T8 012 đường trung bình của tam giác

Hình học phẳng ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định nghĩa  Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác A N M ïï M trung điểm AB ü ý Þ MN đường trung bình D ABC N trung điểm cuỷa AC ùù ỵ B C P Mi tam giác có ba đường trung bình Tính chất  Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Theo hình bên, A ìï MN  BC ï D ABC Û ïí ïï MN = BC ïïỵ MN đường trung bình N M C B Định lý đường trung bình tam giác  Trong tam giác, đường thẳng qua trung điểm cạnh song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba tam giác A ü ïï ï MA = MB ( M Ỵ AB ) ïý Û NA = NC ï MN  BC ( N Ỵ AC ) ùùù ỵ N M D ABC B MN BC C B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng  Dựa vào tính chất đường trung bình tam giác để tính độ dài đoạn thẳng Ví dụ Tìm độ dài x hình sau A M C N 15cm N 3,5cm x x B C B a) M A b) Lời giải a) Xét tam giác ABC, ta có  M trung điểm AB;  N trung điểm AC Þ MN đường trung bình D ABC b) Xét tam giác ABC, ta có  M trung điểm AB;  N trung điểm AC Þ MN đường trung bình D ABC Þ MN = BC Þ x = 7( cm) Þ MN = BC Þ x = 7,5( cm) Ví dụ Cho tam giác ABC vng A , AB = 5, BC = 13 Qua trung điểm M AB , vẽ đường thẳng song song với AC cắt BC N Tính độ dài MN Lời giải Xét VABC có MA = MB MN P AC nên NB = NC MN = AC đó, MN đường trung bình Suy Vì VABC vng A nên AC = BC - AB = 132 - 52 = 144 Þ AC = 12 Vậy MN = 12: = Do Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng nhau; hai đường thẳng song song  Sử dụng tính chất đường trung bình tam giác  Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, hai đoạn thẳng học lớp Ví dụ Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD , CE Gọi M , N theo thứ tự trung điểm BE CD Gọi I , K theo thứ tự giao điểm MN với BD CE Chứng minh MI = IK = K N Lời giải ìï MI P ED ï Þ ID = IB í ïï ME = BM ỵ Xét VBED có ìï NK P ED ï Þ KE = KC í ïï NC = ND Xét VCED có ỵ 1 MI = ED NK = ED ED = BC 2 Suy ; ; 1 1 IK = MK - MI = BC - DE = DE - DE = DE 2 2 Vậy MI = IK = K N Ví dụ Cho tam giác ABC , điểm D , E thuộc AC cho AD = DE = EC Gọi M trung điểm BC , I giao điểm BD AM Chứng minh : a) ME P BD ; b) AI = IM Lời giải ìï EC = ED ï Þ ME P BD í ïï MC = MB a) Xét VCBD có ỵ ìï ID P ME ï Þ IA = IM í ïï AD = DE b) Xét VAEM có ỵ Ví dụ Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD , CE cắt G Gọi M , N trung điểm BG , CG Chứng minh tứ giác MNDE có cặp cạnh đối song song Lời giải ìï ED P BC ïï í ïï ED = BC Xét VABC có ïïỵ (1) ìï MN P BC ïï í ïï MN = BC Xét VGBC có ïïỵ (2) ìï ED P MN (2) Þ ïí ïï ED = MN ỵ Từ (1) ìï EM P AG ïï í ïï EM = AG Xét VBAG có ïïỵ ìï DN P AG ïï í ïï DN = AG Xét VCAG có ïïỵ (3) (4) ìï EM P DN (4) Þ ïí ïï EM = DN ỵ Từ (3) Vậy tứ giác MNDE có cặp cạnh đối song song Ví dụ Cho BD đường trung tuyến tam giác ABC , E trung điểm đoạn thẳng AD , F trung điểm đoạn thẳng DC , M trung điểm cạnh AB , N trung điểm cạnh BC Chứng minh ME P NF ME = NF Lời giải ìï ME P BD ï ïìï MA = MB Þ íï í ïï EA = ED ïï ME = BD ỵ ïïỵ Xét VABD có (1) ìï NF P BD ìï NB = NC ï ï Þ íï í ïï FC = FD ïï NF = BD ỵ ïïỵ Xét VCBD có (2) ìï ME P NF (2) Þ ïí ïï ME = NF ỵ Từ (1) Dạng 3: Sử dụng tính chất đường trung bình tam giác để chứng minh tứ giác hình thoi; hình bình hành; hình chữ nhật; hình vng  Vận dụng định nghĩa, tính chất định lý đường trung bình tam giác để chứng minh tốn liên quan Ví dụ Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P , Q trung điểm cạnh AB , BC , CD , DA Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Lời giải Xét tam giác DAC có PQ đường trung bình ìï PQ P AC ï Þ ïí ïï PQ = AC ïïỵ (1) Xét tam giác BAC có MN đường trung bình ìï MN P AC ù ị ùớ ùù MN = 1AC ùùợ (2) ìï MN P PQ ï í ï MN = PQ 1) 2) ( ( Từ suy ùợ ị T giỏc MNPQ l hỡnh bỡnh hnh Vớ dụ Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi E , F , G , H theo thứ tự trung điểm cạnh AB , BC , CD , DA Chứng minh tứ giác HEFG hình chữ nhật Lời giải Xét ABD có EH đường trung bình EH  BD  EH  BD (1) Xét CBD có FG đường trung bình FG  BD  FG  BD (2) Từ (1) (2)  EFGH hình bình hành.