(Skkn 2023) khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT QUANG MINH  - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÀM ĐẶC TRƯNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Lĩnh vực/mơn : Tốn Cấp học : THPT Tác giả : Bùi Khánh Phương Đơn vị công tác : Trường THPT Quang Minh Chức vụ : Giáo viên Năm học 2022 - 2023 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐƠN U CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội Họ tên Bùi Khánh Phương - Ngày, tháng, năm sinh Nơi công tác Trường THPT 23/07/1981 Quang Minh Chức danh Giáo viên Trình độ chuyên môn Tên sáng kiến Thạc sỹ Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học Sáng kiến đưa cách sử dụng tính chất hàm đặc trưng để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số - Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu 22 tháng 10 năm 2022 - Bản chất sáng kiến: sáng kiến giải vấn đề sau: Một là: Điều tra thực trạng việc dạy học giáo viên học sinh giảng dạy nội dung kiến thức nói đề tài Hai là: Hệ thống lại kiến thức lý thuyết hàm số có liên quan đến đề tài Ba là: Giới thiệu dạng tốn thường gặp sử dụng tính chất hàm đặc trưng để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Bốn là: Giới thiệu 13 ví dụ có lời giải phương trình, 11 ví dụ có lời giải bất phương trình ví dụ có lời giải hệ phương trình đại số sử dụng tính chất hàm đặc trưng để giải Năm là: Đánh giá tính khả thi đề tài sau áp dụng (có số liệu kèm theo) - Điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: cho đối tượng học sinh lớp 12 - Danh sách người tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: STT Họ tên Ngày, tháng, năm sinh Nơi công tác Trường Đàm Thị THPT 10/5/1985 Thảo Quang Minh Trường Đặng Thị THPT Phương 1/12/1980 Quang Thơm Minh Chức danh Giáo viên Giáo viên Trình độ chun mơn Nội dung cơng việc hỗ trợ Thạc sỹ Áp dụng sáng kiến với lớp 12A5 Thạc sỹ Áp dụng sáng kiến với lớp 12A1 12A2 Tôi xin cam đoan trước thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật Quang Minh, ngày 10 tháng năm 2023 Người nộp đơn Bùi Khánh Phương Page of 59 MỤC LỤC NỘI DUNG MỞ ĐẦU ……………………………………………………………… TRANG Lý chọn đề tài…………………………………………………… 2 Mục đích nghiên cứu ……………………………………………… Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu…………………… Phương pháp nghiên cứu …………………………………………… Kế hoạch nghiên cứu………………………………………………… Những đóng góp đề tài………………………………………… Cấu trúc đề tài…………………………………… Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN……………………… I Cơ sở lý luận ………………………………………………… II Cơ sở lý thuyết …………………………….……… Chương 2: KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÀM ĐẶC TRƯNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ …………… I Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải phương trình …… II Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải bất phương trình …… 22 IIII Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải hệ phương trình …… 32 Chương 3: THỰC NGHIỆM SỰ PHẠM……………………………… 44 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ …………………………… 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 PHẦN MINH CHỨNG 50 Page of 59 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học, suy nghĩ nhiều người, nhiều hệ học trị mơn học khó khơ khan Với người có tư tốn học tốt việc học mơn học có phần đơn giản chút, cịn với số đông người khác, việc tương đối phức tạp Tuy nhiên, tốn học mơn khoa học tự nhiên có vai trị quan trọng học tập đời sống Mơn tốn cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức phổ thông, thiết thực khơng giúp ích sống mà hỗ trợ cho việc học tập mơn khác hóa học, vật lý, sinh học, địa lý… Bên cạnh đó, cịn rèn cho học sinh óc tư sáng