận cản tổng thể Cm Ma trận cản tổng thể sinh từ khối lượng di động D Véc-tơ chuyển vị nút tổng thể ˙ D Véc-tơ vận tốc nút tng th ă D Vộc-t gia tc nỳt tng th d Véc-tơ chuyển vị nút phần tử dầm viii E1 , E2 , E3 Mô-đun đàn hồi vật liệu M1, M2, M3 Ec Mô-đun đàn hồi gốm Em Mô-đun đàn hồi kim loại F Véc-tơ lực nút tổng thể fex Véc-tơ tải trọng nút phần tử fm Véc-tơ lực nút phần tử sinh từ khối lượng di động H Ma trận hàm dạng Hermite K Ma trận độ cứng tổng thể Km Ma trận độ cứng tổng thể sinh từ khối lượng di động k Ma trận độ cứng phần tử km Ma trận độ cứng phần tử sinh từ khối lượng di động M Ma trận khối lượng tổng thể Mm Ma trận khối lượng tổng thể sinh từ khối lượng di động N Ma trận hàm dạng tuyến tính m Ma trận khối lượng phần tử mm Ma trận khối lượng sinh từ khối lượng di động Chữ Hy Lạp ∆t Bước thời gian ∆T Tổng thời gian để tải trọng hết chiều dài dầm εxx Biến dạng dọc trục theo phương trục x εzz Biến dạng theo phương trục z γxz Biến dạng trượt mặt phẳng (x, z) γyz Biến dạng trượt mặt phẳng (y, z) µ1 Tham số tần số µi Tham số tần số thứ i dầm, ω1 Tần số dao động ωi Tần số dao động tự nhiên thứ i dầm, ρ1 , ρ2 , ρ3 Mật độ khối vật liệu M1, M2, M3 ix ρc Mật độ khối gốm ρm Mật độ khối kim loại ρf Mật độ khối hiệu dụng dầm σxx Ứng suất pháp theo trục x σyy Ứng suất pháp theo trục y τxy Ứng suất trượt mặt phẳng (x, y) τxz Ứng suất trượt mặt phẳng (x, z) τyz Ứng suất trượt mặt phẳng (y, z) Chữ viết tắt CPVP Cầu phương vi phân (Differential quadrature) FGM Vật liệu có tính biến thiên (Functionally Graded Material) PTHH Phần tử hữu hạn (Finite element) Danh sách hình vẽ Hình 1.1 Một số ứng dụng điển hình FGM Hình 1.2 Dầm FGM với tính biến đổi theo chiều cao (a); Cơ tính biến đổi theo chiều dài (b); Cơ tính biến đổi theo chiều cao dài (c) 10 Hình 1.3 Hai loại dầm sandwich FGM với tính biến đổi ngang 14 Hình 2.1 Dầm sandwich 2D-FGM hai pha chịu lực điều hòa di động 25 Hình 2.2 Sự phân bố theo chiều cao chiều dài tỷ lệ thể tích vật liệu thành phần dầm sandwich 2D-FGM hai pha (2-1-2) 26 Hình 2.3 Mơ hình phần tử dầm hai nút cho dầm sandwich hai pha 31 Hình 2.4 So sánh đường cong độ võng dầm với thời gian dầm sandwich 1D-FGM chịu lực di động với Songsuwan cộng [62] (L/h = 10, nz = 0.5, v = 50 m/s, Ω = 0) 39 Hình 2.5 Sự phụ thuộc tham số tần số dao động vào tham số vật liệu dầm sandwich 2D-FGM hai pha với L/h = 10 42 Hình 2.6 Sự phụ thuộc bốn tham số tần số dao động vào tham số vật liệu dầm sandwich 2D-FGM hai pha (2-1-2) với L/h = 10 43 Hình 2.7 Ảnh hưởng tỷ số L/h tới tham số tần số dao động dầm sandwich 2D-FGM hai pha 44 Hình 2.8 Đường cong quan hệ độ võng dầm với thời gian dầm 2D-FGM hai pha với L/h = 20, nx = nz = 0.5, Ω = giá trị khác vận tốc v 47 Hình 2.9 Đường cong quan hệ độ võng dầm với thời gian dầm 2D-FGM hai pha với L/h = 20, nx = nz = 0.5, v = 80 m/s giá trị khác Ω 48 Hình 2.10 Mối liên hệ tham số động lực học với vận tốc lực di động dầm 2D-FGM hai pha với L/h = 20, Ω = 49 Hình 2.11 Sự phụ thuộc tham số động