Chuyên đề lượng giác

Chuyên đề lượng giác tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh tế...

Nguyễn Hải Hà 0983325739 1 PHẦN I: CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN HAI CUNG ĐỐI NHAU –x và x cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x            HAI CUNG BÙ NHAU sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x                HAI CUNG PHỤ NHAU sin cos cos sin 2 2 tan cot cot tan 2 2 x x x x x x x x                                     HAI CUNG HƠN KÉM π sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x               HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN  .    +    = 1  . 1 +    = 1     . 1 +    = 1     .  .  = 1 CÔNG THỨC CỘNG .cos( ) cos .cos sin .sin .cos( ) cos .cos sin .sin .sin( ) sin .cos sin .cos .sin( ) sin .cos sin .cos a x y x y x y b x y x y x y c x y x y y x d x y x y y x             tan tan .tan( ) 1 tan tan tan tan .tan( ) 1 tan tan x y e x y x y x y f x y x y         CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI sin2 2sin cos : sin 2sin cos 2 2 x x x nx nx TQ nx   2 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2tan tan 2 1 tan x x x x x x x x         CÔNG THỨC NHÂN BA 3 3 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos x x x x x x     2 2 (3 tan )tan tan3 1 3tan x x x x    CÔNG THỨC HẠ BẬC 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 x x x x     3 3 3sin sin3 sin 4 3cos cos3 cos 4 x x x x x x     CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG     1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 x y x y x y x y x y x y             1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 1 cos sin sin( ) sin( ) 2 x y x y x y x x x y x y         Nguyễn Hải Hà 0983325739 2 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y                  sin( ) tan tan cos cos sin( ) tan tan cos cos sin( ) cot cot sin sin sin( ) cot cot cos cos x y x y x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y             CÔNG THỨC RÚT GỌN sin cos 2sin( ) 2 cos( ) 4 4 sin cos 2 sin( ) 2 cos( ) 4 4 x x x x x x x x                2 cot tan sin 2 cot tan 2cot 2 x x x x x x     CÔNG THỨC TÍNH Sin, Cos, Tan THEO tan   2 2 sin 1 t x t   2 2 1 cos 1 t t    2 2 tan 1 t x t   PHẦN II. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I.Phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình sinx = a * Nếu   < −1  > 1  Phương trình (1) vô nghiệm * Nếu −1 ≤ ≤1 + Nếu a là các số đặc biệt   , √   , √   thì đổi a thành sin của các góc tương ứng, ta có: (1)  sinx = sin   =  + 2  = −  + 2 k  Z + Nếu a không là các giá trị đặc biệt, ta có: (1)   = arcsin (  ) + 2 = −arcsin (  ) + 2 k  Z * Các phương trình đặc biệt sinx = 0  x = kπ k  Z sinx = 1  x =   + 2 k  Z sinx = -1  x = −   + 2 k  Z 2. Phương trình cosx = a * Nếu   < −1  > 1  Phương trình (2) vô nghiệm * Nếu −1 ≤ ≤1 + Nếu a là các số đặc biệt   , √   , √   thì đổi a thành cos của các góc tương ứng, ta có: (2)  cosx = cos    =  + 2  = − + 2 k  Z Nguyễn Hải Hà 0983325739 3 + Nếu a không là các giá trị đặc biệt, ta có: (2)   = arccos (  ) + 2 = −arccos (  ) + 2 k  Z * Các phương trình đặc biệt cosx = 0  x =   +  k  Z cosx = 1  x = 2 k  Z cosx = -1  x = π + 2 k  Z 3. Phương trình tanx = a Điều kiện x ≠   +  k  Z * Nếu a là các giá trị đặc biệt √ 3,1, √   , thì đổi a thành tan của các góc tương ứng, ta có: (3)  tanx = tan  x =  + kπ k  Z * Nếu a không là các giá trị đặc biệt, ta có: (3)  x = arctan(a) + kπ k  Z 4. Phương trình cotx = a Điều kiện x ≠  k  Z * Nếu a là các giá trị đặc biệt √ 3,1, √   , thì đổi a thành cot của các góc tương ứng, ta có: (4)  cotx = cot  x =  + kπ k  Z * Nếu a không là các giá trị đặc biệt, ta có: (4)  x = arccot(a) + kπ k  Z II.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1.Phương trình Asin 2 f(x) + Bsinf(x) + C = 0 (1) Đặt sinf(x) = t Điều kiện có nghiệm: -1 ≤ t ≤ 1 (1)  At 2 + Bt + C = 0 Giải phương trình bậc hai theo ẩn t ta nhận được phương trình cơ bản của sin 2.Phương trình Acos 2 f(x) + Bcosf(x) + C = 0 (2) Đặt cosf(x) = t Điều kiện có nghiệm: -1 ≤ t ≤ 1 (2)  At 2 + Bt + C = 0 Giải phương trình bậc hai theo ẩn t ta nhận được phương trình cơ bản của cos 3.Phương trình Atan 2 f(x) + Btanf(x) + C = 0 (3) Điều kiện: x ≠   +  k  Z Đặt tanf(x) = t (3)  At 2 + Bt + C = 0 Giải phương trình bậc hai theo ẩn t ta nhận được phương trình cơ bản của tan 4.Phương trình Acot 2 f(x) + Bcotf(x) + C = 0 (4) Điều kiện: x ≠  k  Z Đặt tanf(x) = t (4)  At 2 + Bt + C = 0 Giải phương trình bậc hai theo ẩn t ta nhận được phương trình cơ bản của cot Nguyễn Hải Hà 0983325739 4 III.PHƯƠNG TRÌNH Asinf(x) + Bcosf(x) = C (1) Chia cả 2 vế của phương trình cho √   +   (1)          (  ) +         (  ) =        (2)  Nếu        và        là các giá trị đặc biệt   , √   , √   thì chuyển đổi sang các cung lượng giác tương ứng, ta có: (2)  sinf(x).cos + cosf(x).sin =         sin [f(x) + ] =        Đây là phương trình cơ bản. Nếu trong bài toán có chứa tham số m và yêu cầu biện luận nghiệm thì cần có thêm điều kiện -1 ≤        ≤ 1  Nếu        và        không là các giá trị đặc biệt trên thì: Đặt        = cos và        = sin, ta nhận được lời giải tương tự như trên IV.PHƯƠNG TRÌNH Asin 2 f(x) + Bsinf(x).cosf(x) + Ccos 2 f(x) = D (1) Cách 1: Dùng công thức hạ bậc (1)  A. ()  + B. ()  + C.  ()  = D  B.sin2f(x) + (C – A).cos2f(x) = 2D – A – C Đây là phương trình ở dạng III Cách 2: Xét cosf(x) = 0 (1)  A = D Nếu A = D đúng  cosf(x) = 0 là một nghiệm của phương trình Nếu A = D sai  cosf(x) = 0 là không là nghiệm của phương trình Xét cosf(x) ≠ 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos 2 f(x) (1)  A.tan 2 f(x) + B.tanf(x) + C = D.