BẠN ĐANG HỌC TOÁN CAO CẤP? NẾU BẠN CHƯA ĐỌC QUYỂN CỦA DANKO ĐÓ LÀ MỘT THIỆT THÒI LỚN CHO CÁC BẠN ĐẤY, BẢN TIẾNG NGA DỄ HIỂU GIÚP BẠN TIẾP CẬN MỘT CÁCH DỄ HƠN MÔN HỌC KHÓ NÀY
П . Е. ДАН КО, А. Г. ПОПОВ, Т. Я. КОЖЕВНИКОВА Высшая математика в упражнениях изадачах в двух частях Часть 2 б-е издание Москва «ОНИКС 21 век» « Мир и Образование » 2003 УДК 516+517 ББК 22.Jя7З ДI7 Данко П. Е. Все nрПАП ЗПЩUЩ Р Нht . !/ 11{1C>I1I' lromKo пmдеЛI>н/'IХ глав и nР()/I,1R[>()('НII Я n Ц СЛОМ 6/:,;] ПIJ(,!,,,1tСННЛ :'П разрешения алur1еА/IЦСП nрпп :Щl1реrц"rна. ДJ7 Высшая математик;) В упрюкненнях н З:JД;JЧ;)Х. 13 2 ч. Ч . 2: Учеб. пособие дЛЯ RУЗОН / П. Е. Данко , А . "' . Попов, Т. Я. КожС'вник()ва. - 6-е изд. - М.: 000 « ИЗЛ,атеЛЬСКИfl дом " ОНИКС 21 ВСЮ > : 000 " ИЗДil тельств() «М ир И Образование ), 2(ЮЗ. - ·116 с.: 11Л. ISBN 5-З29-00327-Х (000 «ИЗДilн ' льскиii д()м «ОНИКС 21 B('I(») ISBN 5-94666-009-8 (000 «Из дательств() «Мир И Обра зnва ние») Содержание второй части OX8aTы~aeT слt'i\ующие рзздеЛhl программы: кратные . и криволинейные интегралы , РЯ,lЫ, ЮlффереНЦНilЛhНЫ(' уравнения, теорию вероятностей, те()рию функций к()мпяексноrn персм " ннnго, операци онное исчисление, методы вычисленин, ОСНОВЫ ваРlJilЦИ()~НОГО ИС'lнсления. В каждом параграфе ПРИВОi\ЯТСЯ нео6ХОЛ,ИМhlС трореТИЧССКliе свеi\ения. Типовые заl1.ачи даются с пол , робнымн rН'UlеН'IЯМИ. ИМРЕ'ТСЯ бол шое I(ОЛИ чество задач ДЛЯ самостоятельной работы. .V'lебн,ос lI.здание Данко ПаВЕ'JJ Ефимович, Поп ов Дл еКС illlДР ГеОРГIIС'RНЧ. Кожевникова Татьяна ЯК()JJлевна . ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В УПРАЖНЕНИЯХ И ЗАДАЧАХ В двух частя х Ч~СТЬ 2 Р<,Доктор А. М . Cyxn(JrKlIli УДК 516+517 ББК 22.lя73 ПОДЛИСЗltO в печать с готовых ДИЗПОЗI1ТН90JJ 31.03.2003. Формат 60 х 901/ , •. Гарнитура .Литературная •. Печать офсетная. Уел. печ. л. 26,0. Доп. тираж 30 000 зкз . Заказ N~ 79. ОбщеРОССНЙСКIIЙ клаССJlфнкатор ПРОI\УКUИН 01(·005·93. том 2; ~E):>OO.') - У'lеБIlЭ" ЛlIтеР;lту ра 000 «Издатс.1ЬСКI!Й "ОМ ,, ()HI1 "С 21 вер. Изд. ЛfIЦ. ИД .'J', 02795 от IIЛ9.20nО. 1O;,()бб. ,\10сква, ул. Добросл()бо "ская. 5а. Отдел реалнзаuин: тел. (095) 310·7.5·25, .150·~2·11. IlIlсгп еl: \\'\V\\'.ОПУХ.ГII; ('·mail: mail@<>nyx.ru 000 ,, 11здаП '. 1ЬСТI\О « Мllр н 06ращнаннс "" Изд. л 1111. 11Д N. 050138 от 18.0б.2(ЮI. 109193. Москна. 5·. КОЖ УХОUСКiI" ул., д. 13. СТр. 1. Тм./факс (095) 928-78·26. Е·тэil: mi" -I) Ьгаzоvаlli<-@ > гаmt:>lсгл, ИздаllНС IJсущеСТВЖ : 11O I/rи учаСТl1l-l 000 « J-IчаТСJl"' ;ТUО лет» ОАО 'С"Jlкт · Петербургская ТltПография N~ 6 •. 