Tài liệu ôn tập môn toán lớp 12 (trường thpt đào sơn tây)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY  TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 12 NĂM HỌC 2022 - 2023 Họ tên: Lớp: Tài liệu lưu hành nội MỤC LỤC CHƯƠNG I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BAØI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ BAØI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BAØI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 11 BÀI 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ 13 BÀI 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 15 BÀI 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 17 CHƯƠNG II : HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 25 BÀI 1: LUỸ THỪA 25 BAØI 2: LOGARIT 26 BAØI 3: HAØM SỐ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 29 BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ 31 BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 33 BÀI 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 35 BAØI 7: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 36 NHẮC LẠI MỘT SỐ CÔNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 36 CHƯƠNG I : KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG 37 BÀI 1: KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN 37 BÀI 2: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 40 BÀI 3: KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 42 CHƯƠNG II : KHỐI TRÒN XOAY 45 BAØI 1: MẶT CẦU – KHỐI CẦU 45 BAØI 2: MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN 45 BAØI 3: MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ 46 BÀI 4: DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH 48 VẤN ĐỀ 1: MẶT CẦU – KHỐI CẦU 48 VẤN ĐỀ 2: MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN 48 VẤN ĐỀ 3: MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ 49 CHƯƠNG I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Đinh nghóa:  Hàm số f đồng biến treân K  x1, x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2    Hàm số f nghịch biến K  x1, x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2   Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f '  x   0, x  I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f '  x   0, x  I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f '  x   0, x  I ( f '  x   số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f '  x   0, x  I ( f '  x   số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Neáu f '  x   0, x  I f không đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y  f  x  , ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y Tìm điểm mà y = y không tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Câu Xét chiều biến thiên hàm số sau: x2 x 4 a) y   x  x  b) y  d) y  x  x  x  e) y  (4  x )( x  1)2 f) y  x  3x  x  i) y  g) y  x  2x2 1 h) y   x  x  k) y  2x 1 x5 l) y  x 1 2 x c) y  x  x  x  x 2 10 10 m) y   1 x Câu Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y  6 x  8x  3x  d) y  2x 1 x b) y  e) y  x2  c) y  x2  x x  3x  x2  x  x2  x  f) y  x   2  x VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) Cho hàm số y  f ( x, m) , m tham số, có tập xác định D  Hàm số f đồng biến D  y  0, x  D  Hàm số f nghịch biến D  y  0, x  D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y '  ax  bx  c thì:  a  b   c   y '  0, x  R     a      a  b   c   y '  0, x  R     a     3) Định lí dấu tam thức bậc hai g( x )  ax  bx  c :  Nếu  < g(x) dấu với a  Nếu  = g(x) dấu với a (trừ x =  b ) 2a  Nếu  > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a 4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x )  ax  bx  c với số 0:     x1  x2    P   S       x1  x2   P   S   x1   x2  P  5) Để hàm số y  ax  bx  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến)  x1; x2  d ta thực bước sau:  Tính y  Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: a     (1)  Biến đổi x1  x2  d thaønh ( x1  x2 )2  x1x2  d (2)  Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Câu Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y  x  5x  13 d) y  x2  2x  x 1 b) y  x3  3x  x  e) y  3x  sin(3x  1) c) y  2x 1 x2 f) y  x  2mx  xm Câu Chứng minh hàm số sau nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y  5x  cot( x  1) c) y  sin x  cos x  2 x b) y  cos x  x Câu Tìm m để hàm số sau đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: x mx b) y    2x  2 a) y  x  3mx  (m  2) x  m c) y  xm xm