Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Tổng hợp các dạng bài liên quan đến tọa độ trong mặt phẳng, là tài liệu bổ ích trong kì thì tuyển sinh đại học

THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam 1  Giáo viên: cô Trịnh Thị Thanh Bình Thành viên thực hiện: • Đào Ngọc Sáng • Trần Ngọc Sơn • Nguyễn Chí Thanh (nhóm trưởng) • Nguyễn Phương Thảo • Phạm Thị Minh Thu • Đinh Trường Thịnh 2 Lời nói đầu Tọa độ có thể nói là một báu vật dành cho rất nhiều ngành khoa học, trong đó có toán học. Trong địa lý, tọa độ dùng để xác định vị trí của sự vật hay hiện tượng nào đó. Trong vật lý, nó lại được dùng để theo dõi quan hệ của các đại lượng vật lý… Còn đối với toán học, tọa độ không chỉ được dùng để xác định giá trị của hàm số với các giá trị của biến số, mà nó còn có thể được dùng để chứng minh các đặc tính hình học, tìm ra cực trị … v…v. Như vậy có thể thấy tọa độ có ý nghĩa vô cùng to lớn với các ngành khoa học nói chung và toán học nói riêng. Trong chuyên đề này, chúng em xin giới thiệu các phương pháp chứng minh, tính toán toán học sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, hay nói các khác là hệ trục tọa độ Oxy. Trong chương trình lớp 10, chúng ta tìm hiểu sâu hơn về đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ, tìm hiểu về các đường cong như đường tròn, đường elip, hypebol và parabol. Như trong chương trình học ở cấp trung học cơ sở, chúng ta được biết phương trình của đường thẳng có dạng y ax b= + . Hay đường Parabol có dạng 2 y ax bx c= + + . Nhưng đó chỉ là những trường hợp cụ thể của các đường này trong mặt phẳng tọa độ. Còn ở cấp trung học phổ thông, chúng ta sẽ tìm hiểu thực chất những đường này có những đặc điểm gì. Chuyên đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” theo chương trình lớp 10, chúng em xin được chia ra thành 3 chương: Chương 1: Đường thẳng Chương 2: Đường tròn Chương 3: Đường cônic Tài liệu được tham khảo từ các sách giáo khoa, báo Toán học Tuổi trẻ. 3 CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tổng quát của đường thẳng I. Phương pháp Tóm tắt giáo khoa 1. Vectơ pháp tuyến Định nghĩa: vectơ n r khác 0 r có giá vuông góc với đường thẳng ∆ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng ∆ 2. Phương trình tổng quát của đường thẳng Phương trình đường thẳng đi qua 0 0 ( ; )M x y và có vectơ pháp tuyến ( ; )n a b r là: 0 0 ( ) ( ) 0a x x b y y− + − = Phương trình tổng quát có dạng 0ax by c+ + = Như vậy phương trình y ax b= + ta được học ở lớp dưới chỉ là trường hợp cụ thể của phương trình đường thẳng Các trường hợp đặc biệt của phương trình đường thẳng: ( ) ( ) : by 0d Oy d c⊥ ⇔ + = ( ) d đi qua O(0;0) ( ) 0d ax by⇔ + = ( ) d đi qua ( ) ;0A a và ( ) 0;bB ( ) : 1 x y d a b ⇔ + = (phương trình đoạn chắn) Phương trình đường thẳng có hệ số góc là k: y kx m= + với tank α = , α là góc hợp bởi tia Mt của ( ) d ở phía trên Ox