Phân tích dao động dầm, tấm sandwich 2D-FGM hai và ba pha bằng phương pháp phần tử hữu hạn.

Phân tích dao động dầm, tấm sandwich 2D-FGM hai và ba pha bằng phương pháp phần tử hữu hạn.Phân tích dao động dầm, tấm sandwich 2D-FGM hai và ba pha bằng phương pháp phần tử hữu hạn.Phân tích dao động dầm, tấm sandwich 2D-FGM hai và ba pha bằng phương pháp phần tử hữu hạn.Phân tích dao động dầm, tấm sandwich 2D-FGM hai và ba pha bằng phương pháp phần tử hữu hạn.Phân tích dao động dầm, tấm sandwich 2D-FGM hai và ba pha bằng phương pháp phần tử hữu hạn.Phân tích dao động dầm, tấm sandwich 2D-FGM hai và ba pha bằng phương pháp phần tử hữu hạn.Phân tích dao động dầm, tấm sandwich 2D-FGM hai và ba pha bằng phương pháp phần tử hữu hạn.Phân tích dao động dầm, tấm sandwich 2D-FGM hai và ba pha bằng phương pháp phần tử hữu hạn.Phân tích dao động dầm, tấm sandwich 2D-FGM hai và ba pha bằng phương pháp phần tử hữu hạn.Phân tích dao động dầm, tấm sandwich 2D-FGM hai và ba pha bằng phương pháp phần tử hữu hạn.Phân tích dao động dầm, tấm sandwich 2D-FGM hai và ba pha bằng phương pháp phần tử hữu hạn.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Phạm Vũ Nam PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG DẦM, TẤM SANDWICH 2D-FGM HAI VÀ BA PHA BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Phạm Vũ Nam PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG DẦM, TẤM SANDWICH 2D-FGM HAI VÀ BA PHA BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 52 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Nguyễn Đình Kiên TS Nguyễn Văn Chình Hà Nội - 2022 LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cúu cua tơi Các so li¾u ket qua đưoc trình bày Lu¾n án trung thnc chưa tùng đưoc công bo bat kỳ m®t cơng trình trưóc Nghiên cúu sinh Pham Vũ Nam i LèI CÂM ƠN Lòi đau tiên xin chân thành cam ơn sâu sac đen thay hưóng dan t¾n tình hưóng dan, đ%nh hưóng v luụn ung hđ, giỳp tụi hon thnh luắn án Tôi xin cam ơn thành viên nhóm nghiên cúu có nhung chia se kinh nghi¾m, giúp đõ, đ®ng viên tơi q trình nghiên cúu đe hồn thành lu¾n án Trong q trình thnc hi¾n lu¾n án, tơi nh¾n đưoc rat nhieu sn giúp đõ, tao đieu ki¾n cua t¾p the Lãnh đao, nhà khoa HQC, cán b®, chuyên viên cua HQC vi¾n Khoa HQC Cơng ngh¾; t¾p the Ban lãnh ao, cỏn bđ Viắn C HQC, Viắn hn lõm Khoa HQC Cơng ngh¾ Vi¾t Nam Tơi xin bày to lòng cam ơn chân thành ve nhung sn giúp đõ Tơi xin bày to sn biet ơn sâu sac đen nhung ngưịi thân gia đình chia se, đng viờn, giỳp e tụi hon thnh luắn ỏn Tác gia lu¾n án Pham Vũ Nam ii Mnc lnc Danh mnc ký hi¾u chĐ viet tat vi Danh sách hình ve x Danh sách bang xiv Me đau .1 Chương Tong quan 1.1 V¾t li¾u có tính bien thiên .6 1.2 Dao đ®ng tn cua dam FGM .8 1.2.1.Dam FGM có tính bien đoi ngang 1.2.2.Dam FGM có tính bien đoi DQC 11 1.2.3.Dam 2D-FGM 12 1.3 Dao đ®ng tn cua dam sandwich FGM 13 1.4 Dam FGM dam sandwich FGM ch%u tai TRQNG di đ®ng 15 1.5 Dao đ®ng cua tam FGM 16 1.6 Phân tích tam sandwich FGM .17 1.7 Phân tích tam 2D-FGM 19 1.8 Tình hình nghiên cúu nưóc .19 1.9 Đ%nh hưóng nghiên cúu 21 Chương Dam sandwich 2D-FGM hai pha 24 2.1 Mơ hình dam sandwich 2D-FGM hai pha .24 2.2 Tính chat hi¾u dnng cua v¾t li¾u FGM hai pha 25 2.3 Trưòng chuyen v% theo lý thuyet bien dang trưot b¾c ba .27 2.4 Trưòng bien dang úng suat 27 2.5 Năng lưong bien dang đàn hoi 28 2.6 Đ®ng 28 2.7 The cua lnc đieu hịa di đ®ng 29 2.8 Phương trình vi phân chuyen đ®ng cua dam hai pha .29 iii 2.9 Mơ hình phan tu huu han cho dam hai pha 30 2.10 Ma trắn đ cỳng v ma trắn khoi lưong phan tu 31 2.11 Vec-tơ lnc nút cua lnc đieu hòa di đ®ng .33 2.12 Phương trình chuyen đ®ng dang rịi rac 34 2.13 Thu¾t tốn so 34 2.14 Ket qua so thao lu¾n 36 2.14.1 Nghiên cúu kiem chúng 36 2.14.2 Tan so dao đ®ng riêng 40 2.14.3 Đáp úng đ®ng lnc HQC 44 Chương Dam sandwich 2D-FGM ba pha 55 3.1 Mô hình dam sandwich 2D-FGM ba pha .55 3.2 Tính chat hi¾u dnng cua v¾t li¾u FGM ba pha 56 3.3 Trưòng chuyen v% theo lý thuyet bien dang trưot lưong giác .58 3.4 Các thành phan bien dang úng suat 58 3.5 Năng lưong bien dang đàn hoi 59 3.6 Đ®ng 59 3.7 The cua khoi lưong di đ®ng 60 3.8 Phương trình vi phân chuyen đ®ng cua dam ba pha 60 3.9 Mơ hình phan tu huu han cho dam ba pha 61 3.9.1.Trưịng n®i suy làm giàu 61 3.9.2.Ma trắn đ cỳng phan tu .63 3.9.3.Ma tr¾n khoi lưong phan tu 65 3.9.4.Phan tu khoi lưong di đ®ng véc-tơ lnc nút 67 3.9.5.Phương trình chuyen đ®ng dang rịi rac 68 3.10 Ket qua so thao lu¾n 69 3.10.1 .Nghiên cúu kiem chúng h®i tn 69 3.10.2 Tan so dao đ®ng tn 73 3.10.3 Đáp úng đ®ng lnc HQC 78 Chương Dao đ®ng tN cua tam sandwich 2D-FGM ba pha 87 4.1 Mơ hình tam sandwich 2D-FGM ba pha 87 4.2 Trưòng chuyen v% theo lý thuyet Mindlin 89 4.3 Trưòng bien dang úng suat 89 4.4 Các bieu thúc lưong 90 4.5 Phương trình vi phân chuyen đ®ng cua tam ba pha .91 4.6 Phan tu tam Q9 vói n®i suy liên ket .92 4.6.1.Phương pháp n®i suy liên ket 92 4.6.2.Ma tr¾n đ® cúng phan tu tam Q9 95 4.6.3.Ma tr¾n khoi lưong phan tu tam Q9 96 4.7 Phương trình chuyen đ®ng dang rịi rac 98 4.8 Ket qua so thao lu¾n 98 4.8.1.Nghiên cúu kiem chúng 99 4.8.2.Ket qua so 101 4.8.2.1 Ânh hưong cua sn phân bo v¾t li¾u 101 4.8.2.2 Ânh hưong cua mơ hình đong nhat hóa v¾t li¾u 104 4.8.2.3 Ânh hưong cua tý so giua chieu dài chieu dày