191 144, Санкт· Петербург, ул. MOllc ecJ ll<o, 10. Телефон отдела маркетинrа 271-35·42. ISBN 5·З29·0032i · Х (000 " ИЗl\атrЛI>СКИЙ ДОМ "ОН ИК С 21 П"К») ISBN 5·94666·009·8 (000 « Измтrльстно «Мир н ОБР"ЗОn"НIf~"). ©ДаIlЮ> 1"1 . с: Попов А. ['" КОЖl'UI-IНКОR " Т. Я., ~ООЗ © 000 " И зд аП'ЛЬСКllfi лом « ОН 111\С 21 нек .• . Оформлгнис обложк\!, 20():) ОГЛАВЛЕНИЕ г лава 1. Двойные и тройные ИlIтеrра.1Ы § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. Двойной интеграл в прямоугольных координатах Замена переменных в двойном иtlтеграле Вычисление площади плоской фигуры Вычисле\Jие объема тела . . . . • • . . Вычисление площади поверхности Физические приложения двойного интеграла Тройной интеграл. • . . • . . • • • • • • Приложения тройного интеграла . . • • . • Интегралы, зависящие от параметра. Дифференцирование и н ' итегрирование под знаком интеграла Гамма - функция. Бета,функция ••••••• , •••• г лава 11. КРlfволинеАные интегралы н IIHTerpa.1bl по поверхности 6 10 14 16 17 20 23 28 30 35 . § 1. Криволииейные интегралы 110 длине дуги и по координатам 42 § 2. Незавнсимость криволинейного интеграла II рода от контура ннтегрирования. Нахождение функции по ее полному диф- ференциалу 47 § 3. Формула Грина •. . . . . . . . . 50 § 4. Вычисление площади . . • • . . . . . . . 51 § 5. Поверхностные ннтегралы . . . . . . . . . 52 § 6. Формулы Стокса и Остроградс!{ого-Гаусса. Элементы теории поля ••••••••.•• •••. , ••• , 56 Глава 111. Ряды § 1. Числовые ряды . . • . § 2. Функциональные ряды § 3. Степенные ряды § 4. Разложение функций в степенные ряды . . . § 5. Приближенные вычисления значений функциii с помощью сте- пенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. Применеиие степенных рядов к вычислению пределов н опре- делеиных интегралов . . . . . . . . . . . § 7. Комплексные числа и ряды с комплексными числами § 8. Ряд Фурье § 9. Интеграл Фурье Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения 66 77 81 86 91 95 97 106 113 § 1. Диф;реренциальные уравнения первого порядка 117 § 2. Дифференциальные уравнення высших порядков 139 § 3. Линейные уравиения высших порядков . . . . . . . • . 145 § 4. Интегрироваиие дифференциальных уравиений с помощью РЯДJв 161 § 5. Системы дифференциальных уравнений . • . • • . . • . •. 166 г лава V. Элементы теории вероятно~тей § 1. Случайно\:: событие, его частота и вероятность. Геометрическая вероятность. . . • • • • • • • . . . . . . .• 176 3 § 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность . . . .• . . 179 § 3. Формула Берну,~ли. Наивероятнеiiшее число наступлений со- бытия 183 § 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса 186 § 5. с.'1)'чаЙная величина и закон ее распределения . . 188 § 6. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины 192 § 7. Мода и медиана . . . . . . . . . . • . . • . . _ 195 § 8. Равномерное распределение . . . . . . . . . . • 196 § 9. Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона • • •. 197 § 10. Показате.'1ьное (ЭI<споненцизльное) распределение. Функция надежности • • . • • . . . • • • . . • • • • • • • 200 § 11. Нормальный закон распределения. Функция Лапласа 202 § 12. Моменты, асимметрия и эксцесс случайной величины 206 § 13. Закон больших чисел . . • . . . . • . •• 210 § 14. Теорема Муанра-Лапласа . . . • . • . . . . • • • 213 § 15. Системы случайных величин . . • . . • • . . • • • 214 § 16. Линии регрессии. Корреляция. . . • • . . • • • • • • •• 223 § 17. Определение характеристик случайных величин на основе опыт- ных данных. • 228 § 18. Нахождение законов распределения случайных величин на осн()ве опытных данных •• • • 240 г лава 1'1. "онятие об уравнениях в частных производных § 1. Дифференциальные уравнения первого порядка в частных про· иэводных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . • . 260 § 2. Типы уравнений второго порядка в частных производных. При- ведение к каноническому виду. 262 § 3. Уравнение колебания струны 265 § 4. Уравнение теплопроводности 272 § 5. Задача Дирихле для круга . 278 г лава V 11. Элементы теории функций комплексного переменного § 1. Функции комплексного переменного . . . . . . • 282 § 2. Производная функции комплексного переменного 285 § 3. Понятие о конформном отображении 287 § 4. Интеграл от функции комплексного переменного . 291 § 5. Ряды Тейлора и Лорана . . . .'. . . . . 295 § б. Вычисление вычетов функций. Применение вычетов к вычис, .'1ению интегралов . . . . . . . . . . . • . . .• 300 г лава 1'1/1. Элементы операционного исчисления § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. Нахождение изображений функций Отыскание оригинала по изображению . Сэертка функций. Изображение ПРОИЗВОДНblХ и интеграла от оригинада Применение операционного исчисления к решению некоторых дифференциаЛЬ!IbI х и интегральных уравнений . '. Общая формула обращения . . . . . . . Применение операционного исчисления к решению некоторых уравнений ыатематнческой физики Глшза 1 Х. Методы вычислений 4 § 1. ПРllБЩl>кенное решение уравнений . . . . . . . . § 2. Интерполирование . . . . . . . . . . . . . . . . ~ 3. Приближеннее вычисление определенных интегра,10В § 4. Прнб.lIIжен,ное вычисление кратных интегра,JOВ 305 307 310 312 315 316 321 330 334 338 § 5. § 6. § 7. § 8. Примеиеиие метода Монте-Карло к вычислению опреде.1еНIIЫ)( и кратных интегралов • • . . . . . . • • • . . • . . Числеиное ннтегрирование дифференциальных уравнений Метод Пикара последовательных приближений. ПроетеАшие способы обработки опытных данных Глава Х _ Осиовы вариациоииоrо исчисления § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. Поиятие о функционале • • . . . . . . . • • • . . . . . . • Понятие о вариации функцнона.'1а • " .