LÝ THUYẾT TỔ HỢP Combinatorial Theory

Phần thứ LÝ THUYẾT TỔ HỢP Combinatorial Theory Fall 2009 Toán rời rạc Nội dung Chương Mở đầu Chương Bài toán đếm Chương Bài toán tồn Chương Bài toán liệt kê tổ hợp Chương Bài toán tối ưu tổ hợp Toán rời rạc Chương BÀI TOÁN TỒN TẠI Giới thiệu toán Các kỹ thuật chứng minh Nguyên lý Dirichlet Định lý Ramsey Toán rời rạc Giới thiệu toán   Trong chương trước, ta tập trung ý vào việc đếm số cấu hình tổ hợp Trong tốn tồn cấu hình hiển nhiên cơng việc đếm số phần tử thoả mãn tính chất đặt Tuy nhiên, nhiều toán tổ hợp, việc tồn cấu hình thoả mãn tính chất cho trước khó khăn • •   Chẳng hạn, kỳ thủ cần phải tính tốn nước để giải đáp xem liệu có khả thắng hay khơng, Một người giải mật mã cần tìm kiếm chìa khố giải cho mật mã mà liệu có điện thật mã hố đối phương hay khơng, mật mã giả đối phương tung nhằm đảm bảo an toàn cho điện thật Trong tổ hợp xuất vấn đề thứ hai quan trọng là: xét tồn cấu hình tổ hợp với tính chất cho trước - toán tồn tổ hợp Nhiều toán tồn tổ hợp thách thức trí tuệ nhân loại động lực thúc đẩy phát triển tổ hợp nói riêng tốn học nói chung Toán rời rạc Bài toán 36 sĩ quan  Bài toán Euler đề nghị, nội dung sau: “Có lần người ta triệu tập từ trung đoàn trung đoàn sĩ quan thuộc cấp bậc khác nhau: thiếu úy, trung uý, thượng uý, đại uý, thiếu tá, trung tá tham gia duyệt binh sư đoàn Hỏi xếp 36 sĩ quan thành đội ngũ hình vng cho hàng ngang hàng dọc có đại diện trung đoàn cấp bậc sĩ quan.” Toán rời rạc Bài toán 36 sĩ quan     Sử dụng: • ã A, B, C, D, E, F để phiên hiệu trung đoàn, a, b, c, d, e, f để cấp bậc sĩ quan Bài toán cã thĨ tỉng qu¸t ho¸ nÕu thay sè bëi n Trong trêng hỵp n = 4, mét lêi giải toán 16 sỹ quan Ab Dd Ba Cc Bc Ca Ad Db Cd Bb Dc Aa Da Ac Cb Bd Một lời giải trờng hợp n = lµ Aa Bb Cc Dd Ee Cd De Ea Ab Bc Eb Ac Bd Ce Da Be Ca Db Ec Ad Dc Ed Ae Ba Cb Toán rời rạc Bài toán 36 sĩ quan     Do lời giải tốn biểu diễn hình vng với chữ la tinh hoa thường chồng cạnh nên tốn tổng qt đặt cịn biết tên gọi tốn hình vng la tinh trực giao Euler nhiều cơng sức để tìm lời giải cho toán 36 sĩ quan ông không thành công Từ ông đề giả thuyết tổng quát là: Không tồn hình vng la tinh trực giao cấp n = 4k + Tarri, năm 1901 chứng minh giả thuyết với n = 6, cách duyệt tất khả xếp Năm 1960 ba nhà toán học Mỹ Boce, Parker, Srikanda lời giải với n = 10 sau phương pháp xây dựng hình vng la tinh trực giao cho n = 4k+2, với k > Toán rời rạc Bài toán 36 sĩ quan  Tưởng chừng tốn đặt có ý nghĩa t tốn đố hóc búa thử trí tuệ người Thế gần người ta phát ứng dụng quan trọng vấn đề vào: • Quy hoạch thực nghiệm (Experimental Design), • Sắp xếp lịch thi đấu giải cờ quốc tế, • Hình học xạ ảnh (Projective Geometry), • Toán rời rạc Bài toán màu  Có tốn mà nội dung giải thích cho ai, nhiên lời giải thử tìm, mà khó tìm Ngồi định lý