lực học Dd vào tham số vật liệu nx nz dầm 2D-FGM hai pha với L/h = 20, v = 50 m/s, Ω = 49 Hình 2.12 Mối quan hệ tham số Dd với tham số vật liệu nx nz dầm 2D-FGM hai pha với L/h = 20, v = 50 m/s hai giá trị khác tần số lực kích động (Mơ hình Voigt) 50 x 128 [107] Trần Thị Thơm Mơ hình phần tử hữu hạn phân tích dao động dầm có tính biến đổi theo hai chiều Luận án Tiến sĩ, Học viện Khoa học Công nghệ, VAST, Hà Nội, 2019 [108] Nguyễn Ngọc Huyên Phân tích dao động chẩn đốn vết nứt dầm FGM Luận án Tiến sĩ, Học viện Khoa học Công nghệ, VAST, Hà Nội, 2017 [109] Ngô Trọng Đức Phân tích dầm Timoshenko có nhiều vết nứt vật liệu tính biến thiên (FGM) ứng dụng vào nhận dạng tham số Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Xây dựng, Hà Nội, 2018 [110] Nguyễn Bá Duy Analysis of functionally graded sandwich beams under hygrothermo-mechanical loads Luận án Tiến sĩ, Đại học Sư phạm Kỹ thuật, Thành phố Hồ Chí Minh, 2019 [111] Lê Thị Ngọc Ánh Mơ hình phần tử hữu hạn phân tích kết cấu dầm sandwich FGM Luận án Tiến sĩ, Học viện Khoa học Công nghệ, VAST, Hà Nội, 2022 [112] T.-K Nguyen, T.P Vo, and H.-T Thai Static and free vibration of axially loaded functionally graded beams based on the first-order shear deformation theory Composites Part B: Engineering, 55:147–157, 2013 [113] T.-K Nguyen, T.-P Nguyen, T.P Vo, and H.-T Thai Vibration and buckling analysis of functionally graded sandwich beams by a new higher-order shear deformation theory Composites Part B, 76:273–285, 2015 [114] T.-K Nguyen, T.P Vo, B.-D Nguyen, and J Lee An analytical solution for buckling and vibration analysis of functionally graded sandwich beams using a quasi-3D shear deformation theory Composite Structures, 156:238–252, 2016 [115] T.-K Nguyen and B.-D Nguyen A new higher-order shear deformation theory for static, buckling and free vibration analysis of functionally graded sandwich beams Journal of Sandwich Structures & Materials, 17(6):613–631, 2015 [116] T.-K Nguyen, B.-D Nguyen, T.P Vo, and H.-T Thai Hygro-thermal effects on vibration and thermal buckling behaviours of functionally graded beams Composite Structures, 176:1050–1060, 2017 [117] N.T Khiem and N.N Huyen A method for crack identification in functionally graded Timoshenko beam Nondestructive Testing and Evaluation, 32(3):319– 341, 2017 129 [118] N.T Khiem, H.T Tran, and D Nam Modal analysis of cracked continuous timoshenko beam made of functionally graded material Mechanics Based Design of Structures and Machines, 48(4):459–479, 2020 [119] T.V Lien, N.T Duc, and N.T Khiem Mode shape analysis of multiple cracked functionally graded timoshenko beams Latin American Journal of Solids and Structures, 14(7):1327–1344, 2017 [120] T.V Lien, N.T Duc, and N.T Khiem Free and forced vibration analysis of multiple cracked FGM multi span continuous beams using dynamic stiffness method Latin American Journal of Solids and Structures, 16(2), 2019 [121] D.K Nguyen Large displacement response of tapered