Luận văn các vấn đề cực trị liên quan đến nón và trụ cầu

.3. Mẫu luận văn thạc sĩ phương pháp dạy học môn toán số 3 Tên đề tài Dạy học chủ đề phương trình lượng giác cho học sinh với năng lực Toán học ở mức trung bình Người thực hiện Nguyễn Thị Uyên Nội dung chính Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển năng lực toán học. Các mức độ của năng lực học toán. Phân loại và xây dựng thái độ và nhận thức tích cực của học sinh có năng lực trung bình về việc học tập môn Toán. Thực nghiệm sư phạm.

TRƯỜNG ĐẠI HỌCCẦN THƠ KHOASƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ CĨ LIÊN QUAN ĐẾN NĨN, TRỤ, CẦU Giảng viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: TS.Nguyễn Trung Kiên Phan Trần Ngọc Diễm MSSV: B1700012 Lớp: SP Toán K43 Cần Thơ, 2021 i LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu thực luận văn, em cố gắng nỗ lực Để hồn thành tốt luận văn này, em nhận động viên, giúp đỡ tận tình q thầy, cơ, gia đình bạn bè Nhân em xin gửi lời cảm ơn chân thành Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô Bộ mơn Sư phạm Tốn trường Đại Học Cần Thơ tận tình giảng dạy suốt bốn năm học để em có tảng tri thức kinh nghiệm sống quý báu làm hành trang cho em sau Đặc biệt, em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến thầy TS Nguyễn Trung Kiên, cảm ơn thầy nhiệt tình hướng dẫn, hỗ trợ em thực luận văn tốt nghiệp Xin chúc thầy sức khỏe đạt nhiều thành công công việc giảng dạy Em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè ln quan tâm, động viên, khích lệ tinh thần em suốt thời gian thực luận văn Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để xem xét góp ý cho điểm cịn thiếu sót giúp em rút kinh nghiệm cho luận văn Mặc dù nỗ lực để hoàn thành luận văn cách tốt có thể, nhiên lần làm luận văn nên cịn nhiều bỡ ngỡ, có thiếu sót điều không tránh khỏi Do vậy, em mong nhận thêm góp ý thầy bạn để luận văn tốt Em xin chân thành cảm ơn Cần Thơ, ngày tháng năm Sinh viên thực Phan Trần Ngọc Diễm ii MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .2 Phạm vi nghiên cứu .2 Cấu trúc luận văn PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hình nón, khối nón 1.1.1 Mặt nón trịn xoay 1.1.2 Hình nón trịn xoay .3 1.1.2 Khối nón 1.1.3 Tính chất .4 1.1.4 Các công thức thường gặp 1.2 Hình trụ khối trụ 1.2.1 Mặt trụ tròn xoay 1.2.2 Hình trụ trịn xoay 1.2.3 Khối trụ .6 1.2.4 Tính chất .6 1.2.5 Các công thức thường gặp 1.3 Mặt cầu, khối cầu 1.3.1 Định nghĩa mặt cầu, khối cầu, hình cầu .7 1.3.2 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng 1.3.3 Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng 1.3.4 Các công thức thường gặp iii 1.4 Hình nội tiếp, hình ngoại tiếp 1.4.1 Hình nón nội tiếp, ngoại tiếp khối chóp 1.4.2 Hình trụ nội, ngoại tiếp khối lăng trụ 1.4.3 Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp 10 1.4.4 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp/lăng trụ số trường hợp 12 1.5 Một số cơng thức tính nhanh 15 1.6 Phương pháp giải tốn cực trị hình học 17 1.6.1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy 17 1.6.2 Khảo sát biến thiên hàm số tập xác định .17 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ DIỆN TÍCH KHỐI TRỊN XOAY 20 2.1 Các toán tự luận .20 2.2 Bài tập trắc nghiệm 