Hsg t7 cđ6 tìm gtln gtnn pbx

TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CHUYÊN ĐỀ 6- TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT PHẦN I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT 1) Định nghĩa giá trị lớn (GTLN): Cho biểu thức f  x xác định miền D f  x M  max f  x  Ta nói M giá trị lớn D Kí hiệu , hai điều kiện sau thỏa mãn f  x  M M + Với x thuộc D , số + Tồn xo thuộc D cho f  xo   M 2) Định nghĩa giá trị nhỏ (GTNN): Cho biểu thức Ta nói m giá trị nhỏ sau thỏa mãn: + Với x thuộc D f  x  m f  x D, kí hiệu f  x xác định miền D m  f  x  , hai điều kiện , m số f  xo   m + Tồn xo thuộc D cho 3) Các kiến thức thường dùng: 1) x 0 cách tổng quát Suy ) 3) ) |x|≥0 x x |f ( x)|2 k +m≥m ; |f ( x)|2 k≥0 với x, k  Z M−|f ( x)|2 k ≤M Dấu xảy x 0 Dấu xảy x 0 x  x Dấu xảy x 0 5) |x+ y|≤|x|+|y| Dấu xảy x, y dấu 6) |x−y|≥|x|−|y| Dấu xảy x  y y dấu 7) 8) x y  y x x |x| | |= y |y| ; |xy|=|x||y| với ( y 0) a b + ≥2 9) b a với a  0, b  Dấu xảy a b TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 10) a 0 Dấu xảy a 0 4) Phương pháp giải: Một phương pháp sử dụng dạng toán phương pháp bất đẳng thức Cụ thể: Cho hàm số f  x f  x  M Bước 1: có tập xác định (D) Ta cần chứng minh: f  x  m Bước 2: Chỉ trường hợp x  xo  (D) cho BĐT trở thành đẳng thức Bước 3: Kết luận f  x  Max M f  x  Min  m x  xo PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng Tìm GTLN-GTNN biểu thức khơng chứa mẫu I Phương pháp giải Dạng 1: Tìm GTNN của: số) A  f  x  k Cách giải: Vì f  x  0 (hoặc Dấu “=” xảy f  x  0; A  f  x  k f  x  0 A  f  x  k ( k ) suy A k f  x  0  x xo Vậy Amin k  x  xo Dạng 2: Tìm GTNN của: A  f  x  g  x  k A  f  x  g  x  k ( k số) Cách giải: Vì 2 A  f  x  g  x  k f  x  0 (hoặc f  x  0; f  x  0 ); g  x  0 suy A k  f  x  0  x  xo  g x     Dấu “=” xảy  Vậy Amin k  x  xo Dạng 3: Tìm GTLN của: số) A  f  x   k Cách giải: Vì  f  x  0 (hoặc Dấu “=” xảy  f  x  0;  A  f  x   k f  x  0 A  f  x  k ( k ) suy A k f  x  0  x xo Vậy Amax k  x  xo TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Dạng 4: Tìm GTNN của: A  f  x  g  x  k A  f  x   g  x   k ( k số) Cách giải: Vì 2 A  f  x   g  x   k  f  x  0 (hoặc  f  x  0;  f  x  0 );  g  x  0 suy A k  f  x  0  x  xo  g  x  0   Dấu “=” xảy Vậy Am ax k  x  xo II Bài tốn Bài Tìm GTNN biểu thức 2 A  x  1   y    2021 Lời giải: Vì  x  1 0;  y   0   x  1   y   0 2   x  1   y    2021 2021  A 2021  x  0  x     y 2 Dấu “=” xảy  y  0  x   A  2021 Vậy  y 2 Bài Tìm GTNN biểu thức A  x  y   y   10 Lời giải: Vì  x  y  0; 2 y  0   x  y   y  0   x  y   y   10  10  A  10  x  y 0  x     y 2 Dấu “=” xảy  y  0  x   Vậy Amin  10  y 2 Bài Tìm GTLN biểu thức A 15   x   TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Lời giải: Vì  x  5 0  15   x   15  A 15 Dấu “=” xảy x  0  x  Vậy Amax 