BÀI TOÀN TỔNG HỢP VỀ ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG Tài liệu được biên soạn từ các thầy (cô) trong nhóm toán VD VDC và các admin lovebook 1 Bài toán xác định điểm Dạng 1 Tìm điểm ( )M PÎ thỏa mãn ĐK cho.
BÀI TOÀN TỔNG HỢP VỀ ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG Tài liệu biên soạn từ thầy (cô) nhóm tốn VD- VDC admin lovebook Bài tốn xác định điểm Dạng Tìm điểm M Ỵ (P ) thỏa mãn ĐK cho trước Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (2; 0;1) , B (1; 0; 0) , C (1;1;1) mặt phẳng (P ) : x + y + z - = Điểm M (a ;b; c ) nằm mặt phẳng (P ) thỏa mãn MA = MB = MC Giá trị a + 2b + 3c A B C Lời giải Chọn D ìï a + b + c - = ìï M Ỵ (P ) ïï ïï 2 ï Ta có : ïí BM = A M nên ïí (a - 1) + b2 + c = (a - 2) + b2 + (c - 1) ïï ïï ïï (a - 1)2 + b2 + c = (a - 1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2 ïï BM = CM ỵ ïỵ ìï a + b + c = ìï a = ïï ïï ï Û í 2a + 2c = Û ïí b = T = a + 2b + 3c = ïï ïï ïï 2b + 2c = ïï c = ỵ ỵ ( D ) ( ) Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A - 1;3; - , B - 3;7; - 18 ( ) mặt phẳng (P ) : 2x - y + z + = Điểm M a, b, c thuộc (P ) cho mặt phẳng (A B M ) vng góc với (P ) MA + MB = 246 Tính S = a + b + c A B - C 10 D 13 Lời giải Chọn D uuuur uuur Gọi M a;b;c Î (P ) Ta có A B = - 2; 4; - 16 , A M = a + 1;b - 3;c + uuuur uuur é ù Þ êA M , A B ú= - 8b + 2c - 20; - 8a + c - 6; - 2a - b + véc-tơ pháp tuyến mặt ë û phẳng (A B M ) uuuur uur Vì mp (A B M ) vng góc với mp (P ) nên n A BM n P = Þ 2a + 5b + c - 11 = ( ) ( ( ) ( ) ) Mặt khác A , B không thuộc (P ) nằm phía mp (P ) ( ) Ta có A B = 69 Gọi I trung điểm A B , ta có I - 2;5; - 10 Vì M I trung tuyến tam giác A MB Þ MI = MA + MB A B = 54 ìï ìï a = ïï 2a - b + c + = ïï ïï Û ïí b = Khi ta có hệ phương trình í 2a + 5b + c - 11 = ïï ïï ïï (a + 2)2 + (b - 5)2 + (c + 10)2 = 54 ïï c = - ỵ ïỵ Vậy S = a + b + c = + - = - Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x + y + z - = hai điểm A (m ;1; 0), B (1; - m ;2) Gọi E , F hình chiếu A , B lên mặt phẳng (P ) S tập tất giá trị m để EF = A - B Tổng tất phần tử S C Lời giải Chọn B Gọi D đường thẳng qua A (m ;1; 0) vng góc với (P ) ìï x ïï Khi phương trình D ïí y ïï ïï z ỵ Gọi D đường thẳng qua B (1; - = m + 2t = 1+ t = t m ;2) vng góc với (P ) ìï x = + 2t ïï Khi phương trình tham số D ïí y = - m + t ïï ïï z = + t ỵ Gọi E , F hình chiếu A , B lên mặt phẳng (P ) D - ìï x = m + 2t ïï ïï y = + t Khi đó, tọa độ điêm E nghiệm hệ ïí Û ïï z = t ïï ïïỵ 2x + y + z - = ìï ïï t = - m ; x = + m ï 3 3 í ïï 1 ïï y = - m ; z = - m 3 3 ïỵ ỉ2 m m m ÷ ÷ Tương t F m ;1; ; ị E ỗỗỗ + ; ÷ è3 3 3 ÷ ø ( ) 2 1 