PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN 12 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi gồm có 1 trang Môn thi Toán Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian phát[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP QUẬN QUẬN 12 ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2022 – 2023 Mơn thi: Tốn Đề thi gồm có trang Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2,0 điểm) Cho x 2022 2023 y 2022 2023 Tính giá trị biểu thức C x 2023 4044 x 2022 4086461x 2021 y 2023 4044 y 2022 4086461 y 2021 Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh: a b c a a b b c a c b c 2 a b c b) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab bc ca 2023 P Tìm giá trị nhỏ 3a 3b 2c a 2023 b 2023 c 2023 Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình sau a) x x 28 x 1 x x 5 ; 27 x 3x b) x2 Bài 4: (5,0 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O đường cao AD, BE CF cắt H Gọi M , P trung điểm AC BC a) Chứng minh: B, F , H , D thuộc đường tròn xác định tâm O đường trịn đó; b) Chứng minh: FM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp BFD ; O , gọi diện tích tứ giác AEHF S Chứng minh: 2OP S c) Vẽ đường kính AI Bài 5: (4, điểm) Cho ABC có ba góc nhọn, vẽ đường cao AD BE Gọi H trực tâm ABC a) Chứng minh: AD.DH DB.DC tanB.tanC AD HD ; b) Gọi a, b, c độ dài cạnh BC , CA, AB ABC sin Chứng minh: A a 2 bc Bài 6: (2,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn phương trình: ( x 2023) y y 11 y y ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (2,0 điểm) Cho x 2022 2023 y 2022 2023 Tính giá trị biểu thức: C x 2023 4044 x 2022 4086461x 2021 y 2023 4044 y 2022 4086461 y 2021 Lời giải Ta có: C x 2023 4044 x 2022 4086461x 2021 y 2023 4044 y 2022 4086461 y 2021 C x 2021 x 4044 x 4086461 y 2021 y 4044 y 4086461 Với x 2022 2023 y 2022 (0,5đ) 2023 ta x 4044 x 4086461 (2022 2023) 4044 2022 2023 4086461 4090507 4044 2023 8176968 4044 2023 4086461 0 (0,5đ) y 4044 y 4086461 (2022 2023) 4044 2022 2023 4086461 4090507 4044 2023 8176968 4044 2023 4086461 0 (0,5đ) Vậy: C 0 (0,5đ) Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh: a b c a a b b c a c b c 2 a b c Lời giải Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có: a b c a a b b c a c b c Ta được: a b c a a b c 2 (0,5đ) a b b c b a c a c b c 2 a b c a b c a a b b c a c b c 2 a b c (0,5đ) b) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab bc ca 2023 P Tìm giá trị nhỏ 3a 3b 2c a 2023 b 2023 c 2023 Lời giải Từ giả thiết ab bc ca 2023 Ta có: a 2023 a ab bc ca a b c a (0,5đ) b 2023 b ab bc ac a b b c c 2023 c ab bc ac a c b c Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có: a 2023 a b c a Chứng minh tương tự, ta có: 3 a b c a b 2023 5a 3b 2c (0,5đ) 3a 5b 2c a b 2c ; c 2023 2 Cộng theo vế bất đẳng thức, ta được: a 2023 b 2023 c 2023 9a 9b 6c (0,5đ) P 3a 3b 2c a 2023 b 2023 c 2023 3a 3b 2c 9a 9b 6c Pmin x y 1, z 2 Vậy (0,5đ) Bài 3: (4, điểm) Giải phương trình sau a) x2 x x 28 x 1 x b) 27 x 3x x2 Lời giải a) x x 28 x 1 x 1 x x 28 x x Đặt t x x 28(t 0) 2 Ta có: t x x 28 Phương trình (1) trở thành: t 5t 24 0 (0,5đ) t 8 n t l (0,5đ) x x 28 8 Ta có: 80 x x 28 64 (0,5đ) x x 36 0 x 4 