tam 107 4.8.2.4 Các dang dao đ®ng cua tam 108 Ket lu¾n kien ngh% 114 Danh mnc cơng trình liên quan téi lu¾n án 117 TÀI LIfiU THAM KHÂO 118 Phn Lnc 133 Danh mnc ký hi¾u chĐ viet tat Các kí hi¾u thơng thưèng a Chieu dài tam A Di¾n tích tiet di¾n ngang cua dam Ai j , Bi j,Ci j , Di j Cỏc hắ so đ cỳng cua dam hoắc tam b Chieu rđng cua dam hoắc tam Dd Tham so đ®ng lnc HQC F0 Biên đ® lnc di đ®ng đieu hịa E f (x, z) Mơ-đun đàn hoi hi¾u dnng G f (x, z) Mơ-đun trưot hi¾u dnng ν f (x, z) H¾ so Poisson hi¾u dnng Gc Mơ-đun trưot cua gom Gm Mô-đun trưot cua kim loai h Chieu cao cua dam ho¾c tam I Mơ-men qn tính b¾c hai thiet di¾n ngang cua dam Ii j (i j = 6) Mô-men khoi lưong cua dam Ji j (i j = 1, 2) Mô-men khoi lưong cua tam Kf Mơ-đun khoi hi¾u dnng Kc Mơ-đun khoi cua gom Km Mô-đun khoi cua kim loai l Chieu dài phan tu dam L Chieu dài dam m Khoi lưong di đng NE So phan tu rũi rac dam hoắc tam nx Tham so v¾t li¾u theo chieu dài nz Tham so v¾t li¾u theo chieu cao P1 Tính chat v¾t li¾u cua v¾t li¾u M1 P2 Tính chat v¾t li¾u cua v¾t li¾u M2 vi P3 Tính chat v¾t li¾u cua v¾t li¾u M3 Pf Tính chat hi¾u dnng Pc Tính chat v¾t li¾u cua gom Pm Tính chat v¾t li¾u cua kim loai u1 Chuyen v% cua điem cua dam, tam theo phương trnc x u2 Chuyen v% cua tam theo phương trnc y u3 Chuyen v% ngang cua điem dam, tam T Đ®ng cua dam ho¾c tam U Năng lưong bien dang đàn hoi cua dam, tam v Vắn toc cua tai TRQNG di đng V The cua tai TRQNG di đ®ng V The tích cua dam ho¾c tam V1, V2, V3 Tý phan the tích cua v¾t li¾u M1, M2, M3 Vc Tý phan the tích cua gom Vm Tý phan the tích cua kim loai rm Tý so khoi lưong w(x, z, t) Chuyen v% ngang cua điem thu®c dam wb(x, t) Thành phan uon cua chuyen v% ngang cua dam ws(x, t) Thành phan trưot cua chuyen v% ngang cua dam w(L/2, t) Đ® võng đ®ng lnc HQC tai giua dam Véc-tơ ma tr¾n C Ma tr¾n can tong the Cm Ma tr¾n can tong the sinh tù khoi lưong di đ®ng D Véc-tơ chuyen v% nút tong the D Vộc-t vắn toc nỳt tong the Dă Vộc-t gia toc nút tong the d Véc-tơ chuyen v% nút cua phan tu dam E1, E2, E3 Mô-đun đàn hoi cua v¾t li¾u M1, M2, Ec Em M3 Mơ-đun đàn hoi cua gom F Mô-đun đàn hoi cua kim loai Véc-tơ lnc nút tong the fex Véc-tơ tai TRQNG nút phan tu fm Véc-tơ lnc nút phan tu sinh tự khoi long di đng H Ma trắn cỏc hm dang Hermite K Ma trắn đ cỳng tong the Km Ma trắn đ cỳng tong the sinh tự khoi long di đng Ma trắn đ cỳng phan tu k km M Ma trắn đ cỳng phan tu sinh tự khoi long di đng Ma trắn khoi long tong the N Ma tr¾n khoi lưong tong the sinh tự khoi long di đng Ma trắn cỏc hm dang tuyen tính m Ma tr¾n khoi lưong phan tu mm Ma tr¾n khoi lưong sinh tù khoi lưong di đ®ng