m - 1) + (m - 1) + (m - 1) = ( 9 é êm = 17 15 15 ê Û (m - 1) = Û m- 1= Û ê 2 êm = - 13 ê 2 ë Vậy m + m = Theo giả thiết EF = Û Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (a ) : x - z - = điểm M (1;1;1) Gọi A điểm thuộc tia Oz , Gọi B hình chiếu A lên (a ) Biết tam giác MA B cân M Diện tích tam giác MA B A B 3 C 123 D 3 Lời giải Chọn B Gọi A (0; 0; a ) Đường thẳng A B qua A vng góc với (a )có phương trình ìï x = t ïï ïy = í ïï ïï z = a - t ỵ ìï x ïï ïï y B hình chiếu A lên (a )nên tọa độ B thỏa mãn hệ ïí ïï z ïï ïïỵ x ỉa + a - ữ ữ B ỗỗỗ ; 0; ữ ữ ø è Tam giác MA B cân M nên = t = = a- t - z- 3= suy éa = 5ư ÷ ê ÷ MA = MB Û + + (1 - a ) Û ÷ êa = - ÷ ø êë Nếu a = tọa độ A (0; 0; 3), B (3; 0; 0) Diện tích tam giác MA B 2 ỉa + 1ư ữ ữ = ỗỗỗ + 1+ ữ ữ ố ứ ổa ỗỗ ốỗ 2 ộuuur uuur ự 3 S = êMA, MB ú = û 12 ë Nếu a = - tọa độ A (0; 0; - 3)và B (0; 0; - 3) trùng nhau, loại Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x + y - z + = hai điểm A (3;4;1); B (7; - 4; - 3) Điểm M (a;b;c )(a > 2) thuộc (P ) cho tam giác A BM vuông M có diện tích nhỏ Khi giá trị biểu thức T = a + b + c bằng: A T = B T = C T = D T = Lời giải Chọn D Ta có: S A BM = A B MH với H hình chiếu vng góc M lên AB Do A B không đổi nên S ABM nhỏ MH nhỏ uuur ìï ïï A B = (4; - 8; - 4) uuur uur Þ A B n P = Þ A B / / (P ) í uur ïï n = (1;1; - 1) ïỵ P MH nhỏ M nằm giao tuyến mặt phẳng (Q ) (P ) ; với (Q ) mặt phẳng chứa A B vng góc với mp (P ) uuur ìï ïï A B = (4; - 8; - 4) uur Þ nQ = (3; 0; 3) Þ phương trình mp (Q )là x + z - = í uur ïï n = (1;1; - 1) ïỵ P M nằm giao tuyến mặt phẳng (Q ) (P ) nên tọa độ M nghiệm hệ ìï x = t ïï ï í y = - 2t Þ M (t ;2 - 2t ; - t ) với t > ïï ïï z = - t ỵ uuuur uuur Ta có A M = (t - 3; - - 2t ;3 - t ); BM = (t - 7;6 - 2t ;7 - t ) ìï x + z - = Þ phương trình ïí ïï x + y - z + = ỵ Tam giác A BM vng M nên uuuur uuur A M BM = Û (t - 3)(t - ) + (- - 2t )(6 - 2t ) + (3 - t )(7 - t ) = ét = (n ) ê Û (t - 3)(t - ) + (t - 3)(t + 1) = Û (t - 3)(3t - 5) = Û ê êt = (l ) êë + t = Þ M (3; - 4;1) Þ a + b + c = - + = Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 3x - 3y - 2z - 15 = ba điểm A (1; 4;5) , B (0; 3;1) , C (2; - 1; 0) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) cho MA + MB + MC có giá trị nhỏ A M (- 4; - 1; 0) B M (4; - 1; 0) C M (0; - 1; - 6) D M (1; - 4; 0) Lời giải Chọn B uur uur uur r Gọi I a , b , c thỏa mãn IA + IB + IC = Þ I 1;2;2 ( ) ( ) uuur uuur uuur Ta có MA + MB + MC = MA + MB + MC uuur uur uuur uur uuur uur = MI + IA + MI + IB + MI + IC uuur uur uur uur = 3MI + 2MI IA + IB + IC + IA + IB + IC ( ) ( ( ) ( ) ) = 3MI + IA + IB + IC Do I , A , B ,C cố định nên MA + MB + MC nhỏ M I nhỏ hay M hình chiếu I lên mặt phẳng (P ) Gọi d đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng (P ) x- y- z- = = - - Có M = d Ç (P ), tọa độ M nghiệm hệ phương trình Suy d : ìï x - y - z - ïï = = Þ M ; - 1; í 3 ïï 3x - 3y - 2z - 15 -= 20 ïïỵ ( ) Câu 7: Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x + 2y - z - 18 = hai ( ) ( ) ( ) điểm A 2;1;3 , B 4;5; Gọi điểm M a ;b ;c thuộc (P ) cho MA + MB nhỏ Khi giá trị a + 2b + 3c bằng: A 17 B 13 C - 15 D 21 Lời giải Chọn A uur uur r Gọi I điểm thõa mãn: IA + IB = Khi I trung điểm A B nên I 3;3;3 ( ) Ta có: MA + MB = IA + IB + 2IM Vì IA + IB không đổi nên MA + MB nhỏ IM nhỏ Û M hình chiếu I lên (P ) ( ) Khi đường thẳng IM qua I 3;3;3 vng góc với (P ) nên có phương ìï x = + 2t ïï trình: ïí y = + 2t ïï ïï z = - t ỵ Tọa độ giao điểm đường thẳng IM (P ) ứng với t nghiệm phương trình: (3 + 2t ) + (3 + 2t ) - (3 - t ) - 18 = Û t = ( ) Vậy M 5;5;2 nên a + 2b + 3c = 21 Dạng Tìm điểm M Ỵ d thỏa mãn ĐK cho trước ìï x = - + t ïï Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng D : ïí y = - t ïï ïï z = - + 2t ỵ ( ) ( ) hai điểm A x ; y ; z , B 3; - 1;4 Biết x + 2z = y x 02 + y 02 + z 02 = Điểm ( M x M ;yM ; zM ) thuộc đường thẳng D tổng x M + y M + z M cho tam giác MA B có chu vi bé Khi A B C D Lời giải Chọn D r Ta có D qua E - 1;1; - có vectơ phương u = 1; - 1;2 ( ) ( r uuur é ù u uuur r uuur ê , BE ú é ù BE = - 4;2; - Þ êu, BE ú= 2; - 2; - Þ d B ; D = ë r û = ë û u ( ) ( ( ) ) ) x + 2z = y Û x - y + 2z = ị A ẻ (P ) : x - y + 2z = mặt phẳng vng góc với D Tọa độ giao điểm H đường thẳng D mặt phẳng (P ) thỏa mãn hệ: ìï x ïï ïï y ïí ïï z ïï ïïỵ x = - 1+ t = 1- t ìï x = ïï Þ ïí y = Þ H º O 0; 0; ïï = - + 2t ïz = - y + 2z = îï ( ) ( ) x 02 + y 02 + z 02 = Û A O = Û d A; D = (C ) có tâm O có bán kính ( ) = d B ; D Tức A thuộc đường tròn nằm mặt phẳng (P ) Do với điểm M Ỵ D với A Î (C ) giá trị độ dài A M không đổi uuur r Chọn A 1;1; , A B = 2; - 2; = 2u nên A B / / D Þ A B , D đồng phẳng ( ) ( ) Xét mặt phẳng chứa A B D : ( ) Gọi A ' điểm đối xứng A qua D Khi O 0; 0; trung điểm A A ' nên ( ) A ' - 1; - 1;0 Chu vi tam giác MA B bé MA + MB bé Ta có MA + MB = MA '+ MB ³ A ' B Do MA + MB bé M trùng với M giao điểm A ' B với D ìï x = - - t ' ïï Đường thẳng A ' B qua A ' - 1; - 1;0 , có phương trình: ïí y = - ïï ïï z = t ' ỵ ìï x = - + t = - - t ' ïï Þ t = Þ M 1; - 1;2 Giải hệ phương trình: ïí y = - t = - ïï ïï z = - + 2t = t ' ỵ ( ) ( ( ) ) Vậy chu vi tam giác A BC bé M 1; - 1;2 Do x M + y M + z M = Dạng Tìm tập hợp điểm thỏa mãn ĐK cho trước ( ) ( ) Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B - 1;2; , ( ) C 2; - 3;2 Tập hợp tất điểm M cách ba điểm A , B , C đường thẳng d Phương trình tham số đường thẳng d là: ìï x = - + 3t ìï x = - - 3t ìï x = - + 3t ïï ïï ïï ï ï A í y = t B í y = t C ïí y = - t D ïï ïï ïï ïï z = - 15 - 7t ïï z = 15 + 7t ïï z = 15 - 7t î î î ìï x = - + 3t ïï ïy = t í ïï ïï z = 15 + 7t ỵ Lời giải Chọn A uuur uuur Ta có A B = - 2;1; - ; BC = 3; - 5;2 uuur uuur Ta thấy A B BC không phương nên ba điểm A , B , C không thẳng hàng M cách hai điểm A , B nên điểm M nằm mặt trung trực A B M cách hai điểm B , C nên điểm M nằm mặt trung trực BC Do tập hợp tất điểm M cách ba điểm A , B , C giao tuyến hai mặt trung trực A B BC ( ) ( ) Gọi (P ) , (Q ) mặt phẳng trung trực A B BC ỉ1 ỉ 1ư ÷ ữ l trung im A B ; N ỗỗỗ ; - ;1ữ K ỗỗỗ0; ; ữ ữ ữ l trung điểm BC ÷ è2 ÷ è 2ø ø uuur (P ) qua K nhận A B = - 2;1; - làm véctơ pháp tuyến nên ( ỉ ) 3ư ÷ ÷ ÷ ÷ 2ø ổ 1ử ỗỗz - ữ ữ = hay (P ) : 2x - y + z + = ữ ữ 2ứ ố ốỗ uuur (Q ) qua N nhận BC = 3; - 5;2 làm véctơ pháp tuyến nên (P ) : - 2x + ỗỗỗy - ( ổ (Q ) : ỗỗỗx è ) ỉ 1ư 1ư ÷ ÷ ÷ - çççy + ÷ + (z - 1) = hay (Q ) : 3x - 5y + 2z - = ÷ ÷ ÷ è ÷ 2ø 2ø ìï 2x - y + z + = Ta có d : ïí ïï 3x - 5y + 2z - = ỵ r Nên d có véctơ phương u = uuur uuur é ù A ê B , BC ú= - 3;1;7 ë û ( ) ( ) Cho y = ta tìm x = - , z = 15 nên - 8;0;15 Ỵ d ìï x = - - 3t ïï Vậy ïí y = t ïï ïï z = 15 + 7t ỵ Bài toán xác định đường thẳng Dạng Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (P ) , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x + 2y + z - = x+1 y z+2 = = Phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (P ) , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d có dạng đường thẳng d : x- = x- = C A x- y- z- y- z- = = = B - 1 - - y+1 z- x+1 y+ z- = = = D - - Lời giải Chọn A r Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P ) n (P ) = 1;2;1 ( ) r Vectơ phương đường thẳng d ud = 2;1;3 ( ) ìï x = - + 2t ïï Phương trình tham số đường thẳng d : ïí y = t ïï ïï z = - + 3t ỵ Xét phương trình: - + 2t + 2t - + 3t - = Û 7t - = Û t = Suy giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P ) A 1;1;1 Ta có A Ỵ ( ) 3) r r ù ér Vectơ phương đường thẳng u = ên (P ) , ud ú= 5; - 1; ë û x- y- z- = = Phương trình tắc đường thẳng : - - Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y − z − = ( x = 1− t đường thẳng d : y = + 2t ; t z = + t Lập phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng ( P ) đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d x = + t A y = −t z = − 3t x = + t C y = −t z = + 3t x = + t B y = −t z = + 3t x = + 2t D y = −t z = + 3t Lời giải Chọn B