Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] KHẢO SÁT RẼ NHÁNH CỦA DAO DỘNG TUẦN HOÀN TRONG HỆ TUYẾN TÍNH TỪNG KHÚC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BẮN ĐƠN ANALYZING THE BIFURCATION OF PERIODIC VIBRATIONS OF PIECEWISE-LINEAR SYSTEMS USING THE SINGLE SHOOTING METHOD TS HOÀNG MẠNH CƯỜNG Viện Khoa học sở, Trường ĐHHH Việt Nam TS LÊ ANH TUẤN Khoa Cơ khí, Trường ĐHHH Việt Nam Tóm tắt Trong báo này, áp dụng phương pháp bắn đơn việc tính tốn dao động tuần hồn hệ dao động cưỡng chịu kích động điều hịa Sự không đối xứng hệ khảo sát dẫn đến độ cứng độ cản nhớt hàm tuyến tính tứng khúc Việc phân tích ổn định rẽ nhánh hệ dao động phi tuyến tiến hành phương pháp tính tốn số Từ phân tích cho thấy rằng, hệ khảo sát xuất rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ tồn đồng thời nhiều tập hút tuần hoàn Abstract This article analyses the periodic vibration of harmonically excited systems using the single shooting method Both stiffness and viscous damping are piecewise-linear functions due to non-symmetry of system Analyzing the stability and bifurcation of nonlinear systems are carried out by numerical method The analysis results show the existence of period-doubling bifurcation and multiple periodic attractors Key words: Nonlinear vibration, shooting method, Bifurcation Mở đầu Trong hệ dao động máy bánh chịu tải trọng nhẹ, hệ rotor, hệ dao động đàn hồi, hệ cam-cần cam, khớp liên kết thành phần robotic, … tính chất tuyến tính phi tuyến khúc tồn khe hở thành phần Các hệ tuyến tính khúc hệ phi tuyến mạnh, để tính tốn dao động hệ ta sử dụng phương pháp cân điều hòa gia lượng [2, 3, 4, 6] Nhưng để đạt độ xác cao, phương pháp địi hỏi số thành phần điều hòa biểu thức nghiệm phải lớn, điều dẫn đến ta phải giải hệ nhiều phương trình đại số phi tuyến, vấn đề khó khăn Để khắc phục hạn chế này, phương pháp bắn đơn [1] tỏ có ưu hơn, phương pháp số phương trình hệ đại số phi tuyến tương ứng với số chiều hệ, giảm khối lượng tính tốn tăng độ xác nghiệm thu Trong báo này, xây dựng thuật toán khảo sát ổn định rẽ nhánh nghiệm tuần hồn hệ phi tuyến khơng ơtơnơm, dựa phương pháp bắn đơn So sánh kết tính tốn với kết tính phương pháp cân điều hòa gia lượng [6], cho thấy kết hoàn toàn tương tự Việc đưa thuật tốn tính tốn số bào dễ dàng áp dụng để phân tích ứng sử động lực học phức tạp rẽ nhánh dao động hỗn độn hệ kỹ thuật thực tế Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 39 – 08/2014 30 Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Phương pháp bắn đơn tìm nghiệm tuần hồn hệ khơng ơtơnơm Cho hệ phương trình vi phân khơng ơtơnơm (thêm dấu : ) x f ( x, t, μ) (1) Trong x n , f n , tham số, f(x,t,) hàm tuần hoàn chu kỳ Te Bài toán đặt là, ta phải tìm nghiệm tuần hồn chu kỳ T hệ (1), nghĩa ta phải tìm nghiệm hệ (1) cho thoả mãn điều kiện x(0) = x(T) Ta biết, hệ không ôtônôm, chu kỳ T nghiệm tuần hồn cần tìm bội số hữu tỷ Te số biết Do đó, để thực