•. Понятие об экстремуме функционала. Частные случаи ИlIтегри руемоети урцвнения Эйлера . . • . . • . . • • . . • . • . • Функционалы. зависящне от производных высших порядков Функционалы. зависящие от двух функций одной иезаВIIСЮЮЙ переыенной • •.•• • •.• Функционалы. зависящие от функций двух незаВИСIIМЫХ пере- ~leHHblx ••••••••••••••••••••••• Параметрическая форма вариационных за.1ач . . . . . . Понятие о достаточных условиях экстре~IРlа функщюна.lа Ответы ••. Прн.lOжеНllе Литература _ 350 362 3б8 370 385 386 387 393 39-1 395 396 397 398 ~09 416 ГЛАВА I ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАJIЫ § 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ Пусть функцня f (х. у) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости хОу. Разобьем облаCТh D произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади .1.аl, .1.а 2 , ••• , .1.а n и диаметры d 1 , d 2 , ••• , d n (диа AfempoJc области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произволь ную точку Р я (6я; 1'}я) и умножим значение фуикции в точке P/I на площадь этой области. И нтегральной суммой для функции f (х, у) по области . D называется сумма вида n ~ f(~/I' ТJk).1.ak=f(61' 111).1.a 1 +f(62' ТJ2).1.a 2 + ••• +f(6m ТJn).1.a n • я=! Если при тах d/l -+ О интегральная сумма имеет определенный конечный n предел / = lim ~ f (~я, ТJ/I) .1.ая, не зависящий от способа разбиения D maxd k 011=1 на элементарные области и от выбора точек Ря в пределах каждой из них, то этот предел называется двой/Шм интегралом от функции f (х. у) в области D и обозначается следующим образом; n / = ~ ~ f (х, у) da= Нт ~ f (~Я' ТJfJ .1.a/l. D maxd k -+°k=1 Если f (х. у) > о в области D. то двойной интеграл ~ 5 f (х, у) da равен D объе.АIУ цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f (х. у)' сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, и снизу областью D плоскости хОу. О · сновные свойства двойного интеграла 1°. ~ ~ [fl (х. у) ± 12 (х, у)] da = ~ ~ 11 (х, у) da ± ~ ~ 12 (х, у) da. D D D 2°. ~ ~ с! (х. у) da=c ~ ~ 1 (х, у) da. где с-постоянная. D D 30. Если область интегрирования D разбита на две области D 1 и D 2 • то ~ ~ f (х. у) da = ~ ~ f (х, у) da+ ~ ~ 1 (х. у) da. D D. О. 40. О ц е н к а Д в о й н о г о и н т е г р а л а. Если т.;;;;, 1 (х, у).;;;;, М, то тS ;;. ~ ~ f (х. у) da.;;;;, MS. где S-площадь области D, а т и М -соответст D венно наимеиьшее и наибольшее значения Функцин f (х, у) в обiIасти D. 6 Правнла вычисления двойНых Jlнтегралов Рi1З.1нчают два основных вида области интегрирования. 