d) y  mx  xm Câu Tìm m để hàm số: a) y  x3  3x  mx  m nghịch biến khoảng có độ dài 1 b) y  x  mx  2mx  3m  nghịch biến khoảng có độ dài baèng 3 c) y   x  (m  1) x  (m  3) x  đồng biến khoảng có độ dài Câu Tìm m để hàm số: a) y  x3  (m  1) x  (m  1) x  đồng biến khoảng (1; +) b) y  x  3(2m  1)x  (12m  5)x  đồng biến khoảng (2; +) c) y  mx  (m  2) đồng biến khoảng (1; +) xm d) y  xm đồng biến khoảng (–1; +) xm VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau:  Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc R (P) (S) điểm chung Khi d = (P) qua tâm O đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính R đgl đường tròn lớn Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng Cho mặt cầu S(O; R) đường thẳng  Gọi d = d(O; )  Nếu d < R  cắt (S) hai điểm phân biệt  Nếu d = R  tiếp xúc với (S) ( đgl tiếp tuyến (S))  Nếu d > R  (S) điểm chung Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình đa diện Tất đỉnh hình đa diện Tất mặt hình đa diện đều nằm mặt cầu tiếp xúc với mặt cầu Hai đường tròn đáy hình trụ Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy Hình trụ nằm mặt cầu đường sinh hình trụ Mặt cầu qua đỉnh đường tròn Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy Hình nón đáy hình nón đường sinh hình nón Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện  Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh đa diện nhìn hai đỉnh lại góc vuông tâm mặt cầu trung điểm đoạn thẳng nối hai đỉnh  Cách 2: Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp – Xác định trục  đáy ( đường thẳng vuông góc với đáy tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy) – Xác định mặt phẳng trung trực (P) cạnh bên – Giao điểm (P)  tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp BÀI 2: MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN I ĐỊNH NGHĨA MẶT NÓN Cho đường thẳng  Xét đường thẳng d cắt  O tạo thành góc  với    Mặt tròn xoay sinh đường thẳng d quay quanh  gọi mặt nón trịn xoay (hay đơn giản mặt nón) 45  d d d O  ●  gọi trục mặt nón ● d gọi đường sinh mặt nón ● O gọi đỉnh mặt nón ● Góc 2 gọi góc đỉnh mặt nón II HÌNH NĨN VÀ KHỐI NĨN Hình nón Cho mặt nón N với trục  , đỉnh O , góc đỉnh 2 Gọi  P  mặt phẳng vuông góc với  điểm I khác O Mặt phẳng  P  cắt mặt nón theo đường trịn  C  có tâm I Lại gọi  P ' mặt phẳng vng góc với  O O  P '  P I M ● Phần mặt nón N giới hạn hai mặt phẳng  P   P ' với hình trịn xác định  C  gọi hình nón ● O gọi đỉnh hình nón ● Đường trịn  C  gọi đường trịn đáy hình nón ● Với điểm M nằm đường tròn  C  , đoạn thẳng OM gọi đường sinh hình nón ● Đoạn thẳng OI gọi trục hình nón, độ dài OI gọi chiều cao hình nón (đó khoảng cách từ đỉnh O đến mặt đáy.) Khối nón Một hình nón chia khơng gian thành hai phần: phần bên phần bên Hình nón với phần bên gọi khối nón BÀI 3: MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ I MẶT TRỤ TRỊN XOAY Cho hai đường thẳng  cho quanh trục  góc 3600 song song với  d  ,   R Khi ta quay tạo thành mặt trụ tròn xoay T  (hoặc đơn giản mặt trụ) 46  R ●  gọi trục mặt trụ T  ● gọi đường sinh mặt trụ T  ● R gọi bán kính mặt trụ T  II HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ TRỊN XOAY Định nghĩa hình trụ Cắt mặt trụ T  trục  , bán kính R hai mặt phẳng  P   P ' vuông góc với  , ta giao tuyến hai đường tròn  C   C '  P ' O'  C ' M' T   P O M C  ●Phần mặt trụ T  nằm  P   P ' với hai hình trịn xác định  C   C ' gọi hình trụ ● Hai đường tròn  C   C ' gọi hai đường trịn đáy hình trụ ● OO ' gọi trục hình trụ ● Độ dài OO ' gọi chiều cao hình trụ ● Phần hai đáy gọi mặt xung quanh hình trụ ● Với điểm M   C  , có điểm M '   C ' cho MM ' OO ' Các đoạn thẳng MM ' gọi đường sinh hình trụ Nhận xét Các đuờng sinh hình trụ với trục hình trụ Các thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật Thiết diện vng góc vơi trục hình trụ hình trịn hình trịn đáy Nếu điểm M di động khơng gian có hình chiếu vng góc M ' lên mặt phẳng   M ' di động mơt đường trịn  C  cố định M thuộc mặt trụ cố định T  chứa  C  có trục vng góc   Khối trụ Định nghĩa Hình trụ với phần bên gọi khối trụ 47 BÀI 4: DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH Cầu Diện tích S  4 R2 Thể tích V   R3 Trụ Sxq  2 Rh Nón Sxq   Rl Stp  Sxq  2Sđáy Stp  Sxq  Sđáy V   R2h V   R2h VẤN ĐỀ 1: MẶT CẦU – KHỐI CẦU Câu Cho mặt cầu có bán kính R  Tính diện tích mặt cầu cho Câu Cho mặt cầu có diện tích 16 a Tính bán kính mặt cầu Câu Cho khối cầu có bán kính r  Tính thể tích