Giáo trình động lực học

Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, gia tốc…) trong kết cấu khi chịu tác dụng của các nguyên nhân động.

BỘ XÂY DỰNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TPHCM KHOA XÂY DỰNG - BỘ MÔN CƠ HỌC ỨNG DỤNG GIÁO TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CƠNG TRÌNH BIÊN SOẠN: NGUYỄN THỊ TỐ LAN TPHCM, Tháng 12 Năm 2013 CHƯƠNG MỞ ĐẦU 1.1 NHIỆM VỤ MÔN HỌC Động lực học kết cấu lĩnh vực học, nghiên cứu phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất chuyển vị, vận tốc, gia tốc…) kết cấu chịu tác dụng nguyên nhân động 1.2 TẢI TRỌNG ĐỘNG Khái niệm: Tải trọng động tải trọng thay đổi theo thời gian trị số, phương, vị trí, gây ứng suất, chuyển vị… thay đổi theo thời gian Phân loại: - Tải trọng tiền định (Deterministic Loads): tải trọng biết trước qui luật biến đổi theo thời gian P = P(t) Thí dụ: Tải trọng điều hịa, chu kỳ, khơng chu kỳ, xung…được mô tả theo qui luật cho trước - Tải trọng ngẫu nhiên (Random, Stochastic Loads): tải trọng biết trước qui luật xác suất đặc trưng xác suất giá trị trung bình, độ lệch chuẩn… Thí dụ: tải trọng gió, sóng biển, lực động đất… Bài toán ĐLHKC chịu tải trọng ngẫu nhiên giải lý thuyết dao động ngẫu nhiên (Random Vibration Theory) Các thơng tin cần tìm bao gồm ứng suất, chuyển vị, mang tính ngẫu nhiên với đặc trưng xác suất giá trị trung bình, độ lệch chuẩn… Nói chung, tải trọng thực tế mang tính chất ngẫu nhiên mức độ khác nhau, xác định phương pháp thống kê tốn học Các quan điểm phân tích động lực học: Phân tích tiền định, phân tích ngẫu nhiên phân tích mờ (Fuzzy Analysis) 1.3 ĐẶC THÙ CỦA BÀI TỐN ĐỘNG Bài toán tĩnh: nội lực P Tĩnh xác định từ cân với ngoại lực, không P(t) cần dùng đường đàn hồi nên Động mang tính chất đơn giản Ứng suất chuyển vị q(t)= r y(t) khơng phụ thuộc thời gian Bài tốn động: ngoại lực bao gồm lực quán tính phụ thuộc vào đường đàn hồi y = y(x,t) Vì vậy, dẫn tới phương trình vi phân, phức tạp tốn học, khối lượng tính lớn, phải việc xác định y(x,t) Nhận xét: Bài toán tĩnh (bao gồm toán ổn định) trường hợp đặc biệt toán động lực quán tính bỏ qua 1.4 BẬC TỰ DO CỦA KẾT CẤU Bậc tự động lực học (Number of dynamics degrees of freedom) kết cấu số thành phần chuyển vị phải xét để thể ảnh hưởng tất lực quán tính Bậc tự định nghĩa liên quan đến lực qn tính liên quan đến khối lượng Số khối lượng nhiều xác phức tạp Chú ý: Bậc tự động lực học khác với bậc tự toán tĩnh (số chuyển vị nút kết cấu) Thí dụ: cho kết cấu hình P bên, P tải trọng tĩnh số bậc tự 3, P tải trọng động số bậc tự vơ Trong thực tế, kết cấu có khối lượng phân bố nên có vơ hạn bậc tự do, việc giải tốn phức tạp nên tìm cách rời rạc hóa hệ 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP RỜI RẠC HÓA P(t) m(z) P(t) m1 m2 m3 (a) (b) 1.5.1 Phương pháp khối lượng thu gọn (Lumped Mass) Thay hệ có khối lượng phân bố (a) thành khối lượng tập trung (b) theo nguyên tắc tương đương tĩnh học Đây phương pháp thường dùng hệ kết cấu phức tạp Khối lượng thường thu gọn điểm nút (thí dụ hệ dàn) Số bậc tự hệ tùy thuộc vào giả thiết tính chất chuyển vị hệ tính chất quán tính khối lượng mi Chẳng hạn, xét hệ (b) hệ phẳng: Nếu biến dạng dọc trục mi có quán tính xoay: BTD (3BTD/mass) Nếu coi mi điểm (khơng có qn tính xoay): BTD (2 chuyển vị thẳng/mass) Bỏ qua biến dạng dọc trục nên có chuyển vị đứng: BTD (1 chuyển vị đứng/mass) Chú ý: Độ phức tạp toán động lực học phụ thuộc vào số bậc tự 1.5.2 Phương pháp dùng tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates) Giả sử đường đàn hồi tổ hợp tuyến tính hàm xác định ψi(x) có biên độ Zi sau: ∞ y ( x, t ) = ∑ Z i (t )ψ i ( x) y(x,t) i =1 (*) đó: ψi(x) : Hàm dạng (Shape Functions) Zi(t) : Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates) Hàm dạng ψi(x) tìm từ việc giải phương trình L Z1 ψ1(x) iπ x Z2 ψ i ( x) = sin L i = 1, 2, , n ψ2(x) Z3 ψ3(x) vi phân đạo hàm riêng, giả thiết phù hợp với điều kiện biên Khi tính tốn thường giữ lại số số hạng chuỗi (*) hệ trở thành hữu hạn bậc tự (Zi đóng vai trò bậc tự do) 1.5.3 Phương pháp phần tữ hữu hạn (Finite Element Method - FEM) Đây trường hợp đặc biệt phương pháp tọa độ suy rộng, đó: - Zi chuyển vị nút (Tọa độ suy rộng) - ψi(x) hàm nội suy (Interpolation Functions) phần tử - Hàm dạng Thường hàm nội suy ψi(x) b a c d chọn giống ψ (c) ψ (b) cho phần v =1 tử (ứng với bậc tự do) ψ (c) ψ (b) hàm đa thức nên θ =1 việc tính tốn đơn giản Đặc biệt, tính chất cục hàm nội suy nên 3v 3v 3θ 3θ phương trình liên kết (uncoupled) với làm giảm nhiều khối lượng tính tốn 1.6 CÁC PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG 1.6.1 Nguyên lý D’Alembert Xét khối lượng mi (i=1,n) chịu tác động lực Pi(t) có chuyển vị vi(t) gia tốc vi (t ) Nếu đặt thêm lực quán tính khối lượng mi cân bằng: G G Pi ( t ) − m i vi ( t ) = (1.1) Nếu hệ có n bậc tự có n phương trình vi phân chuyển động 1.6.2 Nguyên lý công Cho khối lượng mi (i=1,n) chuyển vị δvi , công khã dĩ δW lực tác dụng lên mi (cân bằng) chuyển vị δvi phải triệt tiêu: G G G ∑[Pi (t) − mi vi (t)]δvi = (1.2) Ngun lí cơng thích hợp cho hệ phức tạp gồm khối lượng điểm khối lượng có qn tính xoay Các số hạng phương trình vơ hướng (scalar) nên lập phương trình đơn giản so với phương trình vector Nếu cho hệ chuyển vị δvi theo bậc tự thu n phương trình vi phân chuyển động Ký hiệu công ngoại lực Pi(t) δW, từ (1.2) ta có biến phân công khả dĩ: δW = ∑ Pi (t )δvi = ∑ mvi (t )]δvi (1.3) 1.6.3 Nguyên lý Hamilton (page 344, [1]) Xét