x (0,5đ) S 4; 9 Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x2 b) 27 x x x2 x2 Ta có: x2 27 x3 3x x 4 x2 1 x 27 x 3x x x 27 x x * (0,5đ) * trở thành: Đặt a x 4; b 3 x phương trình a a b3 b a b a ab b 1 0 a b (0,5đ) a ab b2 a ab b b a b b Do: a b x 0 x 0 x 3x 2 8 x 4 x 9 x x 0 x x x S Vậy nghiệm phường trình là: (0,5đ) (0,5đ) Bài 4: (5,0 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O đường cao AD, BE CF cắt H Gọi M , P trung điểm AC BC a) Chứng minh: B, F , H , D thuộc đường tròn xác định tâm O đường trịn b) Chứng minh: FM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp BFD O , gọi diện tích tứ giác AEHF S Chứng minh: 2OP S c) Vẽ đường kính AI Lời giải a) Chứng minh: B, F , H , D thuộc đường tròn xác định tâm O (1 điểm) Vì BFH vng F BDF nội tiếp đường trịn đường kính BH (0,5đ) Vì BDH vng D BDH nội tiếp đường trịn đường kính BH B, F , H , D thuộc đường trịn đường kính BH O ' trung điểm BH (0,5đ) b) Chứng minh: FM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp BFD (2 điểm) Đường tròn ngoại tiếp BDF đường tròn qua đỉnh B, F , H , D ( BH đường kính) Ta có FCM HBF (vì phụ với BAC ) (1) Xét AFC vng F có M trung điểm AC FM MA MC (0,5đ) MCF cân M MFC MCF (2) (0,5đ) Tương tự: O ' FB HBF (3) Từ (1), (2), (3) suy O ' FB MFC (0,5đ) Từ ta có MFC HFO ' O ' FB HFO ' 90 O ' FM 90 FM O ' F FM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp BDF (0,5đ) c) Gọi diện tích tứ giác AEHF S Chứng minh: 2OP S (2 điểm) Chứng minh tứ giác BHCI hình bình hành P trung điểm HI (0,5đ) Mà O trung điểm AI OP đường trung bình AHI AH 2OP 1 S S AHF S AHE AF FH AE.EH 2 S AF FH AE EH 4 (BĐT Côsi) (0,5đ) AH AH AH S 4 mà AH 4OP S 2OP (0,5đ) Dấu “ = ” xảy AF FH ; AE HE ABC vuông (vơ lý ABC nhọn) S 2OP (0,5đ) Bài 5: (4, điểm) Cho ABC có ba góc nhọn, vẽ đường cao AD BE Gọi H trực tâm ABC a) Chứng minh: AD.DH DB.DC tanB.tanC AD HD b) Gọi a, b, c độ dài cạnh BC , CA, AB ABC sin Chứng minh: A a 2 bc Lời giải a) Chứng minh: AD.DH DB.DC tanB.tanC AD HD (2 điểm) Xét ADC BDH có: ADC BDH 90 DAC DBH (cùng phụ với ACB ) ADC BDH (g-g) AD BD DC DH AD.DH DB.DC (*) Ta có: tan B (0,5đ) AD AD tan C BD ; DC tan B.tan C AD AD AD BD DC BD.DC (1) AD AD Từ (*) BD.DC HD (2) Từ (1) (2) tan B.tan C (0,5đ) (0,5đ) AD HD (0,5đ) b) Gọi a, b, c độ dài cạnh BC , CA, AB ABC sin Chứng minh: A a 2 bc (2 điểm) Gọi AF tia phân giác BAC Kẻ BM , CN vng góc với AF Ta có: Do BM c.sin A A CN b.sin Tương tự BM CN (b c ).sin A Mặt khác ta ln có: BM CN BF FC BC a (0,5đ) (0,5đ) Nên (b c).sin sin A a A a a b c b.c (0,5đ) Dấu “ = ” xảy khi: BM CN hay ABC cân A sin Vậy: A a 2 b.c Bài 6: (2,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương (0,5đ) x; y thỏa mãn phương trình: ( x 2023) y y 11 y y Lời giải ( x 2023) y y 11 y y ( x 2023) y ( y 1)( y 2)( y 3) (0,25đ) 2 Ta có y ( y 1)( y 2)( y 3) ( y y 1) (0,25đ) (Áp dụng kết lớp tích số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương) 2 2 Đặt ( y y 1) A y ( y 1)( y 2)( y 3) A ; A 0 (0,5đ) Khi phương trình trở thành: A2 ( x 2023) 1 A 1; x 2023 (0,5đ) Hay y ( y 1)( y 2)( y 3) 0 y 1 ; y 2 y 3 (do y nguyên dương) Vậy cặp số nguyên dương thỏa mãn phương trình là: (2023;1) ; (2023; 2) ; (2023;3) (0,5đ) HẾT