19 hsg8 2223 tp nam định

PHÒNG GD VÀ ĐÀO TẠO TP NAM ĐỊNH ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THÁNG Tháng 01 năm 2023 MÔN TOÁN 9 Thời gian 120 phút Bài 1 (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử 2) Tìm biết 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của[.]

PHÒNG GD VÀ ĐÀO TẠO TP NAM ĐỊNH Bài 1: ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THÁNG Tháng 01 năm 2023 MƠN: TỐN Thời gian: 120 phút (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử A 6 x  13 x  x  2  x2  x   x 14 x 8 2) Tìm x biết 2 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M x  y  xy  x  10 y  2032 Bài 2: (4 điểm) f x 1) Cho đa thức   đa thức bậc bốn với hệ số nguyên, có hệ số cao thỏa mãn f   26 f   36 f  10  51 f 11  f   ; ; Chứng minh   số chẵn x  xy  y   x  y  7 2) Tìm x, y nguyên biết Bài 3: (3 điểm) 2023 2021 1) Tìm số nguyên dương n để P n  n  số nguyên tố M 3 2) Cho a  b  c 3abc a  b  c 0 Tính giá trị biểu thức: Bài 4: a2  b2  c2  a  b  c (7 điểm) 1) Cho hình vng ABCD , O giao điểm AC BD Gọi M điểm đoạn thẳng OB ( M  A, M B ) Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt CD E   a) Chứng minh BCM DAE ; b) Gọi G, F hình chiếu B D CM , I giao điểm FB DG Chứng minh AG BF CM  AI ; AM  AC MN // AB  N  BC  2) Cho ABC cạnh AC lấy điểm M cho Kẻ , S IAC  S IBC S ABC MN lấy điểm I  I M , I  N  Tính Bài 5: (2 điểm) 1) Cho số thực x; y; z thỏa mãn  x; y; z 1 x y z A    y  zx  z  xy  x  yz Tìm giá trị lớn biểu thức 2) Bên hình vng có cạnh cho 50 điểm Chứng minh số tam giác có đỉnh điểm đỉnh hình vng, tồn tam giác có diện tích khơng vượt q 102 1/6 HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử A 6 x  13 x  x  2  x2  x   x 14 x 8 2) Tìm x biết 2 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M x  y  xy  x  10 y  2032 Lời giải 1) A 6 x  13 x  x  A 6 x3  x  x  x  x  A 6 x  x  1  x  x  1   x  1 A  x  1  x  x   A  x  1  x  x  x   A  x  1  x  x  1   x  1  A  x  1  x  1  3x   2) Tìm x x biết  x 2  x   x  14 x 8  x    x  x   0 Đặt x  x a Ta có: a  7a  0 a  a  8a  0 a  a  1   a  1 0  a 1  a   0  a  0    a  0  x  x  0    x  x  0 +) Nếu x  x  0   x  1 0  x 1 2/6 +) Nếu x  x  0 x  x  x  0 x  x     x   0  x     x    x   0  x 4 Vậy x   1;  2; 4 2 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M x  y  xy  x  10 y  2032 M x  y  xy  x  10 y  2032 M  x  x  y  1  y  y 1  y  y  2031 M  x  x  y  1   y  1  y  y   2022 2 M  x  y  1   y  3  2022 M  x  x  y  1   y  1  y  y   2022 2 M  x  y  1   y  3  2022  x  y 1 Ta có: 2 0;  y  3 0   x  y  1   y  3  2022 2022  M 2022  x 5  Dấu " " xảy  y 3 Vậy M có GTNN 2022 x 5; y 3 Bài 2: (4 điểm) f x 1) Cho đa thức   đa thức bậc bốn với hệ số nguyên, có hệ số cao thỏa mãn f   26 f   36 f  10  51 f 11  f   ; ; Chứng minh   số chẵn x  xy  y   x  y  7 x , y 2) Tìm nguyên biết Lời giải f x 1) Cho đa thức   đa thức bậc bốn với hệ số nguyên, có hệ số cao thỏa mãn f   26 f   36 f  10  51 f  11  f   ; ; Chứng minh số chẵn Đặt g  x   f  x   5x  3/6  g    f    26   g    f    36   g  10   f  10   51 Ta có:   g   0   g   0   g  10  0  x 5; x 7; x 10 nghiệm đa thức g  x  g  x f x Vì   đa thức bậc bốn với hệ số nguyên có hệ số cao nên đa thức bậc bốn với hệ số nguyên có hệ số cao  g  x   x    x    x  10   x  k  ; k Z  f  x   x    x    x  10   x  k   x   f  11 320  24k    f    26  8k  f  11  f   294  16k 2  147  8k   f  11  f   2; k  Z Vậy f  11  f   số chẵn x  xy  y   x  y  7 x , y 2) Tìm nguyên biết x  xy  xy  y   x  y  7 x  x  y   y  x  y    x  y  7  x  y   x  y    x  y  7  x  y   x  y  3 7 Vì x, y  Z nên x  y  Z ; x  y   Z Ta có bảng: x  2y -1 -7 x  y 3 -7 -1 x -7 -5 y -3 -3 Thử lại ta thấy giá trị x, y thỏa mãn đề Vậy Bài 3:  x, y   3;1 ,  1;  3 ,   7;  3 ,   5;1 (3 điểm) 2023 2021 1) Tìm số