Mm ChĐ Hy Lap ∆t Bưóc thịi gian ∆T Tong thòi gian đe tai TRQNG het chieu dài dam εxx Bien dang DQC trnc theo phương trnc x εzz Bien dang theo phương trnc z γxz Bien dang trưot m¾t phang (x, z) γyz Bien dang trot mắt phang (y, z) à1 Tham so tan so ban µi Tham so tan so thú i cua dam, tam ω1 Tan so dao đ®ng ban ωi Tan so dao đ®ng tn nhiên thú i cua dam, tam 1, 2, Mắt đ khoi cua v¾t li¾u M1, M2, M3 PHU LUC A1 Matlab function tớnh ma trắn đ cNng v ma trắn khoi lưeng phan tN dam Chương Mnc li¾t kê cỏc lắnh Mablab function tớnh ma trõn đ cỳng k ma tr¾n khoi lưong m cua phan tu dam xây dnng trong mnc 2.10, trang 31 [k,m]=KeMe_c2(Model,HH,VL,nG,nx,nz,ne) % Element stiffnes and mass matrices in Chapter % nG - number of Gauss points % le - element length % HH=[le h0 h1 h2 h3 b A I LT h nel] % VL=[E1 E2 G1 G2 ro1 ro2 nu1 nu2]; % ne- element number le=HH(1);h0=HH(2);h1=HH(3);h2=HH(4); h3=HH(5);b=HH(6);L=HH(9); E1=VL(1);E2=VL(2); ro1=VL(5);ro2=VL(6); nu1=VL(7);nu2=VL(8); [PT2,WT2]=GaussRule(nG); %[calling Gauss point and weights] Ke1=zeros(10,10); Ke2=zeros(10,10); Ke3=zeros(10,10); Me1=zeros(10,10); Me2=zeros(10,10); Me3=zeros(10,10); % Below determinant of Jacobian matrix det1=0.25*le*(h1-h0); det2=0.25*le*(h2-h1); det3=0.25*le*(h3-h2); 133 for i=1:nG r=PT2(i); x=le*(1+r)/2; % in x direction x1=(ne-1)*le+x; % x measured from beam left end for j=1:nG t=PT2(j); z1=(h1+h0)/2 + (h1-h0)*t/2; % in [h0,h1] z2=(h2+h1)/2 + (h2-h1)*t/2; % in [h1,h2] z3=(h3+h2)/2 + (h3-h2)*t/2; %in [h2,h3] % V1, V2 of layers 1,2,3 hs=(1-x1/(2*L))^nx; V21=((z1-h1)/(h0-h1))^nz*hs; V11=1-V21; V22=0; V12=1-V22; V23=((z3-h2)/(h3-h2))^nz*hs; V13=1-V23; % switch Model case %Voigt model % EL1,EL2,EL3: E of layers 1,2,3 EL1=E1*V11+E2*V21; EL2=E1*V12+E2*V22; EL3=E1*V13+E2*V23; % nuL1,nuL2,nuL3: G layers 1,2,3 nuL1=nu1*V11+nu2*V21; nuL2=nu1*V12+nu2*V22; nuL3=nu1*V13+nu2*V23; % roL1,roL2,roL3: ro layers 1,2,3 roL1=ro1*V11+ro2*V21; roL2=ro1*V12+ro2*V22; roL3=ro1*V13+ro2*V23; case % Mori-Tanaka scheme [EL1,nuL1]=Enu_MoriT(V11,VL); [EL2,nuL2]=Enu_MoriT(V12,VL); [EL3,nuL3]=Enu_MoriT(V13,VL); % roL1,roL2,roL3: layers 1,2,3 roL1=ro1*V11+ro2*V21; roL2=ro1*V12+ro2*V22; roL3=ro1*V13+ro2*V23; otherwise disp(’NOT CONSIDER.’) end % below stiffness matrix k [hsE1,hsT1]=hesoKeTe(x,z1,nuL1,HH); [hsE2,hsT2]=hesoKeTe(x,z2,nuL2,HH); [hsE3,hsT3]=hesoKeTe(x,z3,nuL3,HH); Ke1=Ke1 + WT2(i)*WT2(j)*EL1*hsE1*det1; + Ke2=Ke2 WT2(i)*WT2(j)*EL2*hsE2*det2; Ke3=Ke3 + WT2(i)*WT2(j)*EL3*hsE3*det3; k= b*(Ke1 + Ke2 +Ke3); % below mass matrix m Me1=Me1+WT2(i)*WT2(j)*roL1*hsT1*det1; Me2=Me2+WT2(i)*WT2(j)*roL2*hsT2*det2; Me3=Me3+WT2(i)*WT2(j)*roL3*hsT3*det3; m=b*(Me1 + Me2 + Me3); end A2 Matlab function tớnh ma trắn đ cNng ma tr¾n khoi lưeng phan tN dam Chương Mnc li¾t kê l¾nh cua Mablab function tính ma trắn đ cỳng phan tu k Mnc 3.9.2 trang 63 ma tr¾n khoi lưong phan tu m Mnc 3.9.3, trang 65 A2.1 Function tính ma tr¾n k m tính theo mơ hình Voigt function [k,m]=KeMe_Voigt_c3(HH,VL,nG,nx,nz,ne) % Stiffness and mas matrices using enrichment % Sinusoidal theory and Voigt model % Element nodal vector with 22 d.o.f % nG - so diem Gauss % HH=[le h0 h1 h2 h3 b A I LT h nel]; % VL=[E1 E2 E3 G1 G2 G3 ro1 ro2 ro3 psi nu]; % ne- element number ne le=HH(1);h0=HH(2);h1=HH(3); h2=HH(4);h3=HH(5);b=HH(6); L=HH(9);h=HH(10); E1=VL(1);E2=VL(2);E3=VL(3); ro1=VL(7);ro2=VL(8);ro3=VL(9); [PT2,WT2] = GaussRule(nG); Ke1=zeros(22,22); Ke2=zeros(22,22); Ke3=zeros(22,22); Me1=zeros(22,22); Me2=zeros(22,22); Me3=zeros(22,22); % Determinant of Jacobian matrix det1=0.25*le*(h1-h0); det2=0.25*le*(h2-h1); det3=0.25*le*(h3-h2); for i=1:nG r=PT2(i); x=le*(1+r)/2; % Phep doi can theo phuong x x1=(ne-1)*le+x; %x V tinh tu dau trai dam for j=1:nG t=PT2(j); z1=(h1+h0)/2 + (h1-h0)*t/2; %Doi can in [h0,h1] z2=(h2+h1)/2 + (h2-h1)*t/2; %Doi can in [z1,z2] z3=(h3+h2)/2 + (h3-h2)*t/2; %Doi can in [z2,z3] %EL1,EL2,EL3: E tren lop 1,2,3 [EL1,E12,E13]=pro(z1,x1,E1,E2,E3,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); [E21,EL2,E23]=pro(z2,x1,E1,E2,E3,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); [E31,E32,EL3]=pro(z3,x1,E1,E2,E3,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); % below matrix k [hsE1,hsT1]=hesoKeTe_Voigt(x,z1,VL,HH); [hsE2,hsT2]=hesoKeTe_Voigt(x,z2,VL,HH); [hsE3,hsT3]=hesoKeTe_Voigt(x,z3,VL,HH); Ke1=Ke1 + WT2(i)*WT2(j)*EL1*hsE1*det1; Ke2=Ke2 + WT2(i)*WT2(j)*EL2*hsE2*det2; Ke3=Ke3 + WT2(i)*WT2(j)*EL3*hsE3*det3; k = b*(Ke1 + Ke2 + Ke3); % below matrix m %roL1,roL2,roGL3: mass density of layers 1,2,3 [roL1,ro12,ro13]=pro(z1,x1,ro1,ro2,ro3,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); [ro21,roL2,ro23]=pro(z2,x1,ro1,ro2,ro3,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); [ro31,ro32,roL3]=pro(z3,x1,ro1,ro2,ro3,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); Me1=Me1+WT2(i)*WT2(j)*roL1*hsT1*det1; Me2=Me2+WT2(i)*WT2(j)*roL2*hsT2*det2; Me3=Me3+WT2(i)*WT2(j)*roL3*hsT3*det3; m=b*(Me1 + Me2 + Me3); end end Matlab function tính h¾ so "hsE" "hsT" function tính k m theo mơ hình Voigt function [hsE,hsT]=hesoKeTe_Voigt(x,z,VL,HH) % HH=[le h0 h1 h2 h3 b A I L h] % VL=[E1 E2 E3 G1 G2 G3 ro1 ro2 ro3 psi nu]; nu=VL(11);le=HH(1);h=HH(10); xi=2*x/le-1; % below shape functions for u