23 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY 28 3.1 Bài tốn cực trị thể tích khối nón 28 3.2 Bài tốn cực trị thể tích khối trụ 40 3.3 Bài tốn cực trị thể tích khối cầu 54 CHƯƠNG BÀI TỐN CỰC TRỊ VỀ DIỆN TÍCH THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG VÀ KHỐI TRÒN XOAY 57 PHẦN KẾT LUẬN 66 Tài liệu tham khảo 67 iv DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT Từ viết tắt Hiểu BĐT Bất đẳng thức GTLN Giá trị lớn GTNN Giá trị nhỏ THPT Trung học phổ thông THPT QG Trung học phổ thông quốc gia v PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn phổ thông, học sinh nhiều lần nghe đến khái niệm “lớn nhất, nhỏ nhất, giá trị cực tiểu, giá trị cực đại” khái niệm liên quan đến tốn cực trị Thơng thường nói đến toán cực trị, học sinh thường nghĩ đến toán cực trị Đại Số hay Hàm Số mà nghĩ đến cực trị Hình Học Hơn nữa, tốn cực trị Hình Học tốn phức tạp chương trình tốn phổ thơng Loại tốn phong phú đa dạng địi hỏi suy luận cách hợp lí nhiều độc đáo, bất ngờ Để giải toán cực trị hình học, người làm tốn phải biết tổng hợp kiến thức khác toán học thường kiến thức Đại số, Hình học Giải tích,… Mở rộng tốn cực trị hình học tốn tối ưu hóa, tìm lớn nhất, nhỏ nhất, dài nhất, ngắn nhất,… Để từ dần hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tối ưu cho cơng việc thực tiễn sống sau Chính tốn cực trị hình học cịn có ứng dụng cao lí thuyết thực hành Với mong muốn hỗ trợ cho em học sinh ngồi ghế nhà trường có thêm tài liệu khối trịn xoay, làm cho tốn khối tròn xoay ngày gần gũi với em học sinh Đồng thời giúp học sinh nắm phương pháp thường sử dụng để giải toán cực trị, nâng cao tư duy, kĩ giải toán cực trị hình học, em chọn đề tài: “CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ CĨ LIÊN QUAN ĐẾN NĨN, TRỤ, CẦU” Mục đích nghiên cứu Mục đích mà em nghiên cứu đề tài để trình bày khái niệm, tính chất liên quan đến khối trịn xoay, số phương pháp sử dụng để giải toán cực trị, tính diện tích, thể tích lớn nhất, nhỏ Đồng thời, tìm tịi, sưu tầm, nghiên cứu hệ thống lại số dạng tốn điển hình, tiếp cận số dạng tốn thực tiễn có ứng dụng kiến thức cực trị hình học, dạng tốn xuất đề thi THPT QG, đề thi thử trường THPT nước qua năm Từ tạo nguồn tài liệu tham khảo phục vụ việc học tập học sinh Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: - Các khái niệm, công thức tính diện tích, thể tích khối trịn xoay hỗ trợ việc giải toán cực trị khối trịn xoay - Các tốn cực trị khối nón, trụ, cầu cách giải chúng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu phần lí thuyết có liên quan đến luận văn sách giáo khoa, số tài liệu liên quan, đề thi thử trường phổ thông nước, đề thi THPT QG số website, kết hợp với phương pháp học phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa xếp tài liệu, so sánh, đánh giá,… Phạm vi nghiên cứu Trong luận văn em tập trung trình bày hai phương pháp sử dụng để giải tốn cực trị khối trịn xoay, ngồi nhiều phương pháp khác chưa giới thiệu hết phạm vi luận văn Ngoài hệ thống tập luận văn dạng tập điển hình, chưa nêu hết tất dạng tốn Tuy nhiên, thơng qua dạng tốn điển hình hi vọng giúp cho học sinh hiểu chất, cách làm chung để em giải tốn tương tự Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Các toán cực trị diện