ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐOÀN THỊ CÚC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỒN THỊ CÚC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội – Năm 2013 Mục lục Mở đầu Phương trình lượng giác 1.1 Phương trình 1.2 Phương trình đưa dạng đa thức 1.3 Phương trình đưa dạng tích 1.4 Phương trình lượng giác giải phương 4 13 18 Bất phương trình lượng giác 2.1 Bất phương trình lượng giác 2.2 Sử dụng tính tuần hồn giải bất phương trình lượng giác 29 29 33 Ứng dụng phương trình bất phương trình lượng giác 3.1 Ứng dụng đại số 3.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 3.3 Ứng dụng hình học 37 37 58 70 Kết luận 86 Tài liệu tham khảo 87 pháp so sánh Mở đầu Chuyên đề lượng giác nội dung quan trọng chương trình tốn bậc Trung học phổ thơng Các tốn "Phương trình, bất phương trình lượng giác" thường xuất kỳ thi Đại học, Cao đẳng kỳ thi học sinh giỏi Việc nâng cao kiến thức giúp học sinh giải tốt tốn động lực để tơi nghiên cứu đề tài Bản luận văn chia làm chương Chương Phương trình lượng giác Trong chương này, số kiến thức nhắc lại Luận văn trình bày số phương pháp giải phương trình lượng giác Chương Bất phương trình lượng giác Ở chương luận văn đề cập đến phương pháp giải bất phương trình lượng giác Chương Ứng dụng phương trình bất phương trình Luận văn trình bày hai ứng dụng quan trọng phương trình, bất phương trình lượng giác đại số hình học Mặc dù thân cố gắng nghiêm túc học tập nghiên cứu khoa học thời gian có hạn, kiến thức thân cịn hạn chế nên q trình thực luận văn không tránh khỏi sơ suất Rất mong nhận góp ý thầy bạn Tơi xin chân thành cảm ơn Học viên Đồn thị Cúc Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lịng kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn tơi suốt q trình tơi thực đề tài Tôi xin gửi tới thầy cô Khoa Toán-Cơ -Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013 tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình ln động viên tơi suốt trình học tập làm luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Học viên Đoàn Thị Cúc Chương Phương trình lượng giác Phương trình lượng giác kiến thức quan trọng chương trình tốn học phổ thông Không tồn phương pháp chung để giải tất tốn phương trình lượng giác Người ta chia phương trình lượng giác (theo cách giải) thành hai loại: Loại Phương trình lượng giác giải túy biến đổi lượng giác Loại Phương trình lượng giác giải phương pháp đại số, giải tích Để giải phương trình lượng giác nhìn chung ta thường biến đổi phương trình cần giải hay số phương trình lượng giác đơn giản có cách giải 1.1 Phương trình Giả sử u,v biểu thức theo x: u = u(x),v = v(x) Khi ta có u = v + k2π (k ∈ Z) u = π − v + k2π sin u = sin v ⇔ u = v + k2π u = −v + k2π cos u = cos v ⇔ ( tan u = tan v ⇔ π + kπ u = v + lπ u 6= cot u = cot v ⇔ u 6= kπ u = v + lπ (k ∈ Z) (k, l ∈ Z) (k, l ∈ Z) Bài tốn 1.1 Giải phương