Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM o0o NGÔ THỊ HỒNG TIÊU CHUẨN CHÍNH QUY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH CAHN HILLIARD NAVIER STOKES NÉN ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2021 ĐẠI HỌC TH[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM … o0o…… NGƠ THỊ HỒNG TIÊU CHUẨN CHÍNH QUY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH CAHN-HILLIARD-NAVIER-STOKES NÉN ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN -2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM … o0o… NGÔ THỊ HỒNG TIÊU CHUẨN CHÍNH QUY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH CAHN-HILLIARD-NAVIER-STOKES NÉN ĐƯỢC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS Phạm Thị Thủy THÁI NGUYÊN - 2021 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành dưới hướng dẫn TS.Phạm Thị Thủy Do kiến thức mới mẻ khoảng thời gian nghiên cứu hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót.Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô người để luận văn hồn thiện Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Thị Thủy trực tiếp giao đề tài, hướng dẫn giúp đỡ tận tình suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn q thầy quan tâm, nhiệt tình giảng dạy suốt khóa học Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ tơi suốt q trình học hồn thành luận văn Trân trọng cảm ơn! i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2021 Người viết luận văn Ngô Thị Hồng Xác nhận Xác nhận Trưởng khoa Toán người hướng dẫn khoa học TS Phạm Thị Thủy ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN ii MỤC LỤC iii Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình Navier-Stokes 1.2 Các không gian hàm 1.2.1 Không gian hàm trơn 1.2.2 Không gian Lq 1.2.3 Không gian Sobolev 1.2.4 Hàm suy rộng Chương Tính quy dựa đẳng thức lượng cho 11 hệ Cahn-Hilliard-Navier-Stokes nén 2.1 Bài toán 11 2.2 Tính quy nghiệm 13 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 iii Lời nói đầu Hệ phương trình Navier-Stokes lần nghiên cứu vào năm 1822 Từ đến nay, có nhiều cơng trình nghiên cứu hệ phương trình Muốn hiểu tượngchuyển động dịng chảy chất lỏng khơng khí tự nhiên, sóng dập sau tàu chạy mặt nước, tượng hỗn loạn khơng khí sau đuôi máybay bay bầu trời phải tìm cách giải phương trình Navier – Stokes Do đó, việc nghiên cứu tồn nghiệm, tính nghiệm, tính quy nghiệm, đẳng thức lượng đánh giá nghiệm cần thiết Việc nghiên cứu tính chất định tính nghiệm, chẳng hạn tính quy nghiệm phương trình vi phân đóng vai trị quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Gần có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes đạt thành tựu quan