15 x  Bài Tìm GTNN biểu thức A  x    Lời giải Với x ta có  x  5 0   x  5  3 ,  x  5 0 A  x    Vậy GTNN biểu thức x  x  0 hay x  5 Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A 4  x  1  2019 a) b) B 2021 x   2020  2022 Lời giải a) Vì  x  1 0 x Dấu xảy nên  x  1  2019 2019  x  1 0  x 1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 2019 x 1 b) Vì 2021 x   2021 x   2020 2020 0 x  2021 x   0  x  2020  2022  2022 Dấu xảy Vậy giá trị nhỏ B  2022 x  Bài Tìm GTNN biểu thức C  x  y  2020   y  3 30  25 Lời giải  x  y Với x; y ta có  y  3 Với y ta có 30 2020 0 ,  x  y  2020 0 0   y  3 30 0 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC , x  y 0 hay x  y  y  3 30 0 y  0 hay y 3 Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT  x  y Do với x; y ta có: B  25 2020   y  3 30 0   x  y  2020   y  3 30  25  25 hay Ta có B  25 xảy đồng thời x  y y 3 hay x  y 3 Vậy GTNN biểu thức C  x  y  2020   y  3 30  25  25 x  y 3 Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x  1   y  1  10 B  x   2n   y  1 4n  100, n  ¥ Lời giải  x  1 0 x  A  x  1   y  1  10 10   y  1  y + Ta có:   x  1 0 x 1   y 1  y  1 0 Dấu xảy   Vậy giá trị nhỏ A 10  x 1 y 1  x   2n 0 x 2n 4n   x     y  1  100  100  4n   y  1 0 y + Ta có:   x   2n 0 x 2   4n y 1   y  1 0 Dấu xảy   x 2 y 1 Vậy giá trị nhỏ B  100  Bài Tìm GTLN biểu thức B   x  1   y    Lời giải 6 B   x  1   y        x  1   y       Ta có: 4  x  1 0   x  1 0 ,  x  1 0 x  0 hay x 1 Với x ta có 6  y   0 ,  y   0 y  0 hay y  Với y ta có TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Do với x; y ta có: 6  x  1   y   0     x  1   y    0     x  1   y          hay B  Vậy GTLN biểu thức B   x  1   y    Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:  x 1 y  A x  x  1  x  30 Lời giải Ta có: + Vì A  x  x 1   x  1  29  x  1  x  1  29  x  1  29  x 1 0 x nên Dấu xảy  x  1  29 29  x  1 0  x  Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 29 x  Bài 10 Tìm giá trị lớn biểu thức B  x  x    x  100 Lời giải Ta có: + Vì B  x  x     x     100  x     x    104   x    104   x   0 x Dấu xảy nên   x    104 104   x   0  x  Vậy giá trị lớn biểu thức C 104 x  Dạng Tìm GTLN-GTNN biểu thức chứa mẫu I Phương pháp giải Dạng 1: Tìm GTNN GTNN của: A  f  x  k P n A với A  f  x   k A  f  x   k ( n; k số) Cách giải: Vì f  x  0 (hoặc f  x  0; f  x  0 ) suy A k Đến tùy theo dấu n k ta chứng minh Dấu “=” xảy n n P k k f  x  0  x xo TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC P Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT n n Amin   x  xo Am ax   x  xo k k Vậy Dạng 2: Tìm GTNN GTNN của: n 2 A với A  f  x   g  x   k A  f  x  g  x  k A  f  x  g  x  k Cách giải: Vì P f  x  0 (hoặc f  x  0; ( k số) f  x  0 ); g  x  0 suy A k Đến tùy theo dấu n k ta chứng minh P n n P k k  f  x  