Hsg t7 cđ10 đa thức

CHUYÊN ĐỀ 10 ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 10 - ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA ĐA THỨC, TÌM HỆ SỐ VÀ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC PHẦN I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định lý Bơ - zu ứng dụng 1) Định lý Bơ-zu: Phần dư phép chia đa thức f ( x) cho nhị thức bậc x  a giá trị đa thức điểm a tức f (a ) : f ( x) ( x  a )q ( x)  f (a ) Chứng minh: Gọi phần dư phép chia đa thức f ( x) cho nhị thức bậc x  a r ( x ) Do bậc đa thức dư nhỏ bậc đa thức chia nên r ( x ) số r ta có: f ( x) ( x  a).q( x)  r Thay x a ta được: f (a) (a  a ).q (a )  r  f (a) r (đpcm) 2) Hệ quả: Nếu a nghiệm f ( x) f ( x )( x  a ) PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng Ứng dụng định lí Bơ-zu I.Phương pháp giải Phần dư phép chia đa thức f ( x) cho nhị thức bậc x  a giá trị đa thức điểm a tức f (a ) : f ( x) ( x  a )q ( x)  f (a ) II.Bài tốn Bài Tìm a , b để đa thức 2x  ax  b chia cho x  dư  chia cho x  dư 21 Lời giải: Đặt f ( x) 2 x  ax  b Theo định lý Bơ-zu ta có: f ( x) : ( x  1) dư   f ( 1)   2.( 1)3  a.( 1)  b    a  b  f ( x ) : ( x  2) dư 21  f (2) 21  2.23  a.2  b 21  2a  b 5 Để tìm a , b ta có:  a  b   a  b   a  b  a 3     2a  b 5  3a   a 3 b  Vậy đa thức cần tìm f ( x ) 2 x  3x  Bài Đa thức f ( x) chia cho x  dư , chia cho x  dư x  Tìm số dư chia f ( x) cho ( x  1).( x  1) Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 10 Theo định lý Bơ - zu, ta có: f ( x ) : ( x  1) dư  f (  1) 4 Do bậc đa thức chia nên bậc đa thức dư bậc Vì thế, đa thức dư có dạng ax  bx  c Theo định nghĩa phép chia cịn dư ta có: f ( x) ( x  1).( x 1).q ( x)  ax  bx  c  f ( x) ( x  1).( x  1).q ( x)  ax  a  a  bx  c  f ( x) ( x  1).( x  1).q ( x )  a( x  1)  bx  c  a  f ( x)  ( x  1).q ( x )  a  ( x  1)  bx  c  a Mà f ( x) : ( x  1) dư x  Vậy ta phải có:  b 2 b 2 b 2      c  a 3  c  a 3  c  a  b  c 4 a  c 6     a  x  2x  Vậy đa thức dư cần tìm là: Bài Cho đa thức A x  ax  b Hãy xác định hệ số a , b đa thức A biết A chia hết cho đa thức B x  3x  Lời giải: a) Ta có: B x  3x  ( x  1).( x  2) Theo định lý Bơ-zu, ta có:  A(1) 0 AB     A(2) 0  a  b  a  1  a.1  b 0       4a  b  16 b 4 2  a.2  b 0 Vậy đa thức A x  x  Nhận xét: Qua tốn ta rút nhận xét: sử dụng định lý Bơ-zu giúp ta giải nhanh việc tìm hệ số đa thức cần tìm Thơng thường, nhờ định lý Bơ-zu đưa việc tìm hệ số đa thức việc giải hệ phương trình 2, ẩn Đối với hệ phương trình ẩn trở lên cần trang bị thêm cho học sinh cách giải hệ phương pháp Gau-xơ Dạng Phương pháp hệ số bất định I.Phương pháp giải Theo định nghĩa hai đa thức f  x g  x chúng nhận giá trị i f  x g  x giá trị biến x Rõ ràng có bậc với i hệ số x tương ứng f  x g  x Người ta chứng minh điều ngược lại Cụ thể: f  x  an x n  an-1 x n -1   a1 x1  a0 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 