Hình học phẳng TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA CỦA TAM GIÁC A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Trường hợp đồng dạng thứ ba : góc - góc Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với (góc – góc) Ta có G T ABC ,A BC Aˆ A , Bˆ B K L ABC ∽ A ' B ' C ' Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ ba tam giác vào tam giác vuông Nếu tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với G , A A 900 C ABC ,A BC , C T K L ABC ∽ ABC B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chứng minh hai tam giác đồng dạng Chứng minh hai tam giác có hai cặp góc Ví dụ Cho hình thang ABCD ( AB CD ) có DAB DBC Chứng minh ABD ∽ BDC Lời giải Ta có ABD BDC ABD ∽ BDC (g.g) ˆ Ví dụ Cho tam giác ABC cân A ( A 90 ) , O thuộc cạnh BC Trên cạnh AB , AC lấy hai điểm M , N cho MON ABC Chứng minh BMO ∽ CON Lời giải Ta có BMO 180 ABC MOB Mà MON ABC BMO 180 MON MOB CON Chú ý MBO OCN BMO ∽ CON (g.g) Dạng 2: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba để tính độ dài cạnh, chứng minh hệ thức cạnh chứng minh góc Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng Từ suy cặp góc tương ứng nhau, cặp cạnh tương ứng tỉ lệ Ví dụ Cho tam giác ABC Trên AB , AC lấy điểm D , E cho ACD ABE CD cắt BE O Chứng minh a) AD AB AE AC ; b) OC OD OB OE Lời giải a) Xét ACD ABE có Aˆ chung · · ACD = ABE Þ VACD ∽ VABE (g.g) Từ suy AD AB AE AC b) Xét OBD OCE có BOD EOC (đối đỉnh) OBD OCE OBD ∽ OCE (g.g) Từ suy OC OD OB OE Ví dụ Cho hình thang ABCD ( AB CD ) có DAB DBC Tính độ dài cạnh BD biết AB 4 cm, DC 9 cm Lời giải Ta có ABD BDC ABD ∽ BDC (g.g) AB BD BD AB DC 9 6 BD DC cm C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Bạn Khanh vẽ hai tam giác ABC A’B’C’ hình vẽ bên Chứng minh ABC ∽A ' B ' C ' Bài Cho hình vẽ bên Chứng minh a) AMN ∽ ABC ; b) AM AC AN AB Lời giải a) Xét AMN ABC có Aˆ chung; · · ANM = ACB Þ VAMN ∽ VABC (g.g) AM AB AM AC AN AB b) Từ kết câu a), ta có AN AC Bài Cho hình vẽ bên a/ Chứng minh EBA ∽BDC ; b/ Tính độ dài đoạn thẳng CD, BE, BD ED (làm tròn kết đến hàng phần mười); c/ So sánh diện tích tam giác BDE với tổng diện tích hai tam giác AEB BCD Bài Cho hình vẽ bên biết ABCD hình thang (AB //CD) a/ Chứng minh DAB ∽DBC ; b/ Tính độ dài đoạn thẳng BD (làm trịn kết đến hàng phần mười) Bài Cho hình vẽ sau : a/ Chứng minh ABD ∽BCA; b/ Tính độ dài x y ; c/ BD tia phân giác góc B Tính độ dài đoạn thẳng BC BD Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Tia phân giác Bˆ cắt AH , AC D , E a) Chứng minh BAD ∽ BCE BHD ∽ BAE DH EA b) Chứng minh DA EC c) Biết AB 3 cm, BC 5 cm Tính độ dài HB , HC Đáp số { HB 1,8 cm, HC 3, cm} Lời giải a) Xét BAD BCE có ABD EBC BAD ECB (góc có cặp cạnh tương ứng vng góc) BAD ∽ BCE (g.g) Xét BHD BAE có BHD BAE 90 HBD ABE BAD ∽ BCE (g.g) DH BD DA DH EA DA EC b) Từ kết câu a), ta có EA BE CE · · ° c) Xét ABH CBA có Bˆ chung AHB = BHC = 90 Þ VAMN ∽ VABC (g.g) BH BA BA2 32 BH 1,8 BA BC BC 5 cm HC BC BH 5 1,8 3, cm ˆ ˆ Bài Cho tam giác ABC có A 60 , B 80 Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BD BC Chứng minh a) ABC ∽ ACD ; 2 b) AC AB AB BC Lời giải a) Tính ACB 40 , lại có BCD cân B nên ABC BCD 40 ABC ∽ ACD (g.g) b) Từ kết câu a), ta có AC AB AD