phương pháp bắn tìm nghiệm tuần hồn chu kỳ T hệ (1), trước tiên, ta xét toán (thêm : ) x f ( x, t, μ) với điều kiện đầu x(0) η , (2) sau đó, ta phải tìm điều kiện đầu cho nghiệm x(t,) toán (2) thoả mãn điều kiện (thêm dấu : ) x(T , η) x (0) η x(T, η) η (3) (3) hệ n phương trình đại số phi tuyến với n ẩn số k (k =1, 2, …, n) Để giải hệ phương trình đại số ta sử dụng phương pháp lặp, phương pháp NewtonRaphson trình bày đây: Ban đầu ta cho ước chừng điều kiện đầu (0) mong muốn tìm , cho sai lệch = – (0) thoả mãn điều kiện < , với số nhỏ cho trước, (thêm dấu : ) x(T , η(0) η) ( η(0) η) (4) Khai triển Taylor (4) giữ lại số hạng tuyến tính , ta (thêm : ) x (0) (0) (0) (5) ) η E ma trận đơn vị cấp nn, x(T,(0)) véc tơ có n phần tử xác định cách giải toán điều kiện đầu (2) khoảng thời gian t = [0, T] Còn x/ ma trận cấp nn thành phần ma trận (T,(0)) xác định sau: Đạo hàm hai vế phương trình (1) theo , ta (thêm dấu : ) (T , η ) E η η x (T , η d x x D xf ( x, t, μ) dt η η Ngoài đạo hàm điều kiện đầu x(0) = , ta (thêm dấu : ) x η (0) E (6) (7) (6) phương trình vi phân x/, tích phân phương trình (6) với điều kiện đầu (7) khoảng thời gian t = [0, T], ta x/ ((0), T) Khi ma trận x/ xác định hệ (5) trở thành hệ n phương trình đại số tuyến tính với ẩn số Sau giải hệ (5), ta kiểm tra tiêu chuẩn hội tụ < Nếu tiêu chuẩn hội tụ không thoả mãn, ta cập nhật lại điều kiện đầu (0) = (0) + quay lại bước tiêu chuẩn hội tụ thoả mãn Kết thúc thủ tục ta tìm điều kiện đầu tương ứng với nghiệm tuần hoàn chu kỳ T hệ (1) Khảo sát rẽ nhánh hệ phi tuyến phương pháp số * Bước 1: Chọn giá trị đầu = 0 Bằng phương pháp bắn, ta tìm điều kiện đầu 0 chu kỳ T0 ứng với nghiệm tuần hoàn (x(t, 0, T0), 0) hệ (1), giả sử nghiệm ổn định * Bước 2: Chọn số gia thích hợp, lấy = 0 + * Bước 3: Lấy (0, T0) làm giá trị khởi đầu cho phương pháp bắn, tìm điều kiện đầu chu kỳ T nghiệm tuần hoàn x(t, , T) hệ (1) = 0 + * Bước 4: Tích phân số phương trình (1) với điều kiện đầu , ta nghiệm tuần hoàn x(t, , T) Kiểm tra nhân tử Floquet ứng với nghiệm Nếu tất nhân tử Floquet nằm vòng tròn đơn vị mặt phẳng phức nghiệm ổn định, ta cập nhật lại giá trị Hỗ trợ ơn tập Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Số 39 – 08/2014 31 Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] khởi đầu 0 = , 0 = , T0 = T ta quay lại từ bước Nếu có nhân tử Floquet nằm vòng tròn đơn vị mặt phẳng phức nhân tử có xu hương khỏi vịng trịn đơn vị, ta có giá trị rẽ nhánh tiếp tục từ bước * Bước 5: Kiểm tra hướng nhân tử Floquet dời khỏi vòng tròn đơn vị mặt phẳng phức + Nếu nhân tử Floquet số thực, dời vòng tròn đơn vị theo hướng -1, ta có rẽ nhánh nhâ đơi chu kỳ (thêm dấu ) + Nếu nhân tử Floquet số thực, dời vòng tròn đơn vị theo hướng +1, ta có rẽ nhánh: nếp gấp-chu trình, rẽ nhánh chuyển qua giới hạn, rẽ nhánh phá huỷ tính đối xứng + Nếu nhân tử Floquet số phức dời vòng tròn đơn vị , ta có rẽ nhánh Hopf loại Tính tốn dao động tuần hoàn khảo