Fermat tốn màu tốn  Bài tốn phát biểu trực quan sau: Chứng minh đồ mặt phẳng tơ màu cho khơng có hai nước láng giềng lại bị tô màu  Chú ý rằng, ta xem nước vùng liên thông hai nước gọi láng giềng chúng có chung biên giới đường liên tục Fall 2006 Toán rời rạc Bài toán màu  Con số ngẫu nhiên Người ta chứng minh đồ tô với số mầu lớn 4, với số mầu khơng tơ Chẳng hạn đồ gồm nước hình khơng thể tơ với số mầu A B C D Fall 2006 Toán rời rạc 10 Bài toán màu  Vấn đề đề cập thư Augustus De Morgan gửi W R Hamilton năm 1852 (De Morgan biết kiện từ Frederick Guthrie, cịn Guthrie từ người anh trai )  Trong 110 năm nhiều chứng minh công bố có lỗi  Năm 1976, Appel Haken đưa chứng minh máy tính điện tử! K Appel and W Hankin, "Every planar map is 4colorable," Bulletin of the AMS, Volume 82 (1976), 711-712 Fall 2006 Toán rời rạc 11 Bài toán màu  Trong ngơn ngữ tốn học, tốn màu phát biểu dạng tốn tơ màu đồ thị phẳng  Việc giải Bài tốn màu đóng góp phần quan trọng vào việc phát triển lý thuyết đồ thị  Bài tốn tơ màu đồ thị có nhiều ứng dụng thực tế quan trọng Fall 2006 Toán rời rạc 12 Hình lục giác thần bí  Năm 1910 Clifford Adams đề tốn hình lục giác thần bí sau: 19 lục giác (xem hình vẽ dưới) điền vào số từ đến 19 cho tổng theo hướng lục giác (và 38) Fall 2006 Toán rời rạc 13 Hình lục giác thần bí  Sau 47 năm trời kiên nhẫn cuối ông ta tìm lời giải  Sau sơ ý đánh thảo ông ta tốn thêm năm để khôi phục lại Năm 1962 Adams công bố lời giải  Thật khơng thể ngờ là lời giải (nếu khơng tính đến lời giải sai khác phép biến hình đơn giản) Fall 2006 Toán rời rạc 14 Giả thuyết 3x +  Giả thuyết 3x+1 (conjecture) • Giả sử hàm f(x) trả lại x/2 x số chẵn 3x+1 x số lẻ Với số nguyên dương x, tồn n cho f n ( x)  f ( f ( ( f ( x)) )) n lần gọi hàm f • f (13)  3* 13   40 f (40)  40 /  20 f (20)  20 /  10 f (10)  10 /  f (5)  3*   16 f (16)  16 /  f (8)  8/  f (4)  /  f (2)  /  Fall 2006 Toán rời rạc 15 Giả thuyết 3x +  Giả thuyết 3x+1: Đoạn chương trình sau ln kết thúc với số nguyên dương x: repeat if x mod = then x:= x div else x:= 3*x +1 until x=1;  Paul Erdös commented concerning the intractability of the 3x+1 problem: ``Mathematics is not yet ready for such problems.''  Đã chứng minh với x  5.6*1013 Fall 2006 Toán rời rạc 16 Một số vấn đề mở Open problems     Goldbach’s Conjecture • Mỗi số nguyên n >2 tổng số nguyên tố • Đã với n đến tận 4*1014 • Nhiều người cho giả thuyết Cặp số nguyên tố sinh đơi (Twin prime conjecture) • Có vơ số cặp số nguyên tố sinh đôi (nghĩa chênh lệch 2) • Cặp sinh đơi lớn nhất: 318,032,361*2107,001±1 • Số có 32,220 chữ số! • Cũng cho Khơng tồn số hồn hảo lẻ (Odd perfect number) Nếu bạn giải vấn đề Fall 2006 Toán rời rạc 17 ẢO GIÁC Fall 2006 Toán rời rạc 18 Fractals Fall 2006 Toán rời rạc 19 A bit of humor: Computer terminology Fall 2006 Toán rời rạc 20