AB ( AB BC ) AB AB BC Bài Cho tam giác ABC vuông A , kẻ đường phân giác BD CE cắt I Chứng minh AI AD AE Lời giải Ta có AI tia phân giác BAC IAD IAE 45 Theo tính chất góc ngồi ABC AID IAB IBC 45 ABC AEI ABC ICB 45 Do ADI ∽ AIE AI AD AE Bài Bạn Hoàng muốn đo chiều cao dừa mọc thẳng đứng sân, bạn dùng cọc AB dài 1,5m chiều dài thân để đo Bạn nằm cách gốc 3m (tính từ chân bạn) bạn cắm cọc thẳng đứng chân bạn thấy đỉnh thân cọc đỉnh thẳng hàng với Em giúp bạn tính chiều cao dừa, biết bạn Hồng cao 1,7m (làm trịn kết đến hàng phần mười) Lời giải Chứng minh ABM ഗ DCM (g.g) AB BM => DC CM 1,5 1, => DC 4,7 => DC = 4,1 (m) Bài 10 Cho hình vẽ, tính chiều rộng AB khúc sơng (làm trịn đến hàng phần mười) Biết AC = 79,6 m; CD = 34,2m; DE = 18,6m Lời giải B ABC DEC có: BAC = CDE = 900 (gt) ACB = DCE Vậy: ABC ∽ DEC (g – g) Þ AB AC AB 79 , = Þ = Þ AB » 43, 3m DE CD 18 ,6 34 , A 79,6 m Để đo chiều cao cột đèn ta làm sau: Đặt gương phẳng nằm mặt phẳng nằm ngang, mắt người quan sát nhìn thẳng vào gương, người quan sát di chuyển cho thấy đỉnh đèn gương góc ABC = góc A’BC’ Cho chiều cao tính từ mắt người quan sát đến mặt đất AC = 1,6m; khoảng cách từ gương đến chân người BC = 0,8m; khoảng cách từ gương đến chân cột đèn BC’ = 1,5m Tính chiều cao cột đèn A’C’ Bài 11 Lời giải ' A ' 90 ABC A ' BC ' BC Xét ∆BCA ∆BC’A’ có BCA ; nên 0,8 1,6 BC AC BC ' A ' C ' 1,5 A ' C ' ( gt ) ∆BCA ∽ ∆BC’A’ (g.g) A’C’ = 3(m) Vậy cột đèn cao 3(m) Một cột cờ AB vng góc với mặt đất có bóng AC dài m Cùng lúc đó, người ta dựng cọc MN cao m có bóng mặt đất MQ dài 1,2 m Hỏi chiều cao cột cờ mét? Biết chùm ánh sáng song song với Bài 12 B Lời giải A B N 2m A C 6m M 1,2m Xét △ABC MNQ v: ả A = M = 900 µ µ µ C = Q B = N ⇒△ABC ∽ △MNQ (g.g) AB AC = ⇒ MN MQ AB = 2.6 = 10 1,2 m ⇒ Vậy cột cờ cao 10m Bài 13 Một người cao 1,5 mét có bóng mặt đất dài 2,1 mét Cùng lúc ấy, gần có bóng mặt đất dài 4,2 mét Tính chiều cao Lời giải Ta có: EF // BC F C (đồng vị) H 900 A Xét ABC DEF ta có: C F (cmt) ABC ∽ DEF AC AB AC.DE 4, 2.1,5 AB 3m DF DE DF 2,1 Q Bài 14 Một cột đèn cao 7m có bóng mặt đất dài 4m Gần có tịa nhà cao tầng có bóng mặt đất 80m (như hình vẽ) Em cho biết tịa nhà có tầng biết tầng cao 3,5m B E 7m 80m 4m D F A C Lời giải Xét ABC ∽ DEF g g AB AC AB 80 80.7 AB 140 m DE DF 4 Vậy tòa nhà cao 140m Số tầng tòa nhà là: 140: 3,5 = 40 (tầng) D BÀI TẬP VỀ NHÀ ˆ Bài Cho tam giác ABC , D thuộc cạnh AC cho ABD C Chứng minh ABC ∽ ADB Lời giải Xét ABC ADB có Aˆ chung; · ˆ ABD = C Þ VABC ∽ VADB (g.g) Bài Cho tam giác ABC , kẻ đường phân giác AD Trên tia đối DA lấy điểm F cho FBD BAD Chứng minh ABF ∽ ADC Lời giải Ta có BAF DAC , sử dụng tính chất góc ngồi thu · · · · · ADC = ABD + BAD = ABD + FBD · · Þ ADC = ABF Þ VABF ∽ VADC (g.g) Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Chứng minh a) AB BH BC ; b) AH HB HC Lời giải a) Xét ABH CBA có Bˆ chung · · AHB = CAB = 90° Þ VABH ∽ VCBA (g.g) AB BC AB BH BC BH AB b) Xét AHB CHA có AHB AHC 90 BAH Cˆ (do a) AHB ∽ CHA (g.g) AH HC AH HB HC HB AH ˆ ˆ ˆ Bài Cho tam giác ABC có A C Trên cạnh BC lấy điểm D cho BAD C Biết AB 5 cm, BC 10 cm Tính độ dài đoạn thẳng DB , DC Lời giải Ta có BAD ∽ BCA (g.g) BD BA BA2 52 BD 2,5 BA BC BC 10 cm Từ DC BC BD 10 2,5 7,5 cm