Phương pháp nội suy và ứng dụng trong bài toán lãi suất (tiểu luận môn phương pháp tính)

Phương pháp tính đồ án bài tiểu luận 8đ ĐẠI HỌC UEH TRƯỜNG CÔNG NGHỆ VÀ THIẾT KẾ KHOA TOÁN THỐNG KÊ TIỂU LUẬN BỘ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN LÃI SUẤT GVH[.]

lOMoARcPSD|22495817 ĐẠI HỌC UEH TRƯỜNG CÔNG NGHỆ VÀ THIẾT KẾ KHOA TỐN-THỐNG KÊ TIỂU LUẬN BỘ MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN LÃI SUẤT GVHD: Lê Xuân Trường Thành viên nhóm: Phan Thị Quỳnh Lê Thị Thương TP Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 10 năm 2022 lOMoARcPSD|22495817 ĐẠI HỌC UEH TRƯỜNG CÔNG NGHỆ VÀ THIẾT KẾ KHOA TỐN- THỐNG KÊ TIỂU LUẬN Mơn học: PHƯƠNG PHÁP TÍNH Chủ đề: PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN LÃI SUẤT Giảng viên: Lê Xuân Trường Mã lớp học phần: 22C1MAT50803401 Nhóm sinh viên: Phan Thị Quỳnh 31201020864 FM001-K46 Lê Thị Thương 31201020891 FM001-K46 TP Hồ Chí Minh, ngày 21tháng 10 năm 2022 lOMoARcPSD|22495817 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN ……………………………………………………………….……………………………… ……………………………………………………………….……………………………… ……………………………………………………………….……………………………… ……………………………………………………………….……………………………… ……………………………………………………………….……………………………… ……………………………………………………………….……………………………… ……………………………………………………………….……………………………… ……………………………………………………………….……………………………… ……………………………………………………………….……………………………… ……………………………………………………………….……………………………… ……………………………………………………………….……………………………… ……………………………………………………………….……………………………… TPHCM, ngày 23 tháng 10 năm 2022 GVHD HƯỚNG DẪN (Ký ghi rõ họ tên) lOMoARcPSD|22495817 Phương pháp nội suy ứng dụng toán lãi suất Phan Thị Quỳnh Lê Thị Thương October 2022 lOMoARcPSD|22495817 Mục lục Giới thiệu đề tài 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Lịch sử nghiên cứu 1.3 Tổng quan mục đích phương pháp nội suy 1.3.1 Tổng quan phương pháp nội suy 1.3.2 Mục đích phương pháp nội suy 1.4 Các phương pháp ứng dụng toán lãi suất 4 5 Cơ sở lý thuyết 2.1 Các lý thuyết liên quan 2.1.1 Trái phiếu (Bonds) 2.1.2 Trái phiếu phủ 2.1.3 Lợi suất đáo hạn (Yield to maturity) 2.1.4 Đường cong lợi suất (Yield curve) 2.2 Thuật toán giải 7 8 11 Kết 3.1 3.2 3.3 3.4 16 16 17 18 20 thực nghiệm Mục tiêu thực nghiệm Lập trình Python So sánh kết KẾT LUẬN lOMoARcPSD|22495817 DANH MỤC BẢNG Bảng 1: Mối quan hệ giá trái phiếu, lãi suất coupon, lợi suất hành lợi suất đáo hạn Bảng 2: Lợi suất trái phiếu lOMoARcPSD|22495817 DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 2.1: Đường cong lợi suất bình thường Hình 2.2: Đường cong lợi suất đảo ngược Hình 2.3: Đường cong lợi suất phẳng Hình 2.4: Kết lOMoARcPSD|22495817 Chương Giới thiệu đề tài 1.1 Lý chọn đề tài Bài toán lãi suất dường trở nên quen thuộc nhà kinh doanh định đầu tư vào vấn đề đó, hạng mục hay định mua cổ phiếu hay trái phiếu tùy vào loại hình mà họ chọn Bên cạnh đầu tư dài hạn hay ngắn hạn đóng vai trị quan trọng việc thành công định đầu tư Tuy nhiên lúc số liệu cơng bố, hay chí bị khuyết, điều tạo nên bất cập việc đầu tư hay đưa dự đoán Và nội suy phương pháp thực Python giúp nhà đầu tư định cách dễ dàng dựa vào đồ thị mà đưa theo đường cong lợi suất Bài tiểu luận nhóm làm để nghiên cứu đưa nhìn tổng quan nội suy ứng dụng lên tốn lãi suất đồng thời thực ngơn ngữ lập trình Python để đưa kết nhằm so sánh đánh giá cách cụ thể 1.2 Lịch sử nghiên cứu Phép nội suy sử dụng văn minh loài người kể từ thời cổ đại, đặc biệt nhà thiên văn Lưỡng Hà Tiểu Á hay Anatolia bán đảo châu Á mà ngày thuộc lãnh thổ Thổ Nhĩ Kỳ cố gắng lấp đầy khoảng trống quan sát họ chuyển động hành tinh Theo thời gian phương pháp nội suy dần phát triển hoàn thiện lOMoARcPSD|22495817 1.3 1.3.1 Tổng quan mục đích phương pháp nội suy Tổng quan phương pháp nội suy Về mặt tốn học: Nội suy cơng cụ tốn học ứng dụng rộng rãi nhiều ngành thực nghiệm công nghệ thông tin, kinh tế, tài chính, dầu khí, xây dựng, y học, truyền hình, điện ảnh ngành cần xử lý liệu số khác Giả sử: Chúng ta có tập liệu rời rạc bao gồm biến độc lập xi biến phụ thuộc yi với i = 1,2, ,n Để tìm hàm ước lượng mẫu yˆ(x) cho yˆ(x) = yi với điểm tập liệu, dùng phương pháp nội suy sử dụng giá trị trung gian yˆ(x∗ ), gọi phép nội suy hàm số Về mặt kinh tế: Nội suy phương pháp thống kê dùng giá trị liên quan biết để ước tính giá trị chưa xác định hay bị khuyết hay cụ thể mức lợi nhuận tiềm cổ phiếu sàn giao dịch chứng khốn Nói cách chung nhất: Nội suy sử dụng giá trị biết để thiết lập dự đoán cho giá trị chưa biết nhằm đưa mơ hình nối liền theo thứ tự từ liệu nói Nội suy khái niệm toán học đơn giản Nếu có xu hướng chung quán tập hợp điểm liệu, người ta ước tính cách hợp lý giá trị tập hợp điểm chưa tính tốn Các nhà đầu tư nhà phân tích chứng khốn thường xun tạo biểu đồ đường với điểm liệu nội suy Các biểu đồ giúp họ hình dung thay đổi giá chứng khoán phần quan trọng phân tích kỹ thuật mà nhà phân tích liệu cần quan tâm 1.3.2 Mục đích phương pháp nội suy Bằng cách sử dụng xu hướng quán tập hợp điểm liệu, nhà đầu tư ước tính giá trị chưa biết vẽ giá trị biểu đồ thể biến động giá cổ phiếu theo thời gian Từ biến động nhà đầu tư đưa định đầu tư dài hạn hay ngắn hạn nhằm kiếm khoản thu chênh lệch tốt Ví dụ: giả sử chúng tơi theo dõi giá chứng khốn khoảng thời gian Chúng ta gọi dòng mà giá trị bảo mật theo dõi hàm f(x) Chúng ta vẽ biểu đồ giá cổ phiếu qua loạt điểm đại diện cho khoảnh khắc thời gian Vì vậy, ghi lại f(x) cho tháng 8, tháng 10 tháng 12, điểm biểu diễn toán học dạng x1 , x3 x5 Vì số lý do,mà giá trị tháng bị bảo mật Tuy nhiên sử dụng thuật tốn nội suy tuyến tính để ước tính giá trị f(x) điểm biểu đồ x2 xuất phạm vi liệu có Khi có đủ liệu cần biết, phương pháp nội suy đưa biểu đồ hình học với đường cong lợi suất thể giao động lợi suất qua thời kỳ Từ mà đưa định đầu tư đến khoảng thời gian ngừng lOMoARcPSD|22495817 hay nói cách khác đầu tư dài hạn ngắn hạn 1.4 Các phương pháp ứng dụng tốn lãi suất Có nhiều cách để nội suy tập liệu, để giải vấn đề đường cong lợi suất cần ý vài phương pháp phổ biến: - Linear interpolation ( Nội suy tuyến tính) - Cubic spline (Spline khối) - Dougherty/ Hyman - Hussian - Hagan - West - Lagrange lOMoARcPSD|22495817 Chương Cơ sở lý thuyết 2.1 2.1.1 Các lý thuyết liên quan Trái phiếu (Bonds) Trái phiếu công cụ nợ đại diện cho khoản cho vay tổ chức phát hành Chính phủ (các cấp) tập đồn thường sử dụng trái phiếu để vay tiền Các phủ cần tài trợ cho đường sá, trường học, đập sở hạ tầng khác Chi phí chiến tranh đột ngột địi hỏi nhu cầu huy động vốn Tương tự, tập đoàn thường vay để phát triển kinh doanh, mua tài sản thiết bị, thực dự án sinh lời, nghiên cứu phát triển, thuê nhân viên Vấn đề mà tổ chức lớn gặp phải họ thường cần nhiều tiền mức mà ngân hàng trung bình cung cấp trái phiếu cung cấp giải pháp cách cho phép nhiều nhà đầu tư cá nhân đảm nhận vai trò người cho vay Hầu hết trái phiếu có chung số đặc điểm bao gồm: - Mệnh giá (mệnh giá) số tiền mà trái phiếu có giá trị đáo hạn; số tiền tham chiếu mà công ty phát hành trái phiếu sử dụng tính tốn khoản tốn lãi suất Ví dụ: giả sử nhà đầu tư mua trái phiếu với mức phí bảo hiểm 1,090 la nhà đầu tư khác mua trái phiếu tương tự sau giao dịch với mức chiết khấu 980 đô la Khi trái phiếu đáo hạn, hai nhà đầu tư nhận mệnh giá 1.000 đô la trái phiếu - Lãi suất Coupon lãi suất mà công ty phát hành trái phiếu trả mệnh giá trái phiếu, biểu thị tỷ lệ phần trăm, tính cách lấy tổng khoản toán coupon hàng năm chia cho mệnh giá trái phiếu - Ngày đáo hạn ngày trái phiếu đáo hạn công ty phát hành trái phiếu toán cho trái chủ mệnh giá trái phiếu - Giá phát hành công ty phát hành trái phiếu bán trái phiếu ban đầu Trong nhiều trường hợp, trái phiếu phát hành ngang giá lOMoARcPSD|22495817 2.1.2 Trái phiếu phủ Trái phiếu phủ trái phiếu Chính phủ phát hành nhằm mục đích bù đắp thâm hụt ngân sách nhà nước, tài trợ cho cơng trình phúc lợi cơng cộng trung ương địa phương làm công cụ điều tiết tiền tệ Phát hành trái phiếu phủ phương thức để nhà nước vay vốn (tín dụng nhà nước) Do đó, trái phiếu ghi nhận nghĩa vụ trả nợ Nhà nước quyền lợi người sở hữu trái phiếu Hình thức ban đầu trái phiếu phủ áp dụng phổ biến hình thức chứng chỉ, sau xuất thêm hình thức bút tốn ghi sổ Trái phiếu phủ gồm loại sau: - Trái phiếu kho bạc: loại trái phiếu phủ phát hành thông qua hệ thống kho bạc nhà nước - Trái phiếu đầu tư: loại trái phiếu phủ phát hành theo phương thức đấu thầu qua thị trường giao dịch chứng khoán tập trung, bảo lãnh đại lý phát hành Trái phiếu phủ phát hành toán đồng Việt Nam ngoại tệ Người sở hữu trái phiếu phủ có quyền lợi bản: Chính phủ bảo đảm tốn trái phiếu (gốc lãi) đến hạn; dùng trái phiếu để bán, tặng, cho, để lại thừa kế cầm cố; cá nhân miễn thuế thu nhập khoản thu nhập từ trái phiếu 2.1.3 Lợi suất đáo hạn (Yield to maturity) Lợi suất đáo hạn, lợi tức đáo hạn hay lãi suất đáo hạn lãi suất hịa vốn trung bình trái phiếu mua trái phiếu thời điểm giữ lại trái phiếu ngày đến hạn tốn Hiểu cách đơn giản YTM trái phiếu tỷ suất lợi nhuận thu từ trái phiếu nắm giữ trái phiếu đến đáo hạn Ta có cơng thức tính lợi suất đáo hạn: P = 1+YCT M + (1+YCT M )2 + (1+YCT M )3 + + (1+YMT M )n Hoặc: P P = nt=1 (1+YCT M )t + (1+YMT M )n Trong đó: C: Số tiền lãi coupon hàng năm P: Giá thị trường trái phiếu n: số năm trái phiếu đáo hạn Lợi suất đáo hạn nêu lãi suất hồn vốn nên xác định phương pháp nội suy Lợi suất đáo hạn đại lượng sử dụng thường xuyên để đo lường mức sinh lời trái phiếu Việc tính tốn lợi suất đáo hạn khơng tính tới tiền lãi mà cịn tính tới khoản lời hay lỗ mà nhà đầu tư gặp phải việc giữ trái phiếu ngày tốn Lợi suất đáo hạn cịn xem xét tới thời gian dịng tiền Trong nhà đầu tư cần ý đến mối quan hệ trái phiếu, lãi suất coupon, lợi suất hành Downloaded by hay hay (vuchinhhp8@gmail.com) lOMoARcPSD|22495817 lợi suất đáo hạn Mối quan hệ thể sau: Trái phiếu bán Mối quan hệ Mệnh giá Lãi suất coupon = lợi suất hành = lợi suất đáo hạn Dưới mệnh giá Lãi suất coupon < lợi suất hành < lợi suất đáo hạn Trên mệnh giá Lãi suất coupon > lợi suất hành > lợi suất đáo hạn Bảng 1: Mối quan hệ giá trái phiếu, lãi suất coupon, lợi suất hành lợi suất đáo hạn 2.1.4 Đường cong lợi suất (Yield curve) Đường cong lợi suất đường lợi suất (lãi suất) trái phiếu có chất lượng tín dụng khác ngày đáo hạn Đường cong lợi suất thể lợi suất trái phiếu theo kỳ hạn khác nhau, thể lãi suất kỳ vọng tương lai thị trường thời điểm Đường cong lợi suất sử dụng làm chuẩn cho khoản nợ khác thị trường, chẳng hạn lãi suất chấp lãi suất cho vay ngân hàng, sử dụng để dự đốn thay đổi sản lượng tăng trưởng kinh tế Các đặc điểm đường cong lợi suất: - Đường cong lợi suất trái phiếu Chính phủ phát hành coi đường cong lợi suất tham chiếu rủi ro tín dụng gần - Khoảng chênh lệch đường cong lợi suất loại trái phiếu só với đường cong lợi suất tham chiếu hình thành nên chênh lệch tín dụng (credit spread) Mức độ rủi ro chủ thể phát hành cao chênh lệch tín dụng lớn ngược lại - Đường cong lợi suất sử dụng công cụ định giá trái phiếu, đồng thời nhà kinh tế sử dụng cảnh báo tình hình kinh tế vĩ mơ tương lai Có loại đường cong lợi suất chính: Đường cong lợi suất thơng thường (normal) Đường cong lợi đảo ngược (Inverted) Đường cong lợi suất phẳng a) Đường cong lãi suất thông thường (Normal) Đường cong lợi suất bình thường dốc lên cho thấy lợi suất trái phiếu dài hạn tiếp tục tăng, đáp ứng với giai đoạn mở rộng kinh tế Do đó, đường cong lợi suất thông thường bắt đầu với lợi suất thấp trái phiếu có thời hạn ngắn sau tăng trái phiếu có thời gian đáo hạn dài hơn, dốc lên Đây loại đường cong lợi suất phổ biến trái phiếu có kỳ hạn dài thường có lợi suất đáo hạn cao trái phiếu có kỳ hạn ngắn Ví dụ, giả sử trái phiếu hai năm cung cấp lợi suất 1%, trái phiếu năm năm cung cấp lợi suất 1,8%, trái phiếu 10 năm cung cấp lợi suất 2,5%, trái phiếu 15 năm cung cấp lợi suất 3,0 %, trái phiếu kỳ hạn 20 năm có lợi suất 3,5% Khi điểm kết nối với biểu đồ, chúng có hình dạng đường cong lợi suất bình thường lOMoARcPSD|22495817 10 Hình 2.1: Đường cong lợi suất bình thường b) Đường cong lợi suất đảo ngược (Inverted) Một đường cong lợi suất ngược lại dốc xuống có nghĩa lãi suất ngắn hạn vượt lãi suất dài hạn Một đường cong lợi suất tương ứng với giai đoạn suy thoái kinh tế, nơi nhà đầu tư kỳ vọng lợi suất trái phiếu có kỳ hạn dài chí cịn thấp tương lai Hình 2.2: Đường cong lợi suất đảo ngược Đường cong lợi suất đảo ngược tương đối hiếm, phần lớn khoảng thời gian dài trung bình suy thoái kể từ đầu năm 1990 Ví dụ, đợt mở rộng kinh tế bắt đầu vào tháng năm 1991, tháng 11 năm 2001 tháng năm 2009 ba số bốn đợt mở rộng kinh tế dài kể từ Thế chiến thứ hai c) Đường cong lợi suất phẳng (Flat) Đường cong lợi suất phẳng kết việc lãi suất dài hạn giảm nhiều lãi suất ngắn hạn lãi suất ngắn hạn tăng nhiều lãi suất dài hạn lOMoARcPSD|22495817 11 Đường cong lợi suất phẳng thường dấu hiệu cho thấy nhà đầu tư thương nhân lo lắng triển vọng kinh tế vĩ mơ Hình 2.3: Đường cong lợi suất phẳng 2.2 Thuật toán giải Nội suy tuyến tính phương pháp spline khối hai phương pháp phổ biến trình nội suy Xét cặp liệu (x0 ,y0 ) (x1 ,y1 ) Từ cặp liệu chúng quan tâm đến việc vẽ đường thẳng từ cặp liệu Nếu kiến thức trung học phổ thông cho thấy giá trị y tương ứng với giá trị x cho trước là: 0) y = y0 + (x − x − x0 ) (yx11 −y −x0 Thì từ cơng thức ta mở rộng thành tập liệu bao gồm n điểm Tuy nhiên đường cong tạo liên tục đạo hàm bậc không liên tục điểm liệu, đường cong đơi “ lởm chởm” Điều cần lưu ý nội suy tuyến tính bị giới hạn đạo hàm bậc hai khiến cho bị lỗi gần Để xử lý lỗi này, xác định hàm f(x) nội suy để đa thức tuyến tính p(x) xấp xỉ với f(x) điểm x=a x=b RT = f (x) − p(x) , a ≤ x ≤ b Theo định lý Rolle (Widder 1989, Spiegel 1969), ra: (a) p(x) = f (a) + f (b)−f (x − a) b−a Thuật toán giải quyết: lOMoARcPSD|22495817 12 Vd: Tìm phép nội suy tuyến tính x = 1.5 dựa cặp liệu x = [0,1,2] y = [1,3,2] Xác minh kết chức SciPy’s interp1d Vì 1