N0=(le-x)/le; N1=x/le; N2=1/2*sqrt(3/2)*(xi^2-1); N3=1/2*sqrt(5/2)*(xi^2-1)*xi; N4=1/8*sqrt(7/2)*(xi^2-1)*(5*xi^2-1); N5=1/8*sqrt(9/2)*(xi^2-1)*(7*xi^2-3)*xi; Nu=[N0 zeros(1,4) N2 N3 N4 N5 zeros(1,8) N1 zeros(1,4)]; % below shape functions for Wb H0=1-3*x^2/le^2+2*x^3/le^3; H1=x-2*x^2/le+x^3/le^2; H2=3*x^2/le^2-2*x^3/le^3; H3=-x^2/le+x^3/le^2; H4=sqrt(5/128)*(1-xi^2)^2; H5=sqrt(7/128)*(1-xi^2)^2*xi; H6=1/6*sqrt(9/128)*(1-xi^2)^2*(-7*xi^2+1); H7=1/2*sqrt(11/128)*(1-xi^2)^2*(3*xi^2-1)*xi; Nwb = [0 H0 H1 zeros(1,6) H4 H5 H6 H7 zeros(1,5) H2 H3 zeros(1,2)]; % 22 d.o.f Nws = [zeros(1,3) H0 H1 zeros(1,8) H4 H5 H6 H7 zeros(1,3) H2 H3]; % 22 d.o.f % -xi1=2/le; % Derivative of Nu respect to x N0x=-1/le; N1x=1/le; N2x=1/2*sqrt(3/2)*2*xi1*xi; N3x=1/2*sqrt(5/2)*xi1*(3*xi^2-1); N4x=1/8*sqrt(7/2)*xi1*(20*xi^3-12*xi); N5x=1/8*sqrt(9/2)*xi1*(35*xi^4-30*xi^2+3); Nux=[N0x zeros(1,4) N2x N3x N4x N5x zeros(1,8) N1x zeros(1,4)]; % 22 d.o.f % Dao ham bac nhat ham dang Nwb theo x H0x=-6*x/le^2+6*x^2/le^3; H1x=1-4*x/le+3*x^2/le^2; H2x=6*x/le^2-6*x^2/le^3; H3x=-2*x/le+3*x^2/le^2; H4x=-4*sqrt(5/128)*xi1*xi*(1-xi^2); H5x=sqrt(7/128)*xi1*(5*xi^4-6*xi^2+1); H6x=1/6*sqrt(9/128)*xi1*(-42*xi^5+60*xi^3-18*xi); H7x=1/2*sqrt(11/128)*xi1*(21*xi^6-35*xi^4+15*xi^2-1); Nwbx=[0 H0x H1x zeros(1,6) H4x H5x H6x H7x zeros(1,5) H2x H3x zeros(1,2)]; % 22 d.o.f Nwsx=[zeros(1,3) H0x H1x zeros(1,8) H4x H5x H6x H7x zeros(1,3) H2x H3x]; % 22 d.o.f % -% second order derivative of Nwb respect to x H0xx=-6/le^2+12*x/le^3; H1xx=-4/le+6*x/le^2; H2xx=6/le^2-12*x/le^3; H3xx=-2/le+6*x/le^2; H4xx=-4*sqrt(5/128)*xi1^2*(1-3*xi^2); H5xx=sqrt(7/128)*xi1^2*(20*xi^3-12*xi); H6xx=1/6*sqrt(9/128)*xi1^2*(-210*xi^4+180*xi^2-18); H7xx=1/2*sqrt(11/128)*xi1^2*(126*xi^5-140*xi^3+30*xi); Nwbxx=[0 H0xx H1xx zeros(1,6) H4xx H5xx H6xx H7xx zeros(1,5) H2xx H3xx zeros(1,2)]; % 22 d.o.f Nwsxx=[zeros(1,3) H0xx H1xx zeros(1,8) H4xx H5xx H6xx H7xx zeros(1,3) H2xx H3xx]; % 22 d.o.f % fz=-z+(h/pi)*sin(pi*z/h); gz=-1+cos(pi*z/h); % Sinusoidal theory hsE=Nux’*Nux+z^2*Nwbxx’*Nwbxx+fz^2*Nwsxx’*Nwsxx -z*Nux’*Nwbxx-z*Nwbxx’*Nux+fz*Nux’*Nwsxx +fz*Nwsxx’*Nux-z*fz*Nwbxx’*Nwsxx-z*fz*Nwsxx’*Nwbxx +(1+gz)^2/(2*(1+nu))*Nwsx’*Nwsx; hsT=Nu’*Nu+z^2*Nwbx’*Nwbx+fz^2*Nwsx’*Nwsx-z*Nu’*Nwbx -z*Nwbx’*Nu+fz*Nu’*Nwsx+fz*Nwsx’*Nu-z*fz*Nwbx’*Nwsx -z*fz*Nwsx’*Nwbx+Nwb’*Nwb+Nws’*Nws+Nwb’*Nws+Nws’*Nwb; 140 A2.2 Function tính ma tr¾n k m tính theo mơ hình Maxwell function [k,m]=KeMesandwichbeam_MoriT(HH,VL,nG,nx,nz,ne) % Stiffness and mass matrices using enrichment % Sinusoidal theory with Maxwell m odel % nG - number of Gauss points % HH=[le h0 h1 h2 h3 b A I LT h nel]; % VL=[E1 