Hsg 8 ứng hòa hà nội 2022 2023

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ỨNG HÒA ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI OLYMPIC CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 8 VÀ MÔN TOÁN, NGỮ VĂN, TIẾNG ANH LỚP 6,7 ĐỢT 1 Năm học 2022 – 2023 ĐỀ THI MÔN Toán 8 Thời gian 120 phút (không[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ỨNG HÒA ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) Cho biểu thức A KỲ THI OLYMPIC CÁC MƠN VĂN HĨA LỚP VÀ MƠN TỐN, NGỮ VĂN, TIẾNG ANH LỚP 6,7 ĐỢT Năm học: 2022 – 2023 ĐỀ THI MƠN: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) 2x  x  2x    x  5x  x   x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A , biết x  x 1 Câu (4,0 điểm) 2 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x  xy  y  x  y  2) Tìm cặp số x , y nguyên thỏa mãn: x  xy 6 x  y  Câu (4,0 điểm) 1) Cho x , y , z số dương thỏa mãn: x  y  z 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P   16 x y z 2) Tìm số dư phép chia biểu thức ( x  2)( x  4)( x  6)( x  8)  2023 cho đa thức x  10 x  21 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB  AC ) , đường cao AH Trong nửa mặt phẳng bờ đường cao AH có chứa điểm C , vẽ hình vng AHKE Gọi P giao điểm AC KE 1) Chứng minh tam giác ABP vuông cân 2) Gọi Q điểm thứ tư hình bình hành APQB , I giao điềm BP AQ Chứng minh ba điểm H , I , E thẳng hàng 3) Tứ giác HEKQ hình gì? Vì sao? Câu (1,0 điểm) Hình vng có 3 vng hình vẽ, chứa9 số mà tổng số hàng, cột, đường chéo gọi hình vng kỳ diệu Chứng minh số tâm (x) hình vng kỳ diệu trung bình cộng hai số cịn lại hàng, cột đường chéo HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu (5,0 điểm) Cho biểu thức A 2x  x  2x    x  5x  x   x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A , biết x  x 1 Lời giải 1) Điều kiện xác định: x 2; x 3 A 2x  x  2x    x  5x  x   x  2x  x  2x    ( x  2)( x  3) x  x   x   ( x  3)( x  3)  2( x  2)( x  2) ( x  2)( x  3)  x   x2   x2  ( x  2)( x  3)  x2  2x  ( x  2)( x  3)  x2  x  x  ( x  2)( x  3)  x( x  2)  4( x  2) ( x  2)( x  3)  ( x  2)( x  4) ( x  2) ( x  3)  x4 x 2 2) Ta có x  x 1  x  x  0  ( x  1) 0  x 1  A x  1   x  1 Câu (4,0 điểm) 2 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x  xy  y  x  y  2) Tìm cặp số x , y nguyên thỏa mãn: x  xy 6 x  y  Lời giải 1) Ta có x  xy  y  x  y  ( x  y )  4( x  y )  ( x  y  1) ( x  y  5) 2) Ta có x  xy 6 x  y   x ( x  y )  5( x  y )  x   ( x  y ) ( x  5)  x   x    x  5  ( x  5)  8 x     :  x  5  x   {1;  1;3;  3}  x  {6; 4;8; 2} Với x 6 thay vào (1)  y 8 ; Với x 4 thay vào (1)  y 0 ; Với x 8 thay vào (1)  y 8 ; Với x 2 thay vào (1)  y 0 ; ( x; y )  (6;8);(4;0);(8;8);(2;0) Vậy cặp ( x; y ) thỏa mãn yêu cầu đề là: Câu (4,0 điểm) 1) Cho x , y , z số dương thỏa mãn: x  y  z 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P   16 x y z 2) Tìm số dư phép chia biểu thức ( x  2)( x  4)( x  6)( x  8)  2023 cho đa thức x  10 x  21 Lời giải 1) Ta có   1 1 1 P 1     ( x  y  z )      16 x y z   16 x y z  x x y y z z P        1 16 y z 16 x z 16 x y  x y  x z  y z   1  P           1     y 16 x   z 16 x   z y   16  Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương, ta có P …2  x y x z y z 21 2  2   y 16 x z 16 x z y 16 1 21 49 P …2        16 16  2x y  x z  x 2 y z     x  ;y  ;z  7  z  y  z 1  y z  x  y  z 1 Dấu “=” xảy Vậy Min P  49 x  ;y  ;z  16 7 2) Đặt P( x) ( x  2)( x  4)( x  6)( x  8)  2023 a x  10 x  21 Ta có P( x)  x  10 x  16   x  10 x  24   2023 Vì a x  10 x  21  a   x  10 x  16; a   x  10 x  24  P(a) (a  5)(a  3)  2023  P (a ) a  2a  15  2023  P(a ) a  2a  2008 Vì a  2a a nên P (a): a dư 2008 Vậy P ( x) :  x  10 x  21 dư 2008 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB  AC ) , đường cao AH Trong nửa mặt phẳng bờ đường cao AH có chứa điểm C , vẽ hình vng AHKE Gọi P giao điểm AC KE 1) Chứng minh tam giác ABP vuông cân 2) Gọi Q điểm thứ tư hình bình hành APQB , I giao điềm BP AQ Chứng minh ba điểm H , I , E thẳng hàng 3) Tứ giác HEKQ hình gì? Vì sao? Lời giải 1) Chứng minh tam giác ABP vuông cân Xét AHB AEP có    +) HAB EAP (cùng phụ với HAC ) +) AH  AE (vì AHKE hình vuông)   +) AHB  AEP(90 ) Vậy AHB AEP (c.g.c)  AP  AB (hai cạnh tương ứng)  Mà BAP 90 ( ABC vuông A )  ABP vuông cân A 2) Chứng minh ba điểm H , I , E thẳng hàng Gọi M giao điểm BI AH Ta có: +) APQB hình bình hành (gt)  +) BAP 90 ( ABC vuông A ) +) AB  AP (cmt)  APQB hình vng  BP  QA I (vì I giao điểm BP AQ )  MHB ∽ MIA (g.g)  MH MB  MI MA  MH MI  MB MA   Mà HMI BMA (đối đỉnh)  HMI ∽ BMA (c.g.c)   ABM IHM  Lại có ABM 45 (do ABI vng cân I )   MHI 45  Kết hợp với MHE 45 (do AHE vuông cân A )  H , I , E thẳng hàng c) Tứ giác HEKQ hình gì? Vì sao? AQ Ta có IK IA IQ (cùng )  AKQ vuông K  AK  KQ Mà AK  HE (vì AEKH hình vng)  HE  KQ  Tứ giác HEKQ hình thang Câu (1,0 điểm) Hình vng có 3 vng hình vẽ, chứa số mà tổng số hàng, cột, đường chéo gọi hình vuông kỳ diệu Chứng minh số tâm (x) hình vng kỳ diệu trung bình cộng hai số lại hàng, cột đường chéo Lời giải Giả sử hình vng kì diệu điền số hình vẽ Đặt S a  b  c  d  e  f  g  h  i Ta có: a  e  i c  e  g b  e  h d  e  f  S  (a  e  i )  (c  e  g )  (b  e  h)  ( d  e  f )  (1) 4S  (a  b  c  d  e  f  g  h  i )  3e   S  3e   3e  4S 4S 4S S  S 3 (2) Từ (1) (2) suy a  i c  g b  h d  f 2e  e a i c  g bh d  f    2 2 (đpcm)