Định hướng tư duy giải toán bằng cách lập phương trình

Ñeà taøi Ñònh höôùng tö duy GIAÛI TOAÙN BAÈNG CAÙCH LAÄP PHÖÔNG TRÌNH 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1 1 Lí do chọn đề tài Chúng ta đang sống trong thời đại phát triển, thời đại mà khoa học công nghệ đang làm thay đổi[.]

Định hướng tư GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Chúng ta sống thời đại phát triển, thời đại mà khoa học công nghệ làm thay đổi nhanh chóng, sâu sắc đời sống vật chất tinh thần loài người Khoa học ngày trở thành lực lượng sản xuất trực tiếp, động lực tạo nên phát triển kinh tế xã hội Giáo dục - Đào tạo trở thành nhân tố định thành đạt người sống vị quốc gia trường quốc tế Trong trình hội nhập với kinh tế tri thức, Giáo dục - Đào tạo chìa khóa hoạch định chiến lược vĩ mô, điều kiện tiên cơng cơng nghiệp hố, đại hố đất nước Đảng ta xác định: "Muốn tiến hành cơng nghiệp hóa, đại hóa thắng lợi phải phát triển mạnh mẽ nghiệp Giáo dục - Đào tạo, phát huy nguồn lực người, yếu tố phát triển nhanh bền vững" Trong năm gần đây, Đảng Nhà nước ta quan tâm đến đổi phương pháp dạy học, xu “dạy học tập trung vào người học” “phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh”, lấy học sinh làm trung tâm hoạt động dạy học đánh giá theo lực người học Đổi giáo dục Đảng nhà nước khẳng định vai trò quan trọng cấp thiết hệ thống giáo dục phổ thông Một mục tiêu nhà trường giáo dục, đào tạo học sinh trở thành người XHCN Các em phát triển tồn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ Do đó, cần có định hướng tư tích cực cho học sinh đổi phương pháp dạy học nhằm phù hợp với giáo dục thời đại Toán học mơn khoa học tự nhiên quan trọng Mơn Tốn đưa vào trường học từ em vừa chập chững cắp sách đến trường Toán học môn khoa học tự nhiên bản, phục vụ đắc lực cho môn khoa học khác Song phận khơng nhỏ học sinh chưa thật có ham thích, say mê mơn học nên tính độc lập suy nghĩ, sáng tạo tư duy, tích cực chiếm lĩnh tri thức không phát huy, ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng dạy học Muốn học sinh tư tốt, học tập mơn tốn có hiệu quả, người giáo viên làm chủ kiến thức, mà cần phải biết định hướng tư môn học tốt Học sinh nắm vững kiến thức bản, linh hoạt, tư tích cực, sáng tạo để dễ dàng tiếp cận, khai thác kiến thức theo hướng tích cực, chủ động, sáng tạo Khi học sinh nắm vững lí thuyết bản, tư logic xây dựng phương pháp làm hiệu quả, biết diễn đạt theo ý mình, vận dụng kiến thức học để giải loại tốn thích hợp, từ xây dựng phương pháp giải chung cho dạng "Giải tốn cách lập phương trình" dạng toán vận dụng kiến thức học kiến thức thực tế để giải toán thực tế, địi hỏi cao tính độc lập tư logic học sinh "Giải toán cách lập phương trình" lớp kế thừa phương pháp giải toán từ lớp 8, khác sử dụng phương trình bậc hai bước lập giải phương trình Việc vận dụng kiến thức học vào giải tốn cách lập phương trình đa số học sinh gặp nhiều lúng túng; kỹ diễn đạt, biểu thị mối tương quan đại lượng, lập phương trình cịn hạn chế, tư khơng logic, thiếu mạch lạc Nhiều em nắm lí thuyết chắn áp dụng vào giải tốn lại khơng thành công - Định hướng tư GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Từ lí đó, giảng dạy tơi ln trăn trở suy nghĩ, tìm tịi, học hỏi đồng nghiệp bước hình thành hệ thống kiến thức, tư giải toán định hướng giúp học sinh có tư tốt cách giải tốn cách lập phương trình tiến hành xây dựng đề tài “Định hướng tư giải toán cách lập phương trình” Trong trình dạy học, tiếp tục nghiên cứu để tài liệu trở thành cẩm nang dạy học tốt cho đồng nghiệp 1.2 Điểm đề tài Giúp học sinh tư tốt phương pháp chung dạng tốn Học sinh khơng phải ghi nhớ máy móc ba bước giải tốn mà qua q trình tư giải toán em ghi nhớ logic phương pháp giải theo trình tự ba bước với thao tác cụ thể bước Ví dụ, tìm hiểu, phân tích tốn, dựa vào u cầu đề để chọn ẩn, giáo viên cần nhấn mạnh chọn ẩn Sau tiến hành biểu diễn đại lượng chưa biết qua ẩn đại lượng