E2 E3 G1 G2 G3 ro1 ro2 ro3 psi nu1 nu2 nu3]; % ne- element number ne le=HH(1);h0=HH(2);h1=HH(3); h2=HH(4);h3=HH(5);b=HH(6); L=HH(9);h=HH(10); E1=VL(1);E2=VL(2);E3=VL(3); ro1=VL(7);ro2=VL(8);ro3=VL(9); [PT2,WT2] = GaussRule(nG); Ke1=zeros(22,22); Ke2=zeros(22,22); Ke3=zeros(22,22); Me1=zeros(22,22); Me2=zeros(22,22); Me3=zeros(22,22); % Determinant of Jacobian matrix det1=0.25*le*(h1-h0);det2=0.25*le*(h2-h1);det3=0.25*le*(h3-h2); for i=1:nG r=PT2(i); x=le*(1+r)/2; % change integral in x direction x1=(ne-1)*le+x; % x in potential V for j=1:nG t=PT2(j) ; z1=(h1+h0)/2 limits + (h1-h0)*t/2; z2=(h2+h1)/2 integrals limits + % change (h2-h1)*t/2; z3=(h3+h2)/2 + integrals % Change (h3-h2)*t/2; % Change integrals limits % EL1,EL2,EL3; nuL1,nuL2,nuL3: E and nu of layers 1,2,3 140 [V11,V21,V31]=V123_layer1_MoriT(z1,x1,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); %V1,V2,V3 on Layer [V12,V22,V32]=V123_layer2_MoriT(z2,x1,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); [V13,V23,V33]=V123_layer3_MoriT(z3,x1,h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); [EL1,nuL1]=Enu_MoriT(V11,V21,V31,VL); [EL2,nuL2]=Enu_MoriT(V12,V22,V32,VL); [EL3,nuL3]=Enu_MoriT(V13,V23,V33,VL); % below matrix k [hsE1,hsT1]=hesoKeTe_MoriT(x,z1,nuL1,HH); [hsE2,hsT2]=hesoKeTe_MoriT(x,z2,nuL2,HH); [hsE3,hsT3]=hesoKeTe_MoriT(x,z3,nuL3,HH); Ke1=Ke1 + WT2(i)*WT2(j)*EL1*hsE1*det1; + Ke2=Ke2 WT2(i)*WT2(j)*EL2*hsE2*det2; Ke3=Ke3 + WT2(i)*WT2(j)*EL3*hsE3*det3; k = b*(Ke1 + Ke2 + Ke3); % below matrix m % roL1,roL2,roGL3: ro of layers 1,2,3 [roL1,ro12,ro13]=pro(z1,x1,ro1,ro2,ro3, h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); [ro21,roL2,ro23]=pro(z2,x1,ro1,ro2,ro3, h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); [ro31,ro32,roL3]=pro(z3,x1,ro1,ro2,ro3, h0,h1,h2,h3,nz,nx,L); Me1=Me1+WT2(i)*WT2(j)*roL1*hsT1*det1; Me2=Me2+WT2(i)*WT2(j)*roL2*hsT2*det2; Me3=Me3+WT2(i)*WT2(j)*roL3*hsT3*det3; end m = b*(Me1 + Me2 + Me3); end Matlab function tính h¾ so "hsE" "hsT" function tính k m theo mơ hình Maxwell function [hsE,hsT]=hesoKeTe_MoriT(x,z,nu,HH) % HH=[le h0 h1 h2 h3 b A I L h] le=HH(1); h=HH(10); xi=2*x/le-1; % % change variable below shape functions for u N0=(le-x)/le; N1=x/le; N2=1/2*sqrt(3/2)*(xi^2-1); N3=1/2*sqrt(5/2)*(xi^2-1)*xi; N4=1/8*sqrt(7/2)*(xi^2-1)*(5*xi^2-1); N5=1/8*sqrt(9/2)*(xi^2-1)*(7*xi^2-3)*xi; Nu=[N0 zeros(1,4) N2 N3 N4 N5 zeros(1,8) N1 zeros(1,4)]; % below shape functions for w H0=1-3*x^2/le^2+2*x^3/le^3; H1=x-2*x^2/le+x^3/le^2; H2=3*x^2/le^2-2*x^3/le^3; H3=-x^2/le+x^3/le^2; H4=sqrt(5/128)*(1-xi^2)^2; H5=sqrt(7/128)*(1-xi^2)^2*xi; H6=1/6*sqrt(9/128)*(1-xi^2)^2*(-7*xi^2+1); H7=1/2*sqrt(11/128)*(1-xi^2)^2*(3*xi^2-1)*xi; Nwb = [0 H0 H1 zeros(1,6) H4 H5 H6 H7 zeros(1,5) H2 H3 zeros(1,2)]; % 22 d.o.f Nws = [zeros(1,3) H0 H1 zeros(1,8) H4 H5 H6 H7 zeros(1,3) H2 H3]; % 22 d.o.f % xi1=2/le; % Derivative of Nu respect to x N0x=-1/le; N1x=1/le; N2x=1/2*sqrt(3/2)*2*xi1*xi; N3x=1/2*sqrt(5/2)*xi1*(3*xi^2-1); N4x=1/8*sqrt(7/2)*xi1*(20*xi^3-12*xi); N5x=1/8*sqrt(9/2)*xi1*(35*xi^4-30*xi^2+3); Nux=[N0x zeros(1,4) N2x N3x N4x N5x zeros(1,8) N1x zeros(1,4)]; % 22 d.o.f % Derivative of Nwb respect to x H0x=-6*x/le^2+6*x^2/le^3; H1x=1-4*x/le+3*x^2/le^2; H2x=6*x/le^2-6*x^2/le^3; H3x=-2*x/le+3*x^2/le^2; H4x=-4*sqrt(5/128)*xi1*xi*(1-xi^2); H5x=sqrt(7/128)*xi1*(5*xi^4-6*xi^2+1); H6x=1/6*sqrt(9/128)*xi1*(-42*xi^5+60*xi^3-18*xi); H7x=1/2*sqrt(11/128)*xi1*(21*xi^6-35*xi^4+15*xi^2-1); Nwbx=[0 H0x H1x zeros(1,6) H4x H5x H6x H7x zeros(1,5) H2x H3x zeros(1,2)]; % 22 d.o.f % Derivative of Nws respect to x Nwsx=[zeros(1,3) H0x H1x zeros(1,8) H4x H5x H6x H7x zeros(1,3) H2x H3x]; % 22 d.o.f % Second order derivative of Nwb respect to H0xx=-6/le^2+12*x/le^3; H1xx=-4/le+6*x/le^2; H2xx=6/le^2-12*x/le^3; H3xx=-2/le+6*x/le^2; H4xx=-4*sqrt(5/128)*xi1^2*(1-3*xi^2); H5xx=sqrt(7/128)*xi1^2*(20*xi^3-12*xi); x H6xx=1/6*sqrt(9/128)*xi1^2*(-210*xi^4+180*xi^2-18); H7xx=1/2*sqrt(11/128)*xi1^2*(126*xi^5-140*xi^3+30*xi); Nwbxx=[0 H0xx H1xx zeros(1,6) H4xx H5xx H6xx H7xx zeros(1,5) H2xx H3xx zeros(1,2)]; % 22 d.o.f % Second order derivative of Nws respect to x Nwsxx=[zeros(1,3) H0xx H1xx zeros(1,8) H4xx H5xx H6xx H7xx zeros(1,3) H2xx H3xx]; % 22 d.o.f % -fz=-z+(h/pi)*sin(pi*z/h); gz=-1+cos(pi*z/h); % Sinusoidal Theory hsE=Nux’*Nux+z^2*Nwbxx’*Nwbxx+fz^2*Nwsxx’*Nwsxx -z*Nux’*Nwbxx-z*Nwbxx’*Nux+fz*Nux’*Nwsxx+fz*Nwsxx’*Nux -z*fz*Nwbxx’*Nwsxx-z*fz*Nwsxx’*Nwbxx +(1+gz)^2/(2*(1+nu))*Nwsx’*Nwsx; hsT=Nu’*Nu+z^2*Nwbx’*Nwbx+fz^2*Nwsx’*Nwsx -z*Nu’*Nwbx-z*Nwbx’*Nu+fz*Nu’*Nwsx+fz*Nwsx’*Nu -z*fz*Nwbx’*Nwsx-z*fz*Nwsx’*Nwbx+Nwb’*Nwb+Nws’*Nws +Nwb’*Nws+Nws’*Nwb; ...HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Phạm Vũ Nam PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG DẦM, TẤM SANDWICH 2D-FGM HAI VÀ BA PHA BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật... cHQN hop lý cho phân tích dao đ®ng cua dam, tam sandwich 2D-FGM Vì lý nêu trên, nghiên cúu sinh cHQN đe tài "Phân tích dao đ®ng dam, tam sandwich 2D-FGM hai ba pha bang phương pháp phan tu huu han"... Bang 4.3 Tham so tan so dao đ®ng ban cua tam sandwich 2D-FGM ba pha SSSS vói a/h = giá tr% khác cua hai tham so v¾t li¾u 102 Bang 4.4 Tham so tan so dao đ®ng ban cua tam sandwich 2D-FGM ba pha