cantilever beams made of axially functionally graded material Composites Part B: Engineering, 55:298– 305, 2013 [122] D.K Nguyen Large displacement behaviour of tapered cantilever euler–bernoulli beams made of functionally graded material Applied Mathematics and Computation, 237:340–355, 2014 [123] D.K Nguyen and B.S Gan Large deflections of tapered functionally graded beams subjected to end forces Applied Mathematical Modelling, 38(11- 12):3054–3066, 2014 [124] D.K Nguyen, B.S Gan, and T.H Trinh Geometrically nonlinear analysis of planar beam and frame structures made of functionally graded material Structural Engineering and Mechanics, 49(6):727–743, 2014 [125] D.K Nguyen, K.V Nguyen, V.M Dinh, B.S Gan, and S Alexandrov Nonlinear bending of elastoplastic functionally graded ceramic-metal beams subjected to nonuniform distributed loads Applied Mathematics and Computation, 333:443– 459, 2018 [126] D.K Nguyen, B.S Gan, and T.H Le Dynamic response of non-uniform functionally graded beams subjected to a variable speed moving load Journal of Computational Science and Technology, 7(1):12–27, 2013 [127] D.K Nguyen and V.T Bui Dynamic analysis of functionally graded Timoshenko beams in thermal environment using a higher-order hierarchical beam element Mathematical Problems in Engineering, Article ID 7025750, 2017 https://doi.org/10.1155/2017/7025750 130 [128] D.K Nguyen, Q.H Nguyen, T.T Tran, and V.T Bui Vibration of bi-dimensional functionally graded Timoshenko beams excited by a moving load Acta Mechanica, 228(1):141–155, 2017 [129] D.K Nguyen and T.T Tran Free vibration of tapered BFGM beams using an efficient shear deformable finite element model Steel and Composite Structures, 29(3):363–377, 2018 [130] D.K Nguyen and T.T Tran A corotational formulation for large displacement analysis of functionally graded sandwich beam and frame structures Mathematical Problems in Engineering, 2016, 2016 [131] C.I Le, N.A.T Le, and D.K Nguyen Free vibration and buckling of bidirectional functionally graded sandwich beams using an enriched third-order shear deformation beam element Composite Structures, 261261:113309, 2020 https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2020.113309 [132] D.K Nguyen, T.T Tran, V.N Pham, and N.A Le Dynamic analysis of an inclined sandwich beam with bidirectional functionally graded face sheets under a moving mass European Journal of Mechanics-A/Solids, 88:104276, 2021 https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2021.104276 [133] A.N.T Vu, , N.A Le, and D.K Nguyen Dynamic behaviour of bidirectional functionally graded sandwich beams under a moving mass with partial foundation supporting effect Acta Mechanica, 232(4), 2021 https://doi.org/10.1007/s00707021-02948-z [134] M Nemat-Alla, K.I.E Ahmed, and I Hassab-Allah Elastic–plastic analysis of two-dimensional functionally graded materials under thermal loading International Journal of solids and Structures, 46(14-15):2774–2786, 2009 [135] A Karamanlı Bending behaviour of two directional functionally graded sandwich beams by using a quasi-3d shear deformation theory Composite Structures, 174:70–86, 2017 [136] W.B Bickford A consistent higher order beam theory Development of Theoretical and Applied Mechanics, 144:341–356, 1982 [137] J.N Reddy A simple higher-order theory for laminated composite plates Journal of Applied Mechanics, 51:745–752, 1984 [138] R.P Shimpi and H.G Patel Free vibrations of plate using two variable refined plate theory Journal of Sound and Vibration, 296(4-5):979–999, 2006 131 [139] M Géradin and R Rixen Mechanical Vibrations, Theory and Application to Structural Dynamics Wiley, Chichester, 2nd edition, 1997 [140] L Meirovitch Fundamentals of Vibrations McGraw-Hill International, Boston, 2001 [141] R.D Cook, D.S Malkus, and R.J Witt M.E Plesha Concepts and applications of finite element analysis John Wiley & Sons, New York, 4rd edition, 2002 [142] I Esen Dynamic response of functional graded Timoshenko beams in a thermal environment subjected to an accelerating load European Journal of Mechanics, A-Solid, 78:103841, 2019 http://dx.doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2019.01.033, [143] S Rajasekaran and H.B Khaniki Size-dependent forced vibration of non-uniform bi-directional functionally graded beams embedded in variable elastic environment carrying a moving harmonic mass Applied Mathematical Modelling, 72:129–154, 2019 [144] N.M Newmark A method of computation for structural dynamics Journal of the Engineering Mechanics Division, 85(EM3):67–94, 1959 [145] R.D Cook, D.S Malkus, and M.E Plesha Concepts and applications of finite element analysis John Wiley & Sons, New York, 3rd edition, 1989 [146] M Olsson On the fundamental moving load problem Journal of Sound and Vibration, 145:299–307, 1991 [147] M Nemat-Alla, K.I.E Ahmed, and I Hassab-Allah Elastic-plastic analysis of two-dimensional functionally graded materials under thermal loading International Journal of Solids and Structures, 46:2774–86, 2009 [148] Dinh Kien Nguyen, An Ninh Thi Vu, Ngoc Anh Thi Le, and Vu Nam Pham Dynamic behavior of a bidirectional functionally graded sandwich beam under nonuniform motion of a moving load Shock and Vibration, 2020 https://doi.org/10.1155/2020/8854076 [149] S Torquato Random heterogeneous materials, microstructure and macroscopic properties Springer, New York, 2002 [150] D.C Pham, N.Q Tran, and A.B Tran Polarization approximations for elastic moduli of isotropic multicomponent materials Journal of Mechanics of Materials and Structures, 12(4):391–406, 2017 132 [151] F Ebrahimi, M Nouraei, and A Dabbagh Thermal vibration analysis of embedded graphene oxide powder-reinforced nanocomposite plates Engineering with Computers, 36(3):879–895, 2020 [152] A.N.T Vu, N.A.T Le, and D.K Nguyen Dynamic behaviour of bidirectional functionally graded sandwich beams under a moving mass with partial foundation supporting effect