biết thiết lập phương trình tốn Đến lúc đó, giáo viên khẳng định tất hoạt động tư thuộc bước thứ nhất: lập phương trình, Một yêu cầu, nhiệm vụ điểm khác đề tài giúp học sinh hệ thống, tư tốt để phân loại dạng toán liên quan, từ học sinh dễ dàng nhận dạng tốn toán cụ thể Đây nhiệm vụ quan trọng, học sinh xác định kiến thức, công thức, mối liên hệ thực tế liên quan đến dạng toán giải tốn tốt Ví dụ tốn, đề có đề cập đến thuật ngữ "ca nơ", "tàu", "thuyền", "vận tốc dịng nước"… học sinh biết tốn thuộc dạng tốn chuyển động sơng, đương nhiên có can thiệp vận tốc dịng nước, nên có cơng thức liên hệ quảng đường, vận tốc, thời gian; vận tốc phương tiện xi dịng vận tốc thực cộng thêm vận tốc dòng nước, … học sinh liên hệ với thực tế phương tiện xi dịng có vận tốc lớn ngược dịng (đi xi dịng nhanh ngược dòng) Một nhiệm vụ coi điểm mới, điểm khó đề tài xây dựng hệ thống câu hỏi tư logic tốn Giải tốn cách lập phương trình dạng toán liên quan đến thực tế sống Các mối quan hệ, liên hệ tốn có tính tư trừu tượng cao, kiến thức thực tế sâu rộng Đối với người học lớn tuổi, kiến thức thực tế sống phong phú việc giải tốn dạng bớt phần khó khăn phức tạp Vậy, với đối tượng học sinh THCS giải vấn đề nào? Qua thực tế giảng dạy cho thấy, cần phân tích kỹ kiện tốn, cố gắng đơn giản mối quan hệ đại lượng liên quan thông qua mối quan hệ tương tự, gần gũi, dễ hiểu đến học sinh mình, hy vọng em giảm bớt trở ngại giải toán 1.3 Phạm vi nghiên cứu Thời gian nghiên cứu từ năm học 2013 – 2014 đến Đề tài nghiên cứu thực nghiệm áp dụng vào dạy học chủ yếu khối lớp 8, trường THCS nơi tơi cơng tác dạng tốn Giải tốn cách lập phương trình đề cập đến số kinh nghiệm dạy học giải dạng toán - Định hướng tư GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng Trường THCS nơi công tác trường có truyền thống hiếu học từ lâu, đội ngũ nhà giáo có trình độ chun mơn vững chắc, tâm huyết, có nhiều kinh nghiệm phương pháp giảng dạy áp dụng tích cực đổi phương pháp dạy học Song, chất lượng qua kiểm tra, khảo sát chưa mong muốn Các nguyên nhân là: học sinh phần lớn chưa định rõ phương pháp giải tốn phù hợp, chưa có định hướng phương pháp, nắm phương pháp giải sơ sài, phân loại dạng thiếu rõ ràng, q trình phân tích tốn, tìm mối quan hệ, yếu tố liên hệ chưa hợp lí, kĩ giải phương trình, giải tốn thực tế cịn hạn chế … nên em cảm thấy ngại, thấy “sợ” phải đối diện với dạng tốn này, học sinh khơng chủ động, mạnh dạn nghiên cứu, phận học sinh chưa say sưa học tập, mặt khác dạng tốn địi hỏi phải có tính tư cao mà thời lượng chương trình khơng nhiều nên kĩ vận dụng, thực hành dạng tốn học sinh khơng ý muốn Qua q trình dạy học mơn Tốn THCS nhiều năm nhận thấy, việc tiếp cận phương pháp “giải tốn cách lập phương trình” học sinh khó khăn, em cảm thấy ngại tiếp cận dạng tốn Khó khăn lớn em thường gặp phải biểu thị mối quan hệ đại lượng kiến thức, công thức liên quan đến thực tế Một sai lầm thường gặp nhận nhầm dạng toán Những lí ảnh hưởng khơng nhỏ đến chất lượng mơn tốn nói chung dạng tốn nói riêng, gây chán nản học tập học sinh Cụ thể, qua điều tra, khảo sát khối 8, năm học 2013 - 2014, cho thấy: a Tình hình làm tập nhà: Tự giải: 33,3% Trao đổi giải: 19,3% Chép bài: 47,4% b Học sinh hứng thú dạng tốn Hứng thú: 28,1% Bình thường: 35,1% Không hứng thú: 36,8% c Kết khảo sát chất lượng cuối HKII, sau: Kết Sĩ TT Lớp Chọn ẩn số Lập PT Giải hoàn chỉnh số SL % SL % SL % 9A 29 19 65,5 11 37,9 04 13,8 9B 28 18 64,3 11 39,2 03 10,7 Tổng 57 37 64,9 22 38,6 07 12,3 2.2 Các giải pháp 2.2.1 Định hướng học sinh tư kiến thức, kỹ bổ trợ Học sinh có tư tốt kiến thức, kỹ bổ trợ góp phần nâng cao hiệu giải tốn Do đó, trước học phương trình, giải phương trình giáo viên cần định hướng để học sinh tư tốt kiến thức, kỹ toán học như: Các quy tắc tính tốn với biểu thức đại số (phép cộng, trừ, nhân, chia ) Các đẳng thức đáng nhớ, kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Kỹ biến đổi biểu thức, giải