tạo khả trực quan nhanh nhạy; hình thành cho em phẩm chất cần thiết cẩn thận, kiên trì, trung thực, tỉ mỉ u thích khoa học Tuy nhiên có nhiều học sinh sợ học mơn tốn đặc trưng mơn khoa học tự nhiên địi hỏi người học phải có khả tư cao, kiến thức có liên kết kế thừa từ thấp đến cao Trong chương trình Giải tích 12, nội dung kiến thức hàm số nằm chương I Đây nội dung quan trọng chương trình tốn 12, việc vận dụng kiến thức hàm số để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số thường xuất đề thi học sinh giỏi lớp 12 Sở, đề thi tốt nghiệp, hay đề thi Đại học Trong vài năm gần đây, việc sử dụng hàm đặc trưng để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đề thi đại học, cao đẳng đề thi học sinh giỏi sử dụng phổ biến Nhằm giúp học sinh nắm vững phương pháp sử dụng tính chất hàm đặc trưng giải toán kết hợp phương pháp với phương pháp khác, linh hoạt cách xử lí để giải dạng tốn Tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình đại số” Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu tính hiệu khả thi đề tài việc giải tốn giải phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình q trình dạy tốn lớp 12 Page of 59 - Giúp học sinh có phương pháp hữu hiệu giải tốn phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình, từ hình thành cho học sinh kỹ biến đổi, khả so sánh, phân tích tổng hợp tốt, đồng thời có tư sáng tạo, linh hoạt giải tốn - Đóng góp hệ thống tốn phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình đề thi học sinh giỏi, đề thi Đại học, Cao đẳng trường nước - Góp phần gây hứng thú cho học sinh giải toán giải phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình Từ giúp học sinh có hứng thú học tập hơn, tự tin việc giải tập toán - Nghiên cứu đề tài giúp nâng cao nghiệp vụ chuyên môn thân, rút kinh nghiệm giảng dạy tư liệu tra cứu cho học sinh giáo viên học dạy nội dung Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiêm cứu a) Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp chọn 12 ban Cơ đặc biệt đội tuyển học sinh giỏi, học sinh thi Đại học, Cao đẳng - Kiến thức Giải tích 12 chương b) Phạm vi nghiên cứu - Kiến thức hàm số, phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình - Sách giáo khoa, sách giáo viên số sách tham khảo - Đề thi đại học, học sinh giỏi trường nước số tài liệu Internet Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: a) Nghiên cứu tài liệu - Đọc tài liệu, sách báo, tạp chí giáo dục, đề thi học sinh giỏi trường nước - Nghiên cứu làm học sinh - Xây dựng hệ thống tập dựa nghiên cứu đề tài Page of 59 b) Nghiên cứu thực tế - Phương pháp đàm thoại vấn: dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp - Phương pháp quan sát (công việc giải tập học sinh) - Phương pháp điều tra: thăm dò ý kiến GV HS học nội dung - Phương pháp thực nghiệm: tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi đề tài Đưa vào giảng dạy lớp chọn 12A1, 12A2, 12A5 trường học ôn tập nội dung Giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 Kế hoạch nghiên cứu - Nghiên cứu nội dung phần hàm số, phương trình, bất phương trình hệ phương trình sách giáo khoa, sách giáo viên tài liệu tham khảo - Nghiên cứu đề thi đại học đề thi học sinh giỏi lớp 12 trường THPT nước - Nghiên cứu việc lĩnh hội kiến thức học sinh lớp, áp dụng đề tài cho học sinh vào buổi chuyên đề, buổi ôn luyện học sinh giỏi - Có đánh giá tiến học sinh áp dụng đề tài học sinh trước sau áp dụng, lớp phân công giảng dạy từ tháng năm 2022 đến tháng năm 2023 Những đóng góp đề tài - Điều tra thực trạng dạy- học nội dung hàm số trường THPT Quang Minh năm trở lại - Đề xuất phương pháp giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình cách sử dụng