hệ gồm khối lượng mi (i=1, n) có chuyển vị vi(t) hai thời điểm t1 t2, chuyển vị có trị số vi(t1) vi(t2) tương ứng với hai đường biến dạng (b) (c) Đường biến dạng (d) ứng với t = t1 + ∆t < t2 Đường biến dạng thật tuân theo định luật II Newton Đường lệch trùng với đường thật hai thời điểm t1 t2: δv1(t1) =δv1(t2) =0 (1.4) Động hệ thời điểm t: n T= mi vi2 = T (vi ) i =1 ∑ Biến phân động δT tương ứng với biến phân chuyển vị δvi: n dvi ∂T d      δ δ δ δ vi = = v m v v m v m v ∑ ∑ i∑ i i i i i i i δT= ∑ dt dt i =1 ∂Vi i =1 i i n (1.5) Mặt khác, ta có đồng thức: m v3 v2 v1 m m v4 m (a) t=t1 v1 1(t1 ) (b) t=t2 v1 (t 2) d d (viδ vi ) = viδ vi + vi δ vi dt dt Nhân hai vế với mi lấy tổng cho Đường Newton (thật) (c) dv1 (t1+∆t) v1 (t) d v1 thật v(t1 +D t) Đường lệch d v2 t=t1 +∆t < t2 v(t)+ dv1 (d) d v3 t1 d v4 v(t +∆t) 1 v1(t1) t1 +∆t v1(t2) t2 t toàn hệ: d d m v v m v v m v ( ) δ δ = +     ∑ i ∑ i i i ∑ i i δv i i i i dt i dt d (1.6) ∑ (mi viδvi ) = δT + δW dt i Nhân hai vế với dt lấy tích phân từ t1 đến t2: ∑ m i v i δv i t2 t1 t2 = ∫ (δT + δW )dt t1 Theo δvi(t1) = δvi(t2) = với i nên vế trái triệt tiêu: t2 ∫ (δT + δW ) dt = (1.7) t1 Nếu ngoại lực tác dụng hệ gồm lực bảo toàn (lực thế) lực khơng bảo tồn (thí dụ lực Các vector {φˆn } gọi vector trực chuẩn (Orthonormal) 3.4 PHÂN TÍCH PHẢN ỨNG ĐỘNG Phương pháp dùng để phân tích phản ứng động dùng phương pháp chồng chất mode Nội dung phương pháp biến hệ dao động có hệ n phương trình vi phân thành dạng hệ động có n phương trình vi phân tách rời Để dùng phương pháp ta phải tìm hiểu tọa độ chuẩn, sau thiết lập phương trình chuyển động tách rời hệ không cản có cản 3.4.1 Tọa độ chuẩn (Normal Coordinates) v2 v 21 = v3 v =φ Y v 13 v 12 v 11 v1 v23 v22 + + v 31 v32 v 1= φ1 Y1 v2 = φ2 Y2 + v 33 v 3= φ 3Y3 Vectơ chuyển vị [v] hệ N bậc tự tạo cách tổ hợp tuyến tính N vectơ sở biết Tuy nhiên, chọn vectơ sở dạng (Mode Shapes) dao động tự có nhiều ưu điểm tính trực giao chúng Các dạng đóng vai trò tương tự hàm lượng giác chuỗi Fourier, chuyển vị hệ xấp xỉ tốt với số số hạng chuỗi Xét dầm console hình vẽ để minh họa Vectơ chuyển vị ứng với hàm dạng [φn] [vˆn ] xác định công thức: [vˆn ] = [φn] Yn (t) (3.78) đó: Yn(t) biên độ (tọa độ suy rộng) ứng với hàm dạng [φn] Chuyển vị toàn phần [v] phân tích thành tổng dạng sau: [v]=[φ1]Y1 + [φ2]Y2+ +[φn]Yn = ∑ [φn ][Yn ] N n =1 Dạng ma trận: [v] = [φ ] [Y(t)] [φ ]: ma trận vuông dạng (3.79) [Y] : véc tơ tọa độ suy rộng, gọi tọa độ chuẩn Các thành phần Yn vectơ [Y] tìm dễ dàng nhờ tính trực giao hàm dạng sau: Nhân vế (3.79) với [φn]T [M]: [φn]T [M][v] = [φn]T [M] [φ][Y] (3.80) áp dụng tính trực giao [φi]T [M][φj] = với i ≠ j, vế phải (3.80) triển khai: [φn]T[M][φ][Y]=[φn]T[M][φ1][Y1]+[φn]T[M][φ2][Y2] + + [φn]T [M][φn][Yn] = [φ n ]T [ M ][φ n ][Yn ] (3.81) Thế (3.81) vào (3.80): hay [φn]T [M][v] = [φn]T [M][φn][Yn] [φ n ]T [ M ][v] Yn = [φ n ]T [ M ][φ n ] (3.82) Như vậy, tọa độ chuẩn Yn, n =1 N, xác định theo (3.82) 3.4.2 Phương trình chuyển động tách rời (uncoupled) hệ không cản Phương trình chuyển động không cản hệ nhiều bậc tự do: [ M ][v] + [ K ][v] = [ p (t )] (3.83) Thế [v] = [φ ][Y] từ (3.79) vaøo (3.83): [ M ][φ ][Y] + [ K ][φ ][Y ] = [ p (t )] (3.84) Nhân trước veá cho [φn]T: [φ n ]T [ M ][φ ][Y] + [φ n ]T [ K ][φ ][Y ] = [φ n ]T [ p (t )] (3.85) Do tính trực giao nên ta có: [φ n ]T [ M ][φ n ]Yn + [φ n ]T [ K ][φ n ]Yn = [φ n ]T [ p (t )] (3.86) Đặt kí hiệu mới: M n = [φ n ]T [ M ][φ n ] K n = [φ n ]T [ K ][φ n ] Pn (t ) = [φ n ]T [ p (t )] (3.87) gọi là: khối lượng, độ cứng tải trọng suy rộng cho dạng dao động thứ n Phương trình (3.86) viết lại: M nYn (t ) + K nYn (t ) = Pn (t ) (3.88) Đây phương trình dao động cho hệ bậc tự cho dạng n Từ phương trình điều kiện trực giao (3.67): [ K ][vˆn ] = ω n2 [ M ][vˆn ] Theá [vn ] = [φ n ]Yn vào đơn giản Yn cho veá: [ K ][φ n ] = ω n2 [ M ][φ n ] (3.89) Nhân trước [φn]T cho vế (3.89): [φ n ]T [ K ][φ n ] = ω n2 [φ n ]T [ M ][φ n ] hay: Kn = ωn2 Mn (3.90) Nhö vậy, việc dùng tọa độ chuẩn biến hệ N phương trình vi phân dao động hệ có N bậc tự dạng gồm N phương trình vi phân tách rời Ứng với dạng dao động phản ứng động hệ xác định cách chồng chất phản ứng dạng (mode) Phương pháp gọi phương pháp chồng chất mode (Mode Superposition Method) 3.4.3 Phương trình chuyển động tách rời hệ có cản + Thiết lập phương trình Phương trình chuyển động hệ có cản: [ M ][v] + [C ][v] + [ K ][v] = [ p (t )] Biến đổi tương tự trường hợp không cản: (3.91) [φn ]T [ M ][φ ][Y] + [φn ]T [C ][φ ][Y ] + [φn ]T [ K ][φ ][Y ] = [φn ]T [ p (t )] (3.92) Giả thuyết ma trận cản [C] có tính chất làm trực giao dạng tương tự ma trận [M] [K], tức là: [φn]T[C] [φm] = 0, với m ≠ n (3.93) Phương trình (3.92) trở thành: M nYn + C nYn + K nYn = Pn (t ) hay (3.94a) Yn + 2ξ nω nYn + ω n2Yn = Pn (t ) (3.94b) Mn M n = [φ n ]T [ M ][φ n ] với: K n = [φ n ]T [ K ][φ n ] C n = [φ n ] [C ][φ n ] = 2ξ nω n M n T (3.95) Pn (t ) = [φ n ]T [ p (t )] ( ξn tỉ số cản mode thứ n) + Điều kiện trực giao ma trận cản Để thu phương trình chuyển động dạng tách rời (3.94a,b) cho dao động chính, ma trận cản [C] phải thỏa mãn điều kiện trực giao Rayleigh chứng minh rằng, ma trận cản [C] có dạng: [C] = a0[M] + a1[K] (3.96) với a0, a1 số, thỏa điều kiện trực giao (3.93) Việc xác định hệ số ma trận cản [C] khó khăn Trong thực tế, thường người ta chọn giá trị tỉ số cản ξn (được suy từ điều kiện cộng hưởng) tùy vào loại vật liệu dạng kết cấu (Thí dụ: kết cấu thép