10 g  x  bn x n  bn-1 x n -1   b1 x1  b0 f  x  g  x   bi với i 0, n Sau số tốn xác định đa thức có sử dụng định nghĩa hai đa thức gọi phương pháp dùng hệ số bất định II.Bài toán Bài Xác định a , b để đa thức ax  12 x  bx  luỹ thừa bậc đa thức khác Lời giải: Vì đa thức ax  12 x  bx  luỹ thừa bậc đa thức khác, nên bậc đa thức cần tìm phải bậc Hay đa thức cần tìm có dạng: mx  n Theo ta có: ax  12 x  bx  1 mx  n  m3 x  3m x n  3mxn  n3 Theo phương pháp hệ số bất định ta phải có: a m3  3m n 12   mn  b  n3 1  a m3  m 4   m  b  n 1   m 2 a 8; b 6  m  a  8; b   Vậy có hai đa thức thoả mãn điều điện tốn : x  12 x  x 1  x 1  x  12 x  x    x  1 x3 - ax  bx - c  x - a   x - b   x - c  Bài Tìm số a, b, c để Lời giải: Theo ta có: x3 - ax  bx - c  x - a   x - b   x - c   x - bx - ax  ab  ( x - c)  x - bx - ax abx - cx  bcx  acx - abc  x3 -  a  b  c  x   ab  bc  ca  x - abc Dùng phương pháp hệ số bất định, ta phải có: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 10  a a  b  c  b ab  bc  ca  c abc  b  c 0  b a (b  c )  bc  c abc  b  c 0  b bc c abc  b   c  0 Do b bc nên có hai trường hợp xảy ra: *) Nếu b 0 c 0 a tuỳ ý **) Nếu b 0 c 1 a  ; b  Bài Cho đa thức A ax  x  bx -10 a) Hãy xác định hệ số a , b đa thức A biết A chia hết cho đa thức B  x  3x  b) Xác định thương phép chia Lời giải: Do bậc đa thức A bậc đa thức B nên bậc đa thức thương phải bậc có dạng: mx  n Theo ta có: AB  ax  x  bx -10  x - 3x    mx  n  mx3 - nx - 3mx - 3nx  2mx  2n mx3   -n - 3m  x   2m - 3n  x  2n Dùng phương pháp hệ số bất định,ta phải có : 11  a  a m a m  6  n  3m 6   3m  m  11        b  m  n b  m  15    11    10  2n n 5 b 2     15  3  n 5 Vậy đa thức cần tìm là: A  11  a   11 m    67 b   n 5 11 67 x  6x2  x  10 3 **) Đa thức thương phép chia A cho B là:  11 x 5 Dạng Phương pháp nội suy Niu-tơn I.Phương pháp giải Để tìm đa thức P ( x) bậc không n biết giá trị đa thức n + điểm C1 , C , C ,, C n 1 ta biểu diễn P ( x) dạng: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 10 P ( x) b0  b1 ( x  C1 )  b2 ( x  C1 )( x  C )    bn ( x  C1 )( x  C )  ( x  C n ) Bằng cách thay x cỏc giỏ trị C1 , C , C , , C n1 vào biểu thức P(x) ta tính hệ số b0 , b1 , b2 , , bn II.Bài tốn Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P ( x ) biết: P (0) 25, P (1) 7, P ( 2)  Lời giải Đặt P( x) b0  b1 x  b2 x ( x  1) (1) Thay x ; ; vào (1) ta được: b0 25 25  b1  b1  18  25  18.2  b2 2.1  b2 1 Vậy, đa thức cần tìm có dạng: P( x) 25  18 x  x( x  1)  P( x)  x  19 x  25 Bài 2: Tìm đa thức bậc P ( x ) , biết: P(0) 10, P (1) 12, P ( 2) 4, P (3) 1 Lời giải Đặt: P  x  d  cx  bx  x -1  ax  x -1  x -  P   d Cho x 0 , , suy d 10 P  x  10  cx  bx  x -1  ax  x -1  x -  P  1 10  c Cho x 1 , , suy c 2 P  x  10  x  bx  x -1  ax  x -1  x -  P   10   2b Cho x 2 , , suy b  P  x  10  x - x  x -1  ax  x -1  x -  a P  10   30  a   Cho x 3 , , suy P  x  10  x - x  x -1  x  x -1  x -  Rút gọn ta đa thức cần tìm là: 25 P ( x)  x3  x  12 x 10 2 Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P ( x) , biết chia P ( x) cho ( x  1), ( x  2), ( x  3) dư P ( 1)  18 Hướng dẫn: Đặt P( x) b0  b1 ( x  1)  b2 ( x  1)( x  2)  b3 ( x  1)( x  2)( x  3) (1) Bài 4: Cho đa thức P ( x) bậc thoả mãn: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 10 P  -1 0 P  x  - P  x -1 x  x  1  x 1 Xác định P ( x ) Suy giá trị tổng sau ( n số nguyên dương) S 1.2.3  2.3.4   n  n  1  2n  1 Lời giải: P    P  1 0 P   1 0 P   0 Cho x 0 , suy mà , Cho x giá trị x  ; x 1 ; x 2 , ta nhận P  -2  0; P  1 6; P   36 Đặt P  x  e  d  x    c  x    x  1  b  x    x  1 x  a  x    x  1 x  x -1 P    e Cho x 2 , , suy e 0 P    d Cho x  , , suy d 0 P   2c Cho x 0 , , suy c 0 Vậy P  x  b  x    x  1 x  a  x    x  1 x  x -1 P  1 6b Cho x 1 , , b 1 a  P  24  24 a  36   Cho x 2 , P  x   x  x  1  x   Đa thức cần tìm là: **) Theo ra: P  x  - P  x -1 x  x 1  x 1 P  1 - P   1.2.3 Cho x 1; 2; ; n ta có : P   - P  1 2.3.4 P  n  - P  n -1 n  n  1  2n 1 Cộng vế với vế ta được: P  n  - P   1.2.3  2.3.4   n  n  1  2n  1 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 10 S P (n)  n(n  1) (2n  1) Do đó: f  x  - f  x -1 x Bài Xác định đa thức bậc , f ( x) thoả mãn 2 Từ suy cơng thức tính tổng S 1    n Lời giải: *) Đặt f  x  d  cx  bx  x  1  ax  x  1  x   Cho x 0 , suy f (0) d f  1  f   1  d  c  - d 1  c  Cho x 1 , suy f (1) d  c nên Khi f  x  d  x  bx  x  1  ax  x  1  x   f   d   2b f    f  1 4 Cho x 2 , suy nên  d   2b    d  1 4  b  f  x  d  x  x  x  1  ax  x  1  x   Khi f  3 d    6a d  12  6a f  3  f   9 Cho x 3 , suy nên  d  12  6a    d  5 9  a 3 f ( x) d  x  x ( x  1)  x ( x  1)( x  2) Khi đó: 1 f ( x)  x  x  x  d (d  ) Vậy **) Theo ta có: f  x   f  x  1 n f  1 - f   12 Cho x 1; 2; ; n ta f    f  1 22 f  x   f  x  1 n Cộng vế với vế ta được: f  n   f   12  22   n TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 10 1 n  3n  n 1  S  n3  n  n  d   d  6 3  Suy Vậy S n  n  1  2n  1 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 10 DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC I Phương pháp giải BTĐS biểu thức chứa số chữ phép tốn số ,các chữ Những chữ BTĐS số ( thường dùng chữ a, b, c, ) biến số ( thường dùng chữ x, y, z ) Biểu thức không chứa biến mẫu gọi biểu thức nguyên Nếu biểu thức có chứa biến mẫu gọi biểu thức phân Muốn tìm giá trị BTĐS biết giá trị biến biểu thức cho ta thực bước sau : - Thu gọn biểu thức cho ( ) - Thay giá trị biến số cho ; Rồi thực phép tính - Trả lời Nâng cao: - Các đẳng thức đáng nhớ : ( a±b )2 ; a2 −b ; ( a+b )3 ;a3 ±b Qui ước đọc viết BTĐS có nhiều phép tính: Phép tính làm sau đọc trước tiên ; Phép tính lam trước đọc sau - Xác định giá trị biến để biểu thức có nghĩa ( ĐKXĐ ): PTĐS A B có nghĩa Mẫu thức B ¿ - Ta có : A.B 0  A 0 B = II Bài