tính chất hàm đặc trưng - Phân dạng nêu toán thường gặp giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình - Xây dựng hệ thống tốn giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình có phân tích tỉ mỉ trường hợp giải Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo minh chứng, đề tài gồm chương: Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn Chương 2: Khai thác tính chất đặc trưng hàm số để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Chương 3: Thực nghiệm phạm Page of 59 Chương I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN I Cơ sở lý luận Mơn Tốn môn học khác cung cấp tri thức khoa học, nhận thức giới xung quanh nhằm phát triển lực nhận thức, hoạt động tư bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp người Mơn Tốn có khả giáo dục lớn việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận logic, thao tác tư cần thiết để người phát triển tư tồn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho người lao động thời đại Dựa nguyên tắc trình nhận thức người từ “cái sai đến gần đến khái niệm đúng”, nguyên tắc dạy học đặc điểm trình nhận thức học sinh Khơi dạy phát triển lực tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động tới tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Thực trạng vấn đề trước khí áp dụng đề tài Với điểm đầu vào thấp so với số trường khu vực, khó khăn khơng nhỏ với học sinh tơi tiếp cận tốn vận dụng giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Có nhiều tốn em cảm thấy lúng túng xử lý II Cơ sở lý thuyết Một số kết quả: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục tập D số nghiệm D phương trình f ( x ) = a không nhiều nghiệm u, v  D : f(u) = f(v)  u = v Nếu hàm số y = f ( x ) ln đồng biến liên tục tập D u, v  D : f(u) < f(v)  u < v Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến liên tục D u, v  D : f(u) < f(v)  u > v Phương pháp giải số dạng Dạng 1: Phương trình đưa dạng: f(u) = f(v) u = u ( x ) , v = v ( x ) Page 45 of 59 Đối với GV: lấy phiếu khảo sát (mẫu phiếu phần minh chứng) +) Khảo sát sau thực nghiệm: Đối với học sinh: lấy phiếu khảo sát cho làm kiểm tra (mẫu phiếu nội dung kiểm tra phần minh chứng) Đối với GV: lấy phiếu khảo sát (mẫu phiếu phần minh chứng) Qua khảo sát, kết thực nghiệm thu sau: 1) Về thái độ điều tra Trước chuyên đề Sau chun đề Khơng hứng thú Bình thường Hứng thú Thời gian HS Tỉ lệ (%) HS Tỉ lệ (%) HS Tỉ lệ (%) 22 15% 67 47% 95 68% 90 64% 40 29% 10 7% 2) Về kết học tập mơn tốn Thời gian điều tra Trước chun đề Sau chuyên đề Giỏi Khá Trung bình (8 – 10) (6,5 – 7,9) (5 – 6,4) HS Tỉ lệ (%) HS Tỉ lệ (%) HS Tỉ lệ (%) ( 0, t  suy hàm số f(t) đồng biến Mặt khác f(t) hàm số liên tục Do phương trình x +1  (1)  f (x + 1) = f ( 3x + 1)  x + = 3x +   3x + = ( x + 1)  x  −1  x  −1 x =     x =   (thỏa mãn điều kiện (*)) x − x = x =  x =  Vậy tập nghiệm phương trình T = 0;1 Bài 2: Điều kiện:  x  ()  ( x − 1)2 + + x −  (3 − x)2 + + − x  f ( x − 1)  f (3 − x) 0  x −   0  − x  Do  x    Xét hàm số f (t ) = t + + t 0;  có: Page 59 of 59 f (t ) = t t2 + + t  0, x  ( 0;   f ( x) đồng biến 0;  Nên ta có: f (x − 1)  f (3 − x)  x −  − x  x  Kết luận: Giao với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x  ( 2;  x  Bài : Điều kiện :  y  Phương trình thứ hệ tương đương với : ( x − 2) + ( x − ) = ( y − 1) + ( y − 1) Xét hàm số f (t ) = t + 3t , ( t  (1) ) Khi ta có f ' ( t ) = 3t +  0, t  Do f (t ) hàm đồng biến Nên phương trình (1) trở thành f ( x − ) = f ( y − 1)  x − = y −  y = x − Thay y = x − vào phương trình thứ hai ta được: − x = x −  − x = x − x  x      x =  x = 3 − x = x − x +   x = −1  Với x = y = (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1)