Tính giới nội và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa và động lực học thủy khí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VŨ THỊ MAI TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA VÀ ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VŨ THỊ MAI TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA VÀ ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ Ngành: Toán học , Mã số: 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS VŨ THỊ NGỌC HÀ TS TRẦN THỊ LOAN Hà Nội - 2021 MỤC LỤC MỤC LỤC i LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 1.3 10 Không gian nội suy, định lý nội suy 10 1.1.1 Định nghĩa 10 1.1.2 Không gian nội suy phức 10 1.1.3 Không gian nội suy thực 11 Nửa nhóm 14 1.2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 14 1.2.2 Nửa nhóm giải tích 15 1.2.3 Nửa nhóm hyperbolic 16 Một số không gian hàm 17 1.3.1 Không gian Lorentz 17 1.3.2 Không gian Besov 19 1.3.3 Hàm hầu tuần hoàn 19 Chương NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA 21 TRONG KHƠNG GIAN NỘI SUY 2.1 Nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa tuyến tính 2.2 Nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 21 tính ổn định nghiệm 26 2.2.1 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 26 2.2.2 Phương trình tổng qt hóa động lực học thủy khí i 32 Chương NGHIỆM TUẦN HỒN VÀ HẦU TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA 37 3.1 Nghiệm tuần hồn 38 3.1.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính 38 3.1.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 41 Nghiệm hầu tuần hoàn 43 3.2 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 4.1 4.2 47 Ứng dụng vào phương trình động lực học thủy khí 47 4.1.1 Phương trình Navier-Stokes-Oseen 47 4.1.2 Phương trình Navier-Stokes miền có lỗ thủng 52 4.1.3 Phương trình Navier-Stokes khơng gian Besov 55 Ứng dụng vào phương trình Ornstein-Uhlenbeck phương trình truyền nhiệt với hệ số thô 57 4.2.1 Phương trình Ornstein-Uhlenbeck 57 4.2.2 Phương trình truyền nhiệt với hệ số thô 62 4.3 Ứng dụng vào nửa nhóm hyperbolic 63 4.4 Ứng dụng vào phương trình truyền sóng 68 KẾT LUẬN 72 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 ii LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan cơng trình nghiên cứu thân tác giả Các kết nghiên cứu kết luận luận án trung thực, không chép từ nguồn hình thức Việc tham khảo nguồn tài liệu thực trích dẫn ghi nguồn tài liệu tham khảo quy định Hà Nội, ngày 12 tháng 01 năm 2021 Tập thể hướng dẫn TS Vũ Thị Ngọc Hà Tác giả TS Trần Thị Loan Vũ Thị Mai LỜI CẢM ƠN Luận án thực hướng dẫn khoa học TS Vũ Thị Ngọc Hà, TS Trần Thị Loan, hai tận tình giúp đỡ tơi đường nghiên cứu khoa học Các cô bảo suốt q trình nghiên cứu, giúp tơi tiếp cận lĩnh vực tốn học đầy thú vị, ln tạo thử thách giúp tơi tự học hỏi, tìm tịi sáng tạo, tơi may mắn tiếp nhận từ người đáng kính Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cô Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy, nhà khoa học, người thầy vô mẫu mực, tận tình giúp đỡ tơi, cho tơi ý kiến đóng góp q báu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Xin chân thành cảm ơn thành viên nhóm seminar “Phương trình vi phân ứng dụng” trường ĐH Bách khoa Hà Nội PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy điều hành bên cạnh động viên giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Trong thời gian làm NCS Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tơi nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy cô Bộ mơn Tốn bản, thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học Tôi xin chân thành cảm ơn Nhân dịp này, bày tỏ cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Toán KHTN Trường Đại học Hải Phòng tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên để tơi vững bước đường tốn học chọn Tác giả MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm R− : tập số thực không dương Z : tập số nguyên C : tập số phức  Z 1/p  p := u : R → R kukp = |u(x)| dx < +∞ , ≤ p < ∞ R  := u : R → R Z t D E −ξA0 ˜ ≤ | G(t − ξ, v(t − ξ)), B e ϕ |dξ Z t/2 D E −ξA0 ˜ = | G(t − ξ, v(t − ξ)), B e ϕ |dξ Z t D E −ξA0 ˜ + | G(t − ξ, v(t − ξ)), B e ϕ |dξ (2.29) t/2 Sau ta đánh giá hai tích phân cuối (2.29) Đầu tiên ta có Z t/2 D E ˜ −ξA0 ϕ dξ G(t − ξ, v(t − ξ)), B e 0Z t/2 ˜ −ξA0 ϕ dξ ≤ G(t − ξ, v(t − ξ)) B e W W Z t/2 ≤ L1 kv(t − ξ)k(Θ1 ,Θ2 )ζ,∞ B e−ξA ϕ dξ W   Z t/2 1−β t −ξA0 ≤ L1 kvkM ϕ dξ B e W Chú ý bất đẳng thức ˜ G(v(t − ξ)) W ˜ G(t − ξ, v(t − ξ)) W ≤ L1 kv(t − ξ)k(Θ1 ,Θ2 )ζ,∞ , = k˜ g (t − ξ), v(t − ξ) + uˆ(t − ξ)) − g˜(t − ξ, uˆ(t − ξ))kW 30 ≤ L1 kv(t − ξ)k(Θ1 ,Θ2 )ζ,∞ , kˆ u(t − ξ)k(Θ1 ,Θ2 )ζ,∞ ≤ ρ (theo Giả thiết 2.2.3 (b)) Vì thế, ta cần kˆ uk∞,(Θ1 ,Θ2 )ζ,∞ đủ nhỏ theo nghĩa kˆ uk∞,(Θ1 ,Θ2 )ζ,∞ ≤ ρ nêu đầu Sử dụng kỹ thuật nội suy Bổ đề 2.1.2, ta Z ∞ Z t/2 −ξA0 −ξA0 ϕ dξ ≤ M1 kϕk(Θ1 ,Θ2 )0ζ,∞ ϕ dξ ≤ B e B e W W Vì thế,  1−β Z t/2 D E t ˜ −ξA0 ϕ dξ ≤ L1 M1 kvkM kϕk(Θ1 ,Θ2 )0ζ,∞ G(t − ξ, v(t − ξ)), B e (2.30) Tiếp theo ta đánh giá tích phân cuối (2.29) Ta có Z t D E