và tia Mx d O y x n r 4 ( ) ( ) : 0d Ox d ax c ⊥ ⇔ + = Xét 2 đường thẳng ( ) 1 1 1 1 0d a x b y c+ + = và ( ) 2 2 2 2 0d a x b y c+ + = Tính 1 2 2 1 D a b a b= − , 1 2 2 1x D b c b c= − , 1 2 2 1y D c a c a= − 1 2 ;d d cắt nhau 0D ⇔ ≠ . Tọa độ giao điểm là ( ; ) x D Dy x y D D = = 1 d // 2 d 0 0 0 x y D D D =   ≠ ⇔     ≠   1 2 ;d d trùng nhau x y D D D⇔ = = Chú ý: Ta có phương pháp xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng Cho 2 đường thẳng và , nếu thì cắt trùng 5 Các dạng toán về phương trình tổng quát của đường thẳng: Dạng1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG Giải: a) Đường cao AH đi qua điểm (3;2)A và vuông góc ( ) 2 ; 3BC − uuur nên có phương trình là: ( ) ( ) 2 – 3 3 – 2 0x y− + = 2 3 0x y⇔ − + = Đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là n BC uuuur ( 2;3)= − và đi qua điểm (1;1)B nên có phương trình tổng quát là ( ) ( ) 3 –1 2 –1 0 3 2 – 5 0x y x y+ = ⇔ + = b) Trung trực AB qua trung điểm I( 2 ; 3 2 ) của AB và vuông góc AB uuur = ( 2; 1)− − nên có phương trình tổng quát là : ( ) 3 2 – 2 1. – 0 4 2 –11 0 2 x y x y    ÷   + = ⇔ + = c) Đường trung bình ứng với AB qua trung điểm K(0; 5 2 ) và cùng phương AB uuur = (- 2 ;-1) nên có phương trình tổng quát là 5 2( 0) 1(y ) 0 4 – 2 +5 0. 2 x x y− − − − = ⇔ = d) Gọi D(x ; y) là tọa độ của chân đường phân giác trong . Theo tính chất của phân giác ta có : DB AB AC DC = − uuur uuur Mà 2 2 2 2 2 1 5; 4 2 2 5AB AC= + = = + = nên suy ra 1 2 2 DB DB DC DC = − ⇔ = − uuur uuur uuur uuur 1 2(1 ) 1 3 2(1 ) 4 2 x x x y y y  − = + =   ⇔ ⇔   − = −   =  1 ( ;2) 3 D⇒ Xét thấy 2 A D y y= = nên phương trình đường thẳng AD là 2y = Nhận xét: Khi ta xác định được tam giác ABC trong mặt phẳng tọa độ, ta hoàn toàn có thể xác định tất cả các điểm và đường liên quan đến tam giác Ví dụ 1: Cho có , và . Viết phương trình tổng quát của Đường cao AH và đường thẳng BC Trung trực của AB Đường trung bình ứng với AC Đường phân giác trong của góc A 6 Gọi A(a ; 0) và B(0 ; b) với a > 0 , b > 0 , phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: 1 x y a b + = (phương trình đoạn chắn) . Vì đường thẳng qua M(3; 2) nên 3 2 1 a b + = (1) a) 12 12OA OB a b+ = ⇔ + = 12a b ⇔ + = (vì a;b >0) 12a b ⇔ = − (2) Từ (1) và (2) suy ra: 3 2 1 3 2(12 ) (12 ) 12 b b b b b b + = ⇔ + − = − − 2 11 24 0b b⇔ − + = 3 8 b b =  ⇔  =  TH1: 3 9b a = ⇒ = phương trình cần tìm là 1 9 3 x y + = TH2: 8 4b a = ⇒ = phương trình cần tìm là 1 4 8 x y + = b) Diện tích tam giác AOB là 1 1 24 . 