phương trình … Định hướng thêm để học sinh tư số mối quan hệ thực tế, … - Định hướng tư GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 2.2.2 Xây dựng tư phương pháp giải chung Trước hết phải cho em nắm vững phương pháp “Giải toán cách lập phương trình”, gồm sau: Bước 1: Lập phương trình gồm cơng việc: Chọn ẩn số, ý ghi rõ đơn vị đặt điều kiện cho ẩn số (nếu có) Thơng qua ẩn số số liệu, giả thiết biết để biểu thị cho đại lượng chưa biết; tìm biểu diễn mối quan hệ tương đương để hình thành phương trình cho tốn Bước 2: Giải phương trình Tùy theo dạng phương trình để chọn cách giải thích thích hợp ngắn gọn, hợp lí Bước 3: Kết luận Phải ý đối chiếu với điều kiện toán đặt bước để chọn kết kết luận Chú ý: Bước có tính chất định Có thể chọn ẩn trực tiếp chọn ẩn gián tiếp Xác định đơn vị tính điều kiện ẩn phải phù hợp với ý nghĩa thực tiễn Cũng phải lưu ý việc thống đơn vị suốt q trình giải tốn Phương pháp giải phân tích chi tiết, làm sáng tỏ qua tốn cụ thể khắc sâu hệ thống tư học sinh, học sinh tư phương pháp tốt giải 2.2.3 Phân loại dạng toán phân tích tốn a) Phân loại dạng tốn: Trong trình giảng dạy hướng dẫn em giải tập, giáo viên phải phân loại toán, giới thiệu đường lối chung loại, công thức, kiến thức có liên quan loại Ở lớp em thường gặp loại như: Bài toán chuyển động Bài tập suất lao động Bài tốn cơng việc làm chung làm riêng Bài toán liên quan đến số học hình học Bài tốn có nội dung vật lý - hóa học b) Phân tích toán: Khi bắt tay vào giải tập, yêu cầu khơng phần quan trọng, phải đọc kỹ đề bài, tự biết ghi tóm tắt đề bài, tóm tắt đề em hiểu nội dung, yêu cầu bài, từ nắm đại lượng biết, đại lượng chưa biết, mối quan hệ đại lượng Cần hướng dẫn, định hướng tốt để em có tư tóm tắt đề Học sinh phải ghi tóm tắt đề cách ngắn gọn, tốt lên dạng tổng quát phương trình em lập phương trình tốn Đến coi giải phần lớn nội dung tốn Nhưng để có phương trình toán, em cần phải trải qua nhiều bước trung gian khó khăn khác, khơng biết chọn đối tượng ẩn, điều kiện ẩn sao, đại lượng biết, chưa biết, mối quan hệ chúng ? Cơng việc chọn ẩn khắc sâu cho học sinh tập đơn giản, thơng thường tốn u cầu tìm đại lượng chọn đại lượng ẩn (chọn ẩn trực tiếp) Song cần phải biết nên chọn đối tượng ẩn để lập phương trình tốn, ta - Định hướng tư GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH giải dễ dàng Còn điều kiện ẩn cần dựa vào nội dung ý nghĩa thực tế toán cụ thể mà đặt điều kiện cho thích hợp Muốn lập phương trình tốn khơng bị sai có u cầu quan trọng phải nắm đối tượng tham gia vào bài, mối quan hệ đối tượng lúc đầu ? sau ? Chẳng hạn giải toán: Một phân xưởng may lập kế hoạch may lô hàng, ngày phân xưởng phải may xong 90 áo Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật, phân xưởng may 120 áo ngày Do đó, phân xưởng khơng hồn thành trước kế hoạch ngày mà cịn may thêm 60 áo Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải may áo? (Tốn 8) Phân tích: Ở đây, ta gặp đại lượng: Số áo may ngày (đã biết), Tổng số áo may số ngày may (chưa biết) Theo kế hoạch thực tế thực hiện, có mối quan hệ: Số áo may ngày x số ngày may = Tổng số áo may Ta chọn ẩn đại lượng chưa biết Ở đây, giả sử ta chọn x số ngày may theo kế hoạch (yêu cầu toán), phương án chọn ẩn trực tiếp Quy luật cho phép ta lập bảng biểu thị mối quan hệ đại lượng toán (Giáo viên kẻ bảng hướng dẫn học sinh điền vào bảng) Số áo may ngày số ngày may Tổng số áo may Theo kế hoạch 90 x 90x Đã thực 120 x-9 120(x - 9) Từ đó, quan hệ tổng số áo may số áo may theo kế hoạch biểu thị phương trình: 120(x - 9) = 90x + 60 Ta xét tiếp toán: “Lượng dầu thùng thứ gấp đôi lượng dầu thùng thứ hai Nếu bớt thùng thứ 75 lít thêm vào thùng thứ hai 35 lít số dầu hai thùng Hỏi lúc đầu thùng chứa lít dầu ?” Tóm tắt: Lúc đầu: Số dầu thùng I lần số dầu thùng II Bớt thùng I: 75lít Thêm vào thùng II: 35 lít Lúc sau: Số dầu thùng I số dầu thùng II Tìm lúc đầu: Thùng I ? (lít), thùng II ? (lít) Tiếp