(3) Xét BAC có EF đường trung bình  EF  AC Mà AC  BD BD  FG  EF  FG (4) Từ (3) (4)  EFGH hình chữ nhật Ví dụ Cho tứ giác ABCD có AC BD , gọi E , F , G , H trung điểm cạnh AB , BC , CA , DA Chứng minh EFGH hình thoi Lời giải ABD có EH đường trung bình nên EH  BD Hoàn toàn tương tự, xét tam giác BCD , ACD , ABC , GF  ta BD AC AC ; EF  ; GH  2 Lại có AC BD nên EH EF GF GH Do EFGH hình thoi Ví dụ Cho tam giác ABC vng cân A Gọi M , N trung điểm AB , AC Qua M kẻ đường thẳng song song AC cắt BC P Chứng minh AMPN hình vng Lời giải Ta có M trung điểm AB , MP  AC  MP đường trung bình ABC  P trung điểm BC Mà N trung điểm AC  NP đường trung bình ABC  NP  AB  AMPN hình bình hành AB AC AM    AN MAN 90  AMPN  2 Mà hình chữ nhật Mà AMPN hình vng Dạng 4: Bài tốn thực tế liên quan đường trung bình tam giác  Vận dụng định nghĩa, tính chất định lý đường trung bình giải qut tốn liên quan Ví dụ Khi thiết kế thang gấp, để đảm bảo an toàn người thợ làm thêm ngang để giữ cố định hai bên thang (như hình vẽ bên) cho hai chân thang rộng khoảng 80 cm Hỏi người thợ làm ngang dài cm ? Lời giải A Gọi MN ngang ; BC MN nằm thang nên AC Suy MN đường trung bình M Suy MN = Vậy người thợ làm độ rộng hai bên thang M; N trung điểm AB N C B tam giác ABC 1 BC  80 40 (cm) 2 ngang dài 40 cm Ví dụ 10 Giữa hai điểm B C bị ngăn cách hồ nước (như hình dưới) Hãy xác định độ dài BC mà không cần phải bơi qua hồ Biết đoạn thẳng KI dài 25m K trung điểm AB , I trung điểm AC Lời giải Xét tam giác ABC, có: K trung điểm AB I trung điểm AC  KI đường trung bình tam giác ABC KI  BC  Hay 25  BC BC 50  m  C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho tam giác MNP , K trung điểm NP , Q điểm nằm cạnh MN cho NQ = 2QM Gọi I giao điểm PQ MK Chứng minh I trung điểm MK Lời giải Gọi E trung điểm QN Þ KE P PQ Q trung điểm ME Þ IQ đường trung bình VMEK Þ I trung điểm MK Bài Cho tam giác ABC , trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM , D giao điểm BI AC AD = DC a) Chứng minh ; b) So sánh độ dài BD I D Lời giải a) Kẻ MN P BD , N Ỵ AC MN đường trung bình VCBD Þ N trung điểm CD (1) IN đường trung bình VAMN Þ D trung điểm AN (2) AD = DC Từ (1) (2) suy 1 ID = MN MN = BD 2 Có ; , nên BD = ID Bài 3: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AD Gọi M điểm cạnh AC AM = MC cho Gọi O giao điểm BM AD Chứng minh OM = BM b) a) O trung điểm AD Lời giải a) Qua D vẽ đường thẳng song song với BM cắt N AC Xét VMBC có DB = DC DN P BM nên MN = NC = MC (định lý đường trung bình tam giác) 1 AM = MC AM = MN = MC 2 Mặt khác , Xét VAND có AM = MN BM P DN nên OA = OD hay O trung điểm AD OM = DN b) Xét VAND có OM đường trung bình nên (1) DN = BM Xét VMBC có DN đường trung bình nên (2) OM = BM Từ (1) (2) suy Bài Cho tam giác ABC , hai đường trung tuyến BM CN cắt G Gọi D E trung điểm GB GC Chứng minh b) ND P ME a) MN P DE Lời giải a) Vì BM , CN đường trung tuyến VABC nên MA = MC , NA = NB Do MN đường trung bình VABC , suy MN P BC (1) Ta có DE đường trung bình VGBC nên DE P BC (2) Từ (1) (2) suy MN P DE b) Xét VABG , ta có ND đường trung bình Xét VACG , ta có ME đường trung bình Do ND P AG , ME P AG Suy ND P ME Bài Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM Gọi D , E , F trung điểm AB , AC AM Chứng minh a) Ba điểm D , E , F thẳng