nguyên dương n để P n  n  số nguyên tố 4/6 M 3 2) Cho a  b  c 3abc a  b  c 0 Tính giá trị biểu thức: a2  b2  c2  a  b  c Lời giải 2023 2021 1) Tìm số nguyên dương n để P n  n  số nguyên tố +) Với n 1 P 3 (thoả mãn đề bài) +) Với n  ta có: P n 2023  n 2021  n 2023  n  n 2021  n  n  n  P n  n 2022  1  n  n 2019  1  n  n  674 673 P n   n3   1  n   n3   1  n  n      674 n  Ta có:  1n3  n3   n  1  n  n  1  n3  1n  n  Mà   n3  674  1n  n  674  n   n3   1 n  n  ; n  N *   n   n3  Chứng minh tương tự ta có:  673  1 n  n  ; n  N *  2 Mà n  n  1n  n  ; n  N * 674 673  n   n3   1  n   n3   1  n  n  1n  n  1; n  N *      P n  n  1; n  N * 2023 2021 2 Vì n  nên n  n   n  n   P  n  n    P hợp số Vậy n 1 M 3 2) Cho a  b  c 3abc a  b  c 0 Tính giá trị biểu thức: 3 Có a  b  c 3abc  a  b3  c  3abc 0   a  b   3ab  a  b   c  3abc 0   a  b  c   3c  a  b   a  b  c   3ab  a  b  c  0 5/6 a2  b2  c2  a  b  c   a  b  c    a  b  c   3c  a  b   3ab  0     a  b  c   a  b  c  2ab  2ac  2bc  3ac  3bc  3ab  0   a  b  c   a  b  c  ac  bc  ab  0  a  b2  c  ac  bc  ab 0 (vì a  b  c 0 )  2a  2b  2c  2ac  2bc  ab 0 2   a  b    b  c    c  a  0 Có  a  b 2 0;  b  c  0;  c  a  0 2   a  b    b  c    c  a  0 Dấu " " xảy a b c M Khi Vậy Bài 4: M a2  a2  a2  a  a  a  3a 9a  M  3 thỏa mãn đề (7 điểm) 1) Cho hình vng ABCD , O giao điểm AC BD Gọi M điểm đoạn thẳng OB ( M  A, M B ) Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt CD E   a) Chứng minh BCM DAE ; b) Gọi G, F hình chiếu B D CM , I giao điểm FB DG Chứng minh AG BF CM  AI ; AM  AC MN // AB  N  BC  2) Cho ABC cạnh AC lấy điểm M cho Kẻ , S IAC  S IBC S ABC MN lấy điểm I  I M , I  N  Tính Lời giải 1) 6/6  a) Có BAD 90 (vì ABCD hình vng)  MAE 90 ( AE  AM )      BAD MAE  BAM DAE Chứng minh BAM BCM  cgc     BAM BCM    BCM DAE b) Gọi G, F hình chiếu B D CM , I giao điểm FB DG Chứng minh AG BF CM  AI ; Xét CGB DFC có: CB CD    BCG CDF (cùng phụ với DCF )  CGB DFC  ch  gn     Xét AGB BFC có: AB BC ; ABG BCF (cùng phụ với GBC ) GB FC  AGB BFC  cgc   AG BF   Có AGB BFC  BAG CBF     Mà CBF  FBA 90  BAG  FBA 90 Gọi H giao điểm AG BF    FBA 90  AHB 90 ABH có BAG  AG  BF 7/6     Xét BGD CFA có: BG CF ; BD  AC ; GBD FCA (vì GBA FCB )    BGD CFA  cgc   BDG CAF Gọi N giao điểm DG AC, K giao điểm AF DG    OND 90 DON vuông O nên ODN     Mà BDG CAF , OND KNA   AKN DON 90  IK  AF Xét AIF có IK  AF , AG  IF  G trực tâm AIF  FG  AI hay CM  AI 2) Xét IAB MAB có chung đáy AB , chiều cao hạ từ I xuống AB chiều cao hạ từ M S S MAB xuống AB (vì MN // AB ) nên IAB 1 S MAB  S ABC  S IAB  S ABC 3 Chứng minh S  S IAC  S IBC S ABC  S IAC  S IBC  S ABC Có IAB  Bài 5: S IAC  S IBC  S ABC (2 điểm) 1) Cho số thực x; y; z thỏa mãn  x; y; z 1 x y z A    y  zx  z  xy  x  yz Tìm giá trị lớn biểu thức 8/6 2) Bên hình vng có cạnh cho 50 điểm Chứng minh số tam giác có đỉnh điểm đỉnh hình vng, tồn tam giác có diện tích khơng vượt q 102 1) Do  x; y; z 1 nên x x    y  zx x  y  z Lời giải  z  1   x  0   zx x  z   y  zx x  y  z y y z z   Tương tự  z  xy x  y  z ;  x  yz x  y  z x y z xyz      y  zx  z  xy  x  yz x  y  z  A 1 Dấu “ =” xảy  x  y  z 1 Vậy A có giá trị lớn A x  y  z 1 2) Gọi 50 điểm nằm hình vng vng có cạnh A + Nối với đỉnh hình vng ta tam giác + Xét điểm A1 , A2 , A3 , , A50 Ak với k   2;3; 4; ;50 A A A Nếu k nằm tam giác tạo (chẳng hạn hình vẽ) Nối k với ba đỉnh tam giác ta tam giác  số tam giác tăng thêm 2( từ thành 3) Nếu Ak nằm cạnh chung hai tam giác tạo thành (chẳng hạn A3 hình vẽ) Nối Ak với hai đỉnh đối diện với cạnh chung ta tam giác  số tam giác tăng thêm 2( từ thành 4) Như sau bước ta tam giác, 49 bước lại bước tăng thêm tam giác  tổng cộng số tam giác + 49.2 = 102 tam giác Mà tổng diện tích 102 tam giác  tồn tam giác có diện tích khơng q 102  HẾT  9/6