thường lấy ξ = 2%, BTCT ξ = 3%) Sau tính Cn theo công thức (3.95) 3.4.4 Tóm tắt phương pháp chồng chất dạng Phép biến đổi sang tọa độ chuẩn biến hệ N phương trình vi phân liên quan với thành N phương trình tách biệt Đó ưu điểm phương pháp chồng chất mode Ngoài ra, tính hội tụ cao nên thường dùng cần chồng chất số mode có tần số thấp Trình tự phương pháp sau: Bước 1: Phương trình vi phân chuyển động hệ với tọa độ hình học: [ M ][v] + [C ][v] + [ K ][v] = [ p (t )] Bước 2: Phân tích dạng tần số, bỏ qua ảnh hưởng lực cản dạng tần số, ta có phương trình trị riêng ([K] - ω2[M])[v] = [0] Từ xác định ma trận dạng [φ] vectơ tần số [ω ] Bước 3: Khối lượng tải trọng suy rộng M n = [φ n ]T [ M ][φ n ] Pn (t ) = [φ n ]T [ p (t )] Bước 4: Phương trình chuyển động tách rời (uncoupled)    Yn + 2ξ nω nYn + ω n Yn = Pn (t ) Mn Bước 5: Phản ứng dạng với tải trọng Phương trình chuyển động tách rời phương trình chuyển động hệ bậc tự có cản Có thể tìm nghiệm tích phân Duhamel: Yn (t ) = M nω Dn t ∫ Pn (τ )e −ξ nω n ( t −τ ) sin ω Dn (t − τ )dτ ωDn = ωn − ξ n2 - tần số dao động có cản Phương trình áp dụng cho trường hợp điều kiện ban đầu t = Yn(0)=Yn (0) = Có thể giải phương trình phương pháp số Bước 6: Dao động tự dạng Nếu điều kiện ban đầu Yn(0) ≠ 0, Yn (0) ≠ phản ứng dạng phải cộng thêm phần dao động tự có cản sau: Yn (t ) = e −ξ nω n t ⎡Yn (0) + Yn (0)ξnωn sinωDnt+ Yn(0)cosωDnt ⎢ ωDn ⎣ ] Các trị số Yn(0) Yn (0) xác định theo vectơ chuyển vị vận tốc ban đầu [v(0)] vaø [ v (0)]: [φ n ]T [ M ][v(0)] Yn (0) = Mn • T φ [ ] [ M ][v(0)] Yn (0) = n Mn Bước 7: Chuyển vị tọa độ hình học (3.97) Dùng nguyên lí chồng chất: [v(t)] = [φ][Y(t)] = [φ1][Y1(t)] + [φ2][Y2(t)] + + [φn][Yn(t)] Thường dùng số mode có tần số thấp nhất, với hai lí do: - Chuỗi thường hội tụ nhanh, nên cần số hạng đủ xác (dàn khoan: 1, dàn cầu: ÷ 5, cầu dây văng: < 20) - Mode tần số cao tin cậy, gần sơ đồ tính kết cấu Thí dụ: Dầm đơn giản thay khối lượng tập trung Mode cao sai lệch nhiều tin cậy Hệ thật Mode Mode Mode Sơ đồ gần Bước 8: Lực đàn hồi Lực đàn hồi để trì biến dạng kết cấu, xác định theo công thức: [fS(t)] = [K][v(t)] = [K][φ][Y(t)] = [K][φ1][Y1(t)] + [K][φ2][Y2(t)] + + [K][φn][Yn(t)] =ω12 [M][φ1][Y1(t)] + ω22 [M][φ2][Y2(t)] + + ω n2 [M][φn][Yn(t)] Dạng ma trận: [fs(t)] = [M][φ] [ω n Yn(t)] (3.98) đó: ⎧ω12Y1 (t ) ⎫ ⎪ ω Y2 (t ) ⎪⎪ ⎪ [ω n Yn(t)] = ⎨ ⎬ ⎪ # ⎪ ⎪⎩ω n2Yn (t )⎪⎭ (3.99) Bước 9: Nội lực ứng suất Trong dao động (mode), nội lực ứng suất phần tử tỉ lệ với tọa độ chuẩn Yn(t) Chẳng hạn, ứng suất phần tử dao động với mode n có dạng: σn = αnYn(t) , với αn hệ số tỉ lệ (3.100) Dùng nguyên lí chồng chất cho caùc mode: (3.101) σ = α1Y1(t) + α2Y2(t) + + αnYn(t) Các tọa độ chuẩn Yn(t) đóng vai trò chuyển