0  x  xo  g  x  0   Dấu “=” xảy n n Amin   x xo Am ax   x xo k k Vậy Dạng 3: Tìm GTNN GTNN của: A  f  x  k n A với A  f  x   k A  f  x   k ( k số) Cách giải: Vì P  f  x  0 (hoặc  f  x  0;  f  x  0 ) suy A k Đến tùy theo dấu n k ta chứng minh Dấu “=” xảy P n n P k k f  x  0  x xo n n Amin   x  xo Am ax   x xo k k Vậy Dạng 4: Tìm GTNN GTNN của: A  f  x   g  x   k A  Cách giải: Vì  f  x  0 (hoặc P n 2 A với A  f  x   g  x   k f  x  g  x  k  f  x  0;  ( k số) f  x  0 );  g  x  0 suy A k Đến tùy theo dấu n k ta chứng minh P n n P k k  f  x  0  x  xo  g  x  0   Dấu “=” xảy n n Amin   x  xo Am ax   x xo k k Vậy TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT II Bài toán A Bài Tìm GTLN biểu thức 18   x  5 Lời giải: Vì   x   0    x   3 18 18  6  A 6 3   x  5 Dấu “=” xảy x  0  x 5 Vậy Amin 6 x 5 B Bài Tìm GTLN biểu thức 2020   x  y   xy  24 Lời giải: Vì  x  y  0; xy  24 0   x  y   xy  24 0 2020    x  y   xy  24 5    x  y   xy  24  2020 404  B 404  x  y 0  xy  24 0 Dấu “=” xảy  Từ  1  x 3 y   1  2 x y   x 3k x y  k    y 2k Đặt 2 Mà xy  24 0  3k 2k  24 0  6k 24  k 4  k 2  x 6  x      y 4  y   x 6  x    Vậy Bm ax 404  y 4  y  Bài Tìm GTNN, GTLN biểu thức 60 C 12    x   Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Tìm GTNN Vì  x   0    x   9    x    3  12    x   12  15 60  12    x    60 4  C 4 15 Dấu “=” xảy x  0  x  Vậy Cmin 4 x  Tìm GTLN 60   x   0  12    x   12  12    x   VÌ  60 5  C 5 12  x  3 2   x   0   x   9    x    Dấu “=” xảy Vậy  x 1  x   Cmax 5 x   1,  5 Bài Tìm GTLN GTNN biểu thức sau: A a)  2020 B  x  2   x  y   b) a 2020  2021 a 2020  2019 Lời giải A a)  2020  x     x  y  20  A Do tử 2020  nên đạt GTNN  2020  x  2  x  y 20 5 đạt GTNN  x     x  y  20    x   0  x   0 x  0 hay x 2 Với x ta có  x  y Với x; y ta có Suy 20 0  x  y  20 0  x     x  y  20 0   x     x  y  20  5 Do GTNN  x     x  y  20  x 2 x  y hay x  y 2 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC x  y 0 hay x  y Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A Vậy GTNN biểu thức B b)  2020  x  2   x  y    2020  404 x  y 2 a 2020  2021 a 2020  2019 B Ta có: a 2020  2021 a 2020  2019 B Biểu thức  a 2020  2019  a 2020  2019 1  a 2020  2019 a 2020  2021 a 2020  2019 đạt GTLN a 2020  2019 đạt GTLN 2020  2019 đạt GTLN a 2020  2019  đạt GTNN Mặt khác, tử  nên a 2020 0  a 2020  2019 2019 Với a ta có: a 2020  2019 2019 a 0 Suy GTNN a B Vậy GTLN biểu thức a 2020  2021 a 2020  2019 1 2021  2019 2019 a 0 Bài Tìm GTNN biểu thức sau: M a) 4 x4  y  b) x    2019  N  x    2020 P c) a4  2a  Lời giải M a) 4 x  y2  M Do 4 x 2y 4  4 4 x  y  , nên M đạt GTNN x  y  đạt GTLN 4 Mặt khác, tử  nên x  y  đạt GTLN x  y   đạt GTNN 4 Với x , ta có x 0 x 0 x 0 2 Với y , ta có y 0  y 0 y 0 y 0 4 Do với x, y x  y 0  x  y  4 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 