tốn Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau : 6x2  x  A 2x 1 A b B = x −2xy−2 y 5x2  y C 10 x  y c D d e |x|= * Biết x  y 0 x  y 4 với x y = 2005 x  2006 y 2005 x  2006 y Biết x y = E  x y  x y  x y  x y  x y  x y  x10 y10 tại: x  1; y 1 5 6 10 10 10 f F  x y z  x y z   x y z x  1; y  1; z  g G ( x)  x17  12 x16  12 x15  12 x14   12 x  x 11 h H 6 x  y  10  3ax  3ay  15a x  y 5 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 10 i k I  x  xy  x   x  xy  y  25 y K L l x y x6 x  y 5 ( x  y; x  ) x  y 6 2x  y   3x  y y  x x  y 6 z  y   M         x  z   m y  z  ( x, y , z 0) x  y  z 0 1 x   x  2 Lời giải: A * Với * Với b x 1 Mẫu 2x-1=2 -1=0=>A khơng có nghĩa x  Thì A = { x− y=0 ¿ ¿ ¿ ¿ Thay x=2 y =2 vào biểu thức B = x y 3y   x thay vào biểu thức ta được: c với  3y  y  15 y 5   3y2 24 y 5 C  2   8 2 18 y  15 y y  3y  10    y   x y = d Ta có 2005 x 2006 y 2005 x  2006 y 2005 x  2006 y 2005 x  2006 y 4010  6018       2.2005 3.2006 4010  6018 4010  6018 2005 x  2006 y 4010  6018 D  10028 499  2008 502 e Với x  1; y 1  x y  4 5 6 7 8 9 10 10 Biến đổi: E  x y  x y  x y  x y  x y  x y  x y E  xy    xy     xy  10 Thay x y   E 1  (  1)   (  1)   1 f Với x  1; y  1; z   x y.z  Biến đổi thay x y.z  ta F = TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 10 ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 10- DẠNG 3-NGHIỆM CỦA ĐA THỨC PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT Nghiêm đa thưc biến Nếu x=a , đa thức f(x) có giá trị ta nói a ( x=a) nghiệm đa thức 2.Các ý *) Một đa thức ( khác đa thức ) có nghiệm , nghiệm , … khơng có nghiệm ( gọi vô nghiệm ) *) Một đa thức khác ( khác đa thức ) có số nghiệm khơng vượt q bậc *) Đa thức khơng (khơng có bậc) có vơ số nghiệm *) Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức nhận nghiệm *) Nếu đa thức có tổng hệ số lũy thừa bậc chẵn tổng hệ số lũy thừa bậc lẻ đa thức nhận -1 nghiệm *) Nếu đề yêu cầu : Tìm nghiệm đa thức P, thực P = *) Để tìm nghiệm đa thức P, ta biến đổi đa thức P dạng tích đa thức có bậc thấp PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng Tìm nghiệm đa thức I.Phương pháp giải Tìm nghiệm đa thức P, thực P = II.Bài tốn Bài Tìm nghiệm đa thức P(x) = 5x-10 Lời giải P(x) =  5x-10=0  5x=10  x=2 Vậy x = nghiệm đa thức P(x) Bài 2 Tìm nghiệm đa thức : Q( x)  x  81 Lời giải  x 9  Q( x) 0  x  81 0  x 81  x  2 Vậy x = x = -9 nghiệm đa thức Q( x ) Bài Cho f(x) = – x5 + x - x3 + x2 – x4; g(x) = x5 – + x2 + x4 + x3 - x a) Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần biến b) Tính tổng h(x) = f(x) + g(x) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 10 c) Tìm nghiệm đa thức h(x) Lời giải a) f ( x )  x  x  x  x  x  g( x) x  x  x  x  3x  5 b) h( x)  f ( x)  g ( x) (  x  x  x  x  x  9)  ( x  x  x  x  x  9) ( x  x )  ( x  x )  ( x  x )  ( x  x )  (4 x  x)  (9  9) 3x  x Vậy h( x) 3 x  x  x 0  x 0    