hàng b) F trung điểm DE Lời giải a) Xét VABM có DF đường trung bình nên DF P BM hay DF P BC (1) Xét VABC có DE đường trung bình nên DE P BC , (2) Từ (1) (2) suy D , E , F thẳng hàng b) Chứng minh DE = FE (bằng hai đoạn thẳng nhau) Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi M N trung điểm HA HC Chứng minh BM ^ AN Lời giải Xét VHAC có MN đường trung bình nên MN P AC Þ MN ^ AB Xét VBAN có AH NM hai đường cao cắt M Do BM ^ AN Bài Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E , F , G , H lần trung điểm AB , BC , CD , DA Chứng minh: a) EFGH hình thoi b) AC , BD , EG , FH đồng quy Lời giải 10 lượt a) ABC có EF đường trung bình nên EF  AC EF  AC ACD có GH đường trung bình nên GH  AC GH  AC Suy EF GH EF GH Do EFGH hình bình hành Hơn nữa, ABD có EH đường trung bình nên EH  BD Mà AC BD (hình chữ nhật ABCD ) nên EF EH , suy EFGH hình thoi b) Vì ABCD hình chữ nhật nên AE CG AE CG Do tứ giác AECG hình bình hành Mà O trung điểm đường chéo AC (trong hình chữ nhật ABCD ) Nên O trung điểm đường chéo EG Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh AHCF hình bình hành Và suy O trung điểm đường chéo HF Vậy AC , BD , CD , DA đồng quy O Bài Để làm thông noel, người thợ dùng khung sắt hình tam giác cân hình vẽ bên, sau gắn mơ hình thơng lên Cho biết BC = 120cm Tính độ dài GF; HE; ID Bài Để thiết kế mặt tiền cho nhà cấp bốn mái thái, sau xác định chiều dài mái PQ = 1,5m Chú thợ nhẩm tính chiều dài mái DE biết Q trung điểm EC, P trung điểm DC Em tính giúp thợ xem chiều dài mái DE bao 11 D P Q E D C P E Q C Lời giải Vì Q trung điểm EC, P trung điểm DC nên PQ đường trung bình tam giác CDE QP  DE  DE 2QP 2.1,5 3m Vậy chiều dài mái DE 3m Bài 10 a/ Giữa điểm A B hồ nước Biết A, B trung điểm MC MD (như hình vẽ) Bạn Mai từ C đến D hết 120 bước chân, trung bình bước chân Mai 4dm Hỏi khoảng cách từ A đến B mét? Lời giải AB đường trung bình ΔMCDMCD AB = CD = > AB = 60 (bước chân) Khoảng cách từ A đến B là: 60 = 240 ( dm) = 24m 12 b/ Để đo khoảng cách hai điểm B C bị chắn hồ sâu, người ta thực đo hình Biết khoảng cách hai điểm D E đo 53m Hỏi B C cách m ? Hình Hình c/ Để đo khoảng cách hai điểm A B bị ngăn cách hồ nước người ta đóng cọc vị trí A, B, M, N, O hình đo MN 45m Tính khoảng cách AB biết M, N điểm OA OB Bài 11 Tốn thực tế đường trung bình: Nhà tâm lý học Abraham Maslow (1908 – 1970) xem người tiên phong trường phái Tâm lý học nhân văn Năm 1943, ông phát triển Lý thuyết Thang bậc nhu cầu người (như hình vẽ bên) Trong đó, BK = 6cm Hãy tính đoạn thẳng CJ; EH? 13 Bài 12 Để đo khoảng cách hai điểm A B bị ngăn cách hồ nước người ta đóng cọc vị trí A, B, C , D, E hình vẽ Người ta đo DE 350 m Tính khoảng cách hai điểm A D B Lời giải A * C/m: DE đường trung bình ABC DE  AB *  AB 2.DE 2.350 700 (m) Bài 13 Một cáp treo di chuyển hai địa điểm A B hồ nước (hình bên) Biết M, N trung điểm OA, OB MN = 85m Hỏi quãng đường di chuyển cáp treo từ A sang B dài mét? Lời giải Vì M, N trung điểm OA OB Nên MN đường trung bình tam giác OAB MN  AB Suya AB = MN = 85 = 170m 14 Bài 14 Giữa điểm A N một hồ nước sâu Để tính khoảng cách điểm A N, học sinh lấy M làm mốc lấy H, G trung điểm MA, MN A N H a)Chứng minh HG đường trung bình b)Hỏi A N cách mét Biết khoảng cách điểm H G 62m G M Lời giải Xét  AMN ta có: H trung điểm AM(gt) G trung điểm MN(gt)  HG đường trung bình  AMN  HG  AN  AN 2 HG 2.62 124m Vậy AN=124m Bài 15 Người ta xây dựng mơ hình để đo bề rộng MN hồ nước mà không cần phải đo trực tiếp Em tính xem độ rộng hồ nước hình vẽ bao nhiêu? A B 40m C N M Lời giải Xét AMN, Ta có: B trung điểm AM C trung điểm AN  BC đường trung bình AMN MN  MN 80m  BC  Vậy độ rộng hồ nước 80 (m) 15 16