trọng T Buckmaster, Z Liang, A Giorgini, A Miranville, J Shuai, R Temam,…Đặc biệt, phương pháp sử dụng đẳng thức lượng để nghiên cứu tính quy nghiệm nhiều nhà khoa học quan tâm Luận văn: “Tiêu chuẩn quy cho hệ phương trình Cahn-HilliardNavier-Stokes nén được” nghiên cứu trình bày tồn tại, tính quy nghiệm hệ phương trình Cahn-Hilliard-Navier-Stokesnén được, mối quan hệ bảo tồn lượng bậc quy cho nghiệm yếu Luận văn bố cục thành chương với lời nói đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Trong đó, Chương nội dung luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm kết sở cần thiết sử dụng Chương Chương 2: Tính quy dựa đẳng thức lượng cho hệ phương trình Cahn-Hilliard-Navier-Stokes nén Trình bày nghiệm yếu, chứng minh tính quy nghiệm dựa đẳng thức lượng Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày phương trình Navier-Stokes; số khơng gian hàm tính chất, bất đẳng thức thông dụng vài khái niệm khác để bổ trợ cho việc nghiên cứu Chương Tài liệu trích dẫn từ [1],[3],[7],[10] 1.1 Phương trình Navier-Stokes Giả sử n miền tổng quát, không rỗng với biên Cho u (t, x ) = (u1 (t, x ) , u2 (t, x ) , , un (t, x )) vận tốc chất lỏng điểm (t, x ) = (t, x1, x2 , , xn ) , t [0, T ), x cho p ( t , x ) áp suất chất lỏng ( t , x ) ngoại lực f (t, x ) = ( f1 (t, x ) , f2 (t, x ) , , f n (t, x )) Trong vật lý đại giả sử chuyển động chất lỏng miêu tả hệ phương trình ut − vu + u.u + p = f div ( u ) = (1.1) với t 0, T ) , x , hệ phương trình gọi hệ phương trình NavierStokes Phương trình mơ tả cân lực theo định luật Newton Điều kiện div ( u ) = thể chất lỏng đồng không nén Hằng số v gọi độ nhớt chất lỏng, phụ thuộc vào tính chất vật lý chất lỏng số cố định ut đạo hàm theo hướng thời gian, viết ut = u = Số hạng ut + u.u = ut + u1 d u = u t dt + + un u mơ tả gia tốc tồn phần phần x1 xn nhỏ chất lỏng Kí hiệu D j = , x j j = 1, 2, , n, = ( D1 , , Dn ) div u = u = D1u1 + + Dnun Số hạng −vu = −v ( D12 + + Dn2 ) u mô tả lực ma sát hạt nhỏ chất lỏng p = ( D1 , D2 , , Dn ) p chênh lệch áp suất p Hệ phương trình Navier-Stokes hệ thống gồm n + phương trình đạo hàm riêng với n + biến ( t , x1 , , xn ) n + hàm chưa biết ( p, u1, , un ) Hệ phương trình ta thêm điều kiện biên u = (1.2) Điều có nghĩa u ( t , x ) = với t 0, T ) x Hơn nữa, ta thêm điều kiện ban đầu u ( ) = u0 (1.3) với vận tốc ban đầu u0 thời điểm t = Điều có nghĩa u ( 0, x ) = u0 ( x ) , x Hệ phương trình (1.1) với điều kiện (1.2), (1.3) gọi toán với điều kiện hỗn hợp ban đầu f , u0 cho hệ phương trình Navier-Stokes Trong (1.1) bỏ qua số hạng phi tuyến u.u ta hệ phương trình Navier-Stokes tuyến tính ut − vu + p = f , div u = 0, u = 0, u (0) = u0 , gọi hệ Stokes không dừng Nếu f , u, p không phụ thuộc vào t ta hệ Stokes dừng −vu + p = f , div u = u = Bỏ qua ut (1.1) ta hệ Navier-Stokes dừng 1.2 Các không gian hàm 1.2.1 Không gian hàm trơn Cho k N , C k () khơng gian tất hàm u : → , x thỏa mãn D u tồn liên tục với n u ( x) , k C () không gian hàm liên tục u : → C () := k =0 C k () gọi không gian hàm trơn Kí hiệu M bao đóng tập M Thì Suppu := x ; u ( x) 0 gọi giá trị hàm u : → Nếu k k = , đặt C0k () := u C k (); supp u compact, supp u Một hàm liên tục u : → gọi liên tục Lipschitz hay hàm Lipschitz u C 0,1 = u C 0,1 ( ) := sup u ( x) + sup x x , y , x y u ( x) − u ( y ) hữu hạn x− y Đặt C 0,1 () không gian hàm Lipschitz xác định với chuẩn u C 0,1 ( ) := sup u ( x) + sup x x , y , x y u ( x) − u ( y ) x− y Cho n T Ta định nghĩa không gian C0, () := u C0 () n ; div u = 0 Không gian hàm thử định nghĩa sau: C0 ((0; T ); C0, ()) := u C0 ((0; T ) ;div u = 0 1.2.2 Không gian Lq Định nghĩa Cho n , n 1, miền, cho q Lq () định nghĩa khơng gian Banach hàm đo Lebesgue u xác định với chuẩn hữu hạn u q = u q , = u = u Lq ( ) q := ( u ( x) dx) q Lq Nếu q = 2, Lq () = L2 () trở thành khơng gian Hilbert với tích vơ hướng u, v = u, v := u ( x)v( x)dx với u, v L2 () Nếu q = , ta đặt Lq () = L () không gian Banach hàm đo u với chuẩn ess-sup hữu hạn u Đặt q ' := = u , = u L ( ) = u L := ess-sup u( x) x q số mũ liên hợp q , đặt q ' = q = q ' = q −1 q = Đặt 1 1 = q ' = , = q = Chúng ta đạt + = q' q q q' 1.2.3 Không gian Sobolev Lý thuyết phương trình Navier-Stokes xác định cách sử dụng không gian Sobolev bên dưới Ở n miền tùy ý với n Giả sử k N q khơng gian Lq - Sobolev bậc k Wk ,q () định nghĩa không gian u Lq () cho D u Lq () với k , Chuẩn k Wk ,q () định nghĩa u w k ,q ( ) = u w k ,q = u k ,q = u k ,q , := ( D u ) q , q k q q với1 1 = + , = t = x Hơn nữa, → , r r1 r2 ( g ) − ( g ) → Lr , r = r , r2 r r r2 = Bổ đề 2.2.3 Giả sử f Lr1 , g Lr2 với r1 , r2 Khi với → , ( fg ) − f g → ( fg ) − fg → Lr với 1 = + r r1 r2 Định lí 2.2.4 Cho ( , u, , c) nghiệm yếu Bài toán (2.1)-(2.6) thỏa mãn (2.12), (2.13) với mật độ ( x, t ) , L (0,T , L2 ) u Lp (0,T , Lq ), (2.15) 3 + , q 6, p 2q (2.16) u0 Lq0 , q0 3, (t ) + T (1 u + (1 + 2 )(divu )2 + ) = (0), t Khác với phương trình Navier- Stokes mơ tả chuyển động chất lỏng riêng lẻ, phương trình Cahn- Hilliard tạo hàm áp lực p = p( , c) phụ thuộc khơng vào mà cịn phụ thuộc vào c Chứng minh Với cố định, ta định nghĩa hàm (t ) C10 ( , T − ) kiểm tra (2.8) (2.9) = ( (t )u ) , để suy T (t ) u ( t ( u ) + div( u u ) ) = T (t )u div( S ns + Sc − pI ) (2.17) T (t ) ( t ( c) + div( uc) ) = − T (t ) (2.18) Để chứng minh định lí ta chứng