x    3x  0 c) h( x) 0  3x  x 0  x(3 x  1) 0 Vậy đa thức h(x) có hai nghiệm: x 0; x  1 n n  2021 Bài Tìm nghiệm đa thức P( x) (1  x)  (1  x)  n N  Lời giải 2021 n   P ( x ) 0  (1  x) n  (1  x) n 2021 0  (1  x)     x   0    x  n 0   x 0   x 0    2021  2021 2021     x  0 1 1    x     x   x 1   x 1    x 1  x 0  Vậy đa thức P(x) có hai nghiệm: x 0; x 1 Cho đa thức : f ( x )  x  ax  b thỏa mãn f(-1) = f(1)= 12 Bài Tìm nghiệm đa thức f(x) Lời giải f ( x)  x  ax  b f ( 1) ( 1)2  a.( 1)  b b  a  2  b  a 1 f (1) (1)  a.(1)  b b  a  12  b  a 11  f ( x)  x  ax  b x  5x   ( x  6x  9)  ( x  3) ( x  3)  ( x  3) ( x  3)( x  2) Giải tìm a = ;b =  x  3; x  x  3; x  Vậy TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 10 Dạng Chứng minh đa thức khơng có nghiệm I.Phương pháp giải Để chứng minh đa thức P khơng có nghiệm, ta chứng minh P < P > với giá trị biến II.Bài toán Bài Chứng tỏ đa thức sau khơng có nghiệm : Q  y  2 y  Lời giải Giải : Nhận xét : Vậy Q y Q  y  2 y  0    Q  y   khơng có nghiệm Bài Chứng tỏ đa thức x  2x  khơng có nghiệm Lời giải Ta có 2 x  2x   ( x  2x  1)  ( x  1)  0   Vậy đa thức x  2x  nghiệm Bài Chứng tỏ đa thức khơng có nghiệm f ( x)  x  x  x  x  tập số thực Lời giải +) Nếu x 0  f  x   x  x  x  x   + Nếu +Nếu  x   f  x   x  x3  x  x   x  x   x    x  x 1  f  x   x  x3  x  x   x3 x    x  x  1     Vậy đa thức f ( x)  x  x  x  x  khơng có nghiệm tập số thực R Dạng Chứng minh đa thức f  x thỏa mãn điều kiện cho trước có nghiệm I.Phương pháp giải Dựa vào tốn, tìm f  a  0 II.Bài toán Bài Chứng minh đa thức f ( x) thỏa mãn điều kiện ( x  1) f ( x) ( x  4) f ( x  8) có hai nghiệm Lời giải Thay x = 1, ta có: (1  1) f (1) (1  4) f (1  8)  f (1) 5 f ( 7)  f ( 7) 0 suy x = -7 nghiệm đa thức f ( x) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 10 Thay x = -4, ta có: (   1) f ( 4) (  4) f (   8)   f ( 4) 0 f ( 12)  f ( 4) 0 suy x = -4 nghiệm đa thức f ( x) Vậy đa thức f ( x) có hai nghiệm là-7 -4 Dạng 4: Tìm đa thức f ( x) biết nghiệm I.Phương pháp giải Lần lượt thay nghiệm vào đa thức f ( x ) ta có biểu thức liên hệ hệ số với nhau, từ biến đổi để tìm hệ số đa thức f ( x ) II.Bài toán Bài 1.Cho đa thức làm nghiệm f  x  =ax  bx  f x Xác định hệ số a, b biết đa thức   nhận x  x 2 Lời giải f x ax  bx  Đa thức   nhận x  làm nghiệm  f   1 0  a  b  0 hay a b  f x =ax  bx  Đa thức   nhận x 2 làm nghiệm  f   0  4a  2b  0   b    2b  0  b   a 1 Vậy a 1; b  Bài Cho đa thức f ( x) a.x  bx  c Chứng minh f ( x) nhận c hai số đối Lời giải  nghiệm a Vì nghiệm f ( x )  a  b  c 0(1) Vì  nghiệm f ( x)  a  b  c 0(2) Cộng vế với vế (1) (2) ta được: 2b 0  b 0 Thay b 0 vào (1) ta được: a  c 0  a  c Vậy a c hai số đối g(x) = x3 - ax2 +bx - a;b f ( x ) = ( x )( x + 3) Bài Cho hai đa thức: Xác định hệ số đa thức g(x) biết nghiệm đa thức f (x) nghiệm đa thức g(x) Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20