12 2 2 OAOB ab a b = = ⇔ = (3) Từ (1) và (3) suy ra 2 3 2 1 16 8 4 24 b b b b b + = ⇔ + = ⇔ = 6a => = ta có phương trình là 1 6 4 x y + = 7 *Ví dụ 2 : Viết phương trình đường thẳng qua M(3 ; 2), cắt tia Ox tại A, tia Oy tại B sao cho : a) OA + OB = 12 b) Hợp với hai trục một tam giác có diện tích là 12 Dạng 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng a) Xét thấy 9 4 2 10 − ≠ nên hai đường thẳng cắt nhau b) Xét 1 5 4 1 3 75 60 5 15 = = = nên 2 đường thẳng trùng nhau Dạng 3: TÌM ĐIỂU KIỆN THỎA MÃN ĐỀ BÀI a) Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ ( 1) 2 1 0(1) 3 1 0(2) m x y m mx y + − + + =   − + =  Hai đường thẳng cắt nhau 1m D m + ⇔ = 2 3 − − 3( 1) 2 3 0m m m= − + + = − − ≠ 3m ⇔ ≠ − Ta có: 2 3 x D − = − 1 2.1 3( 1) 3 1 1 m m m + = − + + = + 1 1 y m D + = 1m m + 2 ( 1) 1( 1) 1m m m m= + − + = − Tọa độ giao điểm M 2 3 1 3 1 3 x y D m x D m D m y D m − −  = =   +  − +  = =  +  b) Ta có: 3( 3) 8 8 3 3 3 8 3 3 m x m m y m m − + + = = − + + + = − + − + Để ;x y ∈¢ thì 3m + | 8 { } { } ( 3) 1; 2; 4; 8 11; 7; 5; 4; 2; 1;1;5 m m ⇔ + ∈ ± ± ± ± ⇔ ∈ − − − − − − *Ví dụ 2: Cho a) Xác định để 2 đường thẳng cắt nhau tại điểm M. Tìm tọa độ M b)Tìm để tọa độ giao điểm là số nguyên 8 Ví dụ 1: Tìm vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau a) 9 4 1 0;2 x 10 y 5 0x y− − = + + = b) 1 5 4 0;75 60 5 0 3 x y x y− + = − + = Phương trình tham số của đường thẳng Vectơ chỉ phương Định nghĩa: vectơ u r khác 0 r có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆ gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng ∆ Từ đó ta suy ra: VTPT và VTCP của 1 đường thẳng có giá vuông góc với nhau Ta có tính chất: Nếu ( ; )n a b r là VTPT của đường thẳng d thì ( ; )u b a− r hoặc ( ; a)u b − r là VTCP của đường thẳng d Phương trình tham số của đường thẳng Xét đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 0 0 ,I x y , vectơ chỉ phương là ( , )u a b r . Khi đó ta có phương trình tham số đường thẳng ∆ là 0 0 x x at y y bt = +   = +  Trong đó ứng với một giá trị t ta tìm được 1 điểm thuộc đường thẳng ∆ Phương trình chính tắc của đường thẳng qua 0 0 0 ( ; )M x y có VTCP u r ( ) 1 2 ;a a là 0 0 1 2 x x y y a a − − = Ta cũng có phương pháp xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng thông qua phương trình tham số v r O ∆ 9 1 ∆ đi qua 1 1 1 1 1 1 1 ( ; ): ( ) x x a t M x y t y y b t = +  ∈  = +  ¡ 2 ∆ đi qua 2 2 2 2 2 2 2 ( ; ) : ( ) x x a t M x y t y y b t = +  ∈  = +  ¡ Nếu 1 1 1 ( ; )v a b= / / ur 2 2 2 1 2 2 1 ( ; ) 0v a b a b a b⇔ − ≠ uur thì 1 2 ( ) ( ) I∆ ∆ =I Nếu 1 1 1 2 2 2 ( ; ) ( ; )v a b v a b= / / = / / ur uur 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 0 ( ) ( ) 0 a b a b M M a y y b x x − =  ⇔  − − − ≠  thì 1 2 ( )∆ )/ /(∆ Nếu 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 0 ( ; ) ( ; ) ( ) ( ) 0 a b a b v a b v a b M M a y y b x x − =  = / / = / / ⇔  − − − =  ur uur thì 1 2 ( )∆ ) ≡ (∆ Các dạng toán: Dạng 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng a) Xét đường thẳng BC đi qua điểm B(3;-4), có vectơ chỉ phương ( 3;10) u BC − uuuur nên có phương trình tham số là Phương trình chính tắc là 3 4 3 10 x y− + = − 10( 3) 3( 4) 0 10 3 18 0x y x y− + + = ⇔ + + = b) Đường cao BH có phương trình tham số là 3 4 4 x t y t = +   = − +  