Hoc sinh gioi 7 moi

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 TUYỂN CHỌN ĐỀ HSG LỚP (THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI) (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng năm 2023 Website:tailieumontoan.com UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GD&ĐT CẤU TRÚC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Mơn: TỐN - Lớp – Thời gian làm bài: 150 phút Câu Nội dung Tính tốn tập R Lũy thừa với số mũ nguyên Giá trị tuyệt đối số thực - Tính giá trị biểu thức - Tính tổng dãy số theo quy luật - So sánh số Điểm điểm Tỉ lệ thức, dãy tỉ số - Dạng tốn tỉ lệ thức (tìm thành phần chưa biết tỉ lệ thức, chứng minh tỉ lệ thức ) - Dạng toán đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch - Dạng tốn có lời văn, tốn có liên quan đến thực tế… Tốn Tìm x - Các dạng tốn tìm x (có chứa dấu giá trị tuyệt đối, lũy thừa, tìm số nguyên x, y )… Biểu thức đại số, nghiệm đa thức, giá trị biểu thức đại số - Tính giá trị biểu thức đại số - Thu gọn đơn thức, đa thức; tìm bậc, hệ số đa thức - Tìm nghiệm/nghiệm nguyên đa thức… Số học - Phép chia hết phép chia có dư, ước bội, chữ số tận số -Số nguyên tố, hợp số, số phương - Phương trình nghiệm nguyên… Tổ hợp, xác suất - Bài tốn tổ hợp (cơng thức cộng, cơng thức nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp) mức độ đơn giản - Xác suất biến cố ngẫu nhiên (mức độ đơn giản)… điểm Đường thẳng vuông góc, đường thẳng song song Tam giác, quan hệ yếu tố tam giác, đường đồng quy tam giác - Tính số đo góc, tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hai đường thẳng vng góc, song song, trùng - Các tập góc vị trí đặc biệt tia phân giác góc - Chứng minh hai tam giác nhau, hai đoạn thẳng nhau, hai góc - Chứng minh tam giác tam giác đặc biệt: cân, vng, - Vẽ thêm đường phụ, hình phụ - So sánh độ dài đoạn thẳng - Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học - Chứng minh đường đường đặc biệt tam giác, chứng minh quan hệ hình học khác - Chứng minh điểm thuộc đường thẳng, điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy - Bài toán giải vấn đề thực tiễn liên quan đến ứng dụng hình học… điểm Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 điểm điểm TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Hình học trực quan - Tính thể tích, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật, hình lập phương Các tốn tỉ số diện tích xung quanh, thể tích… - Tính diện tích đáy, chiều cao… - Các tốn thực tế hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ đứng tam giác, lăng trụ đứng tứ giác (chú trọng tốn thể tích, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần….)… - Chứng minh bất đẳng thức - Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức - Chia tỉ lệ - Ngun lí Dirichlet - Các tốn suy luận… điểm điểm Ghi chú: Trong câu không thiết phải hết nội dung quy định Đề thi hướng dẫn chấm gõ phông chữ Times New Roman cỡ chữ 12 (hoặc 13), Cơng thức tốn học chữ kí hiệu hình học gõ Mathtype Hình vẽ vẽ phần mềm vẽ Geogebra, GSP… Hướng dẫn chấm trình bầy chi tiết chia nhỏ đến 0,25 Đây cấu trúc đề thi để nộp cho ngân hàng đề thi HSG lớp cấp huyện, cịn đề thức thi HSG huyện HĐ đề số lượng câu hỏi phù hợp– thang điểm 