minh (2.17) (2.18) thông qua giới hạn - Giới hạn (2.17) (2.18) 14 Ta xét mệnh đề sau Mệnh đề 2.2.5 Giả sử hàm ( , u, , c) nghiệm yếu Bài toán (2.1)- (2.6), T T 0 − ' (t )dt + (1 u + (1 + 2 )(divu ) + )dxdt = 0, 2 (2.19) với (t ) thỏa mãn (2.11) Chứng minh Bước 1: Ta có vế trái (2.17) T T u ( u) = u (( u) t t T − u ) + u t ( u ) T = L1 + u t ( u ) = L1 − T ' T ( ) u − u t 0 0 T u div( u u ) T = u (div( u u ) − div( u u )) − = L2 − T udiv u ( ) 0 T udiv u ( ) 0 Kết hợp hai đẳng thức cuối ta có T u ( t ( u ) + div( u u ) ) T ' T u − u + udiv u ( ) ( ) t t 0 0 T = L1 + L2 − ' u , = L1 + L2 − (2.20) đẳng thức cuối ta dùng = div( u ) (2.7) Từ (2.13) (2.15), t = − divu − u. L2 (0,T ; L3/ ) Để tiếp tục, ta chứng minh 15 (2.21) u L4 (0,T ; L6 ) (2.22) Khi 𝑇 L1 ≲ |∫ ∫ u t (( u) − u ) | ≲ C u ≲C u t ( u ) L4loc (0,T ; L6 ) L4 (0,T ; L6 ) t L2 (0,T ; L2 ) (0,T;L6/5 ) Lloc (2.23) Từ kết (2.23) Bổ đề 2.2.2 ta nhận L1 → → Ta có khẳng định tương tự cho L2 Do lim( L1 + L2 ) = (2.24) →0 Tiếp theo ta chứng minh tính đắn (2.22) Thật vậy, từ (2.13) (2.15) ta có u L (0,T ; L2 ) Theo bất đẳng thức nội suy u L4 (0,T ; L6 ) u ( q −6) 3( q − 2) L (0,T ; L2 ) u 2q 3( q − 2) u 8q L3( q − ) (0,T ; Lq ) Lp (0,T;Lq ), bất đẳng thức cuối (2.16) Bước 2: Xét vế trái (2.18), ta có T ( t ( c) + div( uc) ) T T = ( t ( c) − t ( c )) + (div( uc) − div( uc )) 0 T T + ( t c + t c ) + ( u. c + div( u )c ) (2.25) T = L3 + L4 + ( t c + u. c ), đẳng thức thứ tổng quát (2.7) trường hợp = c Theo bất đẳng thức kiểu Hardy [6], với r 2,6 r L (0,T ; L ) ≲ − c L (0,T ; L ) −1 L2 (0,T ; L2 ) ≲ c− −1 + c + ≲ L (0,T ; L ) +1 L (0,T ; L ) + ≲ c + L (0,T ; L2 ) 16 2 L (0,T ; L2 ) (2.26) Khi từ (2.15) (2.12) ta có c ≲ + 2c L2 (0,T ; W 2,6 ) ≲ + c L2 (0,T ;L6 ) ≲ ( + ≲( Từ (2.13), (2.21) (2.26) ta có L3 ≲ T ≲( ≲ L2 (0,T ;L6 ) f ( , c) c L2 (0,T ;L6 ) ) L2 ( 0,T ;L6 ) + 1) ≲ (2.27) ( t ( c) − t ( c )) L2 (0,T ;L6 ) L2 (0,T ;L6 ) t ( c) − t ( c c L (0,T ;L6 ) t L2 ( 0,T ;L5 ) L2 (0,T ;L3/ ) Từ từ Bổ đề 2.2.2 ta có L3 → → Ta có khẳng định tương tự cho L4 Do lim( L3 + L4 ) = (2.28) →0 Tiếp theo T t c = − T T t ( ( − ( ) ))c + ( ) t c f ( , c) ) tc 0 c T T f ( , c) = L5 − ' c + ( ) tc , c T T = L5 + c t c + ( (2.29) đẳng thức thứ hai có từ (2.10) với = ( c ) Từ (2.13), (2.15), (2.21) (2.26), L5 ≲ ( ( − ( ) ≲ ( ( − ( ) L1loc (0,T ;L5 ) 6 (0,T ;L5 ) Lloc + t ( − ( ) + t ( − ( ) ) 17 L1loc (0,T ;L5 ) L1loc (0,T ;L5 ) )c ) L (0,T ;L6 ) ≲ L2 (0,T ;L6 ) ( + t L (0,T ;L2 ) L2 (0,T ;L3/ ) ) Từ Bổ đề 2.2.2 Bổ đề 2.2.3 ta suy lim L5 = (2.30) →0 Bổ đề 2.2.6 Từ (2.20), (2.25) (2.29) tổng vế trái (2.17) (2.18) T i =1 L := Li − ' ( u + T T f ( , c) c ) + ( ) t c + u.c , 0 c (2.31) lim Li = 0, →0 (2.32) i =1 có từ (2.24), (2.28), (2.30) Bước 3: Xét vế phải (2.17), T divSc u = T (c c − c = R1 + T = R1 − T = R1 + T = R1 + T 0 0 (c c − c u I ) : u c I ) : u c ( − (( ) u f ( , c) ) u c c (2.33) − u).c T f ( , c) ) u c + u. c 0 c T T f ( , c) ) u c + u. c , = R1 + R2 − ( 0 c − T ( Từ (2.27) Bổ đề 2.2.3 ta kiểm tra lim R1 = (2.34) →0 Và từ (2.13), (2.15), (2.22), (2.26) Bổ đề 2.2.3 ta suy lim R2 ≲ lim c →0 →0 L (0,T ;L2 ) ( ( ) − )u ( ) − ≲ lim( →0 L2loc (0,T ;L3 ) u =0 L1loc (0,T ;L2 ) L2 (0,T ;L6 ) + (u − u ) + L2 (0,T ;L3 ) L1loc (0,T ;L2 ) u − u ) L2loc (0,T ;L6 ) ) (2.35) Từ đó, hạng tử áp lực 18 f ( , c) ) divu T f ( , c) f ( , c) ) divu − ( ) divu ) = (( T ( + T T f ( , c) f ( , c ) f ( , c ) (( ) − ) divu ) + 0 ) divu = − R3 − R4 + T (2.36) f ( , c ) ) divu Từ (2.5), (2.12) (2.15) ta có f ( , c) ) L (0, T ; L ) (2.37) Do theo Bổ đề 2.2.3 (2.13) ta có R3 ≲ u L2 (0,T ;L2 ) + ( 2 f ( , c) f ( , c) ) − ( ) f ( , c) ) (u − u ) L2 (0,T ;L2 ) L2 ( 0,T ;L2 ) → → L2 ( 0,T ;L2 ) (2.38) Từ (2.27) (2.37) ta có R4 = T ≲ f ( , c) f ( , c ) ) − ) divu f ( , c) f ( , c) ) − u L2 (0,T ;L2 ) ( ( (( ) → → 0, + c − c L2loc ( 0,T ;L2 ) L2loc ( 0,T ;L2 ) f ( , c) f ( , c ) − = −1 ( H (c) − H (c )) ta dùng tính chất (2.39) Bổ đề 2.2.7 Từ (2.33) (2.36), hạng tử vế phải (2.17) (2.18) có dạng := R j − j =1 − T ( T ( u + (1 + 2 )(divu ) ) − T u T T f ( , c) f ( , c ) ) u c + u. c − divu, 0 c 19 lim R j = →0 (2.40) j =1 có từ (2.34), (2.35) (2.38) (2.39) tức − T 1 2 ( ( u + c ) 2 ' T T + (1 u + (1 + 2 )(divu ) ) + u 2 T j =1 i =1 = R j − Li − f ( , c ) divu T f ( , c) f ( , c) ) t c − ( ) u c 0 c c Ví dụ: Hai thành phần cuối (2.41) thỏa mãn T − ( T f ( , c) f ( , c) ) t c − ( ) u c 0 c c T f ( , c ) ( t c + u.c ), = − Ek − c k =1 (2.41) T − ( (2.42) lim Ek = →0 (2.43) k =1 Ta chấp nhận (2.17) để chứng minh Mệnh đề 2.2.5 Vì (2.23) T T f ( , c ) f ( , c ) divu = − ( t + u. ) Điều với (2.42) đảm bảo − T T T f ( , c ) f ( , c) f ( , c) ( − − ( ) ) u c divu c t 0 c c T k =1 T k =1 T k =1 = − Ek − T f ( , c ) f ( , c ) c (t c + u.c ) − 0 ( t + u. ) = − Ek − t ( f ( , c )) = − Ek + ' f ( , c ) 20 Nếu ta thay vào (2.41), ta có T T 2 1 − ' ( u + f ( , c ) + c ) + (1 u 0 2 T + (1 + 2 )(divu ) ) + u 2 (2.44) j =1 i =1 k =1 = R j − Li − Ek Sử dụng (2.13), (2.15) (2.16); Bổ đề 2.2.3 (2.32) (2.43), hoàn thành chứng minh Mệnh đề 2.2.5 cho → (2.43) Bằng tính tốn trực tiếp ta có f ( , c) ) t c c T f ( , c) f ( , c) = t ( ( ) − ( ) ) c c c T ( T f ( , c) f ( , c ) f ( , c ) ) − ) t c + + (( t c 0 c c c T f ( , c ) = E1 + E2 + t c c T f ( , c) 0 ( c ) u c T f ( , c) f ( , c) ) u − ( ) u ).c = (( c c T T f ( , c) f ( , c ) f ( , c ) ) − ) + (( + u.c u c 0 c c c T f ( , c ) = E3 + E4 + u.c c Ta đánh giá Ei ( i = 4) (2.45) T Từ (2.5), (2.12) (2.15) ta có f ( , c) = ln H '(c) + G '(c) L (0,T;L ) c Vậy 21 (2.46) E1 ≲ ( T ≲ ( ≲ ( ( ( ( t f ( , c) f ( , c) ) − ( ) ))c c c f ( , c) f ( , c) f ( , c) f ( , c) ) − ( ) + t ( ( ) − ( ) c c c c f ( , c) f ( , c) ) − ( ) c c + L1loc (0,T ; L1 ) f ( , c) c t L2 ( 0,T ; L3 ) L1loc (0,T ; L1 ) L2 ( 0,T ; L3/ ), theo Bổ đề 2.2.2 Bổ đề 2.2.3 lim E1 = →0 (2.47) Tương tự ta có lim E3 →0 f ( , c) f ( , c) ) u − ( ) u).c c c f ( , c) c L (0,T ; L2 ) ( ) (u − u ) ≲ lim →0 c L1loc (0,T ; L2 ) T ≲ lim 0 (( ( →0 + lim c →0 L (0,T ; L2 ) ( ( f ( , c) f ( , c) ) − ( ) )u c c L1loc (0,T ; L2 ) = (2.48) Ta có f ( , c) f ( , c ) E2 + E4 = ( (( ) − ) ( t c + u.c ) c c T f ( , c) f ( , c ) = ( (( ) − )( t ( c ) + div( uc )) c c T f ( , c) f ( , c ) = ( (( ) − ) t (( c − ( c) ) + div( uc − ( uc) )) c c T 22 f ( , c) f ( , c ) + ( (( ) − )( t ( c ) + div( uc) ) c c T f ( , c) f ( , c ) = ( (( ) − )( t ( c − ( c) ) + div( uc − ( uc) )) c c T f ( , c) f ( , c ) − (( ) − ) , c c T Từ (2.12), (2.13), (2.15) (2.48) ta tính f ( , c) L (0, T ; L2 ) c Kết hợp với (2.17),(2.37) (2.27) ước lượng L3 + L4 ta có E2 + E4 ≲ t ( c − ( c) ) + div( uc − ( uc) ) f ( , c) f ( , c ) ) − + (( c c L1loc (0,T ; L1 ) ≲ t ( c − ( c) ) + div( uc − ( uc) ) + (( f ( , c) f ( , c) ) − ) c c + c − c + (c − c ) L2 (0,T ; L2 ) L2loc (0,T ; L2 ) L1loc (0,T ; L1 ) L2loc (0,T ; L2 ) L2loc (0,T ; L2 ) Theo Bổ đề 2.2.2 Bổ đề 2.2.3 ta có lim( E2 + E4 ) = →0 (2.49) Do (2.42) suy từ (2.45) (2.46) Hơn nữa, (2.43) suy từ (2.47), (2.48) (2.49) Phương pháp -Limit Từ (2.15) (2.21), Bổ đề Lions –Aubin Lemma [10] ta có L (0,T ; H ) H (0,T ; L ) → C(0, T ; Lr ),(r 6) Từ (2.13), (2.15) suy t c = ( − u.c) L2 (0,T ; H −1 ), (2.51) 23 (2.50) Điều với (2.21) (2.41), (2.43) (2.44) suy tồn , t ( f ( , c)) = t f ( , c) + ( f ( , c) f ( , c) t c) L2 (0, T ; H − ) t + c Sử dụng (2.13) (2.15) ta ( f ( , c)) = f ( , c) + ( f ( , c) f ( , c) + c) L (0, T ;L2 ) c Từ đẳng thức suy f ( , c) C (0, T ; Lr ),( r 6) (2.52) Ta thấy với t0 0, u (t ) lim+ t →t0 L2 = u (t0 ) L2 lim+ c(t ) t →t0 = c(t0 ) L2 L2 (2.53) Kết hợp với (2.13), (2.15), (2.27) ta có u L (0, T ; L2 ) H (0, T ; W −1,1 ) → C (0, T ; L2 ) (2.54) Từ tính nửa liên tục dưới L2 ta 2 c(t0 ) lim+ c(t ) t →t0 (2.55) Từ với (2.52) (2.11) ta suy lim t →t0 + u (t ) − u (t0 ) = 2lim( t →t0 u (t0 )( u (t0 ) − u (t )) + lim ( (t ) − (t0 )) t →t0 + + lim ( f ( , c)(t0 ) − f ( , c)(t ) + lim c(t0 ) − c(t ) t →t0 lim t →t0 + t →t0 + u (t0 )( u (t0 ) − u (t )) = 0, đẳng thức cuối suy từ lim t →t0 + u (t0 )( u (t0 ) − u (t )) = lim u (t0 )( u (t0 ) − u (t )) + lim u (t0 )( u ( (t ) − (t0 )) = 0, t →t0 + t →t0 + 24 (2.56) suy từ (2.54),(2.50) điều kiện u0 Lq0 , q0 Do từ (2.56) ta có (2.53) Hơn từ (2.11) ta có lim (t ) (t0 ) t →t0 + 2 Từ từ (2.52), (2.53) suy lim c(t ) c(t ) t →t0 + (2.57) Chú ý từ (2.13) (2.51) ta có c L (0, T ; L2 ) H (0, T ; H −2 ) → C (0, T ; L2 − weak ) (2.58) Do (2.55), (2.57), (2.58) suy lim c(t ) t →t0 + L2 = c(t0 ) L2 , Và (2.53) chứng minh Như hệ (2.52) (2.53) ta suy (t ) liên tục phải, tức lim (t ) = (t0 ) (2.59) t →t0 + Tiếp theo lấy giới hạn Limit Mệnh đề 2.2.5 Chọn hàm (t ) có dạng ( tổng xấp xỉ cần) t − , t ,2 , t 2 , t , 1, (t ) = 1 − t − t0 , t t , t + , 0 0, thay vào (2.19) ta suy ( t0 + 2 − ) (t)dt t0 2 t0 t0 + 2 t0 +( ( − 1) + + (1 − t − t0 (2.60) ))dt (1 u + (1 + 2 ) divu + ) = 2 Với t0 cố định, từ (2.13) (2.63) ta có (2.14) cách cho → (2.60) Vậy định lí chứng 25 Kết luận Luận văn trình bày: - Về phương trình Navier-Stokes; số khơng gian hàm tính chất, bất đẳng thức thông dụng - Một số kết tiêu chuẩn quy cho hệ phương trình CahnHilliard-Navier-Stokes nén dựa đẳng thức lượng Khảo sát mối quan hệ bảo toàn lượng mức độ đặn cho giải pháp yếu toán,kết thể định lí 2.2.4 26 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội Tiếng Anh [2] Abels H., Feireisl E (2008), On a diffuse interface model for a two-phase flow of compressible viscous fluids, Indiana Univ Math J, 57(2),659-698 [3] Adams R.A (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, New York [4] Buckmaster T et al, Onsager’s conjecture for admissible weak solutions, Commun Pure Appl Math arXiv:1701.08678 to appear [5] Eyink G (1994), Energy dissipation without viscosity in ideal hydrodynamics: I Fourier analysis and local energy transfer, Phys D,78,222-240 [6] Feireisl E (2004),Dynamics of Viscous Compressible Fluids Oxford, UnitedKingdom: Oxford University Press [7] Liang Z, Shuai J (2018), Regularity criterion on energy equality for compressible Cahn-Hilliard-Navier-Stokes equations, Math Meth Appl Sci,1-14 [8] Lions P.L (1996), Incompressible models, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 3, vol 1, New York: Oxford Science Publications, The Clarendon Press, Oxford University Press [9] Onsager L (1949), Statistical hydrodynamics, Nuovo Cimento, 6(Supplemento),279-287 [10] Simon J (1987), Compact sets in the space Lp(0,T;B), Ann Mat Pura Appl,146,65-96 27 XÁC NHẬN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN VỀ VIỆC HỌC VIÊN ĐÃ SỬA CHỮA LUẬN VĂN THEO Ý KIẾN GÓP Ý CỦA HỘI ĐỒNG Thái Nguyên, tháng năm 2021 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN TS Phạm Thị Thủy