Từ đó ta suy ra phương trình chính tắc 3 4 4 1 x y− + = Suy ra phương trình tổng quát là 1( 3) 4( 4) 0 4 19x y x y− − + = ⇔ − − = 0 c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là 1 3 0 4 3 3 3 2 4 6 4 3 3 3 A B C G A B C G x x x x y y y y + + + +  = = =    + + − +  = = =   Như vậy 4 4 ; 3 3 G    ÷   Đường thẳng cần tìm song song với :3 7 0d x y− = nên vuông góc với vectơ pháp tuyến (3; 7) n d = − uur nên vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là (7; 3)− Phương trình tham số của đường thẳng là 4 7 3 4 3 3 x t y t  = +     = −   Phương trình chính tắc của đường thẳng là 4 4 3 3 7 3 x y− − = Từ đây ta suy ra phương trình tổng quát là 4 4 3( ) 7(y ) 0 3 3 x − − − = 16 3 7 0 3 x y⇔ − + = Ví dụ 1: Cho A(1;2) , B(3;-4) , C(0;6) . Viết phương trình tham số , chính tắc và tổng quát của : a) đường thẳng BC . b) đường cao BH c) đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và song song với d : 3x -7y = 0 10 [...]... nhau Tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng có phương trình tính tham số là: (m + 1)(3 − 2 t) + m(1 + 3 t) − 3m − 5 = 0 ⇔ (m − 2)t + m − 2 = 0 Nếu m = 2 phương trình đúng ∀t , nghĩa là 2 phương trình có vô số điểm chung, ⇒ d trùng d ' Nếu m ≠ 2 phương trình có nghiệm t = −1 nghĩa là 2 đường thẳng có 1 giao điểm là (5; −2) 11 Luyện tập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng Bài 1: Trong. .. 23 Dạng 2 : Viết phương trình phân giác, phân giác trong, phân giác ngoài Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC với AB : 3x – 4y + 6 = 0 AC : 5x + 12y – 25 = 0 , BC : y = 0 a) Viết phương trình phân giác của góc B trong tam giác ABC b) Viết phương trình phân giác trong của góc A trong tam giác ABC Giải : a) AB cắt BC tại B(-2, 0), AC cắt BC tại C (5, 0) + ) Phương trình các phân giác của góc B trong tam giác ABC... a=-2 suy ra phương trình BD −2 x + 11 y − 7 = 0 11  −1 3  B là giao của AB và BD nên B  ; ÷ loại vì hoành độ của B dương  5 5 TH2: a = −2b suy ra phương trình BD là 2 x − y − 3 = 0 ta tìm được B(1; −1) TH1: a = thỏa mãn 32 Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy có VABC có phân giác góc A và đường cao từ C có phương trình là x-y=0, 2x+y-3=0 Đường thẳng AC đi qua M (0; −1) Biết AB=3AM, Tìm tọa độ điểm B Gọi... (đường cao AD) -) Vậy phương trình AB : -3x – y + 5 = 0 ; AD : x – 3y – 5 = 0 hay ngược lại 27 Tổng kết lại ta có các dạng phương trình của đường thẳng 3 Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng ax + by + c = 0 (a 2 + b 2 ≠ 0) r r Trong đó n = (a; b) là véctơ pháp tuyến, v = (b; −a) là véctơ chỉ phương 4 Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) với véctơ r pháp tuyến n = (a; b)...Dạng 2: Tìm tọa độ của điểm thuộc đường thẳng Chú ý: với mỗi giá trị của tham số t trong phương trình, ta xác định được 1 điểm thuộc đường thẳng ấy Bài toán thường đưa về việc giải một phương trình hay hệ phương trình mô tả tính chất của điểm ấy Ví dụ: Cho đường thẳng d: Tìm trên d điểm M cách điểm một khoảng là 5 Biện luận theo m vị trí tương đối của đường thẳng d và d’ a) Tọa độ điểm M (3 − 2t... 9y + 6 = 0 b) Phương trình các phân giác của góc A, tạo bởi AB và AC là: (t) : + = 0 (=) 64x + 8y – 47 = 0 (1) (t') : – = 0 (=) 14x – 112y + 203 = 0 +) Thế tọa độ B (-2, 0) vào (1) : 64.