20/20 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài:150 phút Đề thi gồm 05 câu, 02 trang Câu (4,0 điểm): Thực phép tính sau: 13  22  5.9 − 2.6 b) 23 + − − +   c) 10 5  23  + 8.20 1 1 1 1 Cho biểu thức: A = + + + + + + + + ⋅ 10 Chứng tỏ A < Câu (4,0 điểm): Tìm số x, y thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 4x = 5y x – y = a) 1+ 24 + 1− 25 Tìm x biết: 2024x − 1011x += 1012x + Câu (4,0 điểm): Cho đa thức A ( x ) = x + x + x  + + x 99 + x100 a) Chứng minh x = − nghiệm đa thức A ( x ) 2 Tìm tất cặp số nguyên x, y cho: 2xy + x − 2y = Có hai hộp, hộp chứa chíp đánh số 1, 2, Lấy ngẫu nhiên chíp hộp, sau lấy tích hai số đánh chíp Xác suất để tích chẵn bao nhiêu? Câu (6,0 điểm):  cắt AC D, tia phân giác Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác ABC b) Tính giá trị đa thức A ( x ) x =  cắt AB E Kẻ DH vng góc với BC H, EK vng góc với BC K ACB a) Chứng minh BA = BH BD AH ⊥ b) Chứng minh AB + AC = BC + HK c) Tính số đo góc HAK Hình bên mơ tả xe chở cát hai bánh mà thùng chứa có dạng lăng trụ đứng tam giác với kích thước cho hình Hỏi thùng chứa xe chở cát hai bánh tích bao nhiêu? Câu (2,0 điểm): Trên bảng có viết số từ đến 2021 Nam chọn xóa hai số số bảng ghi lên bảng số hiệu hai số Bạn thực hành động số bảng a) Nam thực lần hành động đó? b) Hỏi Nam nhận số cuối số hay khơng? Vì sao? y x z t Cho biểu thức M = với x, y, z, t số tự + + + x+y+z x+y+t y+z+t x+z+t nhiên khác Chứng minh M10 < 1025 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HDC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài:150 phút UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu Câu 1 (3,0 điểm) (4,0 điểm) Nội dung 0,5 16 24 + + −= 25 25 20 23 + = = + = 5 15 1+ 0,5 13  22  b) 23 + − − +   5  23  70 13 = + − − +1 5  70   13  =  −  −  −  + = 23 − + = 22  3  5 ( ) ( ) 2 32 − ( 2.3 ) 5.9 − 2.6 c) 10 = + 8.20 210.38 + ( 2.3 )8 2.5 = Câu (4,0 điểm) (1,0 điểm) 1 1 1 1 A= + + + + + + + + 2 10 1 1 1 1 ⇒A< + + + + + + + + 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 1 1 1 1 ⇒ A < − + − + − + + − 2 3 10 ⇒ A < 1− 10 ⇒A< 1011x+ + 1012x + = 2024x = > 2023x +5 = 2024x = > x = Vậy x = Câu (1,5 điểm) (4,0 điểm) a) Ta có: A(-1) = (-1)+ (-1)2 + (-1)3+ + (-1)99 + (-1)100 = - + + (-1) +1 +(-1) + (-1) + = ( có 50 số -1 50 số 1) Suy x = -1 nghiệm đa thức A(x) 1 1 1 b) + Với x= ta có A = + + + + 98 + 99 + 100 2 2 2 1 1 1 ( + + + + 98 + 99 + 100 ) ⇒ 2.A = 2 2 2 1 1 = + + + + + 98 + 99 2 2 1 1 1 ⇒ A =( + + + + 98 + 99 + 100 ) +1 - 100 2 2 2 1 ⇒ 2A = A + − 100 ⇒ A =1 − 100 2 (1,5 điểm) 2xy + x − 2y = ⇒ 2xy + x − 2y − = ⇒ x(2y + 1) − (2y + 1) = ⇒ (x − 1)(2y + 1) = 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Do x; y ∈  ⇒ (x − 1);(2y + 1) ∈  ⇒ (x − 1);(2y + 1) ∈ Ư(3)= {−3; − 1;1; 3} 0,25 Ta có bảng giá trị 0,5 x −1 x 2y+1 y -1 -3 -2 -3 -2 -1 -1 Đối chiếu điều kiện ta tìm (x; y) ∈ {(2;1);(0; −2);(4; 0);( −2; −1)} 0,25 (1,0 điểm) Cách Có cách bốc số là: (1,1) , (1, ) , (1, ) , ( 2,1) , ( 2, ) , ( 2, ) , ( 3,1) , ( 3, ) , ( 3, ) 0,5 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 0,5 Cách Cách để có tích sơ lẻ hộp phải lấy số lẻ 0,5 2 Khả lấy số lẻ × = ⋅ 3 0,5 Vậy khả để tích số lấy số chẵn − = 9 (4,0 điểm) Ta thấy có trường