theo giáo viên định hướng để học sinh tư trả lời câu hỏi sau: + Bài tốn có đối tượng tham gia? (2 đối tượng - thùng dầu) + Quan hệ hai đối tượng lúc đầu ? (Số dầu T1 = 2T2) + Hai đối tượng thay đổi nào? (Thùng I bớt 75lít, thùng II thêm 35lít) + Quan hệ hai đối tượng lúc sau ? (Số dầu T1 = số dầu T2) + Số liệu biết, số liệu chưa biết Ở cần phải ghi rõ cho học sinh thấy tốn u cầu tìm số dầu thùng lúc đầu, có nghĩa hai đối tượng chưa biết phải tìm, nên ta chọn số lít dầu thùng thứ số lít dầu thùng thứ hai lúc đầu ẩn Có thể xây dựng phương án giải sau: Số chọn số lít dầu thùng thứ II lúc đầu x (lit) - Định hướng tư GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Điều kiện ẩn? (x > 0) (Vì số lít dầu phải số dương) Biểu thị đại lượng khác qua ẩn ? Số dầu thùng thứ I lúc đầu 2x (lít) Chú ý: Thêm (+), bớt (-) Số dầu thùng I bớt 75 lít ? (2x – 75) Số lit dầu thùng II thêm 35 lit ? (x + 35) Dựa vào mối quan hệ đại lượng sau thay đổi (số lit dầu thùng nhau) ta lập phương trình: x + 35 = 2x –75 (1) Khi lập phương trình rồi, cơng việc giải phương trình khơng phải khó, song cần phải hướng dẫn cho em thực phép biến đổi, giải theo bước học Sau giải xong, tìm giá trị ẩn, điều cần thiết phải đối chiếu với điều kiện đặt cho ẩn để trả lời toán Từ cách giải trên, giáo viên cho học sinh suy nghĩ xem cịn giải theo cách nữa? Học sinh thấy ta chọn số dầu thùng lúc đầu ẩn Bằng cách lập luận tương tự bước đây, em lập phương trình toán: x - 75 = x + 35 (2) Giải xong cách thứ hai, cho em nhận xét, so sánh với cách giải thứ giải phương trình dễ Chắc chắn giải phương trình (1) dễ dàng phương trình (2) giải phương trình (2) ta phải quy đồng mẫu chung hai vế phương trình khử mẫu, điều gây lúng túng cho em Từ cần chốt lại cho học sinh ta nên chọn số lít dầu thùng II lúc đầu ẩn, chọn số dầu thùng I lúc đầu ẩn lập phương trình có dạng phân số, ta giải khó khăn Tóm lại: Nếu hai đối tượng quan hệ với lúc đầu đối tượng gấp lần đối tượng ta phải cân nhắc xem nên chọn đối tượng ẩn để bớt khó khăn giải phương trình Nếu gặp tốn liên quan đến số người, số con… điều kiện ẩn: “nguyên dương” đồng thời phải lưu ý xem ẩn cịn kèm theo điều kiện thêm mà nội dung thực tế toán cho Ở chương trình Tốn lớp 8, thường gặp tốn dạng chuyển động dạng đơn giản như: Chuyển động chiều, ngược chiều quãng đường, chuyển động dòng nước Do vậy, trước tiên cần cho học sinh nắm kiến thức, công thức liên quan, đơn vị đại lượng Trong dạng toán chuyển động cần phải hiểu rõ đại lượng quãng đường, vận tốc, thời gian, mối quan hệ chúng qua cơng thức S = v.t Từ suy ra: v S S ; t t v Hoặc chuyển động sơng có dịng nước chảy Thì: vxi = vriêng + vdịng nước , vngược = vRiêng - v dòng nước - Định hướng tư GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Ta xét Ví dụ 1: Để đoạn đường từ A đến B, xe máy phải hết 3giờ 30’; ô tô hết 2giờ 30’ phút Tính quãng đường AB Biết vận tốc ôtô lớn vận tốc xe máy 20km/h Đối với tốn chuyển động, ghi tóm tắt đề bài, đồng thời vẽ sơ đồ minh họa học sinh dễ hình dung tốn Tóm tắt: t1 = 3g 30 phút B A t2 = 2g 30 phút v2 lớn v1 20km/h (v2 – v1 = 20) Tính quãng đường AB ? Các đối tượng tham gia: (ô tô- xe máy) Các đại lượng liên quan: quãng đường, vận tốc, thời gian Các số liệu biết: + Thời gian xe máy đi: 30’ + Thời gian ô tô đi: 30’ + Hiệu hai vận tốc: 20 km/h Số liệu chưa biết: vxe máy? vôtô? SAB ? Cần lưu ý: Hai chuyển động quãng đường không đổi Quan hệ đại lượng s, v, t biểu diễn công thức: S = v.t Quan hệ v t hai đại lượng tỷ lệ nghịch Như tốn có đại lượng chưa biết, mà ta cần tính chiều dài đoạn AB, nên chọn x (km) chiều dài đoạn đường AB; điều kiện: x > Biểu thị đại lượng chưa biết qua ẩn qua đại lượng biết x Vận tốc xe máy: 3,5 (km/h) x Vận tốc ôtô: 2,5 (km/h) Dựa vào mối liên hệ đại lượng(v2 – v1 = 20) x x = 20 2,5 3,5 Giải phương trình ta x = 175 Giá trị x phù hợp với điều kiện Vậy ta trả lời chiều dài đoạn AB 175km Sau giải xong, giáo viên cần cho