10 Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Từ ta có GTNN x  y  x 0 y 0 M Vậy GTNN biểu thức b) 4  x  y  x  y 0  2 x    2019  N  x    2020 Ta có: 2 x    2019  x    2020   N  1   x    2020  x    2020  x    2020 x    2020 Biểu thức N đạt GTNN  đạt GTLN 2 x    2020  x    2020  đạt GTNN Mặt khác, tử  nên  đạt GTLN 2  x   0   x    2020 2020 Với x , ta có Từ ta có GTNN  x    2020 Vậy GTNN biểu thức P c) x    2019  N  x    2020 1 2019  2020 2020 x 2 a4  2a  a4  2a    7  P     4 4 2 2a   2a    2a    2a    Ta có: 2020 x  0 hay x 2  2a  Biểu thức P đạt GTNN 2a  đạt GTLN Mặt khác , tử  nên 2a  đạt GTLN 2a   đạt GTNN 4 4 Với a ta có: a 0  2a 0  a  5 4 Do đó, GTNN 2a  a 0 hay a 0 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 11 Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT P Vậy GTNN biểu thức a4  1 1   a 0 2a  la 2 F Bài Tìm GTLN biểu thức 2020  x  1100  y   10 Lời giải F Do tử 2020  nên biểu thức  x  1100  y  10  Ta có  x  1100 0 Hơn nữa, y  0 Từ suy ra: 2020  x  1100  y  10 đạt GTLN đạt GTNN với giá trị x  x  1100 0 x  0 hay x y  0 với giá trị y y   x  1100  y  0   x  1100  y  10 10 Như GTNN  x  1100  y  10 F Vậy GTLN biểu thức 10 x y  2020  x  1 100 2020  202 x   y   10 y  10 Dạng Tìm GTLN-GTNN Z I Phương pháp giải Dạng 1: Với A a b.n  c với a, b, c số nguyên biết  + Nếu a  Z thì: A có GTLN b.n  c số dương nhỏ ứng với n nguyên A có GTNN b.n  c số nguyên âm lớn ứng với n nguyên + Nếu a ∈ Z- thì: A có GTLN b.n  c số âm lớn ứng với n nguyên A có GTNN b.n  c số dương nhỏ ứng với n nguyên Dạng 2: Với A a.n  d b.n  c với a, b, c, d số nguyên biết TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 12 Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A + Tách a.n  d f e  b.n  c b.n  c ( f  Z) + Việc tìm n ngun để A có GTLN – GTNN trở thành tốn tìm n ngun để f b.n  c có GTLN có GTNN (Bài Tốn LOẠI 1) II.Bài tốn Bài Tìm số tự nhiên n để A 15 n  có giá trị lớn Lời giải Ta có: 15  khơng đổi Nên A 15 n  có giá trị lớn n   có giá trị nhỏ (1) Ta lại có: n  N  n   Z (2) Từ (1) (2)  n  có GTNN 1  n  10 Vậy với n  10 thỏa mãn đầu Bài Tìm số tự nhiên n để phân số M 6n  4n  đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn Lời giải M 6n   3(2n  3)    2(2n  3) 2(2n  3) 4n  6  M có GTLN 2(2n  3) có GTLN  2n –  Với n  N , mẫu số dương âm, nên ta xet trường hợp sau: n 0  TH1: Nếu n 1  TH2: Nếu   M    2(2n  3) 2   M    2(2n  3) 2 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 13 Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT  2n –  TH3: Nếu n  số nguyên dương  2(2n  3) đạt GTLN  2n – 3 đạt giá trị dương nhỏ ứng với số nguyên dương n 2 M  3   GTLN 2 n 2 Kết luận: Với ba trường hợp GTLN M n 2 5a  17 Bài Với giá trị số tự nhiên a 4a  23 có giá trị lớn Lời giải 5a  17 4.