vị cưỡng bức, tương ứng với sơ đồ biến dạng [φn] Công thức cho nội lực có dạng tương tự công thức (3.101) αn hệ số tỉ lệ tương ứng cho nội lực xét Thí dụ minh họa Xét kết cấu thí dụ mục 3.3 (E12-1 Trang 178, [1]) Cần xác định phản ứng kết cấu tải trọng xung hình sin sau: ⎧ p1 (t ) ⎫ ⎧1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ π ⎨ p2 (t )⎬ = ⎨2⎬(500 Kips ) cos 2t t , ⎪ p (t ) ⎪ ⎪3 ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ với t1 = 0.025 - t1/2 < t < t1/2 Giải Ma trận khối lượng độ cứng cho bởi: 0⎤ ⎡1,0 ⎥ [M ] = ⎢ 1,5 ⎢ ⎥ 2,0⎥⎦ ⎢⎣ (kip.s2/in) ⎡ −1 ⎤ [K ] = 600 ⎢− − 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − ⎥⎦ (kip.s/in) Kết tần số vòng dạng chuẩn: ⎧14.5 ⎫ ⎧1 ⎫ ⎧1 ⎫ ⎧1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ω = ⎨31.1⎬, φ1 = ⎨0.644⎬, φ ⎨− 0.601⎬, φ3 = ⎨− 2.57 ⎬ ⎪2.47 ⎪ ⎪46.1⎪ ⎪0.3 ⎪ ⎪− 0.676⎪ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ Vì tải trọng xung ngắn nên coi phản ứng dạng dao động tự có hệ số dao động Dn xác định theo Fig 6-6 trang 29: P0 n Yn (t ) = Dn sin ω1t Kn M n = [φ nT ][m]φ n ] (a) (b) K n = M nω n2 (c) ⎧1 ⎫ ⎪ ⎪ P0 n = [φ nT ]⎨2⎬(500) ⎪2 ⎪ ⎩ ⎭ (d) Dùng công thức (b) ta thu khối lượng suy rộng sau: ⎧M ⎫ ⎧1.80 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨M ⎬ = ⎨2.455⎬ ⎪M ⎪ ⎪23.10⎪ ⎭ ⎩ 3⎭ ⎩ Dùng (c) thu vector độ cứng suy rộng: ⎧K1 ⎫ ⎧ M ⎪ ⎪ ⎪M ⎨K ⎬ = ⎨ ⎪ K ⎪ ⎪M ⎩ 3⎭ ⎩ x 80 14 ⎧ ⎫ ⎧379 ⎫ ω ⎫ ω ⎪⎬ = ⎪⎨2.455 x 31.12 ⎪⎬ = ⎪⎨2372 ⎪⎬ ω 32 ⎪⎭ ⎪⎩23.10 x 46.12 ⎪⎭ ⎪⎩49100⎪⎭ 2 Vector tải trọng suy rộng: ⎧ P1 ⎫ ⎧500 ⎫ ⎧1444 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ T ⎪ [ ] 1000 = = − 777 φ P ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ 2⎬ ⎨ ⎪P ⎪ ⎪1000⎪ ⎪400 ⎪ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎩ 3⎭ Tỉ số chu kỳ / chiều dài xung: ⎧ t1 ⎫ ⎪ T1 ⎪ ω 0.046 ⎫ ⎪⎪t ⎪⎪ 0.02 ⎧⎪ ⎫⎪ ⎧⎪ ⎪ ω = = 099 ⎬ ⎨ T ⎬ ⎨ 2⎬ ⎨ π ⎪ ⎪ ⎪ω ⎪ ⎪0.147 ⎪ ⎭ ⎩ 3⎭ ⎩ ⎪t ⎪ ⎪⎩ T3 ⎪⎭ ⎧ D1 ⎫ ⎧0.18 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Đồ thị Fig 6.6 hệ số động: ⎨ D2 ⎬ = ⎨0.39 ⎬ ⎪ D ⎪ ⎪0.57 ⎪ ⎭ ⎩ 3⎭ ⎩ Thế đại lượng thu vào (a): ⎧Y1 (t ) ⎫ ⎧0.686 sin 14.5t ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ( ) Y t 128 sin 31 = − t ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎪Y (t ) ⎪ ⎪0.005 sin 46.1t ⎪ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ Chuyển vị điểm xác định theo nguyên lý cộng tác dụng Giả sử tính chuyển vị tầng 2: v2 (t ) = ∑ φ2 nYn (t ) = 0.644 × 0.686 sin 14.5 + n =1 (−0.601) × (−0.128) sin 31.1t + (−2.57)(0.005) sin 46.1t = 0.442 sin 14.5 + 0.077 sin 31.1t − 0.013 sin 46.1t lực đàn hồi tác dụng tầng 2: f S (t ) = ∑ m2ω n2Yn (t )φ2 n = n =1 139 sin 14.5t + 112 sin 31.1t − 41sin 46.1t Chú ý hệ số biểu thức lực đàn hồi tắt dần chậm so với chuyển vị