Mặt phẳng ( P ) có vecto pháp tuyến n = ( 2; − 1; − 1) Đường thẳng d có vecto phương u = ( −1; 2;1) Đường thẳng nằm mặt phẳng ( P ) đồng thời vng góc với đường thẳng d nên có vecto phương u = n, u = (1; − 1; 3) Gọi M = d ( P ) , tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: x = 1− t t = −1 y = + 2t x = M ( 2; 0; ) z = + t y = 2 x − y − z − = z = Đường thẳng qua M có vecto phương u = (1; − 1; 3) có phương trình tham số là: - + + = Û t = 2(T M ) t t t T H2:a = b = - c = t Þ + + = Û t = 6(T M ) t t t - TH : a = - b = c Þ + = Û t = - 4(L) t t t - TH : a = - b = - c Þ - = Û = 1(L) t t t T H1:a = b = c = t Þ - - + + = Û = 1(L) t t t - T H6: - a = b = - c = t Þ + + = Û t = 4(T M ) t t t - - TH : - a = - b = c Þ + = Û t = - 6(L) t t t - TH : - a = - b = - c Þ - - = Û t = - 2( L) t t t T H5: - a = b = c = t Þ Vậy có mặt phẳng thỏa yêu cầu tốn Câu 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (2; - 1; 4) Số mặt phẳng (a ) qua điểm M cắt trục Ox , Oy , Oz A , B , C cho OA = OB = OC ( A , B , C không trùng với gốc tọa độ O ) A B C D Lời giải Tác giả: Trần Đức Phương Facebook: Trần Đức Phương Chọn A Gọi A (a ; 0; 0) , B (0;b; 0), C (0; 0; c ) với abc ¹ Phương trình mặt phẳng (a ) : x y z + + = Khi M Ỵ (a ) Û - + = a b c a b c Ta có OA = a , OB = b , OC = c ìï b = a ìï OA = OB ìï b = ± a ï ï ï Û Û Do í í í ïï OA = OC ïï c = a ïï c = ± a ỵ ỵ ïỵ (2) (1) Từ (1) (2 ) ta tìm (a ;b; c ) Vậy có mặt phẳng thỏa mãn toán Dạng 20 Đếm số mặt phẳng cách bốn điểm cho trước Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (0; 0; - 6), B (0;1; - ) , C (1;2; - 5) D (4; 3; 8) Hỏi có tất mặt phẳng cách bốn điểm đó? A Có vơ số mặt phẳng phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt Lời giải Chọn C uuur uuur uuur é ù Ta có êA B , A C ú.A D ¹ , suy bốn điểm A , B , C , D không đồng phẳng ë û Gọi (P ) mặt phẳng cách bốn điểm A , B , C , D TH1: Có điểm nằm khác phía với ba điểm cịn lại so với (P ) Có bốn mặt phẳng thỏa mãn TH2: Mỗi phía mặt phẳng (P ) có hai điểm Có ba mặt phẳng thỏa mãn Vậy có bảy mặt phẳng thỏa mãn Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1; −2; ) , B ( 0; −1;1) , C ( 2;1; −1) D ( 3;1; ) Hỏi có mặt phẳng cách bốn điểm đó? A C B D vô số Lời giải Chọn C Ta có: AB = ( −1;1;1) ; AC = (1; 3; −1) ; AD = ( 2; 3; ) Suy ra: AB, AC = ( −4; 0; −4 ) AB, AC AD = −24 điểm A, B, C, D không đồng phẳng Khi đó, mặt phẳng cách điểm A, B, C, D có hai loại: Loại 1: Có điểm nằm khác phía với điểm cịn lại Mặt phẳng qua trung điểm cạnh chung đỉnh có mặt phẳng thỏa mãn ycbt A A A A D B B D B C C D B D C C Loại 2: Có điểm nằm khác phía với điểm lại mặt