1. Область интегрирования D ограничен(! слева и справа ПРЯ~IЬШН х = а и х= Ь (а < Ь), а снизу и сверху-непрерывным;! кривыми y=rtl (х) И и = СР2 (х) [ерI (х),;;;; <Р2 (ХН, каждая из которых пересекается вертнка.1ьноl1 пря мой только в ОДНОI! точке (рис. 1). Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле Ь '1'. (х) И f (х, у) dxdy= ~ dx ~ "х, y)dy, D 11 IP, (х) 11', (х) причем Сllа'lала DЫЧllсляется внутренний I!нтегра" ~ f (х, у) dy, в котором Х сч.итается постоянным. '1', (х) 2. Об.1асть интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми у=с И y=d (с < d), 8 слева 11 справа-непрерывными кривыми X='fl (у) И Х = у ~-""'" __ v = tpzl6J y=~(x} о х=а х =Ь )( Рис. !J y=d 1 i~'777)=~ у=с .о Рис. .2 = 'i'~ (у) [ФI (У)';;;; 'i'z (Y)J, каждая из которых пересекается ГОРИЗОl\та.1ьиоА пря мой только D одной точке (рис. 2) Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле d '1', (у) ~ ~ f (х, у) dx dy = ~ dy ~ t (х, у) dx, D с '1:, (у) '1:, (у) причем сначала ВЫЧllсляется внутренний интеграл ~ f (х, у) dx, в котором ~', (у) у считается ПОСТ:JЯНIIЫ:\!. Прввые части указанных формул называются двукратными (или повтор НЫ.ни) иитегралами. В более общем случае область интеГРИРОЕаН:iЯ путем разбиения на чаСТII сводится к основным областям. _. ВЫЧИСЛИТЬ ИХ In у dx dy, есJlИ облзCiЬ D-прямоуroльник D O~x~4, 1 ~y~e. 4 е /::;. S S х In ydxdy= SXdX S In ydy= ( ~2]; ·r",lng-Yl1 =8 (е-е+ 1)=8. А D О 1 7 2. Вычислить И (соs 2 х+siп 2 у)dхdу, если область D-квад D рат О<х<л/4, О<у<n/4. п/4 n/4 6. ~~(COs2x+sin2y)dxdy= ~ dx ~ (cos 2 x+sin 2 y)dy= D о О ~4 п~ = 5 [У cos 2 х+ .!_~ sln 2U] П/4. dx= 5 (~COS2X +~_ !.) щ= 2 4 о 4 8 4 о о =[~(Х++SIП2х)+(~-+)х]:/4.=i(~+;)+(~-~) :=~~. & 2 х' 3. Вычислить 1 = ~ dx ~ (2х-у) dy. 1 х 2 2 6. 1=5 [2Х У - ~ у2]:' Ш= 5 (2х3 - ~ х'-2х 2 + ~ х 2 ) dx= 1 1 =[~ x'-~x5- ~ х з ]:=0,9. & 4. Вычислить ~ ~ (х-у) dxdy, если область D ограничена ли D НИЯМИ У= 2-х 2 , у= 2x-l. Л Построим область D. Первая лииия-пара60ла с вершииой n точке (О; 2), симметричная относительно оси Оу. Вторая линия-прямая. Решая совместно уравнения у=2-х 2 и у=2х-1, найдем координаты точек пере сечен-ия: А (-3; -7), В (1; 1) (рис. 3). Область интегрирования принадлежит к первому виду. Находим 1 2-х' 1 55 (х-у) dxdy== 5 dx 5 (х-у) dy = 5 [х у - ~ у2] ::~'1 dx= D -3 2х-I -3 I = S( 2х-х3-2+ 2х 2 -{ х'-2х 2 +х+2х 2 -2х+{ ) dx= -3 1 = 5 ( - ~ х'-х3+2х 2 + х- ~ ) dx= ':"3 [ 1 _ 1 2 1 2 3]1 4 = -то Х '-тх'+з хЗ +2"Х -2"Х _з=415' & 5. Вычислить И (х+ 2у) dx dy, если область D ограничена D ПРЯМЫМI-I у=х, у= 2х, Х= 2, х= 3. 3 2х 3 6. ~ ~ (х+2у) dxdy= ~ dx ~ (х+2у) dy = ~ [xy+y 2 Jf dx= D 2 х 2 3 3 = 5 (2х 2 +4х 2 -х 2 _х2) dx=4 5 x 2 dx = ~ хз 1: =- 25~. & 2 2 8 6. Вычислить )~ ex+sinYcosydxdy, если область D-прямо D угольник О~х~n, О~у~n/2. 