học sinh thấy : Như ta phân tích tốn cịn có vận tốc xe chưa biết, nên việc chọn quãng đường ẩn, ta chọn vận tốc xe máy vận tốc ôtô ẩn Nếu gọi vận tốc xe máy x (km/h), x > Thì vận tốc ôtô x + 20 (km/h) Vì quãng đường AB khơng đổi nên biểu diễn theo hai cách (quãng đường xe máy ôtô đi) Ta có phương trình : 3,5 x = 2,5 (x + 20) Giải phương trình ta được: x = 50 Đến học sinh dễ mắc sai lầm dừng lại trả lời kết toán: Vận tốc xe máy 50 km/h Ta hướng dẫn HS nên đối chiếu điều kiện trả lời - Định hướng tư GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 2: Hai ôtô vận tải khởi hành lúc từ thành phố A đến thành phố B cách 120km Xe thứ chạy nhanh xe thứ hai 10km giờ, nên đến B sớm xe thứ hai Tính vận tốc xe Tóm tắt toán sau: + AB = 120km + v1 lớn v2 10km/h (v1 – v2 = 10) + t1 < t2 1g (t1 = t2 + 1) Tính: v1 ? v2 ? Các đối tượng tham gia ? (2 ô tô) Các đại lượng liên quan ? quãng đường, vận tốc, thời gian Các số liệu biết ? + Quảng đường AB: 120km + Thời gian tơ thứ tơ thứ hai + Hiệu hai vận tốc: 10 km/h Số liệu chưa biết ? Vận tốc xe Do đó: Ta gọi vận tốc xe thứ là: x km/h vàvận tốc xe thứ hai (x - 10) km/h Điều kiện x > 10 Khi có ẩn, ta tiến hành biểu diến đại lượng chưa biết qua ẩn qua đại lượng biểu diễn trước 120 Thời gian xe thứ từ A đến B: (giờ) x 120 Thời gian xe thứ hai từ A đến B: (giờ), x -10 Vì hai đại lượng có mối quan hệ phương trình (t = t2 + 1) nên ta thiết 120 120 lập phương trình: +1 = ta đưa phương trình bậc hai ẩn cuối x x -10 là: x2 – 10x – 1200 = Giải phương trình ta tìm hai nghiệm là: x1 = 40, x2 = - 30 Vì x > 10 nên ta loại nghiệm âm x2 = - 30 Từ đó, yêu cầu HS kết luận cho toán: Vận tốc xe thứ 40 (km/h); vận tốc xe thứ hai 30(km/h) Ta cần khắc sâu cho em thấy toán yêu cầu để chọn ẩn, mối quan hệ đại lượng S, v, t Nếu biết hai ba đại lượng suy đại lượng cịn lại Trong bước chọn kết thích hợp trả lời, cần hướng dẫn học sinh đối chiếu với điều kiện ẩn, yêu cầu đề Chẳng hạn Ví dụ 1, ẩn chọn vận tốc xe máy, sau tìm x = 50, khơng thể trả lời vận tốc xe máy 50 km/h, mà phải trả lời chiều dài đoạn đường AB đề đòi hỏi (chọn ẩn gián tiếp) Tóm lại: Khi giảng dạng tốn chuyển động, có nhiều đại lượng chưa biết, nên bước lập phương trình ta tùy ý lựa chọn đại lượng chưa biết làm ẩn Nhưng ta nên chọn trực tiếp đại lượng toán yêu cầu cần phải tìm ẩn Nhằm tránh thiếu sót trả lời kết Song thực tế khơng phải ta chọn trực tiếp đại lượng phải tìm ẩn mà phải chọn đại lượng trung gian ẩn - Định hướng tư GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Cần ý điều gọi vận tốc ôtô x (km/h) điều kiện x > chưa đủ mà phải x > 20 (hoặc x > 10 với Ví dụ 2) dựa vào thực tế tốn vận tốc ôtô lớn vận tốc xe máy 20 (km/h) hay xe thứ chạy nhanh xe thứ hai 10km Đối với toán “làm chung - làm riêng công việc” giáo viên cần cung cấp cho học sinh số kiến thức liên quan như: Khi công việc không đo số lượng cụ thể, ta coi tồn cơng việc đơn vị công việc biểu thị số Năng suất làm việc phần việc làm đơn vị thời gian A: Khối lượng công việc Ta có cơng thức A = nt ; Trong n: Năng suất làm việc t: Thời gian làm việc Tổng suất riêng suất chung làm Phải biết toán cho suất làm việc nào, thời gian hoàn thành, khối lượng cơng việc để vận dụng vào tốn cụ thể Khi ta nắm vấn đề em dễ dàng giải tốn Xét toán sau: (Bài toán Sgk Đại số 8) Hai vòi nước chảy đầy bể Một vòi thứ chảy 1 lượng nước vòi Hỏi vòi chảy riêng đầy bể ? Trước hết phân tích tốn để nắm nội dung sau: + Khối lượng công việc lượng nước bể + Đối tượng tham gia ? (2 vòi nước) + Số liệu biết ? (thời gian hai vòi chảy) + Đại lượng liên quan: Năng suất chảy vòi, thời gian vòi + Số liệu chưa biết ? (Thời gian làm riêng để xong cơng việc vịi) Bài tốn u cầu tìm thời gian vịi chảy riêng để đầy bể Ta tùy ý chọn ẩn thời gian vòi chảy vòi chảy đầy bể Giả sử gọi thời gian vịi chảy đầy bể x (h) 24 Điều kiện x ( x > = giờ) 5 Bài tốn cho mối quan hệ suất hai vịi chảy Nên tìm: + Năng suất vịi chảy ? (bể) x + Năng suất vòi chảy ? (bể) 2x + Cả hai vòi chảy giờ: 1: 24 = (bể) 24 + = x 2x 24 Đây dạng phương trình có ẩn mẫu, ta vận dụng bước để giải phương trình trên, ta x = 12 Vậy thời gian vòi hai chảy đầy bể 12 Ta có phương trình: - Định hướng tư GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Nhưng để tính thời gian chảy một vịi ta tìm suất vòi là: = (bể) 2.12 Từ ta tìm thời gian Xét tốn: Hai đội cơng nhân xây dựng làm chung ngày làm xong cơng trình Nếu làm riêng đội I phải làm lâu đội II ngày Hỏi đội làm riêng ngày xong cơng trình Phân tích: + Khối lượng cơng việc: cơng trình + Đại lượng liên quan: Năng suất làm chung, suất làm riêng + Số liệu chưa biết ? (Thời gian làm riêng để xong cơng trình đội) + Thời gian làm chung xong cơng trình ? (6 ngày) + Năng suất làm chung ? (Mỗi ngày cơng trình) Bài tốn u cầu tìm thời gian riêng đội Mối quan hệ suất: Tổng suất riêng suất chung làm Ta chọn ẩn thời gian làm xong cơng trình đội I (hoặc đội II) Giả sử gọi x số ngày mà đội I phải làm để hồn thành cơng trình Như đội II làm riêng phải x - ngày Điều kiện x > Mỗi ngày đội I 1 làm cơng trình, đội II làm cơng trình hai đội làm chung x x- 1 1 công trình Ta có phương trình: + = x x- Giải phương trình trên: 6(x - 5) + 6x = x(x - 5)  x2 - 17x + 30 = Phương trình có nghiệm x1 = 15, x2 = Vì x > nên ta lấy nghiệm x = 15 Chú ý: Nếu n đơn vị thời gian (giờ, ngày ) để làm xong cơng việc đơn vị thời gian làm công việc n Ở chương trình đại số lớp 8, cịn tiếp cận với giải toán liên quan đến số học hình học, Ví dụ tìm số tự nhiên có chữ số, loại tốn tương đối khó em Để giúp học sinh không lúng túng giải loại này, trước hết phải cho em nắm số kiến thức liên quan: + Cách viết số hệ thập phân + Mối quan hệ chữ số, vị trí chữ số số cần tìm điều kiện chữ số Xét toán: “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 16, đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số cho 18 đơn vị Tìm số cho Với toán này, học sinh cần phải nắm được: Số cần tìm có chữ số ? (2 chữ số) Quan hệ chữ số hàng chục hàng đơn vị nào? (Tổng hai chữ số: 16) Vị trí chữ số thay đổi nào? - 10 Định hướng tư GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Số so với ban đầu thay đổi sao? Muốn biết số cần tìm, ta phải biết điều gì? (Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị) Đến ta dễ dàng giải tốn, thay tìm số tự nhiên có hai chữ số ta tìm chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị Ta tùy ý lựa chọn ẩn chữ số hàng chục (hoặc chữ số hàng đơn vị) Nếu gọi chữ số hàng chục x Điều kiện x ? (x  N, < x < 10) Chữ số hàng đơn vị là: 16 – x Số cho biết 10x + 16 - x = 9x + 16 Đổi vị trí hai chữ số cho số viết 10 ( 16 – x ) + x = 160 – 9x Số lớn số cho 18 nên ta có phương trình: (160 – 9x) – (9x + 16) = 18 Giải phương trình ta x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy chữ số hàng chục Chữ số hàng đơn vị 16 – = Số cần tìm 79 Với tốn hình học, ta xét tốn sau đây: Một tam giác có cạnh huyền 25cm tổng hai cạnh góc vng 35cm Tính độ dài cạnh góc vng Với toán này, ta yêu cầu HS cần xác định được: Bài tốn cho ? Mối quan hệ hai cạnh góc vng ? (Có tổng 35cm) Biết cạnh tìm cạnh ? Quan hệ cạnh tam giác vuông ? (Định lí Pitago: Bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng) Bài tốn u cầu ? Từ đó, ta chọn hai đại lượng cần tìm ẩn Ví dụ: Gọi x (cm) độ dài cạnh góc vng, x > (Độ dài đoạn thẳng) Nên cạnh góc vng dài 35 - x (cm) Do "cạnh góc vng kia" độ dài đoạn thẳng nên có: 35 - x > suy 35 > x Vậy ta có điều kiện tổng quát toán là: 35 > x > Sử dụng định lí Pitago có phương trình: x2 + (35- x)2 = 252  x2 -35x -300 = Phương trình có hai nghiệm: x1 = 20 x2 = 15 Hai giá trị thỏa mãn điều kiện nêu Vậy độ dài hai cạnh góc vng 20cm 15cm Trong chương trình ta cịn gặp dạng tốn có nội dung liên quan đến vật lý, hóa học Song dạng tốn tài liệu không nhiều Các em thường cảm thấy ngại tiếp cận chúng muốn giải dạng tốn cần phải có kiến thức tổng hợp vật lý, hóa học Để giải dạng tốn phải có kiến thức tốt, phải nắm vững cơng thức, định luật vật lý, hóa học liên quan đến đại lượng có đề tốn Ta xét tốn liên quan đến vật lí sau đây: Dùng hai lượng nhiệt, lượng 168kJ để đun nóng hai khối nước 1kg khối nước nhỏ nóng khối nước lớn 20C Tính xem khối nước nhỏ đun nóng thêm độ? - 11 Định hướng tư GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Phân tích: Cơng thức tính nhiệt lượng là: Q = cm(t2 - t1) nhiệt độ tăng thêm t2 - t1 Q Từ suy khối lượng nước m = c(t - t ) Kiến thức liên quan: Nhiệt dung riêng nước c =4,2 kJ/kg.độ Ta có giải sau: Giả sử khối nước nhỏ đun nóng x (độ) Điều kiện x > (Nước điều kiện bình thường) Như khối lượng nước nhỏ là: Q 168 m= = c(t - t ) 4,2.x (kg) Vì khối nước lớn đun nóng khối nước nhỏ 0C nên khối lượng 168 khối nước lớn là: 4,2(x - 2) (kg) 168 168 Theo đầu ta có phương trình : 4,2.x + = 4,2(x - 2)  x2 - 2x - 80 = Phương trình có hai nghiệm x1 = 10; x2 = - Vì x > nên ta loại nghiệm âm Vậy khối nước nhỏ đun nóng thêm 100C (Để giải tốn cách khác, chọn ẩn khối lượng khối nước nhỏ) Về tốn liên quan đến hóa học, ta có toán: Lấy 40g chất lỏng thứ trộn lẫn với 30g chất lỏng thứ hai có khối lượng riêng nhỏ 100kg/m ta hỗn hợp có khối lượng riêng 350kg/m3 Tính khối lượng riêng chất lỏng Phân tích: M Cơng thức khối lượng riêng: D = (kg/m3) V Chú ý trộn hai chất lỏng có khối lượng riêng khác khối lượng riêng hỗn hợp khác thể tích hỗn hợp tổng thể tích hai chất lỏng đem trộn mà cơng thức tính thể tích: V  M D Ta xây dựng phương án giải sau: Gọi khối lượng riêng chất lỏng thứ x (kg/m 3) khối lượng riêng chất lỏng thứ hai (x - 100) kg/m3 Điều kiện x > 100 0.04 0.03 So sánh thể tích hai chất lỏng với thể tích hỗn hợp: x x - 100 0,04 + 0,03 0,07 = 350 350 0.04 0.03 0,07 Ta đến phương trình : + = x x - 100 350 = Nhân hai vế với 100 thay ta phương trình: 350 50  + = x - 450x + 20000 = x x - 100 50 - 12 Định hướng tư GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Phương trình có hai nghiệm : x1 = 400; x2 = 50 Theo điều kiện đặt ra, ta lấy nghiệm x = 400 Vậy khối lượng riêng hai chất lỏng 400kg/m3 300kg/m3 Dạng toán tài liệu Các em luyện thêm thơng qua tốn sau đây: Bài tốn thứ nhất: Có hai loại dung dịch chứa thứ axit Loại I chứa 30% axit, loại II chứa 50% axit Muốn có 50 lít dung dịch chứa 15% axit cần phải trộn lẫn lít dung dịch loại ? Bài tốn thứ hai: Một hợp kim đồng nhơm nặng 11,250kg, tích 3,500dm3 Tính khối lượng đồng nhơm có hợp kim, biết khối lượng riêng đồng 8,9g/cm3; nhôm 2,6g/cm3 Khi rèn luyện giải tốn cách lập phương trình, để thực có hiệu địi hỏi em phải có kiến thức liên quan, tích cực tìm hiểu, nắm bắt phương pháp giải, xác định dạng toán, tăng cường luyện tập thực hành, đặc biệt phải có u thích, ham mê mơn học, hứng thú cao giải toán 2.2.4 Bên cạnh yêu cầu cần ý số giải pháp quan sau 2.2.4.1 Việc quan trọng thành công dạy học theo tơi giáo viên phải soạn tốt; phải chuẩn bị hệ thống câu hỏi phù hợp nhằm định hướng để học sinh tư tốt, với dạng toán cụ thể cần định hướng tư học sinh qua hệ thống câu hỏi hướng dẫn, dẫn dắt cụ thể, tác động tích cực đến đối tượng học tập cách hiệu 2.2.4.2 Có định hướng tư cụ thể cho học sinh phân tích tập “mẫu” qua luyện tập, phụ đạo nhà trường tổ chức học tự chọn mơn tốn Có thể xây dựng số tập trắc nghiệm để học sinh luyện tập để kiến thức đến với em dễ dàng thời gian nhanh Ví dụ: Để ôn tập cho phần “Xây dựng đường lối chung để giải tốn cách lập phương trình” ta có tập sau: Sắp xếp bước sau theo cách hợp lý để “Đường lối chung để giải tốn cách lập phương trình”: a Nhờ liên quan số liệu, vào đề bài, mà lập phương trình,hệ phương trình b Chọn ẩn số, ý ghi rõ đơn vị đặt điều kiện cho ẩn số c Nhận định kết quả, thử lại trả lời d Dùng ẩn số biết để biểu thị đại lượng lập phương trình g Lập phương trình h Giải phương trình Hoặc tốn "Nếu hai vịi chảy vào bể sau 20 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ 10 phút vịi thứ hai 12 phút đầy bể 15 Hỏi vịi chảy riêng phải đầy bể ?”(Đại số 9) Phiếu học tập sau: Em điền vào chỗ trống ( ) nội dung thích hợp: Nếu gọi thời gian vịi chảy x (h) Điều kiện x + Năng suất vòi chảy + Năng suất vòi chảy + Cả hai vòi chảy giờ: - 13 Định hướng tư GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Ta có phương trình: + = 6x 15 2.2.4.3 Chia học sinh thành nhóm nhỏ, nhóm có nhóm trưởng (học sinh có học lực khá, có uy tín với bạn) Tổ chức nhóm thảo luận tập “mẫu” mà giáo viên giải giấy photo từ áp dụng giải số tập mà giáo viên đưa Sau cho nhóm lên bảng trình bày giải Các thành viên cịn lại lớp đặt câu hỏi phát vấn nhóm giải bài, câu hỏi hay giáo viên phải kịp thời khen ngợi em Kết đạt Bản thân áp dụng tiết giảng dạy lớp, giảng dạy phụ đạo, ôn tập từ HKII năm học 2013 - 2014 đến Tơi nhận thấy học sinh có có tư tốt hơn, có xu hướng hứng thú, say mê việc học tập mơn tốn, đặc biệt dạng Giải tốn cách lập phương trình Chất lượng giải dạng toán ngày cải thiện đáng kể Học sinh bước hình thành thói quen chủ động tư duy, tìm tịi, sáng tạo giải tốn Qua đợt điều tra, kiểm tra định kỳ cuối HKII năm học 2014 - 2015 khảo sát hai lớp 9AC nhận kết đáng khích lệ, sau: a Tình hình làm tập nhà: Tự giải: 59,7 % (tăng 24,8%) Trao đổi giải: 17,1% (giảm 2,2%) Chép bài: 23,2 (giảm 24,2%) b Học sinh hứng thú dạng tốn Hứng thú: 28,1% Bình thường: 35,1% Không hứng thú: 36,8% c Kết khảo sát chất lượng cuối HKII, sau: Kết TT Lớp Sĩ số Chọn ẩn số Lập PT Giải hoàn chỉnh SL % SL % SL % 9A 31 29 93,5 22 71,0 20 64,5 9C 31 30 96,8 24 77,4 21 67,7 Tổng 62 59 95,2 46 74,2 41 66,1 Tăng 30,3% 35,6% 53,8% Qua số liệu đây, bước đầu cho thấy có tín hiệu lạc quan chuyển biến chất lượng học tập học sinh Có thể nói rằng, thực biết trọng đầu tư thời gian, công sức, học sinh tích cực học tập phương pháp, giáo viên chịu khó, nhiệt tình cơng tác giảng dạy kết dạy học ngày tươi sáng - 14 Định hướng tư GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH PHẦN KẾT LUẬN Phát triển tư tốn học giúp học sinh có định hướng việc học mơn tốn việc làm khó Để làm điều người giáo viên khơng cần có kiến thức, phương pháp giảng dạy tốt, mà cần phải đầu cơng sức, trí tuệ nhằm định hướng tư tích cực giúp học sinh tiếp cận dạng toán theo phương pháp khoa học Học sinh tích cực tư tốn học, hệ thống hoá dạng toán Khi học sinh có hứng thú, đam mê mơn học học tập tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, đơn vị kiến thức mới, tập giáo viên đưa học sinh khai thác, xử lí dễ dàng, hiệu nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt góp phần cải thiện chất lượng công tác ôn tập, bồi dưỡng nâng cao chất lượng thi tuyển vào trung học phổ thông học sinh lớp cuối cấp Sau thời gian giảng dạy, qua nghiên cứu nhận thấy rằng, khơng có phương pháp dạy học tối ưu áp dụng cho kiểu lên lớp áp dụng cho đối tượng học sinh Người giáo viên phải biết kế thừa vận dụng sáng tạo mà hệ trước đúc rút Bên cạnh phấn đấu không mệt mỏi người dạy, đòi hỏi cần trọng khơi dậy ý thức chăm học,cầu tiến học sinh, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn Các hoạt đơng nêu thân tơi áp dụng q trình giảng dạy cơng tác Kết đạt khả quan, em học sinh hiểu hơn, hứng thú học tập việc giải toán thực tế trở nên nhẹ nhàng, hiệu Với kết đạt giúp tơi tự tin, mạnh dạn xây dựng đề tài với mong muốn trao đổi kinh nghiệm dạy học bạn bè đồng nghiệp, để hồ vào phong trào đổi dạy học ngành, góp phần đem lại hiệu thiết thực việc nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn lớp cuối cấp nói riêng chất lượng dạy học nhà trường mà toàn ngành quan tâm đạo Do thời gian có hạn, kinh nghiệm chưa nhiều nên trình thực đề tài chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý xây dựng tất bạn bè, đồng nghiệp để chuyên đề trở thành cẩm nang dạy học tốt cho thân người Tôi xin chân thành cảm ơn ! - 15 Định hướng tư GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - 16