Acta Mechanica, pages 1–23, 2021 [153] P Solín Partial differential equations and the finite element method John Wiley & Sons Inc., Hoboken, 2006 [154] Y.S Hsu Enriched finite element methods for timoshenko beam free vibration analysis Applied Mathematical Modelling, 40(15-16):7012–7033, 2016 [155] G.N Praveen and J.N Reddy Nonlinear transient thermoelastic analysis of functionally graded ceramic-metal plates International Journal of Solids Strutures, 33:4457 4476, 1998 [156] Q Song, J Shi, and Z Liu Vibration analysis of functionally graded plate with a moving mass Applied Mathematical Modelling, 46:141–160, 2017 [157] M Nemat-Alla Reduction of thermal stresses by developing two-dimensional functionally graded materials International Journal of Solids and Structures, 40:7339–7356, 2003 [158] M Nemat-Alla, K.I.E Ahmed, and I Hassab-Allah Elastic–plastic analysis of two-dimensional functionally graded materials under thermal loading International Journal of Solids and Structures, 46(14-15):2774–2786, 2009 [159] R.D Mindlin Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates ASME Journal of Applied Mechanics, 18:31–38, 1951 [160] O.C Zienkiewicz, Z Xu, L.F Zeng, A Samuelsson, and N.-E Wiberg Linked interpolation for reissner-mindlin plate elements: Part i—a simple quadrilateral International Journal for Numerical Methods in Engineering, 36(18):3043–3056, 1993 [161] D Ribari´c and G Jeleni´c Higher-order linked interpolation in quadrilateral thick plate finite elements Finite elements in analysis and design, 51:67–80, 2012 PHỤ LỤC A1 Matlab function tính ma trận độ cứng ma trận khối lượng phần tử dầm Chương Mục liệt kê lệnh Mablab function tính ma trân độ cứng k ma trận khối lượng m phần tử dầm xây dựng trong mục 2.10, trang 31 [k,m]=KeMe_c2(Model,HH,VL,nG,nx,nz,ne) % Element stiffnes and mass matrices in Chapter % nG - number of Gauss points % le - element length % HH=[le h0 h1 h2 h3 b A I LT h nel] % VL=[E1 E2 G1 G2 ro1 ro2 nu1 nu2]; % ne- element number le=HH(1);h0=HH(2);h1=HH(3);h2=HH(4); h3=HH(5);b=HH(6);L=HH(9); E1=VL(1);E2=VL(2); ro1=VL(5);ro2=VL(6); nu1=VL(7);nu2=VL(8); [PT2,WT2]=GaussRule(nG); %[calling Gauss point and weights] Ke1=zeros(10,10); Ke2=zeros(10,10); Ke3=zeros(10,10); Me1=zeros(10,10); Me2=zeros(10,10); Me3=zeros(10,10); % Below determinant of Jacobian matrix det1=0.25*le*(h1-h0); det2=0.25*le*(h2-h1); det3=0.25*le*(h3-h2); 133 134 for i=1:nG r=PT2(i); x=le*(1+r)/2; % in x direction x1=(ne-1)*le+x; % x measured from beam left end for j=1:nG t=PT2(j); z1=(h1+h0)/2 + (h1-h0)*t/2; % in [h0,h1] z2=(h2+h1)/2 + (h2-h1)*t/2; % in [h1,h2] z3=(h3+h2)/2 + (h3-h2)*t/2; %in [h2,h3] % V1, V2 of layers 1,2,3 hs=(1-x1/(2*L))^nx; V21=((z1-h1)/(h0-h1))^nz*hs; V11=1-V21; V22=0; V12=1-V22; V23=((z3-h2)/(h3-h2))^nz*hs; V13=1-V23; % switch Model case %Voigt model % EL1,EL2,EL3: E of layers 1,2,3 EL1=E1*V11+E2*V21; EL2=E1*V12+E2*V22; EL3=E1*V13+E2*V23; % nuL1,nuL2,nuL3: G layers 1,2,3 