phẳng qua trung điểm cạnh thuộc hai cặp cạnh chéo có mặt phẳng thỏa ycbt A A A D B D B C C D B C Vậy có tất mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (1; 2; ) , B ( 2;1; ) , C ( −1;5;1) , D ( 3;1;1) E ( 0; −1;2) Có mặt phẳng cách năm điểm cho? A Vô số B C D Lời giải Chọn D uuur Ta có: AB = (1; −1;0 ) , CD = ( 4; −4;0 ) , AD = ( 2; −1; −1) , BC = ( −3; 4; −1) , AC = (- 2;3; - 1) Nhận thấy CD = AB AD BC bốn điểm A, B, C , D tạo thành hình thang hai đáy AB CD Oxyz uuur uuur é ù Mặt khác, êA B , A C ú= (1;1;1) nên (A BC ) : x + y + z - = ë û Suy E Ï (A BC ) Vậy điểm A, B ,C , D, E tạo thành hình chóp có đỉnh E Gọi M , N ; P ,Q ; R , S trung điểm A C , BD ; EB , EA ; EC , ED Ta dễ chứng minh mặt phẳng (MNQP ), (MNSR ) , (PQR S ) mặt phẳng thỏa mãn u cầu tốn Vậy có mặt phẳng cách điểm cho Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( −2;2;6) , B ( −3;1;8) , C ( −1;0;7 ) D (1;2; −6) Hỏi có tất mặt phẳng cách bốn điểm đó? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D Có vơ số mặt phẳng Lời giải Chọn C AB ( −1; −1; ) AC (1; −2;1) AD ( 3;0; −12 ) AB, AC = ( 3;3;3) Ta có AB, AC AD = 3.3 + 3.0 + ( −12 ) = −27 , suy bốn điểm A , B , C , D không đồng phẳng Gọi ( ) mặt phẳng cách bốn điểm A , B , C , D Gọi M , N , P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, CD, BD, AC , BC , AD A M S Q P D B R N C TH1: ( ) qua trung điểm cạnh xuất phát từ đỉnh tứ diện ABCD Có mặt phẳng vậy: ( MQS ) , ( MRP ) , ( RQN ) , ( NPS ) TH2: ( ) chứa đường trung bình (song song với nhau) mặt tứ diện ABCD Có mặt phẳng vậy: ( MQNP ) , ( MSNR ) , ( RQSP ) Vậy có bảy mặt phẳng thỏa mãn Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A (1; - 2; 0) , B (0; - 1;1) C (2;1; - 1) , D (3;1; 4) Hỏi có tất mặt phẳng cách bốn điểm đó? A B C D Vô số Lời giải Chọn C uuur uuur uuur uuur uuur é ù A B = (- 1;1;1), A C = (1; 3; - 1), A D = (2; 3; 4) Þ êA B , A C ú= (- 4; 0; - ) Þ ë û , suy bốn điểm A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện uuur uuur uuur é ù êA B , A C úA D ¹ ë û Xét mp(P) hai điểm M, N không nằm (P), ta có: (P) cách hai điểm M, N (P) song song với MN (P) qua trung điểm đoạn MN Vậy có mặt phẳng cách điểm A, B, C, D, có + mặt phẳng mà mặt phẳng qua trung điểm ba cạnh chung đỉnh + mặt phẳng mà mặt phẳng song song với hai cạnh đối diện qua trung điểm bốn cạnh lại Dạng 21 Các dạng khác Câu: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : y - = Có đường thẳng d song song với ba mặt phẳng (xOy ) , (zOx ), (P ) đồng thời cách mặt phẳng A Chọn B B C D Vì (P )/ / (xOz ) nên đường thẳng d nằm mặt phẳng cách mặt phẳng (P ); (xOz ) Do d thuộc