hợp có tích số chẵn nên khả xảy Câu (6,0 điểm) A D I E B 0,5 H K C a (1,5 điểm) Chứng minh ∆ BDA = ∆ BDH (ch- gn) ⇒ BA = BH (đpcm) Gọi I giao điểm BD AH, chứng minh ∆ BIA = ∆ BIH (cgc)  = BIH  (Tương ứng) ⇒ BIA  + BIH = Mà BIA 180 (Kề bù)   = BIH = 90 ⇒ BI ⊥ AH hay BD ⊥ AH (đpcm) ⇒ BIA b (1,0 điểm) Theo chứng minh ta có: AB = BH Chứng minh tương tự ta có: AC = CK ⇒ AB+AC = BH + CK = BK + KH + CK Vậy AB+AC = BC+HK (đpcm) c (1,5 điểm)   = 180 − ABC ∆ BAH cân B ⇒ BAH   = 180 − ACB ∆ CAK cân C ⇒ CAK   = BAC  + HAK  + CAK Mà BAH 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  180 − ACB  180 − ABC  ⇒ + = 90 + HAK 2 0   = 180 + 2HAK  ⇒ 180 − ABC + 180 − ACB  + ACB   ⇒ 3600 − ABC = 180 + 2HAK 0,25  ⇒ 2HAK  ⇒ 3600 − = 90 180 + 2HAK = 90  = 450 Vậy HAK 0,25 ( ) 0,25 (2,0 điểm) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 0,5 Ta biểu diễn thùng xe thành hình lăng trụ đứng tam giác hình vẽ với hai đáy ABC DEF, chiều cao đáy BH=50cm, độ dài cạnh bên BE=60cm đáy AC=80cm 0,75 1 Diện tích đáy thùng xe là: S = BH.AC = ⋅ 50 ⋅ 80 =2000 cm 2 0,75 Thể tích thùng xe là: = V S.h = 2000.60 = 120 000 cm ( ( ) ) Câu (1,0 điểm) (2,0 điểm) a, (0,5 điểm) Mỗi lần Nam xóa số bất kỳ, bạn ghi lại lên bảng số 0,5 hiệu số xóa Nên lượt, số số bảng giảm số Ban đầu có 2021 số, cần 2020 lần thực hành động để số bảng b, (0,5 điểm) Xét tổng A =1 = = + + 2021 Mỗi lần Nam thực hành động 0,5 tổng A thay đổi dấu biểu thức dấu cộng thành dấu trừ, từ dấu trừ thành dấu cộng Do sau thực số lần bất kì, tổng A phép tính cộng, trừ tất số từ đến 2019 Mà tổng S-2B S tổng số từ đến 2021, B tổng số xuất dấu trừ đằng trước Do tổng S lẻ nên tổng chữ số bảng thời điểm ln số lẻ Mà số chẵn nên khơng có cách thực hành động để số cuối 2 (1,0 điểm) 0,25 x x với x, y, z, t số tự nhiên khác 0, ta có: < x+y+z x+y y y t t z z ; ; < < < x+z+t z+t x+y+t x+y y+z+t z+t ⇒M < ( y x z t + )+( + ) => M < x+y x+y z+t z+t 0,25 + Có M10 < 210 (Vì M > 0) 0,25 mà 210 = 1024 < 1025 Vậy M10 < 1025 0,25 Hết Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com PHỊNG GD&ĐT HUYỆN HẬU LỘC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày khảo sát: 25/02/2023 (Đề gồm: 01 trang) Bài 1: (4 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức    = A 9999 − 1,(3) − 5.23 − ( −7 ) + + 999.( 27 − 813 − 9990 )            2) Tính tích P =+ 1 1 + 1 +  1 +    20  33   2900  a + b3 + c 3) Tính giá trị biểu thức Q = với a, b, c thỏa mãn: ( 3a − 2b ) + 4b − 3c ≤ abc Bài 2: (4 điểm) 16 1) Tìm x, biết: x −1 + 3.52− x = 125    1 2) Tìm x, biết:  − x −   −  + =   15   3x − y − 3x + y − 3) Tìm x, y biết : = = 3x Bài 3: (4 điểm) 1) Số A chia thành ba phần tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A −4 y − 2) Tìm cặp số (x, y) nguyên thỏa mãn: x − x ( y + ) = 3) Cho a, b, c, d số nguyên thỏa mãn a = b + c + d Chứng minh rằng: abcd + 2023 viết dạng hiệu hai số phương Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE, K giao AB DC  = 600 a) Chứng minh rằng: ∆ADC = ∆ABE DIB b) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh: ∆AMN c) Chứng minh rằng: IA phân giác góc DIE Bài 5: (2 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a b c + + >1 b+c c+a a+b Chứng minh rằng: Hết -Họ tên học sinh: ; Số báo danh: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Bài Bài điểm 1) Đáp án    Tính = A 9999 − 1,(3) − 5.23 − ( −7 ) + Điểm  + 999.