sát rẽ nhánh hệ tuyến tính khúc 4.1 Mơ hình động lực học tuyến tính khúc Cho mơ hình dao động hình 1, khối lượng m nối với lò xo k0 cản nhớt c0, lò xo k1 cản nhớt c1 để tự Giả thiết khơng có khối lượng m, hai lị xo tự chạm nhau, có khối lượng m, vị trí cân tĩnh lị xo với độ cứng tương ứng k0, k1 bị nén đoạn tương ứng d0 d Cho khối lượng m chịu tác dụng lực kích động điều hồ f0sint Gọi x dịch chuyển cạnh bên phải khối lượng m vị trí cạnh bên phải khối lượng vị trí cân tĩnh f0 Hình Mơ hình dao động hệ tuyến tính khúc Phương trình vi phân dao động hệ có dạng (thêm dấu : ) mx c0 x k0 x c0 H ( x) G( x) f sin t (8) (thêm dấu : ) c x / c , H (x) 0, x d x d k x , ; G (x) x d k d , x d Bằng cách đặt x1 = x, x2 = dx/dt, từ (8) ta có (thêm dấu : ) x x (9) x c x k x c H (x ) G (x ) f sin t / m 0 2 (thêm dấu : ) c x / c , x d k1 x1 , x1 d H (x ) ; G (x1 ) x d 0, k d 0 , x1 d 4.2 Các kết tính tốn số Sau ta khảo sát rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn hệ (9) phương pháp số Để tính tốn số, ta chọn tham số thay đổi k = k0.10-3, tham số khác sau: f0 = 7,8.103(N), m = 0,4.103(kg), k0 = k.103(N/m), k1 = 0,9.106(N/m), c0 = 0,05.103(Ns/m), c1 = 0,5.103(Ns/m), d = 5.10-3(m), = 34,56(rad/s) 2 Hình Biểu đồ rẽ nhánh hệ (9) (a) ứng với nghiệm 2T, 4T, 6T; (b) ứng với nghiệm 3T, 6T Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 39 – 08/2014 32 Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Hình Biểu đồ nhân tử Floquet hệ (9) (a) với nghiệm 2T, 4T, 8T; (b) ứng với nghiệm 3T, 6T Cho k biến thiên khoảng [2; 20], ta có biểu đồ rẽ nhánh hệ cho hình Từ hình vẽ ta thấy, k = 20 ứng với điểm A1 hình 2a, ta tìm nghiệm 2chu kỳ ổn định Cho k giảm dần, nghiệm 2-chu kỳ ổn định, k giảm đến điểm B1 ứng với k = 5,66, có nhân tử Floquet khỏi vòng tròn đơn vị theo hướng -1 (xem hình 3a) nên xuất rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ, qua giá trị xuất nghiệm 4-chu kỳ ổn định Tiếp tục cho k giảm xuống nghiệm 4-chu kỳ ổn định, k giảm đến điểm C1 ứng với k = 3,18, lại có nhân tử Floquet khỏi vòng tròn đơn vị theo hướng -1 (xem hình 3a), lại xuất rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ, qua giá trị xuất nghiệm 8-chu kỳ ổn định Nghiệm 8-chu kỳ tồn giá trị k = 2,865 Mặt khác ta thấy, điểm A2 hình 2b ứng với k = 7,5 xuất nghiệm 3-chu kỳ song song tồn với nghiệm 2-chu kỳ Nghiệm ba chu kỳ tồn điểm B2 ứng với k = 2,3, có nhân tử Floquet khỏi vịng trịn đơn vị theo hướng -1 (xem hình 3b), nên xuất rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ, qua giá trị nghiệm 6-chu kỳ xuất hiện, nghiệm 6-chu kỳ tồn ổn định k = Các nghiệm 2-chu kỳ, 4-chu kỳ, 8-chu kỳ, 3-chu kỳ 6-chu kỳ hệ (9), số giá trị k cho hình – Hình Nghiệm 2-chu kỳ hệ (9) k = 6,0 Hình Nghiệm 4-chu kỳcủa hệ (9) k = 3,2 Hình Nghiệm 8-chu kỳ hệ (9) k = 2,87 Hình Nghiệm 3-chu kỳ hệ (9) k = 2,4 Hình Nghiệm 6-chu kỳ hệ (9) k = 2,0 Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 39 – 08/2014 33