khối cầu Câu Tìm bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh 2a Câu Cho hình hộp chữ nhaät ABCD A ' B ' C ' D ' coù AB  a , AD  AA '  2a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cho Câu Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh cm Câu Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 4a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng  SBC  mặt phẳng đáy 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a Cạnh bên SA  a vuông góc với đáy  ABCD Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AB  3a , BC  4a , SA  12a SA vuông góc với đáy Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Câu Câu 10 Cho tứ diện ABCD có cạnh a a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Câu 11 Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Câu 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Xác định tâm bán kính mặt cầu qua năm điểm S, A, B, C, D Câu 13 Hình chóp S.ABC có đường cao SA  a, đáy ABC tam giác cạnh a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Câu 14 Cho hình chóp từ giác S.ABCD có cạnh đáy a góc hợp mặt bên đáy 600 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp VẤN ĐỀ 2: MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN Câu Cho hình nón có bán kính đáy r  độ dài đường sinh l  Tính diện tích xung quanh hình nón 48 Câu Cho hình nón có diện tích xung quanh 3 a bán kính đáy a Tính độ dài đường sinh l hình nón cho Câu Trong không gian, cho tam giác vuông ABC A , AB  a AC  a Tính độ dài đường sinh l hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB Câu Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vuông cân có cạnh góc vuông a Tính diện tích xung quanh hình nón Câu Cho khối nón có thiết diện qua trục tam giác cân có góc 120 cạnh bên a Tính thể tích khối nón Câu Cho hình nón có độ dài đường sinh 25 bán kính đường tròn đáy 15 Tính thể tích khối nón Câu Thiết diện qua trục khối nón tam giác vuông cân có cạnh huyền a Tính thể tích khối nón diện tích xung quanh hình nón cho Câu Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Tính diện tích xung quanh hình nón có đỉnh tâm O hình vuông ABCD đáy hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’ Câu Cắt hình nón mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình thể tích khối nón Câu 10 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên a góc mặt bên mặt đáy  Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác ABC, Hãy tính diện tích xung quanh hình nón theo a  Câu 11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao SO = h SAB   (   450 ) Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD Câu 12 Cho hình nón có chiều cao h  a bán kính đáy r  2a Mặt phẳng ( P) qua S cắt đường tròn đáy A vaø B cho AB  3a Tính khoảng cách d từ tâm đường tròn đáy đến ( P) VẤN ĐỀ 3: MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ Câu Cho hình trụ có bán kính đáy R  độ dài đường sinh l  Diện tích xung quanh hình trụ cho Câu Cho khối trụ T  có bán kính đáy R  , thể tích V  5 Tính diện tích toàn phần hình trụ tương ứng Câu Một hình trụ có diện tích xung quanh 4 a2 bán kính đáy a Tính độ dài đường cao hình trụ Câu Một hình trụ có bán kính đáy 2cm có thiết diện qua trục hình vuông Diện tích xung quanh hình trụ Câu Xét hình trụ T có thiết diện qua trục hình trụ hình vuông có cạnh a Tính diện tích toàn phần S hình trụ Câu Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB  AD  Gọi M , N trung điểm AB CD Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN , ta hình trụ Tính thể tích V khối trụ tạo hình trụ Câu Cho khối trụ có diện tích xung quanh khối trụ 80 Tính thể tích khối trụ biết khoảng cách hai đáy 10 Câu Một hình trụ có bán kính đáy R có thiết diện qua trục hình vuông a) Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình trụ b) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp khối trụ cho 49 Câu Thiết diện qua trục hình trụ hình vuông có cạnh 2a Thể tích khối trụ tạo nên hình trụ Câu 10 Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có AB CD thuộc hai đáy khối trụ Biết AB  4a , AC  5a Tính thể tích khối trụ Câu 11 Cho hình trụ có chiều cao Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng 1, thiết diện thu có diện tích 12 Diện tích xung quanh hình trụ cho Câu 12 Cắt hình trụ T  mặt phẳng qua trục thiết diện hình chữ nhật có diện tích 30cm chu vi 26 cm Biết chiều dài hình chữ nhật lớn đường kính mặt đáy hình trụ T  Diện tích toàn phần T  50