( 27 − 813 − 9990 )       = A 9999 − 1,(3) − 5.23 − ( −7 ) + + 999 312 − 312 − 9990   ( )  0,5     = 9999 − 1,(3) − 5.23 − ( −7 ) + − 9999      0,25 0,25   = 9999 − 1,(3) − 5.23 + ( −7 ) − + 9999    = 9999 − + 40 − 49 + − 9999 = −10 3 0,25 Vậy A = -10     16 27 40 2907   2) P =+ 1 1 + 1 +  1 +  =   20  33   2900  20 33 2900 2.8.3.9.4.10 51.57 = 1.9.2.10.3.11 50.58 2.3.4 51 8.9.10 57 = 1.2.3 50 9.10.11 58 51.8 204 = = 58 29 204 Vậy P = 29 a + b3 + c 3)Tính giá trị Q = với a, b, c thỏa mãn: ( 3a − 2b ) + 4b − 3c ≤ abc 2 Vì ( 3a − 2b ) ≥ 0; 4b − 3c ≥ nên để ( 3a − 2b ) + 4b − 3c ≤ thì: ( 3a − 2b )2 = 3a = 2b a b c ⇒ ⇒ = =  4b = 3c  4b − 3c = a b c Đặt = = = k ⇒ a = 2k ; b = 3k ; c = 4k Thay vào Q ta có: 3 k ( 23 + 33 + 43 ) 33 a + b3 + c3 ( 2k ) + ( 3k ) + ( 4k ) = Q = = = abc 2k 3k 4k 24k Bài 16 1) Tìm x, biết: x −1 + 3.52− x = điểm 125 x −1 x−2 16 1 1   +   = 125 5 5 1   5 x −1 1 +   5 x −1 16 = 125 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com =  (cùng 90° + BAC  ) a Vì AM ⊥ AB AN ⊥ AC ⇒ MAC BAN  = BAN  Xét ∆AMC ∆ABN có: AM = AB (gt); AN = AC (gt); MAC ⇒ ∆AMC = ∆ABN (cạnh-góc-cạnh) b Gọi D E giao điểm MC với AB BN  , mà   (đối đỉnh)  ∆AMC = ∆ABN ⇒  AMC = ABN hay  AMD = EBD ADM = EDB  + EDB  ⇒ AMD +  ADM =EBD  + EDB  =°  =° AMD +  ADM = 90° ⇒ EBD 90 ⇒ DEB 90 ∆ADM vuông A ⇒  Vậy BN ⊥ CM c Kẻ MK ⊥ AH K ; NG ⊥ AH G Gọi I giao điểm MN AH = AMK + MAK 90° ∆AKM vuông K ⇒   =°  = 90° ⇒ BAH  + MAK 90 ⇒  AMK = BAH MAB  Xét ∆AMK vuông K ∆BAH vuông H có: AM = AB (gt);  AMK = BAH ⇒ ∆AMK = ∆BAH (cạnh huyền-góc nhọn) ⇒ MK = AH ( 3) ∆CAH ⇒ NG = AH ( ) Chứng minh tương tự: ∆ANG = NG Từ ( 3) ( ) ⇒ MK = =  (so le trong) Do MK ⊥ AH ; NG ⊥ AH ⇒ MK //NG ⇒ IMK ING  = ING  Xét ∆IMK vuông K ∆ING vng G có: MK = NG ; IMK IN ⇒ ∆IMK = ∆ING (cạnh góc vng – góc nhọn kề) ⇒ IM = Vậy AH qua trung điểm MN Bài 5: Cho số thực dương a b thỏa mãn a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Hãy tính giá trị biểu thức= P a 2014 + b 2015 Lời giải Ta có: a100 + b100 = a101 + b101 ⇒ a100 − a101 = b101 − b100 ⇒ a100 (1 − a= ) b100 ( b − 1) ( 5) Lại có: a101 + b101 = a102 + b102 ⇒ a101 − a102 = b102 − b101 ⇒ a101 (1 − a= ) b101 ( b − 1) ( ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a ) a.a100 (1 −= a ) ab100 ( b − 1) ⇒ ab100 ( b −= 1) b101 ( b − 1) Từ ( ) ( ) ⇒ a101 (1 −= ⇒ ab100 ( b − 1) − b101 ( b − 1) = ⇒ b100 ( b − 1)( a − b ) = b − =0 b = Mà b số thực dương ⇒  ⇒ a − b = a = b ⇒ − a =0 (vì a > ) ⇒ a = ⇒ a100 (1 − a ) = • Trường hợp 1: Nếu b = ⇒ b − = (vì a > ) a101 ⇒ a = 2a101 ⇒ a100 = • Trường hợp 2: Nếu a = b ⇒ 2a100 = Do đó: a= b= Vậy P = + = = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com PHỊNG GD -ĐT KIẾN XƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO NĂM HỌC: 2021-2022 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (4,0 điểm) Thực phép tính cách hợp lý 163.310 + 120.69 a A = 46.312 + 612  −4   −3  b B =  +  : +  +  :  5  5 Tính giá trị biểu thức C = x14 − 10 x13 + 10 x12 − 10 x11 + + 10 x − 10 x + 10 x = Bài 2: (4,0 điểm) Tìm số x, y, z thỏa mãn: x − y + ( y − z ) = x + y + z = 33 2 Cho đa thức f ( x ) =ax + bx − Xác định hệ số a, b biết đa thức f ( x ) nhận x = − x = làm nghiệm Bài 3: (5,0 điểm) Tìm số nguyên x , để biểu thức A = 2x − nhận giá trị số nguyên x −1 Tìm x , biết: 1 3 a) x − + =−1, + 2 b) ( x − 3) − ( x − 3) n n+2 = ( với n số tự nhiên) Bài 4: (5,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC , điểm thuộc đoạn BM ( D khác B M ) Kẻ đường thẳng BH , CI vuông với đường thẳng AD H I Chứng minh rằng: a BH = AI = b BAM ACM c Tam giác MHI vuông cân 15 n2 − + + + + ( với n ∈ N n > ) 16 n Chứng minh S n không số nguyên Bài 5: (1,0 điểm) Cho S n = = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = (Đề thi có 01 trang) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO NĂM HỌC: 2021-2022 Mơn: Tốn Bài 1: (4,0 điểm) Thực phép tính cách hợp lý 163.310 + 120.69 46.312 + 612  −4   −3  b B =  +  : +  +  :  5  5 a A = Tính giá trị biểu thức C = x14 − 10 x13 + 10 x12 − 10 x11 + + 10 x − 10 x + 10 x = Lời giải A= 163.310 + 120.69 46.312 + 612 ( ) + 3.5.( 2.3) = ( ) + ( 2.3) 10 12 12 212.310 + 212.310.5 212.312 + 212.312 212.310 (1 + ) 212.310.6 212.311.2 = = = = 212.312.2 212.312.2 212.312.2  −4   −3  B= + : + + :  5  5 =  −4 −3  =  + + + :  7 5  −4 −3     2 =  +  +  +   : = : =    3  C = x14 − 10 x13 + 10 x12 − 10 x11 + + 10 x − 10 x + 10 x = Với x = 10= x + Khi C = x14 − ( x + 1) x13 + ( x + 1) x12 − ( x + 1) x11 + + ( x + 1) x − ( x + 1) x + ( x + 1) = x14 − x14 − x13 + x13 + x12 − x12 − x11 + + x3 + x − x − x + x + = Vậy C = x = Bài 2: (4,0 điểm) Tìm số x, y, z thỏa mãn: x − y + ( y − z ) = x + y + z = 33 2 Cho đa thức f ( x ) =ax + bx − Xác định hệ số a, b biết đa thức f ( x ) nhận x = −1 x = làm nghiệm Lời giải Lập luận từ gỉa thiết suy x = y y = z Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x y x y = = hay 15 10 y z y z = y = z Suy = hay 10 x y z x+ y+z 33 = > === == 15 10 15 + 10 + 33 Từ học sinh tính = : x 15; = y 10; = z Do: x = y Suy Đa thức f ( x ) = ax + bx − nhận x = −1 làm nghiệm = > f ( −1) = 0= > a −b−2 = hay a= b + Đa thức f ( x ) =ax + bx − nhận x = làm nghiệm = > f ( ) == > 4a + 2b − = = > ( b + ) + 2b − == >b= −1 = >a= Vậy a = 1; b = −1 Bài 3: (5,0 điểm) Tìm số nguyên x , để biểu thức A = 2x − nhận giá trị số nguyên x −1 Tìm x , biết: 1 3 a) x − + =−1, + 2 b) ( x − 3) − ( x − 3) n n+2 = ( với n số tự nhiên) Lời giải x − ( x − 1) ( với x ≠ ) = = 2− x −1 x −1 x −1 Do ∈ Z nên để A nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên x −1 Lại x ∈ Z nên nhận giá trị nguyên 3 ( x − 1) x −1 Hay ( x − 1) U ( 3) ={−3; −1;1;3} Ta có A= Nếu khơng lập luận x ∈ Z trừ 0,25 Suy x ∈ {−2;0; 2; 4} thỏa mãn x ∈ Z Vậy x ∈ {−2;0; 2; 4} 1 3 3 a) x − + =−1, + ⇒ x − + =− + 2 2 5 3 ⇒ x− + = 2 1 1 1 x− = ⇒ x− = ⇒ x− = 2 4 ⇒x= x = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy x = ; x= 3 b) ( x − 3) − ( x − 3) n n+2 n =0 ⇔ ( x − 3) 1 − ( x − 3)  =0   x − = ( x − ) n =  ⇔ ⇔ x − = 1 − ( x − 3)2 =   x − =−1 x = ⇔  x =  x = Bài 4: (5,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC , điểm thuộc đoạn BM ( D khác B M ) Kẻ đường thẳng BH , CI vuông với đường thẳng AD H I Chứng minh rằng: a BH = AI = b BAM ACM c Tam giác MHI vuông cân Lời giải A I B D M