(1 + tan 2 f(x))  (A – D).tan 2 f(x) + B.tanf(x) + (C – D) = 0 Đây là phương trình ở dạng II.3 Một số dạng phương trình có cách giải tương tự cách 2 1. Asin 3 f(x) + Bsin 2 f(x).cosf(x) + Ccos 2 f(x).sinf(x) + D.cos 3 f(x) = 0 2. Asin 3 f(x) + B.cosf(x) + Ccos 2 f(x).sinf(x) + D.cos 3 f(x) = 0 3. Asin 3 f(x) + B.sin 2 f(x).cosf(x) + C.sinf(x) + D.cos 3 f(x) = 0 V.PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ PHẢN ĐỐI XỨNG 1.Phương trình A[sinf(x) + cosf(x)] + B.sinf(x).cosf(x) + C = 0 (1) Đặt t = sinf(x) + cosf(x)  sinf(x).cosf(x) =     Điều kiện có nghiệm: − √ 2 ≤ ≤ √ 2 (1)  A.t + B.  2 −1 2  + C = 0 Đây là phương trình bậc 2 ẩn t 2.Phương trình A[sinf(x) - cosf(x)] + B.sinf(x).cosf(x) + C = 0 (2) Đặt t = sinf(x) - cosf(x)  sinf(x).cosf(x) =     Điều kiện có nghiệm: − √ 2 ≤ ≤ √ 2 (2)  A.t + B. 1−  2 2  + C = 0 Đây là phương trình bậc 2 ẩn t Nguyễn Hải Hà 0983325739 5 BÀI TẬP Để giải các phương trình lượng giác nên chú ý phân tích bài toán theo các hướng sau: 1. Trong phương trình có bao nhiêu loại góc, các góc có thể chuyển đổi qua lại với nhau được không? (Sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba kết hợp với các công thức hạ bậc hai, bậc 3) 2. Trong phương trình có cùng một loại góc, nên phân tích để đặt nhân tử chung (nếu gặp bài toán không theo các dạng cơ bản) 3. Sử dụng tốt các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng 4. Có thể sử dụng cách giải đặc biệt: coi một hàm là tham số, hàm còn lại tạo thành 1 phương trình bậc 2 hoặc bậc 3 (có thể nhẩm nghiệm) 5. Phương trình siêu việt có cách giải đặc biệt Bài 1.Tìm tập xác định của các hàm số 1 - 2 x 1 siny4/ cot2x;y3/ ; 3 tan/2 ; 1 2 cos/1    x y x x y x1 x-1 sin8/y ;1-2xcos7/y ; 32 cot/6 ; 12 sin/5             x y x x y 1-cotx cot2x y12/ ; 6 sin cos y11/ ; 2cos1 3 /10 ; 3 2 cot/9                     x x x yxy 2 cos ) 1 tan 3 x a y x            , tan cot ) 1 sin2x x x b y    Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số 1/ y= 2+3cosx; 2/ y= 3 - 4sinx; 3/ y= 2sin 2 x – 3 2cos3)7 2cos2cos)6 cossin2)5 sin34)4 2 22   xyxxy xxyxy 8)y=3-4sinx; ) 2 cos b y x   Bài 3. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau 1/ y= xcos3x; 2/y= x 2 sin2x; 3/ y= x 3 cos4x; 4/ y= sin 2 x 5) y= sin 3 x; 6) y = cos 3 x 7) y= sin 4 x; 8) y= tan2x 9) y = sin 2 2x+1; 10) y= cos 2 x- sin 2 x 10)y=sin 3 x-tanx, 2 cos cot ) sin x x b y x   Bài 4 .Giải các phương trình   1x2sin)c, 2 1 60xsin)b 2 3 x2sin)a 0  , Bài 5 .Giải các phương trình   2 1 10 2 x sin)c, 2 2 15x2sin)b 2 3 x3sin)a 00         , Bài 6 .Giải các phương trình     3 1 5x2cos)c, 2 3 12 x3cos)b 2 1 15x2cos)a 0          , Nguyễn Hải Hà 0983325739 6 Bài 7 .Giải các phương trình     2 1 3 x2cos)c, 2 3 45x3cos)b 3 1 3xcos)a 0          , Bài 8 .Giải các phương trình       315x2cot)c,23x2tan)b, 3 1 30xtan)a 00  Bài 9 .Giải các phương trình   8 tan 43 x tan)c,3 