7. Вычислить ) ~ (х 2 + у2) dx dy, если область D ограничена ЛII о ниями у=х, х=О. у= 1, у=2. 8. Вычислить ~ ~ (3х'-2ху+ у) dxdy, если область D ограни D чена линиями х = О, х = у2, у = 2. 9. Изменить порядок интегрирования в интеграле I l-х' ~dx ~ '(х, y)dy. -1 -YI-x' 6. Область интегрирования D ограничена JJИНИЯМИ x=-I. x=l. У= = - у 1- х 2 , У= 1-х 2 (рис. 4). Изменим порядок интегрироваиия, ДJJЯ чего !J Рис. 3 у Рис. 4 \ \ заданную область представим в внде двух областей (второго вида): D 1 , ограниченную С.1ева н справа ветвями лараБОJJЫ х=± Y1-у(О~I), и D з . ограниченную дуга~1И ОКРУЖИОСТI{ х=± Y1_y3(_I<y~O). Тогда 1 1 _х' I УТ=У О V I - у' ~ dx ~ f (х, У) dy = ~ dy ~ f (х, У) dx + ~ dy ~ f (х. у) dx. А - 1 _ 1 · ·т=ха О _ ~ . I _ У - 1 -1 I - у' 2л а 10. Вычислить ~ cos 2 Х dx ~ у dy. о u з х 11. Вычислить ~ dx 5 (x-y)dy. I х' 12. Вычислить ~ ~ у In х dx dy, если область D ограничена ли D НlIЯШI ХУ= 1, У= 1 < ~', Х= 2. 9 13. Вычислить И (cos 2x+siny) dxdy, если область D ограни D чена линиями х=О, у=О, 4x+4y-п=О. 14. Вычислить ~ ~ (Эх + y)dx dу,если область D определяется не D равенствзми х 2 + у2::;;; 9, у ~ (2/3) х+ 3. 15. Вычислить ~ ~ sin (х + у) dx dy, если область D ограничена D линиями х=О, у=п/2, у=х. 16. Вычислить ~ ~ х dx dy, если область D - треугольник с D вершинами А (2; 3), В (7; 2), С (4; 5). Изменить порядок интегрирования: 2 2-х , Jnx 17~ ~ dx ~ f (х, у) dy. 18. ~ dx ~ f(х, y)dy. -6 х'/4 - J 1 О 1 J +J- ' Т:-VO 1 х 19. ~ dy ~ f (х, у) dx. 20. ~ dx ~ f (х, у) dy. о 2-/1 О О I V J - х" n .ы х 21. ~ dx ~ t (х, y)dy. 22. ~ dx ~ f(х, y)dy. о (1 -х)'/2 О О 4 У25-/l" 23. ~ dy ~ f (х, у) dx. о 3Y/4 9/1 б J- 'y 3/4 З/4 24. ~ dy ~ t (х, у) dx+ ~ dy ~ t (х, у) dx. о /1 9/1 б V 2 l / х 4 V х 6 2 25. ~ dx ~ f (х, у) dy+ ~ dx ~ f (х, у) dy+ ~ dx ~ f (х, у) dy. о о 2 1 .' х-2 4 Ух-2 § 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В двоАном ИНТЕГРАЛЕ 1. ДвоАноА интеграл в поnярНl"Х координатах. ПреобраЭОlJание двоАного интеграла от прямоугольных координат х, ,у к nОЛЯРН'J/At Кlnрдинатам р, е, связанным с прямоугольными координатами соотношениями х = р cos е, у = = р sln в, осуществляется по формуле И f (х, у) dx dy = И f (р cos е, Р sln е) р dp de. D D Если область интегрирования D ограничена двумя лучами 6=а, e=~ (а < ~), выходящими из полюса, и двумя кривыми Р = Pl (6) И р= p~ (е), где Pl (6) И Р9 (в)-одноэначные функции при а"; 6.,.;; ~ и Рl (e).s;;; Р. (6), то двой ной интеграл вычисляется по формуле fJ р,(О) И F (р, в) р dp dO= ~ dO ~ F (р, 8) Р dp, D а р,(6) 10 [...]... )' "2 5-. \'· x=~S5XdXdY=15(~ _2) 5XdX D 4 =15 (л _2) ' О S з( dy= 1-. 1', 5) 5 5[: Х У 2 5- 2 - х( 1- ~) J dx= о _ 4 [_~ • ! 