C H a) Chứng minh: BH = AI = ) + Chỉ BAH ACI ( phụ DAC + Chứng minh  ACI = BHA ( cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ BH = AI ( cạnh tương ứng) = b) Chứng minh BAM ACM Chứng minh được:  ABM = ACM (c.c.c)   Lập luận được: BAM = CAM = 45 Tính  ACM = 45 =  ⇒ BAM ACM c) Tam giác MHI vuông cân Chứng minh AM ⊥ BC Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Chứng minh AM = MC  = ICM  Chứng minh HAM MI (*) Chứng minh  HAM = ICM (c.g.c) ⇒ HM =  =IMC  ⇒ HMB  =IMA  (  Do  HAM = ICM ⇒ HAM AMB =  AMC = 90 )  = 90 (**) Lập luận được: HMI Từ (*) (**) ⇒MHI vuông cân n2 − 15 + + + + ( với n ∈ N n > ) n 16 Chứng minh S n không số nguyên Bài 5: (1,0 điểm) Cho S n = Lời giải 1 + − + + − 2 n   1 = ( n − 1) −  + + +  n  2 Có S n = − 1 + + + 2 n Do A > nên S n < n − Đặt A = Mặt khác A < 1 1 + + + =1 − 1.2 2.3 n ( n − 1) n 1  1 ⇒ S n > ( n − 1) − 1 −  = n − + > n − ( > ) n n  n ⇒ n − < S n < n − nên S n không số nguyên = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN N BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm: 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2022 – 2023 Môn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28/11/2022 Câu 1: (4,5 điểm) Tính giá trị biểu thức: 1 3 − − − 0, − − − 2.6 25 125 625 a) A = 10 8 b) B = 11 + 4 4 4 + 20 − − − 0,16 − − 11 125 625 1 1  c) C = 1 −  1 −  1 −  1 −       16   400  Câu 2: (6,0 điểm) Tìm x biết: 125 a) ( x − 1) = c) x + − x = 96 b) ( x − 15 ) =( x − 15 ) 2022.2023 d) x + x + x + + 2022 x = Câu 3: (3,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x − + x − + b) Cho p số nguyên tố lớn Biết p + số nguyên tố Chứng tỏ p + chia hết cho A Câu 4: (3,0 điểm) 35 o  = 80o  = 35o O 80o O Trong hình bên, cho Ax // By; Biết A x Tính góc B Câu 5: (3,0 điểm) Một ngơi nhà có kích thước hình vẽ a) Tính thể tích phần khơng gian giới hạn ngơi nhà b) Hỏi phải dùng lít sơn để sơn phủ mặt ngồi ngơi nhà? Biết lít sơn bao phủ m2 tường (khơng sơn cửa) tổng diện tích cửa 25 m2 -Hết - ? y B - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu - Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị số 1: Chữ ký giám thị số 2: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn - lớp Năm học 2022-2023 PHỊNG GD&ĐT HUYỆN N BÌNH Hướng dẫn Câu (4,5) 210.38 (1 − 3) −2 −1 210.38 − 210.39 45.94 − 2.69 = = a) Ta có: A = 10 8 = 10 10 8= 10 3 + 20 + (1 + ) Điểm 1,5 b) 1 3 − − − 0, − − 11 25 125 625 + = Ta có: B = 4 + 4 =4 − − − 0,16 − − 11 125 625 1,5 c)       C = 1 −  1 −  1 −  1 −       16   400  15 399 1.3 2.4 3.5 19.21 = = 16 400 2.2 3.3 4.4 20.20 21 21 = = 20.2 40 = (6,0) a) ( x − 1) b) ( x − 15) (1.2.3 19 )( 3.4.5 21) ( 2.3.4 20 )( 2.3.4.5 20 ) = 125 ⇒ ( x − 1) = 53 ⇒ x − = ⇒ x = = ( x − 15) 1,5 1,5 ⇒ ( x − 15 ) ( x − 15 ) − 1 =   15  x=   ( x − 15 )3 = 0   x − 15 = ⇒ ⇒ ⇒ x= ±1  ( x − 15 ) − =0  x − 15 = x=7   c) x + − x = 96 ⇒ x (22 − 1) = 96 ⇒ x = 32 ⇒ x = 25 ⇒ x = 1,5 1,5 2022.2023 d) x + x + x + + 2022 x = ⇒ x.(1 + + + + 2022) = 2022.2023 (1 + 2022).2022 = 2022.2023 2023.2022 2022.2023 ⇒ x = ⇒x= a) Ta có: A = x − + x − + = x − + −x + + ≥ x − − x + + = + = 1,5 Dấu “=” xảy ( x − 2).