chương 3 đường cong khớp

Chương 3: Đường Cong Khớp Nguyễn Đức Nghĩa, Vũ Văn Thiệu, Trịnh Anh Phúc 1 1 Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. Ngày 13 tháng 12 năm 2012 Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 13 tháng 12 năm 2012 1 / 58 Giới thiệu 1 Đặt vấn đề 2 Nội suy Nội suy Lagrange Nội suy spline 3 Hồi qui Hồi qui tuyến tính Đương cong khớp bậc cao Đường cong khớp tổng quát Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 13 tháng 12 năm 2012 2 / 58 Đặt vấn đề Vấn đề đặt ra là : Giả sử cần tính xấp xỉ hàm f (x) không biết rõ công thức, tuy nhiên bằng thực nghiệm ta xác định được giá trị f (x) tại n + 1 điểm rời rạc f i = f (x i ) i = 0, 1, · · · , N Cho bộ dữ liệu {(x i , f i ), i = 0, N}, cần tìm cách xấp xỉ hàm f (x) bởi một hàm (có thể được tính theo công thức giải tích) p(x) sao cho ’khoảng cách’ giữa chúng trên bộ dữ liệu nhỏ nhất có thể. Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 13 tháng 12 năm 2012 3 / 58 Đặt vấn đề (tiếp) tiếp tục Để giải quyết vấn đề Ta sẽ tìm hiểu hai phương pháp dùng để để xây dựng đường cong khớp (curve fitting) Nội suy (Interpolation) : hàm p(x) phải đi qua tất cả các điểm thuộc bộ dữ liệu. Hồi quy (Regression) dùng tiêu chí bình phương bé nhất (least squares) : cho trước dạng f (x) có tham số, ta phải điều chỉnh các tham số này bằng cách cực tiểu nó theo tiêu chí nào đó. Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 13 tháng 12 năm 2012 4 / 58 Nội suy Mở đầu Phép nội suy có thể thực hiện với các hàm p(x) là Hàm đa thức Hàm hữu tỷ Hàm chuỗi Fourier Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 13 tháng 12 năm 2012 5 / 58 Nội suy Nội suy Định nghĩa : Ta nói hàm p (x ) là hàm nội suy bộ dữ liệu {(x i , f i ), i = 0, N} nếu thực hiện các điều kiện sau p i = f i i = 0, 1, · · · , N hệ N + 1 đẳng thức gọi là điều kiện nội suy. Sở dĩ hàm đa thức được chọn vì việc tính giá trị, đạo hàm, vi phân dễ dàng (tính chất giải tích của hàm rõ ràng). Đa thức nội suy bộ dữ liệu được gọi là đa thức nội suy (interpolating polynominal) Định nghĩa : Ta gọi đa thức bậc không quá K là hàm p K (x) = a 0 + a 1 x + · · · + a K x K trong đó a 0 , a 1 , · · · , a K là các hằng số. Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 13 tháng 12 năm 2012 6 / 58 Nội suy Nội suy tuyến tính Ta có hai điểm dữ liệu (x 0 , f 0 ) và (x 1 , f 1 ) cần nội suy bởi đa thức p 1 (x) ≡ a 0 + a 1 x thỏa mãn hệ phương trình p 1 (x 0 ) ≡ a 0 + a 1 x 0 = f 0 p 1 (x 1 ) ≡ a 0 + a 1 x 1 = f 1 Giải ra, ta có Khi x 0 = x 1 xảy ra hai trường hợp  nếu f 0 = f 1 thì p 1 (x) = x 1 f 0 −x 0 f 1 x 1 −x 0 + f 1 −f 0 x 1 −x 0 x  nếu f 0 = f 1 thì lời giải là hằng số ⇒ đa thức bậc không. Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 13 tháng 12 năm 2012 7 / 58 Nội suy Nội suy tuyến tính (tiếp) x f (4,3) (9,6) p 1 (x) = 0.6 + 0.6x Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 13 tháng 12 năm 2012 8 / 58 Nội suy Công thức nội suy Lagrange Cần xây dựng đường cong đi qua 3,4 hay nhiều điểm (xem hình). x f (4,3) (7,4) (9,6) Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 13 tháng 12 năm 2012 9 / 58 Nội suy Công thức nội suy Lagrange (tiếp) Xét đa thức p M (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a M x M Vậy đa thức p M (x) nội suy bộ dữ liệu {(x i , f i ), i = 0, N} nếu các điều kiện nội suy : p M (x 0 ) ≡ a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 2 0 + · · · + a M x M 0 = f 0 p M (x 1 ) ≡ a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 1 + · · · + a M x M 1 = f 1 · · · p M (x N ) ≡ a N + a 1 x N + a 2 x 2 N + · · · + a M x M N = f N Đây là một hệ phương trình tuyến tính nên ta có thể biểu diễn bằng công thức dạng ma trận. Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 13 tháng 12 năm 2012 10 / 58 [...]... 2 + a1 ,3 x 3 , nếux ∈ [x0 , x1 ]        S3,N (x) = pi (x) = ai,0 + ai,1 x + ai,2 x 2 + ai ,3 x 3 , nếux ∈ [xi−1 , xi ]         pN (x) = aN,0 + aN,1 x + aN,2 x 2 + aN ,3 x 3 , nếux ∈ [xN−1 , xN ] S3,N (x) là hàm liên tục có đạo hàm cấp một và hai liên tục trên đoạn [x0 , xN ] (kể cả tại các nút) Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT &toán khoa họcĐại Học Bách Ngày 13 tháng... &toán khoa họcĐại Học Bách Ngày 13 tháng )12 năm 2012 Tính TT, Trường Khoa Hà Nội 32 / 58 Nội suy spline Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT &toán khoa họcĐại Học Bách Ngày 13 tháng )12 năm 2012 Tính TT, Trường Khoa Hà Nội 33 / 58 Nội suy spline Spline bậc ba Sự khác biệt là thay vì nội suy từng đoạn bậc nhất thì ta dùng một đa thức bậc ba để ’uốn’ đường cong trơn hơn Ta cũng có bộ dữ... , f0 ), (x1 , f1 ), (x3 , f3 ) thằng hàng thì phương trình nội suy trở thành bậc không quá hai do nó là đường thẳng Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT &toán khoa họcĐại Học Bách Ngày 13 tháng )12 năm 2012 Tính TT, Trường Khoa Hà Nội 13 / 58 Nội suy Ví dụ 1 : Xác định các hệ số của đa thức nội suy p2 (x) = a0 + a1 x + a2 x 2 nội suy bộ dữ liệu {(-1,0),(0,1),(1 ,3) }, ta có điều kiện nội... Viện CNTT &toán khoa họcĐại Học Bách Ngày 13 tháng )12 năm 2012 Tính TT, Trường Khoa Hà Nội 34 / 58 Nội suy Lagrange Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT &toán khoa họcĐại Học Bách Ngày 13 tháng )12 năm 2012 Tính TT, Trường Khoa Hà Nội 35 / 58 Nội suy spline Spline bậc ba (tiếp) Định nghĩa : Spline bậc ba S3,N (x) nội suy bộ dữ liệu đã cho S3,N (x) là hàm bậc ba giữa hai nút [xi−1 ,... khoa họcĐại Học Bách Ngày 13 tháng )12 năm 2012 Tính TT, Trường Khoa Hà Nội 30 / 58 Nội suy spline Ví dụ 3 : Cho bộ dữ liệu {(-1,0),(0,1),(1 ,3) }, ta xây dựng spline tuyết tính như sau S1,2 (x) = f1 −f0 x1 −x0 (x f2 −f1 x2 −x1 (x − x1 ) + f1 , nếu x ∈ [x0 , x1 ] − x2 ) + f2 , nếu x ∈ [x1 , x2 ] suy ra với bộ dữ liệu tương ứng S1,2 (x) = 1−0 0−(−1) (x − 0) + 3 1 1−0 (x − 1) + 3, 1, nếu x ∈ [−1, 0] nếu... ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT &toán khoa họcĐại Học Bách Ngày 13 tháng )12 năm 2012 Tính TT, Trường Khoa Hà Nội 20 / 58 Nội suy Ví dụ 2 : x = [0 1 2 3] ; y = [-5 -6 -1 16]; u= [0.25:0.01 :3. 25]; v = polyinterp(x,y,u); plot(x,y,’o’,u,v,’-’) Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT &toán khoa họcĐại Học Bách Ngày 13 tháng )12 năm 2012 Tính TT, Trường Khoa Hà Nội 21 / 58 Nội suy Trịnh... đó f (N+1) là đạo hàm bậc N + 1 của hàm f (x) còn L(x) = (x−x0 )(x−x1 )···(x−xn ) (N+1)! Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT &toán khoa họcĐại Học Bách Ngày 13 tháng )12 năm 2012 Tính TT, Trường Khoa Hà Nội 23 / 58 Nội suy Sai số nội suy (tiếp) tiếp tục công thức : e(x) = f (x) − g (x) = L(x)f (N+1) (ξ) ξ phụ thuộc x nhưng thỏa mãn điều kiện x0 < ξ < xN Cũng theo công thức trên nếu... lớn của dao động tăng nhanh chóng Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT &toán khoa họcĐại Học Bách Ngày 13 tháng )12 năm 2012 Tính TT, Trường Khoa Hà Nội 24 / 58 Nội suy Lagrange Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT &toán khoa họcĐại Học Bách Ngày 13 tháng )12 năm 2012 Tính TT, Trường Khoa Hà Nội 25 / 58 Nội suy spline Đặt vấn đề Trong trường hợp này ta xét phép nội suy... · · · , xN là phân biệt, vậy theo lý thuyết giải hệ phương trình tuyến tính trong chương trước ta có N=M : hệ phương trình có nghiệm duy nhất MN : nếu hệ có nghiệm thì nó có vô số nghiệm Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT &toán khoa họcĐại Học Bách Ngày 13 tháng )12 năm 2012 Tính TT, Trường Khoa Hà Nội 11 / 58 Nội suy Công thức nội suy... ứng S1,2 (x) = 1−0 0−(−1) (x − 0) + 3 1 1−0 (x − 1) + 3, 1, nếu x ∈ [−1, 0] nếu x ∈ [0, 1] Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT &toán khoa họcĐại Học Bách Ngày 13 tháng )12 năm 2012 Tính TT, Trường Khoa Hà Nội 31 / 58 Nội suy spline Ví dụ 4 : » » » » » » » » » » » » clear; x=1:6; y=[16 18 21 17 15 12]; plot(x,y,’o’) hold on; grid on; axis([-1 7 10 22]) xx = [1:0.01:6]; yy = piecelin(x,y,xx); . toán khoa học Ngày 13 tháng 12 năm 2012 1 / 58 Giới thiệu 1 Đặt vấn đề 2 Nội suy Nội suy Lagrange Nội suy spline 3 Hồi qui Hồi qui tuyến tính Đương cong khớp bậc cao Đường cong khớp tổng quát Trịnh. Chương 3: Đường Cong Khớp Nguyễn Đức Nghĩa, Vũ Văn Thiệu, Trịnh Anh Phúc 1 1 Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. Ngày 13 tháng 12 năm. )Tính toán khoa học Ngày 13 tháng 12 năm 2012 3 / 58 Đặt vấn đề (tiếp) tiếp tục Để giải quyết vấn đề Ta sẽ tìm hiểu hai phương pháp dùng để để xây dựng đường cong khớp (curve fitting) Nội suy