tích khối trịn xoay Chương 3: Các tốn cực trị thể tích khối trịn xoay Chương 4: Các tốn diện tích thiết diện tạo mặt phẳng khối tròn xoay PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, ta nhắc lại số khái niệm, định nghĩa, tính chất, cơng thức liên quan đến mặt trịn xoay để phục vụ cho chương sau Mặt tròn xoay gì? Đó hình thu ta quay mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ đường (C) quanh ∆ góc 360o khơng gian đường (C) tạo nên hình gọi mặt trịn xoay Khi đó, đường (C) gọi đường sinh mặt tròn xoay.Đường thẳng ∆ gọi trục mặt tròn xoay Tùy theo tính chất đường sinh trục mà mặt trịn xoay có tên gọi tính chất riêng khác 1.1 Hình nón, khối nón 1.1.1 Mặt nón trịn xoay Trong mặt phẳng (P), cho hai đường thẳng d, ∆ cắt điểm O chúng tạo thành góc β với Bảng biến thiên � − � � = � � � �−�2 4�2 (�ì � > 0)  f’(x) 2� � Ta có �' � = � − 3�2 , giải �' � = ⟺ � = x � �� = �� − �� = − � +  - 2 3 f(x)  Từ bảng biến thiên suy max � � = � (0; +∞) � = 2� 3� Thể tích V lớn �(�) lớn ⟺ � = Chọn B 53 � ≈ 1,02 (�) 3.3 Bài toán cực trị thể tích khối cầu Bài tốn Cho mặt cầu bán kính R= 5cm Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có chu vi 8π cm Bốn điểm A, B, C, D thay đổi cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc (S) (D∉ (C)) tam giác ABC Thể tích lớn tứ diện ABCD bằng: Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu D mặt phẳng (P) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có chu vi 8π cm Suy bán kính đường trịn � = 8� 2� = (��) Suy cạnh tam giác ABC 3(��) Suy �∆��� = = 12 3(��2 ) không đổi Do thể tích khối tứ diện ABCD lớn d(D, (ABC)) lớn ⟺D O nằm phía SO với mặt phẳng (P) D, O, H thẳng hàng ⟺ �� = �� + �� = �� + ��2 − ��2 = + 25 − 16 = Khi ���� = 12 = 32 3(��3 ) Chọn B Bài toán Cho ba tia Ox, Oy, Oz đơi vng góc với Gọi C điểm cố định Oz, đặt OC = 1, điểm A, B thay đổi Ox, Oy cho OA+OB=OC Tìm giá trị bé bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC A Hướng dẫn giải B C 54 D Đặt A(a; 0; 0), B(0; b; 0) Khơng tính tổng quát, giả sử a,b>0 Vì �� + �� = �� ⟺ � + � = Gọi (I, R) mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC H hình chiếu I lên mặt phẳng Oxy Khi đó, H cách ba đỉnh O, A, B nên tâm đường trịn ngoại tiếp ∆OAB Áp dụng định lý hàm số Sin cho OAB, có �� �� �� = o = sin ��� 2���90 �� = ��2 + ��2 = �2 + �2 �2 + �2 �� = �� = Gọi M trung điểm SC Vì IO = IC nên ∆IOC cân I �� ⊥ �� ���� hình chữ nhật Do � = ��2 + ��2 = = + Chọn B BCS �2 + �2  + �+� + �2 +�2 = 4 (���� = ��) + = Vậy��� � = Bài toán (THPT Thanh Miện – Hải Dương – lần năm 2017 - 2018) Cho mặt cầu (S) có bán kính R khơng đổi, hình nón (H) nội tiếp mặt cầu (S) Thể tích khối � nón (H) V1; thể tích phần cịn lại khối cầu V2; Giá trị lớn �1 bằng: 55 A 81 32 B Hướng dẫn giải 76 32 C 32 81 D 32 76 Gọi I, S tâm mặt cầu đỉnh hình nón Gọi H tâm đường trịn đáy hình nón AB đường kính đáy Ta có �1 +1 = �2 � �−�1 Do để TH1: Xét trường hợp SI ≤ R �1 �2 đạt GTLN V1 đạt GTLN Khi thể tích hình nón đạt GTLN SI = R Lúc �1 = TH2: (SI > R) I nằm tam giác SAB hình vẽ Đặt �� = � � > Ta có ��3 1 � �1 = ���2 �� = � �2 − �2 � + � = 2� − 2� � + � � + � 3 � 4� ≤ 3 = 32� � 81 Dấu xảy � = �1 � Khi � = �−� − = Chọn D � �� 32 �� − �� 81 −1= 56 19 CHƯƠNG BÀI TỐN CỰC TRỊ VỀ DIỆN TÍCH THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG VÀ KHỐI TRỊN XOAY Cho khối trịn xoay (M), mặt phẳng (P) cắt khối tròn xoay theo điều kiện cho trước.Bài toán đặt lúc xác định giá trị lớn nhất, nhỏ diện tích thiết diện tạo (P) khối trịn xoay (M) Lưu ý: -Dựa vào tính chất mặt cắt mà xác định hình dạng thiết diện tạo thành -Tham số xuất câu hỏi đề bài, thơng thường ta chọn cạnh thiết diện, mà từ biểu diễn cạnh cịn lại thơng qua tham số đại lượng biết Bài toán 1: a Mặt phẳng (P) thay đổi ln qua O cắt hình nón theo thiết diện tam giác AOB là: Cho khối nón đỉnh O trục OI, bán kính đáy a chiều cao A a3 B 3a3 C 3a3 D 5a Hướng dẫn giải: Thiết diện mặt phẳng qua đỉnh nón với nón hình tam giác có đỉnh đỉnh nón Gọi H trung điểm AB, IH  AB Đặt IH = x Ta tính a độ dài đoạn sau theo x a, OH  OI  IH     x a  x 2 AB  AH  a  x 2 diện tích tam giác OAB tính là: a  S  OH AB     x a  x 2 2  Áp dụng bất đẳng thức AM  GM ta có: a S     x2 2 a2  x2  a2  x2 a2  x2   a2 Chọn đáp án D 57 Bài toán 2: Từ khúc gỗ trịn hình trụ có đường kính 40 cm, cần xả thành xà có tiết diện ngang hình vng bốn miệng phụ đước tơ màu xám hình Tìm chiều rộng x miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn A x  34  17 cm  B x  34  19 ( cm ) C x  34  15 ( cm ) D x  34  13 ( cm ) Hướng dẫn giải: Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang S  S MNPQ  4xy Cạnh hình vng MN  MP 40   20 2(cm) 2  S  ( 20 )2  4xy  800  4xy (1) Ta có: 2x  AB  MN  AB  20  BD  20  40  20   x  20  10 Lại có: AB  AD  BD  40  ( 2x  20 )2  y  1600  y  800  80x  4x  y  800  80x  4x Thế vào (1) 58  S  800  4x 800  80x  4x  800  800x  80x  4x Xét hàm số f ( x )  800x  80x  4x , với x  ( 0;20  10 ) có f '( x )  1600x  240x 2  16 x  16 x( 100  15x  x )       x  0;20  10 34  15   x  0;20  10   x Ta có  2 16  100  15  x   f '  x    Khi x    34  15 giá trị thỏa mãn tốn Chọn đáp án C Bài tốn Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịng tâm O Thiết diện qua trục hình nón tam giác cân với cạnh đáy α có diện tích α2 Gọi A, B hai điểm đường trịn (O) Thể tích khối chóp S OAB đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải 1 Tam giác cân SCD, có �∆��� = �� �� ⟺ �2 = � �� → �� = 2� 2 Khối chóp S.OAB có chiều cao SO = 2a khơng đổi nên để thể tích lớn diện tích tam giác OAB lớn 1 Mà �∆��� = �� �� ��� ��� = �2 ��� ��� (Với r bán kính đường trịn mặt 2 đáy hình nón) Do để �∆��� lớn ��� ���=1 Khi đó: 59 ���� �3 = 12 Chọn C Bài tốn Cho hình nón (N1) có đỉnh S, chiều cao h Một hình nón (N2) có đỉnh tâm đáy (N1) có đáy thiết diện song song với đáy (N2) hình vẽ Khối nón (N2) tích lớn chiều cao x ℎ A B Hướng dẫn giải ℎ C 2ℎ D ℎ 3 Xét mặt cắt qua trục hình nón kí hiệu hình vẽ Với O, I tâm đáy hình nón (N1); (N2); R, r bán kính hai đường trịn đáy (N1), (N2) Ta có �� � ℎ−� � � ℎ−� = ⟺ = →�= �� � ℎ � ℎ Thể tích khối nón (N2) là: �(�2) �2 ℎ − � = �� � = � 3 ℎ2 ��2 � = �(ℎ − �)2 3ℎ Xét hàm �(�) = �(ℎ − �)2 = �3 − 2ℎ�2 + ℎ2 � ��ê� (0; ℎ) Ta có �=ℎ ℎ �'(�) = 3� − 4ℎ� + ℎ ; �'(�) = ⟺ �= 2 60 Lập bảng biến thiên ta có: x h f’(x) + h - f(x) Vậy f(x) đạt giá trị lớn khoảng (0; h) � = Chọn B ℎ Bài toán (THPT Phan Đăng Lưu – Huế - lần năm 2017 – 2018) Cho hình nón (N) có đường cao SO = h bán kính đáy R, gọi M điểm đoạn SO, đặt OM= x, 0