(5a  17) 20a  68 5.4a  5.23  47 5(4a  23)  47 47       4a  23 4.(4a  23) 4(4a  23) 4(4a  23) 4(4a  23) 4(4a  23) Cách giải tương tự Bài 2:Như tốn đưa tìm số tự nhiên a để 4a – 23 số dương nhỏ ứng với số tự nhiên a 6 Vậy a 6  5a  17 4a  23 có GTLN 13 10n  B 4n  10 đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn Bài Tìm số tự nhiên n để phân số Lời giải 10n  5(2n  5)  22 22 11 B      4n  10  2n   2(2n  5) 2n  11  B đạt giá trị lớn n−5 Vì 11  không đổi nên 11 n−5 đạt giá trị lớn đạt giá trị lớn khi: 2n –  đạt giá trị nhỏ  2n  1 n 3 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 14 Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT +11=13 ,5 Vậy B đạt giá trị lớn n 3 7n  Bài Tìm số tự nhiên n để phân số 2n  có giá trị lớn Lời giải 7n - 2(7n - 8) 7(2n - 3)      2(2n - 3) 2( 2n  3) A  2n - 2(2n - 3) B Đặt 2(2n  3)  A max Bmax Cách giải tương tự Bài tập 2:  Bài tốn đưa tìm số tự nhiên n để  2n – 3 số dương nhỏ ứng với số tự nhiên n 2   2n – 3 2 Vậy A max 6  n 2 Bài Tìm x để phân số x  có giá trị lớn Lời giải 1 2 * Vì x  phân số  x  1 N  Phân số x  có giá trị lớn  x  2 phải số tự nhiên nhỏ khác  x  1  x  Bài 7: Cho phân số A n 1 n  n Z  Tìm n để A có giá trị lớn Lời giải Ta có: A n 1 n   4  1  n n n 0 Với n  n  TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 15 Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 0 Với n  n  Để A có giá trị lớn n – ngun dương có giá trị nhỏ Hay n – 1 n 4 Bài 8: Cho phân số: p 6n  (n  N ) 3n  Với giá trị n phân số p có giá trị lớn nhất? tìm giá trị lớn Lời giải p Ta có n  6n   1  2  3n  3n  3n  p đạt giá trị lớn 3n  đạt giá trị lớn nhất, 3n  đạt giá trị nhỏ 3n  2 nên 3n  nhỏ 3n 0 hay n 0 1  Vậy với n 0 p đạt giá trị lớn Dạng Tìm GTLN-GTNN chứa dấu giá trị tuyệt đối I Phương pháp giải 1) Dạng Vì A( x) 0 2) Dạng Vì f  x  M  A  x  nên f  x  M f  x  A x  m A( x) 0 nên Do f  x  max  M A  x  0 Khi Do f  x  m A  x  0 Khi , f  x  m Với biểu thức nhiều biến x, y áp dụng tương tự 3) Dạng f  x   mx  a  mx  b Áp dụng tính chất ta có Suy f  x   mx  a  mx  b  mx  a  b  mx  mx  a  b  mx  b  a f  x   b  a  mx – a   b – mx  0 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 16 Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT f  x  4) Dạng M ( x) A( x)  b , f  x   A( x )  B  x  Ta nên xét khoảng giá trị biến, sau so sánh giá trị biểu thức khoản để tìm GTLN, GTNN II.Bài tốn Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A 3 x  a) b) B 4 x   Lời giải a) Vì b) x  0 dấu ‘=” xảy  x 1 suy ra: Vậy Amin 0  x 1 |x−1|≥0 B 4 x   1 Suy Bmin 1  x 2 Bài Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A   x  b) B  x   Lời giải A   x   dấu “=” xảy  x 1 Suy −|x−1|≤0 a) Vì Vậy Amax   x 1 b) B  x   3 suy Bmax 3  x 2 Bài Tìm giá trị nhỏ của: a) A  x  8 x b) B x  x Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức: |x|+|y|≥|x+ y| Dấu “=” xảy  x, y dấu A  x   x  x   x 8  x  – x  0 Lập bảng xét x x 8– x x  – x + - 0 dấu: + + + 0 + - Vậy: Amin 8   x 8 b) B = B x  x Dấu “=” xảy  x    x  x    x 2   x – 3  – x  0   x 5 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 17 (lập bảng xét dấu câu a) Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bmin    x 5 Vậy: Chú ý: Ta sử dụng làm triệt tiêu x |x−5|=|5−x| hai số đối có giá trị tuyệt đối để Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) b) M x  x  x  x N  x   x   x    x  1996 Lời giải a) Đặt M1  x   x  M2  x   x  M  M1  M M có giá trị nhỏ M1; M đồng thời có giá trị nhỏ Tương tự M  –   x 4 ta có M1  –    x 5 Vậy: M 3  4   x 4 b) |x−1|+|x−1996| có GTNN 1996 –  1995   x 1996 |x−2|+|x−1995| có GTNN 1995 –  1993   x 1995 |x−3|+|x−1994| có GTNN 1994 –  1991  x 1994 |x−997|+|x−998| có GTNN 998 – 997   997  x 998 Suy ra: N       1995  998  997 x 998 Chú ý:       2n – 1  n2 Vậy: N  998  997 x 998 Bài a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x 5  x 2  x   x  b)Tìm giá trị nhỏ biểu thức: c)Tìm giá trị lớn biểu thức: B  x 3  x   x  C  x 5  x  Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức |M|≥M Ta có: A  x 5  x 2  x   x  TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 18 Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT  x   x    x   x  x   x   – x  – x 22 A 22 khi: {x+5≥0¿{x+2≥0¿{7−x≥0¿ ¿  x   x   x 7   x 8    x 7 Vậy: GTNN A 22    x 7 b) B  x   x   x   x    x   x   x   – x  x  8  x  8  B 8 khi: { x + 3≥ ¿ { x − 2= ¿ ¿  x     x 2  x 2  x 5 Vậy Bmin 8  x 2 c) Áp dụng bất đẳng thức: |x|−|y|≤|x− y| ta có: C  x   x   x   ( x  2) 7 C 7   x –  0  x 2 Vậy Cmax 7  x 2 Bài a)Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A 124  x  B x   x  b)Tìm giá trị lớn biểu thức: Lời giải |x−7|≥0 a) Ta có: Suy A 124  x  124 A  124  x  0  x 7 Vậy Amax 124  x 7 b) Với Với x≥ x< 3 2 x− ≥0 ⇒|x− |=x− 3 x (1) 2   x   x  B 2 x  3 thay vào B , ta tính TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 19 thay vào B , ta tính B Trang TÊN CHUN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Vì x< nên 2x< 4 2x− < − = 6 Suy B Từ (1) (2) suy Do đó: Bmax  Vậy x≥ B (2) Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = Ax  x  x b) B x  x  x  x Lời giải a) A  x   x   x  (1  x  x  )  x    x  x   x  2  x  2 A=2⇔¿ {(1−x)( x−3)≥0 ¿ ¿¿ Vậy A 2 A 2  x 2 Suy Amin 2  x 2 b) Ta có B   x  x  )  (  x  x   4 B=4⇔¿ {(1−x)( x−4)≥0¿ ¿¿ Vậy B 4 B 4  x 3 Suy ra: Bmin 4   x 3 Ax Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 1  x  x Lời giải 1 |x + |=|−x− |≥−x− 4 Ta có |x+ |=0 Do đó: 1 |x + |≥x + 2 ; 1 A≥x + + 0−x− = 4 Dấu “=” xảy  x 0 ;  x  Vậy Amin   x  |x+ |=0 3 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 20 x+ ≥0 Trang