trình 5π sin 7x− Lời giải Ta có + cos 2x + ⇔ 7x − 5π 5π 7x − (1.1) = 5π π = − cos 2x + 5π π ⇔ sin 7x− = sin 2x − 6 2π k2π π x= = 2x − + k2π + 15 ⇔ 7π 2π k2π = − 2x + k2π + x= 9 (1.1) ⇔ sin 7x− π (k ∈ Z) Vậy nghiệm phương trình x= 2π k2π 2π k2π + ; x= + (k ∈ Z) 15 9 Bài toán 1.2 Giải phương trình 5π tan x = cos 2x + 12 + sin 5π x+ 12 Lời giải Điều kiện xác định cos x 6= ⇔ x 6= 5π + sin x sin 3x + (1.2) π + lπ (l ∈ Z) Ta có sin (a + b) sin (a − b) = sin2 a cos2 b − cos2 a sin2 b = − cos2 a − sin2 b − cos2 a sin2 b Suy cos2 a + sin2 b + sin (a + b) sin (a − b) = (∗) Áp dụng (∗) ta có cos2 2x + 5π 12 + sin2 x + 5π 12 Do (1.2) ⇔ tan x = ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình x = + sin x sin 3x + 5π = π + kπ (k ∈ Z) π + kπ (k ∈ Z) Bài toán 1.3 Giải phương trình √ 2 + cos 3x.cos3 x − sin 3x.sin3 x = (1.3) Giải Ta có √ 2+3 2 (1.3) ⇔ cos x(cos 4x + cos 2x) − sin x(cos 2x − cos 4x) = 2 √ 2+3 2 2 ⇔ cos x cos 4x + cos x cos 2x − sin x cos 2x + sin x cos 4x = √ 2+3 2 2 ⇔ cos 4x(cos x + sin x) + cos 2x(cos x − sin x) = √ 2 + ⇔ cos 4x + cos2 2x = √ ⇔ cos 4x + 2(1 + cos 4x) = + √ ⇔ cos 4x = π kπ x= + 16 ⇔ −π kπ (k ∈ Z) + x= 16 Vậy nghiệm phương trình x= π kπ −π kπ + ; x= + (k ∈ Z) 16 16 Nhận xét 1.1 Việc khéo léo sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng giúp ta tránh việc sử dụng công thức lượng giác góc nhân ba Bài tốn 1.4 Giải biện luận phương trình (m − 1) sin x + − m = Lời giải *) Với m = phương trình cho trở thành sin x + = ⇔ sin x = −1 (phương trình vơ nghiệm) m−2 *) Với m 6= (1.4) ⇔ sin x = m−1 m − Khi (∗) có dạng tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = ⇔ tan α(tan β + tan γ) = − tan β tan γ − tan β tan γ ⇔ tan α = = cot(β + γ) tan β + tan γ π ⇔ α + β + γ = + kπ π 3π −1 + kπ < hay ≤k 0, y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y P =√ +√ 1−y 1−x Bài Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = Tìm giá trị lớn A = x(1 − y )(1 − z ) + y(1 − z )(1 − x2 ) + z(1 − x2 )(1 − y ) 3.3 Ứng dụng hình học I Kiến thức cần nhớ Đường tròn ∗ Đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có phương trình (x − a)2 + (y − b)2 = R2 Ta viết lại phương trình (C) dạng 2 x−a R + y−b R tồn góc t ∈ [0, 2π) thỏa mãn x − a R = sin t ⇔ y − b = cos t 2 x = a + R sin t y = b + R cos t = t ∈ [0, 2π) (1) R Phương trình (1) gọi phương trình tham số dạng lượng giác đường trịn (C) 70 ∗ Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M ∈ (C) có dạng d (x − a) sin t + (y − b) cos t = R Tọa độ tiếp điểm (C) với d x = a + R sin t y = b + R cos t Elip ∗ Elip(E) có phương trình tắc x2 y + = a2 b Ta viết lại phương trình (E) dạng x 2 y 2 + a b =1 tồn góc t ∈ [0, 2π) thỏa mãn x a = sin t y = cos t ⇔ x = a sin t y = b cos t t ∈ [0, 2π) (2) b Phương trình (2) gọi phương trình tham số dạng lượng giác Elip ∗ Phương trình tiếp tuyến (E) điểm M thuộc (E) có dạng x y sin t + cos t = a b Hypebol ∗ Hypebol H có phương trình tắc x2 y − = a2 b Ta viết lại phương trình (H) dạng x 2 y 2 =1+ a b n π 3π o tồn góc t ∈ [0, 2π) \ , thỏa mãn 2 x a = a cos t x = n π 3π o cos t ⇔ t ∈ [0, 2π) \ , (3) 2 y = tan t y = b tan t b Phương trình(3) gọi phương trình tham số dạng lượng giác Hypebol(H) ∗ Phương trình tiếp tuyến (H) điểm M ∈ (H) có dạng bx − ay sin t = ab cos t 71 Bài tập áp dụng Dạng 1.Tìm điểm thuộc (C), (E), (H) biết số điều kiện Bài toán 3.40 Cho đường trịn (C) có phương trình (x − 1)2 + (y − 2)2 = Cho 4ABC nội tiếp đường tròn (C) Xác định tọa độ đỉnh B, C biết điểm A(−2, 2) Lời giải Phương trình đường trịn (C) cho có dạng tham số x = + sin t y = + cos t t ∈ [0, 2π) Gọi điểm M ∈ (C) suy M (1 + sin t, + cos t) Giả sử AB = a, ta √ √ √ R= ⇔ a = R = 3 √ Bài tốn trở thành "Tìm điểm M ∈ (C) cho AM = 3." Ta có √ √ 3 − ,2 − B cos t = 2 AM = 27 ⇔ sin t = ⇔ ⇒ √ √ 3 cos t = ,2 + C 2 Vậy B √ √ 3 3 ,2 − , C ,2 + thỏa mãn yêu cầu toán 2 2 Bài toán 3.41 Cho điểm A(0, 1) đường trịn (C) có phương trình x2 + y − 4x − 6y + 11 a) Lập phương trình tham số (C) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường tròn cho khoảng cách M A đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Lời giải √ a) Đường trịn cho có tâm I(2, 3), bán kính R = Phương trình tham số đường trịn (C) √ x = + √ sin t y = + cos t 72 t ∈ [0, 2π) √ √ b) Điểm M ∈ (C) suy M (2 + sin t, + cos t) Khi √ √ 2 2 MA = + cos t √ = + sin t + sin2 t + + cos t + cos2 t π = 10 + sin t + √ sin t + 2+ Vậỵ √ π π = ⇔ t = ⇒ M (3, 4) M Amax = 2, đạt sin t + 4 √ π 3π M Amin = 2, đạt sin t + ⇒ M (1, 2) = −1 ⇔ t = 4 Vậy có điểm M (3, 4), M (1, 2) thỏa mãn yêu cầu toán Bài tốn 3.42 Cho Elip (E) có phương trình x2 y + = Tìm điểm M thuộc Elip cho a) Có tọa độ số nguyên b) Có tổng hai tọa độ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Lời giải a) Phương trình tham số (E) √ x = √2 sin t y = 2 cos t √ t ∈ [0, 2π) √ Khi điểm M ∈ (E) suy M ( sin t, 2 cos t) Suy giá trị góc α để x, y nguyên π 3π 5π 7π , , , 4 4 Ta M (1, 2), M (−1, 2), M (−1, −2), M (1, −2) b) Điểm M (x0 , y0 ) ∈ (E) suy √ x0 = √2 sin t y0 = 2 cos t Khi x0 + y = √ t ∈ [0, 2π) √ sin t + 2 cos t 73 Vậy p√ √ √ ~ (x0 + y0 )max = ( 2)2 + (2 2)2 = 10, đạt √ ~ (x0 + y0 )min √ √ √ sin t + 2 cos t = 10 ⇔ sin t = − cos t √ √ sin t = √ 10 10 , ⇒M ⇒ 5 cos t = √ √ = − 10, đạt √ √ √ √ sin t + 2 cos t = − 10 ⇔ sin t = − − cos t √ √ sin t = − √ 10 10 −4 ⇒ ⇒M − , 5 cos t = − √ Bài tốn 3.43 Cho Hypebol (H) có phương trình x2 y − = Tìm điểm thuộc Hypebol có tổng bình phương khoảng cách tới hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ Lời giải Hypebol có hai đường tiệm cận d1 : y = x ⇔ x − 2y = −1 d2 : y = x ⇔ x + 2y = Chuyển phương trình (H) dạng tham số x = a cos t x = cos t ⇔ y = tan t b Khi đó, điểm M ∈ (H) suy M t ∈ [0, 2π) \ y = tan t cos t , tan t Khoảng cách từ M tới hai tiệm cận cho