3 xcot)b,145x2tan)a 0                   Bài 10. Giải các phương trình a/ cos3x-sin2x=0; b/sin3x+sin5x=0; c/sin2xcotx=0 Bài 11. Giải các phương trình a/ sin 2 3x=sin 2 x; b/ sin 2 4x=cos 2 x; c/ cos 2 3x=cos 2 x; Bài 12. Giải các phương trình a/ tanx.tan2x=-1; b/ cot2x.cot3x=1; c/tan(x-30 0 )cos(2x-150 0 )=0 Bài 13. Giải các phương trình a/ 2cosx- 3 =0; b/ 3 tan3x-3=0 Bài 14. Giải các phương trình a/ sin2x-2cosx=0; b/ 2sinx.cosx.cos2x=1; c/ 2sinx.cosx.sin2x=1 Bài 15. Giải các phương trình a/ cos3x-cos4x+cos5x=0; b/ sin7x-sin3x=cos5x; c/cos2x-sinx-1=0 Bài 16. Giải các phương trình a/ cos2x-sinx-1=0; b/ cosxcos2x=1+sinxsin2x; c/ 4sinxcosxcos2x=-1 Bài 17. Giải các phương trình a/ cos5xcosx=cos4x; b/ sinxsin2xsin3x= 4 1 sin4x; c/ sin 4 x+cos 4 x= - 2 1 cos 2 2x Bài 18. Giải các phương trình a/ cos2x+cos4x+cos6x=0; b/ sinx-sin3x+sin5x+sin6x=0; c/ sin5xcos3x=sin2x+ 2 1 sin3x; d/ cos2xcos4x=cos6x - 2 1 sin4x Bài 19. Giải các phương trình 1/ 2cos 2 x-3cosx+1=0; 2/ cos 2 x+sinx+1=0; 3/ 2sin 2 x+5sinx-3=0; 4/ 3cos 2 x-2sinx+2=0; 5/ 5sin 2 x+3cosx+3=0; 6/ - 4 1 +sin 2 x = cos 4 x 7/ 2sin 2 x-5cosx+1=0; 8/ 2sin 2 2x+3cos 2 x=3; 9/3sin2x+2cosx=0; 10/4sin 2 x-cos2x=2 11/ 2tanx-3cotx-2=0; 12/ cotx-cot2x=tanx+1; 13/ 3 tan 2 x-(1+ 3 )tanx+1=0 14/ 4cos 2 x+3sinxcosx-sin 2 x=3, 15/ 2sin 2 x-sinxcosx-cos 2 x=2, 16/ 4sin 2 x-4sinxcosx+3cos 2 x=1 17/ cos 2 x+2sinxcosx+5sin 2 x=2, 18/ 3cos 2 x-2sin2+sin 2 x=1, 19/ 4cos 2 x-3sinxcosx+3sin 2 x=1 Bài 20. Giải các phương trình 1/ 3sin3cos  xx , 2/ cos 3sin 1 x x   3/ 3sin cos 3 x x  , 4/ cos sin 2 x x  5/ cos sin 1 x x   , 6/ 2cos 2sin 2 x x  7/3sinx+4cosx=5, 8/ 23cos33sin  xx Nguyễn Hải Hà 0983325739 7 9/ 024sin34cos  xx , 10/ xxx sin22cos2sin  11/ 3cosx-4sinx=5, 12/ 2sin2x-2cos2x= 3 13/ 5sin2x-6cos 2 x=13, 14/ sin3x - 3 cos3x =2sin2x Bài 21. Giải các phương trình a)cos2x-sinx-1=0, b)cosxcos2x=1+sinxsin2x c)4sinxcosxcos2x= -1, d)tanx=3cotx Bài 22. Giải các phương trình a)sinx+2sin3x=-sin5x, b)cos5xcosx=cos4x c)sinxsin2xsin3x= 1 4 sin4x, d)sin 4 x+cos 4 x= - 1 2 cos 2 2x Bài 23. Giải các phương trình a)3cos 2 x-2sinx+2=0, b)5sin 2 x+3cosx+3=0, c)sin 6 x+cos 6 x=4cos 2 2x, d) 1 4  +sin 2 x=cos 4 x Bài 24. Giải các phương trình a)2tanx-3cotx-2=0, b)cos 2 x=3sin2x+3, c)cotx-cot2x=tanx+1, Bài 25. Giải các phương trình a)cos 2 x+2sinxcosx+5sin 2 x=2, b)3cos 2 x-2sin2x+sin 2 x=1 c)4cos 2 x-3sinxcosx+3sin 2 x=1 Bài 26. Giải các phương trình a)2cosx-sinx=2, b)sin5x+cos5x= -1 c)8cos 4 x-4cos2x+sin4x-4=0, d)sin 6 x+cos 6 x+ 1 2 sin4x=0 Bài 27. Giải các phương trình a)sin 2 x-cos 2 x=cos4x, b)cos3x-cos5x=sinx c)3sin 2 x+4cosx-2=0, d)sin 2 x+sin 2 2x=sin 2 3x e)2tanx+3cotx=4 f)2cos 2 x-3sin2x+sin 2 x=1, g)2sin 2 x+sinxcosx-cos 2 x=3 Bài 28.Giải các phương trình a) cos4x + 12sin 2 x -1 =0( CĐ KD 2011) b)sin3x - 3 cos3x =2sin2x (CĐ KA,B,D /08) c)cos 2 