(-2) – 47 0 +) Thế tọa độ C (5, 0) vào (1) : 64.5 – 47 0 -) Vậy B và C nằm cùng phía đối với (t), nên (t) là phân giác trong của góc A 24 Ví dụ 4 : Cho d : 3x – 4y + 5 = 0 và d' : 5x + 12y – 1 = 0 a) Viết phương trình... qua O và vuông góc : có phương trình : 112x + 14 y = 0 có phương trình : 8x – 64 = 0 Ví dụ 5: Viết phương trình các đường phân giác trong và phân giác ngoài tam giác ABC, biết Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC uu ur   AB = (−5; −10)  AB = 5 5  ⇒ ur Giải: Ta có  u u  AC = (3; −6)  AC = 3 5   u u u ur ur u u u u u ur ur u u M ( x; y ) thuộc phân giác trong góc A ⇔ cos( AB; AM... ) nên tọa độ C là nghiệm của hệ  ⇒ C (4;0) 3 x + 8 y − 12 = 0  x = 4 + 2t Vậy phương trình đường thẳng BC là   y = −5t b) ( AB) ⊥ (∆) : 3 x + 2 y − 4 = 0 , đi qua điểm A(−1; −3) ⇒ ( AB ) : 2( x + 1) − 3( y + 3) = 0 ⇔: 2 x − 3 y − 7 = 0 Gọi M là giao của AB và ∆ (suy ra M là trung điểm AB) 3 x + 2 y − 4 = 0 ⇒ M (2; −1) Từ đó ta tìm được tọa Tọa độ M là nghiệm của hệ  2 x − 3 y − 7 = 0 độ điểm... Hãy M (3;1) ∈ (∆) ⇒ viết phương trình cạnh BC b) Giả sử đường trung trực của AB là (∆) : 3 x + 2 y − 4 = 0 và G (4; −2) là trọng tâm tam giác ABC Xác định tọa độ các đỉnh B, C Giải: a) ( AB) ⊥ (CK ) và đi qua A(−1; −3) nên phương trình 8 x − 3 y − 1 = 0 ( AC ) ⊥ ( BH ) đi qua A(−1; −3) nên AC có phương trình là 3 x − 5 y − 12 = 0 8 x − 3 y − 1 = 0 B ∈ ( BH ) I ( AB ) nên tọa độ B là nghiệm của hệ ... cách nhỏ nhất của AM chính là : d (A, d) = = 20 Ví dụ 3: a) Viết phương trình đường thẳng song song và cách đều hai đường thẳng song song d : x – 3y – 1 = 0 và d' : x – 3y + 7 = 0 b) Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d' : 3x + 2y –1=0 và cách d' một khoảng là và nằm trong nửa mặt phẳng bờ d' và chứa điểm gốc O c) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A (6; 4) và cách điểm B (1, . học sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, hay nói các khác là hệ trục tọa độ Oxy. Trong chương trình lớp 10, chúng ta tìm hiểu sâu hơn về đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ, tìm hiểu về. các đường này trong mặt phẳng tọa độ. Còn ở cấp trung học phổ thông, chúng ta sẽ tìm hiểu thực chất những đường này có những đặc điểm gì. Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng theo chương. trưởng) • Nguyễn Phương Thảo • Phạm Thị Minh Thu • Đinh Trường Thịnh 2 Lời nói đầu Tọa độ có thể nói là một báu vật dành cho rất nhiều ngành khoa học, trong đó có toán học. Trong địa lý, tọa độ dùng để