(− x + 6) ≥ ⇒ ≤ x ≤ 0,5 ⇒ x (3,5) Vậy giá trị nhỏ A đạt ≤ x ≤ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 0,5 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Điểm 0,5 Hướng dẫn Câu b) Vì p số nguyên tố lớn nên p lẻ, p + chẵn => (p + 1)  (1) Cũng p số nguyên tố lớn nên p = 3k + p = 3k + (k∈ N) Nếu p = 3k + p +2 = 3k +3 = 3(k + 1)  => p + không số nguyên tố nên p = 3k + không xảy Do p = 3k + => p + = 3k + = 3(k +1)  (2) Vì (2;3) = nên từ (1) (2) ta có (p + 1)  (3,0) Qua O kẻ Oz // Ax  = AOz  = 35o Vì Oz // Ax nên A (2 góc so le trong)  =  + BOz Mà AOz AOB  = 45o  = 80o ⇒ BOz ⇒ 35o + BOz Do Oz // Ax mà Ax // By nên Oz // By = 45o (2 góc so le trong) = BOz ⇒B A 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0 x 35 o 80o O z ? y B (3,0) 7.15 + 8.15= 172,5m 2 = V 172,5.20 = 3450m3 a) Sd= 1,0 0,5 b) S xq = S1 + S = 7.15 + (15 + 20 ) = 665m 2 Diện tích tường phải sơn: 665 – 25 = 640 m2 Số lít sơn cần mua: 640:8 = 80 lít 0,5 0,5 0,5 Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa câu hỏi Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com UBND THỊ XÃ HỒI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2021-2022 MƠN TỐN Thời gian làm 150 phút Bài (2,0 điểm) Khơng dùng máy tính bỏ túi so sánh a) A= b) Bài 225 − − 1; B= 196 − 26 + 17 với (4,0 điểm) 3x − y a) Cho = z − x y − 3z x y z = Chứng minh = = 2 b) Chứng minh phân số A = m3 + 3m + 2m + biểu diễn dạng thập m ( m + 1)( m + ) + phân vô hạn tuần hoàn với m số nguyên Bài (4,0 điểm) f ( x ) = ax + bx + c a) Cho đa thức với a, b, c ∈  Chứng minh f ( −2 ) f ( 3) ≤ Biết 13a + b + 2c = a + b2 biết A có giá trị nguyên b) Cho biết a, b ∈  Tính giá trị biểu thức A = ab * Bài (4,0 điểm)   z  x  y    a) Cho x, y, z ≠ x − y − z = Tính giá trị biểu thức B =− 1  1 −  1 +  x y z b) Tính giá trị đa thức M = x + x y + y + y với x + y = Bài (3,0 điểm) Tam giác ABC có đường cao AH , trung tuyến AM chia góc A thành ba phần Chứng minh tam giác ABC vuông tam giác ABM Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông B có BE ⊥ AC E Tính góc nhọn tam giác ABC biết EC − EA = AB HẾT Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI UBND THỊ XÃ HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2021-2022 MƠN TỐN Thời gian làm 150 phút Bài (2,0 điểm) Khơng dùng máy tính bỏ túi so sánh 1 a) A= 225 − − 1; B= 196 − b) 26 + 17 với Lời giải 1 a) A = 225 − − = 15 − − = 14 − 5 1 B = 196 − =14 − 6 1 1 Ta có < ⇒ < ⇒ > ⇒ 14 − < 14 − ⇒ A< B 6 b) Ta có: Và Bài 26 > 25 ⇒ 26 > 17 > 16 ⇒ 17 > Khi đó: 26 + 17 > + ⇒ 26 + 17 > (4,0 điểm) 3x − y a) Cho = z − x y − 3z x y z = Chứng minh = = 2 b) Chứng minh phân số A = m3 + 3m + 2m + biểu diễn dạng thập m ( m + 1)( m + ) + phân vô hạn tuần hoàn với m số nguyên Lời giải 3x − y z − x y − 3z ( 3x − y ) ( z − x ) ( y − 3z ) a) Ta có = = = = = 16 12 x − y z − 12 x y − z = = = 16 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 12 x − y z − 12 x y − z 12 x − y + z − 12 x + y − z = = = = 16 16 + + 3x − y x y =0 ⇒ x − y =0 ⇒ x =2 y ⇒ = Khi đó: (1) 2z − 4x z x =0 ⇒ z = x ⇒ = ( 2) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ (1) ( ) ⇒ x y z = = m ( m + 3m + ) + m ( m + 2m + m + ) + m3 + 3m + 2m + = b) Ta có: A = = m ( m + 1)( m + ) + m ( m + 1)( m + ) + m ( m + 1)( m + ) + m ( m + 2m ) + ( m + )  + m  m ( m + ) + ( m + )  + m ( m + 1)( m + ) + = = m ( m + 1)( m + ) + m ( m + 1)( m + ) + m ( m + 1)( m + ) + Goi d ước chung m ( m + 1)( m + ) + m ( m + 1)( m + ) + ( d ∈ N *) ⇒ m ( m + 1)( m + ) +  d ; m ( m + 1)( m + ) +  d ⇒  m ( m + 1)( m + ) +  −  m ( m + 1)( m + ) + 5  d ⇒ 1 d ⇒ d = Do m ( m + 1)( m + ) + m ( m + 1)( m + ) + nguyên tố nên A= m3 + 3m + 2m + phân số tối giản m ( m + 1)( m + ) + Ta có với m ∈ Z ta có m; m + 1; m + ba số nguyên liên tiếp nên m ( m + 1)( m + ) mà 6 nên m ( m + 1)( m + ) + 6 Bài Phân số A tối giản mà mẫu có chứa ước nguyên tố khác nên phân số A viết đước dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn (4,0 điểm) a) Cho đa thức f ( x ) = ax + bx + c với a, b, c ∈  Chứng minh f ( −2 ) f ( 3) ≤ Biết 13a + b + 2c = b) Cho biết a, b ∈ * Tính giá trị biểu thức A = a + b2 biết A có giá trị nguyên ab Lời giải: a) Với x = −2 , ta có: f ( −2 ) = 4a − 2b + c x = , ta có: f ( 3) = 9a + 3b + c Khi đó: f ( −2 ) + f ( 3) = 4a − 2b + c + 9a + 3b + c = 13a + b + 2c Mà 13a + b + 2c = ⇒ f ( −2 ) + f ( 3) = ⇒ f ( −2 ) = − f ( 3) ⇒ f ( −2 ) f ( 3) = − f ( 3) f ( 3) = −  f ( 3)  ≤ (đpcm) b) Kí hiệu ( a; b ) ước chung lớn hai số nguyên dương a, b Gợi d = ( a; b ) ⇒= a md ;= b nd với ( m; n ) = Khi đó: a + = b d ( m + n ) ab = d mn Để A có giá trị ngun a + b  ab với a, b ∈ * Suy m + n  mn Vì ( m; n ) = ⇒ m + n  m m + n  n ⇒ n  m; m  n ⇒ n m; m n ⇒ m =n =1 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài d ( m2 + n2 ) Khi đó, giá trị biểu thức A= = = d mn (4,0 điểm)   z  x  y    a) Cho x, y, z ≠ x − y − z = Tính giá trị biểu thức B =− 1  1 −  1 +  x y z b) Tính giá trị đa thức M = x + x y + y + y với x + y = Lời giải y x−z y−x z+ y  z  x  a) Ta có : B =1 −  1 −  1 +  = z x y z  x  y  Vì x − y − z = ⇒ x − z =y; y − x =− z; z + y =x y −z x = −1 x, y, z ≠ x y z Vậy B = −1 với x, y, z ≠ x − y − z = Khi : B = b) Ta có M = x + x y + x y + y + y M = x2 ( x2 + y ) + y ( x2 + y ) + y Vì x + y = ⇒ M= x + y + y 2= 20 ( x + y ) ⇒ M = 20.5 = 100 Vậy M = 100 với x + y = Bài (3,0 điểm) Tam giác ABC có đường cao AH , trung tuyến AM chia góc A thành ba phần Chứng minh tam giác ABC vuông tam giác ABM Lời giải A I D B H M C  HAM   • Vì chia thành ba phần nên BAH = = MAC Kẻ MD ⊥ AC ( D ∈ AC ) • Xét ∆ABH ∆AMH có:  = HAM  BAH AH chung  AHB=  AHM= 90° ⇒ ∆ABH = ∆AMH ( g c g ) ⇒ HB = HM Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Mà BM = MC ⇒ HM = MC • Trên tia đối tia MC lấy điểm I cho MD = DI ∆DMC = ∆DIC ( c g c ) ⇒ CI = CM ⇒ ∆ICM cân C (1) ∆ADM ( ch - gn ) ⇒ HM = MD ⇒ MD = MC • ∆AHM = 1 MC ; MD = MI ⇒ MC = MI ( 2) 2 Từ (1)( ) ⇒ ∆MDC ⇒  ACB= 30° ⇒  ABC= 60° Lại có MD = Từ suy ∆ABM ∆ABC vng Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông B có BE ⊥ AC E Tính góc nhọn tam giác ABC biết EC − EA = AB Lời giải B A E D C • Trên đoạn thẳng EC lấy điểm D cho AE = ED Lại có EC − EA = AB ⇒ EC − ED = AB ⇒ AB = DC • Xét ∆ABE ∆DBE có: AE = ED  = 90° BEA= BED BE chung ⇒ ∆ABE = ∆DBE ( c g c ) BD ⇒ AB =  =C  ⇒ BD = DC ( = AB ) ⇒ ∆BDC cân D ⇒ DBC  = BDE  = 2C   góc ngồi tam giác BDC ⇒ BAC • Vì BDE  +C  = 90° • Xét tam giác ABC vng B có BAC  = 2C  ⇒C  = 30° ⇒ BAC = 2.30°= 60° Mà BAC  HẾT  Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC