Cơ sở vật lý máy gia tốc

Cơ sở vật lý máy gia tốc

Cở sở vật lý của máy gia tốc hạt

I Một số khái niệm về động học chùm hạt tích điện.

II Một số khái niệm về quang học chùm hạt tích điện III Chuyển động của hạt trong điện trường.

IV Chuyển động của hạt trong từ trường.

I Một số khái niệm về động học chùm hạt tích điện

(Particle Dynamics)

I.1 Tính chất của các hạt tích điện

Ở đây chúng ta quan tâm chủ yếu tới hai loại hạt là electron và các ion ,chúng là những hạt đơn giản, bền Hai đại lượng đặc trưng cho chúng

là khối lượng và điện tích

- Electron là hạt cơ bản với khối lượng rất nhỏ và điện tích âm

- Ion là một tập hợp của proton, nơtron và các electron Nguyên tử củacác đồng vị hydo chỉ có 1 electron, do đó các ion liên quan như proton,đơtron, và triton không có electrron Các ion này là các hạt nhân trần(bare) bao gồm 0, 1 hoặc 2 nơtron

- Ký hiệu Z chỉ nguyên tử số của một ion hoặc số electron trong nguyên

tử trung hòa Ký hiệu Z* thường chỉ số electron bị tước khỏi nguyên tử

để tạo thành ion Số khối A là số các nucleon trong nguyên tử Khốilượng nguyên tử phần lớn tập trung ở hạt nhân và xấp xỉ bằng Amp,trong đó mp là khối lượng protron

Z* : số electron bị bứt khỏi nguyên tử để tạo thành ion.

Bảng 1: Tính chất của một số hạt tích điện

I.2 Định luật Newton về chuyển động

- Điện tích của một hạt xác định độ lớn trong tương tác của nó với lực điện từ

- Khối lượng ghi nhận lực cản trong sự thay đổi vận tốc Trong cơ học Newton khối lượng là hằng số độc lập với chuyển động

Hình 1: Vị trí và vectơ vận tốc

của hạt trong hệ tọa độ Đề các

- Khối lượng Newton còn gọi là khối

lượng nghỉ (rest mass) được ký

hiệu: me đối với electron, mpđối với

proton, m0 đối với hạt nói chung

- Trong hệ tọa độ Đêcac, x được

viết như sau:

) , , ( x y z

X 

- Tốc độ của hạt là :

Định luật thứ nhất của Newton phát biểu rằng: hạt chuyển động theomột đường thẳng nếu không có lực nào tác động lên chúng

Xu hướng chống lại chuyển động thẳng được gọi là xung lượng, p,

- Xung lượng là tích của khối lượng hạt và tốc độ:

- Định luật thứ hai của Newton xác định lực F qua phương trình:

- Ta có thể viết :

Với mỗi thành phần lực riêng các thành phần vận tốc trong các hướng x,y,z được xác định bởi các phương trình khác nhau

dt dX dt

dz dt dy dt dx v

v v

v  ( x, y, z)  ( / , / , / )  /

F dt

dp / 

) , , (

0v px py pz

m

z z

y y

x

x dt F dp dt F dp dt F

 Động năng:

- Động năng là năng lượng gắn với chuyển động của hạt

- Mục đích của các máy gia tốc hạt là truyền cho hạt một động năng lớn.Động năng T được thay đổi khi có tác động của một lực Lực tác động lênmột hạt đứng yên không làm thay đổi động năng T do đó hạt cần phảichuyển động

- Sự thay đổi của động năng phụ thuộc vào lực như sau:

dx là sự thay đổi của vị trí hạt

- Trong máy gia tốc lực tác động là ưu tiên theo một hướng Với sự gia tốc dọc theo trục z ta có:

- Giả sử khối lượng của một hạt không đổi theo vận tốc ta có :

- Khi một lực tác động lên một hạt, thế năng U có thể được xác định,tổng của động năng và thế năng của hạt (T+U) là một hằng số vàđược gọi là năng lượng toàn phần (total energy).

- Nếu lực tác động theo trục z, U=U(z) , giả sử :  U /  t  0 ta có :

- Mối liên hệ giữa thế năng và lực :

trong đó  là toán tử nabla:

Thế năng của hạt rất có ý nghĩa trong các máy gia tốc tĩnh điện Các hạt

ở trạng thái tĩnh trong nguồn được xem như có thế năng U cao Thếnăng được chuyển thành động năng khi các hạt chuyển động qua cộtgia tốc Nếu biết thế năng U(x,y,z), có thể tính toán được các lực hội tụ

và gia tốc tác động lên hạt

) / )(

/ (

) / (

0v dv dt U z dz dt

U F

z U

Fz   /  ,  

z u

y u

x

ux   y   z 



I.3 Các công thức tương đối tính

Chuyển động của các hạt có năng lượng cao được mô tả bởi các định luật tương đối tính

trong đó: m0 là khối lượng nghỉ của hạt, q điện tích hạt, v: vận tốc hạt,

E: điện trường, B: từ trường

- Xung lượng p (MeV/c) được xác định như sau :

- Khối lượng nghỉ của một hạt :

Eo = moc2

trong đó: m0 là khối lượng nghỉ của hạt

- Năng lượng toàn phần: E (MeV)

E = E0 + T

T là động năng của hạt

2

2 0 2

v E

T E

pc  ( 0  )2  02   

4 2 0

2 2 2

c m c

p

- Với v<<c :

2

22

1

v m

T 

Hạt siêu tương đối tính ( v ≈ c) : E ≈ T ≈ pc

Ở điều kiện tương đối tính một sự thay đổi nhỏ của vận tốc dẫn đến một sự thay đổi lớn về năng lượng

2 2

2 0/

1 v c

c

m E





I.4 Chuyển động của hạt tương đối tính trong hệ tọa độ trụ

Các chùm hạt có đối xứng trụ thường hay gặp trong các máy gia tốc hạt

Hình 2. Mối quan hệ giữa hệ tọa

độ trụ và tọa độ đêcac.

Hình 2 cho thấy mối liên hệ của các phương trình trong hệ tọa độ đêcac với tạo độ trụ có một gốc tọa độ và trục z chung:

Chuyển động dọc theo trục z được mô tả giống nhau trong cả hai hệ tọa độ: dpz/dt = Fz

Chúng ta xem xét các phương trình trong mặt phẳng (r,0)

Trong hệ tọa độ đêcac, phương trình chuyển động theo trục x là:

Từ hình 2 ta có:

z z r

y r

x  cos  ,  sin  , 

) / ( tan

2 2

x y y

Ta có:

Các phương trình chuyển động của hạt trong hệ tọa độ trụ là :

Các số hạng trong ngoặc hiệu chỉnh đối với hệ tọa độ trụ

( dpr dt  pr d dt  dp dt  p d dt  Fr  F

] / [

/ dt F p d dt

dpr  r   

] / [

/ dt F p d dt

dp    r 

r v

m force

l

I.5 Trường điện từ của các hạt tích điện

- Các hạt tích điện chịu ảnh hưởng của điện trường và từ trường, động học chùm hạt là kết quả của sự tương tác này Để mô tả tương tác của trường điện từ và diễn biến của các hạt tích điện mà chúng ta muốn thay đổi hướng chuyển động, hội tụ chùm hạt cũng như duy trì chúng , chúng ta sử dụng hệ các phương trình Maxwell Đây là một bộ 4 phương trình vi phân mô tả tính chất trường điện từ và mối liên hệ với mật độ dòng và mật độ điện tích:

t

B E

- Điện trường của một điện tích điểm tại khoảng cách R:

2 0

4

1 )

(

R

q R

- Trường của chùm hạt tích điện:

Nhiều hạt tích điện chuyển động dọc theo một hướng gọi là chùm hạt, chùm hạt này tạo ra một điện trường và một từ trường

Điện trường tại khoảng cách r của một chùm hạt tích điện đồng nhất có bán kính R là:

for r

R

R r for r

r

Er

2

0 0 0 0

2

2 )

for r

R j

R r

for r

j r

0 0

0 0

212

1)

I.6 Chuyển động của hạt tích điện trong trường điện từ

- Lực Lorentz không những được áp dụng để điều khiển hướng chuyển động của hạt mà còn được sử dụng để hội tụ chùm hạt.

- Lực Lorentz có hai thành phần có nguồn gốc từ điện trường E và từ trường B Với các hạt tương đối tính ta thấy lực do từ trường 1 T tương đương với lực do điện trường 300MV/m Thực tế rất khó khăn để tạo ra một điện trường 3 MV/cm, do đó đối với các chùm hạt tương đối tính việc điều khiển và hội tụ chùm hạt hầu hết dựa vào từ trường.

) ( E v B q

F   

trong đó:

F: lực tác dụng lên hạt; q: điện tích hạt E: véc tơ điện trường; B: véc tơ từ trường c: tốc độ ánh sáng; v: véc tơ vận tốc hạt.

(1.1)

- Máy gia tốc cung cấp năng lượng cho hạt tích điện, do đó tăng xung lượngcủa chúng Để làm việc đó cần phải có một điện trường dọc theo hướng củaxung lượng ban đầu:

eE dt

p



- Quá trình hội tụ là chức năng thứ hai của từ trường, trong đó hiệu ứng uốncong được sử dụng để tạo cho các hạt chuyển động gần với trục, do đótăng mật độ dòng

- Lực điện trường tác động lên hạt có hướng trùng với hướng của điện trường

- Lực tác dụng của từ trường có hướng vuông góc với vectơ vận tốc hạt vàvectơ từ trường

(1.2)

(1.3)

Phương trình chuyển động của hạt trong điện từ trường:

Hạt tương đối tính có xung lượng hạt : p = m0v

- Phương trình chuyển động được mô tả bởi hệ thức sau:

dv m

(1.4)

(1.5)

(1.6)

II Một số khái niệm về quang học chùm hạt tích điện

(Beam Optics)

II.1 Điều khiển chùm hạt (particle beam guidance)

- Để điều khiển chùm hạt có điện tích e dọc theo một quỹ đạo xác định, từtrường được sử dụng để làm lệch hạt được xác định bởi sự cân bằng củalực hướng tâm và lực Lorentz:

y x

k

, ,

1





và x,y là bán kính uốn cong của quỹ đạo:

- Bán kính uốn cong trong từ trường :

B E

- Độ cứng từ (rigidity) của chùm được định nghĩa như sau:

2

10 )

- Độ uốn cong :

)(

)

(2998

.0)(

GeV E

T

B m

)(2998

.0)(

u GeV E

T B A

Z m

II.2 Hội tụ chùm hạt (particle beam focussing)

- Tương tự như tính chất của ánh sáng, chùm hạt luôn có xu hướng phântán, để giữ cho chùm hạt không bị phân tán dọc theo đường truyền đòi hỏiphải có các thiết bị hội tụ

- Từ trường có tác dụng làm lệch hạt một góc tỷ lệ với khoảng cách r tính

từ trục của thiết bị hội tụ sẽ đóng vai trò như một thấu kính hội tụ

- Trong kỹ thuật gia tốc thiết bị thích hợp nhất để hội tụ chùm hạt là namchâm tứ cực (quadrupole magnet)

- Góc lệch  đặc trưng cho tính chất hội tụ chùm hạt tích điện bởi từtrường B được định nghĩa như sau:

grl E

e l

B E

e l







trong đó l là chiều dài quãng đường hạt chuyển động trong từ trường,

g = dB/dr là gradient trường B Để có được tính chất hội tụ đòi hỏi

sự phụ thuộc tuyến tính của cả từ trường B và chiều dài nam châmvào khoảng cách r

(2.9)

- Trong động học chùm hạt, khả năng hội tụ, k, được định nghĩa như sau:

g E

ec g

) / ( 2998

0 )

( 2

GeV E

m T g m

) / ( 2998

0 )

( 2

GeV E

m T g A

Z m

III Chuyển động của hạt trong điện trường đồng nhất

III.1 Điện trường dọc đồng nhất

Ex

-e

Hình 4: Chuyển động của hạt tích điện

trong điện trường dọc

Khi không có mặt của từ trường:

B = 0; Ey = Ez = 0; Ex = E

Phương trình chuyển động của hạt:

eE dt

dv m

d e

mv dt

2

0 2

d

const e

Nếu hiệu điện thế: U=1 - 2

Hạt được gia tốc giữa hai điện cực có hiệu điện thế U, sự thay đổi động năng của hạt là:

2 2

2 1

2

2 mv mv

Nếu tốc độ ban đầu của hạt là v1 = 0

eU

mv

 2

2

Một hạt tích điện chuyển động trong một điện trường giữa hai điểm

có hiệu điện thế U, hạt sẽ được gia tốc bởi một năng lượng eU.

(3.8)

III.2 Điện trường ngang đồng nhất

Xét hạt chuyển động trong một điện trường ngang đồng nhất tạo ra từ một tụ điện phẳng:

Hình 5: Chuyển động của một hạt tích điện trong một điện

trường ngang đồng nhất

Một hạt tích điện chuyển động với tốc độ ban đầu vo theo trục ox chúng sẽ thay đổi hường chuyển động

Tìm độ lệch của hạt trên màn chắn cách tụ điện một khoảng l

Có thể xem điện trường giữa hai tấm tụ điện là đồng nhất, ta có

m 2 

2

Edx m

e dx

dt

dy dt

dx dt

dx



Edx mv

e dt

dy d

e dt

dy

0 0

Vì điện trường đồng nhất ta có:

x mv

eE v

eE dy

eE dy

0

2 0

(3.14)

Phương trình quỹ đạo của hạt:

2 2 0

Từ hình 5 ta thấy độ lệch cần tìm bằng tổng hai đoạn thằng y0 và a:

 ltg y

a y

0 mv

eE dx

dy tg

y y

1

(

2 0

d mv

IV Chuyển động của hạt trong từ trường đồng nhất

IV 1 Chuyển động của hạt trong từ trường đồng nhất tiết diện tròn

Giả sử hạt chuyển động vuông góc với các đường sức (Hình.6) các đườngsức trong hình vẽ vuông góc với mặt giấy Theo định luật Lorentz phươngtrình chuyển động của hạt tại Bx = Bz = 0 ; By = B là:

B

v mc

e dt

e dt

Hình 6. Chuyển động của hạt tích điện trong

từ trường ngang đồng nhất tiết diện tròn

Để tìm độ lệch trên một màn đặt cách gốc tọa độ một khoảng L, ta giải phương trình thứ 3 Giả sử trong trường hợp từ trường yếu, một phép gần đúng thành phần vx không đổi và bằng v0 - tốc độ ban đầu.

Từ phương trình thứ 3 của hệ pt (4.1) ta có:

B

v mc

e dt

z d

0 2

2



Bdx

v mc

e dx

dt

dz dt

e dt

dx dt

e dt

e dx

dx mcv

e dz

0 0

(4.4)

(4.5)

Tích phân lần hai ta được:







x x

Bdx

dx mcv

e z

0

'

0 0

mcv

e z

0 0

L

mcv

e xBdx

Bdx

L mcv

e z

0 0 0

0 0

) (

(4.9)

Vì B không đổi trong vùng từ 0 đến d và B=0 trong vùng từ d đến L nên:

0 0

) (

d l mcv

IV.2 Chuyển động của hạt trong từ trường ngang đồng nhất

B

v

Giả sử hạt có tốc độ ban đầu là v0 chuyển động trong từ trường ngang

đồng nhất có cường độ B, vuông góc với véc tơ tốc độ v0

Lực Lorentz luôn vuông góc với phương

chuyển động của hạt và là lực hướng tâm,

có nghĩa là công của lực luôn bằng 0 Vì thế

tốc độ của hạt hay năng lượng hạt không

thay đổi

Hạt chuyển động dưới tác dụng của một lực

hướng tâm không đổi có quỹ đạo là một

đường tròn được xác định bằng điều kiện:

B c

e r

mv

Bán kính quỹ đạo là:

B c e

mv

r  (4.13) Hình 7. Chuyển động của hạt

trong từ trường ngang đồng nhất

Giả sử hạt đạt được vận tốc v khi đi có tác động của một điện trường

có hiệu điện thế U, tốc độ của hạt sẽ bằng:

2 / 1

B

U m

e r

2 / 1 2 / 1/

 Xét đặc trưng của chuyển động nếu tốc độ ban đầu của hạt tạo thành mộtgóc  bất kỳ với từ trường (Hình 8).

1 - Song song với từ trường: vt  v0 cos 

2- Vuông góc với từ trường: vn  v0 sin 

Lực Lorentz tác dụng lên hạt là do thành phần vn và hạt chuyển độngtheo đường tròn nằm trong mặt phẳng vuông góc với từ trường Hạtchuyển động theo hướng của từ trường với tốc độ vt Tổng hợp haichuyển động, hạt sẽ chuyển động theo một hình xoắn (hình 8) với bướclặp (tần số), f là:



cos0

Tv T

v

B mc