2( 25_x2)~ /2 _Зх L~ "]б= -1 5 ( -2 ) _ 5 2 3 2 15 0 4 ( 75 10 = 15 ( -2 ) 2 5 -2 ,25 = 3 ( -2 ) • 2 1) 21 (3/5) 2 5- · 5 5 y=~SSYdXdY=15(: _2) SdX о D ydy= (I-х/5) 5 s[~ (25 -X2 )-9 ( 1-~ )2J 4 •~ 15 (1 1 -2 ) 2 = 3 25 5 dx = о 5 S =15(n -2 ) .25 (5x-x )dx 2 9 2 12 [5х 1 ] 5 125 (n -2 ) -2 З ХЗ 0= 2 2... - У у 2 х + 2 круг, ограНИ'ченный ок ружносгью х 2 s=5S-v 1+x2:y2+x2~y2dXdY= D п /2 = у "2 ~ ~ dx dy = 2 ~ D =2 2 ~ 5~ p21~ со, е о п /2 2 d8 - l /2 d8 =2 2 со в ~ Р dp = О +S Об· + 2= 2х, ~ 4 cos 2 8 d6= о ,r- (' r- [ 1 ] п /2 г =2" 2 ~ (I+cos28)d6 =2" 2 8 +2" SI 28 () =Л " 2 (кв ед.) 68 Вычислить площадь цилиндра х 2 = 2 , отсе поверхности ченной плоскостями - 2 = О, У = 2 , х = 2V -2 (рис 15) 6 Областью... == =~ (2/ 3,}'"g::x; -3 3 -( t/8)Vt-xl (2/ 3) V-g::;i Sdx }'"1-x l / 9-g l /4 5 Sdx S ;1 t dz ~ О -( 2/ 3)У 9- -3 S d!l ' ( 1-: ; ~ )dy= =.! 5 [( I_~).i У. 9- x2 _.! 16 ( 9- 2 )3 / 2] dx = 2 9 З : 12 27 -3 =~ - 3 3 11 /2 S(9_ 2) 3 /2 dx=~ S(9_ 2) 3 /2 dX=~ S81 О -3 11 /2 =8 S (l+cos2i)ldt =2 4 dt = О ['+Sln2t+~+.! SIn4t]>t /2= 2.!."::=31t ' ' о ' .·6J d8 5I 2 сщ,~f) (SIГ,З е+ (:оз3 Р dp = О nМ d8=a 2 8 )2 (' ~ tg 2 8cQ!;48 d8= (1 + tg З 8 )2 ~os(j б Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями: 41 х=у 2- 2 у, х+у=о 43 2= 4х_х 2 , 2= 2х (вне парабо.ТJЫ) y2+2y-' Зх+l=О, З -3 -7 =О 45 42 44 46 у= 2- , 2= 4х+4 3 2= 25х,... поверхностями х 2 + 2= а 2 • 16 1 x 2 +y2=aZ, f:j Рассмотрим восьмую часть заданного те.lа (рис а ~v= 12) : 1/ а '- ' 55 Ya 5ya - dх S 5(a - )dХ=[ а - ~ хз J~= ~ аЗ 2 2 Z -x2 dxdy= О D dy= О а 2 = 2 2 о Сле;r.овательно, v= Iба 3 /3 1; Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями: 55 2 + 2 = х'= о, 8, v= о, z= х+и+ г =4 56 z=o О, Z У=О, х =2 З, 57 x2+4y2+ Z = 1 ,2= 0 58 г= 2 + 2, y=xz, У= 1, 2= 0 59... дх=Х' служит треугольник ОАВ ду=О Тогда 21 / 2 2х о = ~ ~ у 1+ х 2 dx dy = ~ ~ у 1+ х 2 dx ~ о 2 2 = 5 ~ ху Из уравнения dy = zV2 5 1+ х 2 dx=: о (1 +X 2) 1 /2 d (1 + xZ) = о 3 2 3 /2) 2 2 =IЗ(кв.ед )." =4"з(l+х 2 ) о 69 Вычислить площадь части поверхности = 1- у? - 2, вырезанной цилиндром 2 + 2 = 1 параболоида х = 'l !J Рис 6 Об.1асть Рис 14 2+ г 2= интегрировани - кружность в плоскости уОг) Из уравнения . z=Ya. 2 _x 2 _ y 2: az=_ . х ; aayz= у ; дх у 2_ 2_ 2 У 2_ 2_ 2 , ;- (aZ ) 2 ( az ) а , ;- х 2 у 2 а у 1 + дх + ду = r 1 + а 2 _Х 2 _ у 2+ а 5 _х 2 _ у l у а 1 _х 2 _ у 2 . х 2 + 2= 2х, или Р =2 cos 6. Тогда s=5S-v 1+x2:y2+x2~y2dXdY= D п /2 2 со. в = у" ;2 ~ ~ dx dy = 2 ~ d8 ~ Р dp = D -Тl /2 О ~ ~ =2 2 5 ~ p21~ со, е d8 =2 2. . 41. х= 2- 2у, х+у=о. 42. у =2- х, 2= 4х+4. 43. 2= 4х_х 2 , 2= 2х 44. 3 2= 25х, 5х 2 =9у. (вне парабо.ТJЫ). 45. y2+2y-' Зх+l=О, Зх-3у-7=О. 47. у= 4х- 2& quot; У= 2 ' -5х.