nuL1=nu1*V11+nu2*V21; nuL2=nu1*V12+nu2*V22; nuL3=nu1*V13+nu2*V23; % roL1,roL2,roL3: ro layers 1,2,3 roL1=ro1*V11+ro2*V21; roL2=ro1*V12+ro2*V22; roL3=ro1*V13+ro2*V23; case % Mori-Tanaka scheme [EL1,nuL1]=Enu_MoriT(V11,VL); [EL2,nuL2]=Enu_MoriT(V12,VL); [EL3,nuL3]=Enu_MoriT(V13,VL); % roL1,roL2,roL3: layers 1,2,3 roL1=ro1*V11+ro2*V21; roL2=ro1*V12+ro2*V22; roL3=ro1*V13+ro2*V23; 135 otherwise disp(’NOT CONSIDER.’) end % below stiffness matrix k [hsE1,hsT1]=hesoKeTe(x,z1,nuL1,HH); [hsE2,hsT2]=hesoKeTe(x,z2,nuL2,HH); [hsE3,hsT3]=hesoKeTe(x,z3,nuL3,HH); Ke1=Ke1 + WT2(i)*WT2(j)*EL1*hsE1*det1; Ke2=Ke2 + WT2(i)*WT2(j)*EL2*hsE2*det2; Ke3=Ke3 + WT2(i)*WT2(j)*EL3*hsE3*det3; k= b*(Ke1 + Ke2 +Ke3); % below mass matrix m Me1=Me1+WT2(i)*WT2(j)*roL1*hsT1*det1; Me2=Me2+WT2(i)*WT2(j)*roL2*hsT2*det2; Me3=Me3+WT2(i)*WT2(j)*roL3*hsT3*det3; m=b*(Me1 + Me2 + Me3); end A2 Matlab function tính ma trận độ cứng ma trận khối lượng phần tử dầm Chương Mục liệt kê lệnh Mablab function tính ma trận độ cứng phần tử k Mục 3.9.2 trang 63 ma trận khối lượng phần tử m Mục 3.9.3, trang 65 A2.1 Function tính ma trận k m tính theo mơ hình Voigt function [k,m]=KeMe_Voigt_c3(HH,VL,nG,nx,nz,ne) % Stiffness and mas matrices using enrichment % Sinusoidal theory and Voigt model % Element nodal vector with 22 d.o.f % nG - so diem Gauss % HH=[le h0 h1 h2 h3 b A I LT h nel]; % VL=[E1 E2 E3 G1 G2 G3 ro1 ro2 ro3 psi nu]; % ne- element number ne 136 le=HH(1);h0=HH(2);h1=HH(3); h2=HH(4);h3=HH(5);b=HH(6); L=HH(9);h=HH(10); E1=VL(1);E2=VL(2);E3=VL(3); ro1=VL(7);ro2=VL(8);ro3=VL(9); [PT2,WT2] = GaussRule(nG); Ke1=zeros(22,22); Ke2=zeros(22,22); Ke3=zeros(22,22); Me1=zeros(22,22); Me2=zeros(22,22); Me3=zeros(22,22); % Determinant of Jacobian matrix det1=0.25*le*(h1-h0); det2=0.25*le*(h2-h1); det3=0.25*le*(h3-h2); for i=1:nG r=PT2(i); x=le*(1+r)/2; % Phep doi can theo phuong x x1=(ne-1)*le+x; %x V tinh tu dau trai dam for j=1:nG t=PT2(j); z1=(h1+h0)/2 + (h1-h0)*t/2; %Doi can in [h0,h1] z2=(h2+h1)/2 + (h2-h1)*t/2; %Doi can in [z1,z2] z3=(h3+h2)/2 + (h3-h2)*t/2; %Doi can in [z2,z3] %EL1,EL2,EL3: E tren lop 1,2,3 [EL1,E12,E13]=pro(z1,x1,E1,E2,E3,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); [E21,EL2,E23]=pro(z2,x1,E1,E2,E3,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); [E31,E32,EL3]=pro(z3,x1,E1,E2,E3,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); % below matrix k [hsE1,hsT1]=hesoKeTe_Voigt(x,z1,VL,HH); [hsE2,hsT2]=hesoKeTe_Voigt(x,z2,VL,HH); [hsE3,hsT3]=hesoKeTe_Voigt(x,z3,VL,HH); Ke1=Ke1 + WT2(i)*WT2(j)*EL1*hsE1*det1; 137 Ke2=Ke2 + WT2(i)*WT2(j)*EL2*hsE2*det2; Ke3=Ke3 + WT2(i)*WT2(j)*EL3*hsE3*det3; k = b*(Ke1 + Ke2 + Ke3); % below matrix m %roL1,roL2,roGL3: mass density of layers 1,2,3 [roL1,ro12,ro13]=pro(z1,x1,ro1,ro2,ro3,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); [ro21,roL2,ro23]=pro(z2,x1,ro1,ro2,ro3,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); [ro31,ro32,roL3]=pro(z3,x1,ro1,ro2,ro3,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); Me1=Me1+WT2(i)*WT2(j)*roL1*hsT1*det1; Me2=Me2+WT2(i)*WT2(j)*roL2*hsT2*det2; Me3=Me3+WT2(i)*WT2(j)*roL3*hsT3*det3; m=b*(Me1 + Me2 + Me3); end end Matlab function tính hệ số "hsE" "hsT" function tính k m theo mơ hình Voigt function [hsE,hsT]=hesoKeTe_Voigt(x,z,VL,HH) % HH=[le h0 h1 h2 h3 b A I L h] % VL=[E1 E2 E3 G1 G2 G3 ro1 ro2 ro3 psi nu]; nu=VL(11);le=HH(1);h=HH(10); xi=2*x/le-1; % below shape functions for u N0=(le-x)/le; N1=x/le; N2=1/2*sqrt(3/2)*(xi^2-1); N3=1/2*sqrt(5/2)*(xi^2-1)*xi; N4=1/8*sqrt(7/2)*(xi^2-1)*(5*xi^2-1); N5=1/8*sqrt(9/2)*(xi^2-1)*(7*xi^2-3)*xi; Nu=[N0 zeros(1,4) N2 N3 N4 N5 zeros(1,8) N1 zeros(1,4)]; 138 % below shape functions for Wb H0=1-3*x^2/le^2+2*x^3/le^3; H1=x-2*x^2/le+x^3/le^2; H2=3*x^2/le^2-2*x^3/le^3; H3=-x^2/le+x^3/le^2; H4=sqrt(5/128)*(1-xi^2)^2; H5=sqrt(7/128)*(1-xi^2)^2*xi; H6=1/6*sqrt(9/128)*(1-xi^2)^2*(-7*xi^2+1); H7=1/2*sqrt(11/128)*(1-xi^2)^2*(3*xi^2-1)*xi; Nwb = [0 H0 H1 zeros(1,6) H4 H5 H6 H7 zeros(1,5) H2 H3 zeros(1,2)]; % 22 d.o.f Nws = [zeros(1,3) H0 H1 zeros(1,8) H4 H5 H6 H7 zeros(1,3) H2 H3]; % 22 d.o.f % -xi1=2/le; % Derivative of Nu respect to x N0x=-1/le; N1x=1/le; N2x=1/2*sqrt(3/2)*2*xi1*xi; N3x=1/2*sqrt(5/2)*xi1*(3*xi^2-1); N4x=1/8*sqrt(7/2)*xi1*(20*xi^3-12*xi); N5x=1/8*sqrt(9/2)*xi1*(35*xi^4-30*xi^2+3); Nux=[N0x zeros(1,4) N2x N3x N4x N5x zeros(1,8) N1x zeros(1,4)]; % 22 d.o.f % Dao ham bac nhat ham dang Nwb theo x H0x=-6*x/le^2+6*x^2/le^3; H1x=1-4*x/le+3*x^2/le^2; H2x=6*x/le^2-6*x^2/le^3; H3x=-2*x/le+3*x^2/le^2; H4x=-4*sqrt(5/128)*xi1*xi*(1-xi^2); H5x=sqrt(7/128)*xi1*(5*xi^4-6*xi^2+1); H6x=1/6*sqrt(9/128)*xi1*(-42*xi^5+60*xi^3-18*xi); 139 H7x=1/2*sqrt(11/128)*xi1*(21*xi^6-35*xi^4+15*xi^2-1); Nwbx=[0 H0x H1x zeros(1,6) H4x H5x H6x H7x zeros(1,5) H2x H3x zeros(1,2)]; % 22 d.o.f Nwsx=[zeros(1,3) H0x H1x zeros(1,8) H4x H5x H6x H7x zeros(1,3) H2x H3x]; % 22 d.o.f % -% second order derivative of Nwb respect to x H0xx=-6/le^2+12*x/le^3; H1xx=-4/le+6*x/le^2; H2xx=6/le^2-12*x/le^3; H3xx=-2/le+6*x/le^2; H4xx=-4*sqrt(5/128)*xi1^2*(1-3*xi^2); H5xx=sqrt(7/128)*xi1^2*(20*xi^3-12*xi); H6xx=1/6*sqrt(9/128)*xi1^2*(-210*xi^4+180*xi^2-18); H7xx=1/2*sqrt(11/128)*xi1^2*(126*xi^5-140*xi^3+30*xi); Nwbxx=[0 H0xx H1xx zeros(1,6) H4xx H5xx H6xx H7xx zeros(1,5) H2xx H3xx zeros(1,2)]; % 22 d.o.f Nwsxx=[zeros(1,3) H0xx H1xx zeros(1,8) H4xx H5xx H6xx H7xx zeros(1,3) H2xx H3xx]; % 22 d.o.f % fz=-z+(h/pi)*sin(pi*z/h); gz=-1+cos(pi*z/h); % Sinusoidal theory hsE=Nux’*Nux+z^2*Nwbxx’*Nwbxx+fz^2*Nwsxx’*Nwsxx -z*Nux’*Nwbxx-z*Nwbxx’*Nux+fz*Nux’*Nwsxx +fz*Nwsxx’*Nux-z*fz*Nwbxx’*Nwsxx-z*fz*Nwsxx’*Nwbxx +(1+gz)^2/(2*(1+nu))*Nwsx’*Nwsx; hsT=Nu’*Nu+z^2*Nwbx’*Nwbx+fz^2*Nwsx’*Nwsx-z*Nu’*Nwbx -z*Nwbx’*Nu+fz*Nu’*Nwsx+fz*Nwsx’*Nu-z*fz*Nwbx’*Nwsx -z*fz*Nwsx’*Nwbx+Nwb’*Nwb+Nws’*Nws+Nwb’*Nws+Nws’*Nwb; 140 A2.2 Function tính ma trận k m tính theo mơ hình Maxwell function [k,m]=KeMesandwichbeam_MoriT(HH,VL,nG,nx,nz,ne) % Stiffness and mass matrices using enrichment % Sinusoidal theory with Maxwell m odel % nG - number of Gauss points % HH=[le h0 h1 h2 h3 b A I LT h nel]; % VL=[E1 E2 E3 G1 G2 G3 ro1 ro2 ro3 psi nu1 nu2 nu3]; % ne- element number ne le=HH(1);h0=HH(2);h1=HH(3); h2=HH(4);h3=HH(5);b=HH(6); L=HH(9);h=HH(10); E1=VL(1);E2=VL(2);E3=VL(3); ro1=VL(7);ro2=VL(8);ro3=VL(9); [PT2,WT2] = GaussRule(nG); Ke1=zeros(22,22); Ke2=zeros(22,22); Ke3=zeros(22,22); Me1=zeros(22,22); Me2=zeros(22,22); Me3=zeros(22,22); % Determinant of Jacobian matrix det1=0.25*le*(h1-h0);det2=0.25*le*(h2-h1);det3=0.25*le*(h3-h2); for i=1:nG r=PT2(i); x=le*(1+r)/2; % change integral in x direction x1=(ne-1)*le+x; % x in potential V for j=1:nG t=PT2(j); z1=(h1+h0)/2 + (h1-h0)*t/2; % change integrals limits z2=(h2+h1)/2 + (h2-h1)*t/2; % Change integrals limits z3=(h3+h2)/2 + (h3-h2)*t/2; % Change integrals limits % EL1,EL2,EL3; nuL1,nuL2,nuL3: E and nu of layers 1,2,3 [V11,V21,V31]=V123_layer1_MoriT(z1,x1,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); 141 %V1,V2,V3 on Layer [V12,V22,V32]=V123_layer2_MoriT(z2,x1,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); [V13,V23,V33]=V123_layer3_MoriT(z3,x1,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); [EL1,nuL1]=Enu_MoriT(V11,V21,V31,VL); [EL2,nuL2]=Enu_MoriT(V12,V22,V32,VL); [EL3,nuL3]=Enu_MoriT(V13,V23,V33,VL); % below matrix k [hsE1,hsT1]=hesoKeTe_MoriT(x,z1,nuL1,HH); [hsE2,hsT2]=hesoKeTe_MoriT(x,z2,nuL2,HH); [hsE3,hsT3]=hesoKeTe_MoriT(x,z3,nuL3,HH); Ke1=Ke1 + WT2(i)*WT2(j)*EL1*hsE1*det1; Ke2=Ke2 + WT2(i)*WT2(j)*EL2*hsE2*det2; Ke3=Ke3 + WT2(i)*WT2(j)*EL3*hsE3*det3; k = b*(Ke1 + Ke2 + Ke3); % below matrix m % roL1,roL2,roGL3: ro of layers 1,2,3 [roL1,ro12,ro13]=pro(z1,x1,ro1,ro2,ro3, h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); [ro21,roL2,ro23]=pro(z2,x1,ro1,ro2,ro3, h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); [ro31,ro32,roL3]=pro(z3,x1,ro1,ro2,ro3, h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); Me1=Me1+WT2(i)*WT2(j)*roL1*hsT1*det1; Me2=Me2+WT2(i)*WT2(j)*roL2*hsT2*det2; Me3=Me3+WT2(i)*WT2(j)*roL3*hsT3*det3; m=b*(Me1 + Me2 + Me3); end end 142 Matlab function tính hệ số "hsE" "hsT" function tính k m theo mơ hình Maxwell function [hsE,hsT]=hesoKeTe_MoriT(x,z,nu,HH) % HH=[le h0 h1 h2 h3 b A I L h] le=HH(1); h=HH(10); xi=2*x/le-1; % % change variable below shape functions for u N0=(le-x)/le; N1=x/le; N2=1/2*sqrt(3/2)*(xi^2-1); N3=1/2*sqrt(5/2)*(xi^2-1)*xi; N4=1/8*sqrt(7/2)*(xi^2-1)*(5*xi^2-1); N5=1/8*sqrt(9/2)*(xi^2-1)*(7*xi^2-3)*xi; Nu=[N0 zeros(1,4) N2 N3 N4 N5 zeros(1,8) N1 zeros(1,4)]; % below shape functions for w H0=1-3*x^2/le^2+2*x^3/le^3; H1=x-2*x^2/le+x^3/le^2; H2=3*x^2/le^2-2*x^3/le^3; H3=-x^2/le+x^3/le^2; H4=sqrt(5/128)*(1-xi^2)^2; H5=sqrt(7/128)*(1-xi^2)^2*xi; H6=1/6*sqrt(9/128)*(1-xi^2)^2*(-7*xi^2+1); H7=1/2*sqrt(11/128)*(1-xi^2)^2*(3*xi^2-1)*xi; Nwb = [0 H0 H1 zeros(1,6) H4 H5 H6 H7 zeros(1,5) H2 H3 zeros(1,2)]; % 22 d.o.f Nws = [zeros(1,3) H0 H1 zeros(1,8) H4 H5 H6 H7 zeros(1,3) H2 H3]; % 22 d.o.f % xi1=2/le; % Derivative of Nu respect to x