x -2sinx +2=0 ( CĐ Nguyễn Tất Thành /07) d)cos 4 x-sin 4 x +cos4x =0 ( CĐXD2/07) e)sin 2 x +sin 2 2x= sin 2 3x +sin 2 4x ( CĐKTKTCN2/07) f)sin2xsinx +cos5xcos2x= 2 8cos1 x  (CĐKTtpHCM/07) g) 1cos44cos32 4 sin2 22         xxx  ( CĐGTVT3/07) h)        4 sin2 sin 1 cos 1  x xx (CĐCNTPtpHCM/07) i)cosxcos2xsin3x= x2sin 4 1 (CĐTCHQ/07) k)sin 4 x+cos 4 x = x2sin 2 1 (ĐHSGK D,M /07) l)1+sinx+cosx+tgx= 0 (ĐHSGK B /07) m)                x x xtg sin sin1 2 2 3 2  (ĐHSGK A /07) Nguyễn Hải Hà 0983325739 8 n)2sin 3 x +4cos 3 x =3sinx (CĐKTCT/07) p)cos4x -2sin 2 x+2=0 (CĐXD2/05) q)cos2x +cos 4 x -2=0 (CĐTCKTIV/05) Bài 29. Giải các phương trình 1) sin2x 2cosx sin x 1 0 tan x 3      (ĐHKD2011) 2) sin 2 cos sin cos cos2 sin cos x x x x x x x     (ĐHKB 2011) 2 1 sin 2 cos2 3) 2 sin sin 2 . 1 cot x x x x x     (ĐHKA 2011) 4)(sin2x+cos2x)cosx+2cos2x-sinx=0 (ĐHK B /2010) 5)   xcos 2 1 xtan1 4 xsinx2cosxsin1           (ĐHK A /2010) 6) 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 (ĐHK D /2009) 7)sinx+cosx.sin2x+ 3cos3x=2(cos4x+sin 2 x) (ĐHK B /2009) 8)      3 xsin1xsin21 xcosxsin21    (ĐHK A /2009) 9)2sinx (1+cos2x) +sin2x = 1+2cosx ( ĐHK D /08) 10)sin 3 x - 3 cos 3 x = sinx.cos 2 x - 3 sin 2 x.cosx (ĐHK B /08) 11)                x x x 4 7 sin4 2 3 sin 1 sin 1   ( ĐHK A /08) 12)Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2  ) của phương trình: 5( sinx + 32cos) 2 sin 2 1 3sin3cos    x x xx (ĐH/2002). 13) ,2cos3 2 cos 2 sin 2         x xx ( ĐHK D /07) 15)2.sin 2 2x+sin7x-1=sinx ( ĐHK B / 07) 16)(1+sin 2 x )cosx +(1+cos 2 x)sinx =1 +sin2x (ĐHK A /07) 17)cos3x +cos2x -cosx-1=0 (ĐHK D /06) 18)cotgx +sinx        2 .1 x tgtgx = 4 (ĐHK B /06) 19)   0 sin22 cossinsincos2 66    x xxxx (ĐHK A /06) 20)cos 4 x+sin 4 x + 0 2 3 4 3sin 4 cos                 xx (ĐHK D /05) 21) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x = 0 (ĐHK B /05) 22) cos 2 3xcos2x -cos 2 x = 0 (ĐHK A /05) 24) 5sinx-2 =3(1-sinx ) tg 2 x (ĐHK B /04) 25) (2cosx-1)(2sinx+cosx) =sin2x -sinx (ĐHK D /04) 26) 0 2 x cosxtan 42 x sin 222          (ĐHK D /03) Nguyễn Hải Hà 0983325739 9 27) cotx -tanx +4sin2x = x 2 sin 2 (ĐHK B /03) 28) x2sin 2 1 xsin x tan 1 x2cos 1xcot 2    (ĐHK A /03) Bài 30. Giải các phương trình sau: 1. 2sin2x -2(sinx+cosx) + =0 (HVHCQG/2000) 2. cotgx- tgx = sinx +cosx(ĐHNNHN99). 3. cos 3 x+sin 3 x =cos2x( ÑHYHN/2000). 4. cos 2 x +2(sinx+cosx) 3 -3sin2x – 3 =0(ĐHGQHN/99). 5. 2sin 3 x –cos2x +cosx = 0(ĐHNN1/99). 6. 2 (sinx+cosx) = tgx +cotgx(ĐHCÑ00). 7. 1+sin 3 x+cos 3 x = 2 3 sin2x(ĐHGTVT00). 8. 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0(ĐHCÑ/00) 9. 1+sin 3 x+cos 3 x = 2 3 sin2x(ĐHGTVT00). 10. sin 3 xcos3x +cos 3 x.sin3x =sin 3 4x.(ĐHNTK A /99). 11. cos 3 x+cos 2 x +2sinx-2=0(HVNH/99). 12. 1+sinx+cos3x=cosx+sin2x+cos2x(ĐHNT/2000) 13. (2sinx+1)(3cos4x+2sinx-4)+4cos 2 x =3.(ĐHHH/2000)