mặt phẳng (Q ) : y - = Mà mặt phẳng (xOy ) vng góc với hai mặt phẳng (P ); (xOz ) Do có đường thẳng d thỏa mãn đề Một số dạng toán khai thác từ tốn hình học phẳng ỉ8 ÷ Câu 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1;2; - 2) v B ỗỗ ; ; ữ ữ ỗố3 3 ÷ ø Biết I (a ;b; c ) tâm đường tròn nội tiếp tam giác OA B Giá trị a - b + c A B C D Lời giải Chọn D Ta có I (a ;b; c ); OA = ; OB = ; A B = uur uur uur r Sử dụng kết quả: BO.IA + OA.IB + A B IO = ìï æ ö ïï (1 - x ) + çç8 - x ÷ ÷ + (- x ) = ữ ỗố ùù ữ ứ ỡù x = ùù ùù ổ ùù ữ ỗ ÷ Û í (2 - y ) + çç - y ÷+ (- y ) = Û ïí y = Þ I (1;1; 0) ÷ ïï ïï è3 ø ïï ïï z = ỉ ỵ ïï - - z + ỗ8 - z ữ ) ỗỗ3 ữữữ+ (- z ) = ïï ( è ø ïỵ Vậy a - b + c = - + = Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC cân A Gọi 5 1 G ; ; trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng ( P ) x + y + z − = qua cạnh 3 3 BC vng góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC Phương trình đường thẳng x = + t qua BG có dạng y = − t Tìm tọa độ điểm C z = − 4t −3 50 −7 A C ; ; B C ; ;5 C C 3; ; D 3 16 C ;3; −1 Lời giải Chọn D Ta có B giao điểm đường thẳng BG mặt phẳng ( P ) 5 4 1 13 + t + − t + − 4t − = t = −1 B ; ; 3 3 3 3 3 Gọi M trung điểm BC , ta có GM vng góc với đường thẳng BC x = + t vng góc với mặt phẳng ( P ) Vậy phương trình đường thẳng GM y = + t z = + t Ta có điểm M giao điểm GM với mặt phẳng ( P ) Vậy ta có tọa độ điểm M 5 4 1 5 + t + + t + + t − = t = M 3; ; 3 3 3 3 16 Mà M lại trung điểm BC ta có tọa độ C C ;3; −1 ( ) Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác A BC với A 2; 3; đường x- y- z- = = , phương trình đường phân giác - - x- y- z- góc C = = Đường thẳng A B có véctơ phương là: - - ur uur uur A u1 = (0;1; - 1) B u = (2;1; - 1) C u = (1;2;1) D uur u = (1; - 1;0) trung tuyến kẻ từ đỉnh B Lời giải Chọn A Gọi M (3 - t ;3 + 2t ;2 - t ) trung điểm cạnh A C , C (4 - 2t ;3 + 4t ;1 - 2t ) Mặt khác C thuộc đường phân giác góc C D nên (4 - 2t ) - (3 + 4t ) - (1 - 2t ) - = = Û t = Þ C (4; 3;1) - - Gọi A ¢đối xứng với A qua phân giác gúc C ị A ' ẻ CB Mt phẳng (a ) qua A vng góc với đường phân giác góc C : (a ) : 2(x - 2) - (y - 3) - (z - 3) = ( ) Gọi H = (a ) Ç D Þ H 2;4;2 Mặt khác: H trung điểm A A ¢ nên A ¢ 2;5;1 ( Phương trình đường thẳng BC qua A ¢,C là: ) ìï x ïï ïy í ïï ïï z ỵ Þ = + 2t = - 2t = uuur BC ầ BM = B 2;5;1 ị A B = 0;2; - ( ) ( ) Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC vuông A , x −4 y −5 z +7 = = , Đường ABC = 30, BC = Đường thẳng BC có phương trình 1 −4 thẳng AB nằm mặt phẳng ( a ) : x + z − = Điểm C có cao độ âm Tìm hồnh độ điểm A A B C D Lời giải Chọn C Ta có B = BC ( a ) B ( 2;3;1) C BC C ( t + 4; t + 5; −4t − ) BC = BC = 18 ( t + ) (t + 2) + (t + 2) + ( −4t − 8) 2 2 t = −1 C ( 3; 4; −3) Mà BC = 18 ( t + ) = 18 t = −3 C (1; 2;5 )( L ) Lại có ( BC; ( a ) ) = ABC = 30 nên ta có A hình chiếu C lên ( a ) mà ta có x = + t phương trình đường thẳng AC y = z = −3 + t −3 9 A ; 4; 2 2 Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC vuông A Gọi H ( 5;5;2 ) hình chiếu điểm A lên cạnh BC Mặt phẳng ( P ) x + y + z − = qua Vậy tọa độ điểm A + t − + t − = t = đường phân giác AJ góc A tam giác ABC vng góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC Điểm K ( −2; −1;0) thuộc đường trung tuyến AM Tìm tọa độ điểm A 50 29 −64 A A ; ; 50 29 −64 A ; ; 3 50 29 −64 B A ; ; 2 Lời giải Chọn D 50 29 −64 C A ; ; D Do tam giác ABC vuông A AM đường trung tuyến nên ta có MA = MC = MB MCA = MAC = BAH mà AJ phân giác nên dễ dàng có HAJ = MAJ Hay AJ phân giác tam giác HAM Vậy ta có điểm đối xứng H qua AJ thuộc AM Gọi E ( x; y; z ) điểm đối xứng với H qua AJ ta có tọa độ điểm E cách giải hệ: x= x −5 y −5 z −2 = = 1 1 −8 y = E ; ; 3 3 x+5 + y +5 + z + −5 = −8 2 z = x = − + t Phương trình đường thẳng AM qua K E nên có dạng y = −1 + t −8 z = t Ta có A giao điểm mặt phẳng ( P ) đường thẳng AM Vậy 50 29 −64 −2 + t + −1 + t − t − = t = A ; ; 3 ( ) ( ) Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho hình vng A BCD có A 8; 0; , C 0; - 4; - ( )( ) D a ;b ;c a ;b ;c ẻ  thuc mt phng (Oyz ) Giỏ tr a + b + c bằng: A B C - Lời giải D - Chọn A Ta có A BCD hình vng nên D thuộc mặt cầu đường kính A C có tâm I (4; - 2; - 1) , 2 bán kính R = có phương trình (x - 4) + (y + 2) + (z + 1) = 36 Có DA = DC Þ D thuộc mặt phẳng trung trực A C Þ D Î (a ) : 2x + y + 2z - = Lại có D Ỵ (Oyz ) : x = Do tọa độ D nghiệm hệ phương trình ìï x = ìï x = ïï ïï 2 ïï ï í (x - 4) + (y + 2) + (z + 1) = 36 Û í y = - 2z ïï ïï ïï 2x + y + 2z - = ïï 5z - 22z + 17 = ỵ ïỵ ìï ïï ïï ïï ïï x = ìï ü ỉ 14 17 ïï ÷ Û ïí y = - 2z Û (x ; y ; z ) ẻ ớù (0;2;1), ỗỗỗ0; ; ữ ý ữ ùù ùù 5ữ ố ứùùỵ ợ ùù ộz = ïï êê ïï êz = 17 ïï êë ỵ mà D có tọa độ ngun nên D (0;2;1) Þ a = 0, b = 2, c = Þ a + b + c = Câu 7: Trong không gian Oxyz cho tam giác A BC vuông cân A với B (2; 0; 4) C (0;6; 0) Biết điểm A (a;b; c ) với c > A thuộc mặt phẳng (P ) : y - = Tính giá trị biểu thức T = A c - 2a b B 14 C 14 Lời giải Chọn B + A Ỵ (P ) Þ b = D + 14 ìï A B = A C A BC + Tam giác vng cân A Þ ïí ïï 2A B = BC ïỵ + Ta có hệ phương trình ìï ìï + 14 ïï ïï b = ïï c = ïï ïí (a - 2)2 + b2 + (c - 4)2 = a + (b - 6)2 + c Û ïïí b = ïï ïï ïï éa - 2 + b2 + c - ù= 56 ïï - 14 ) ( ) úúû ïï êêë( ïï a = ỵ ïỵ Do T = c - 2a = b (c > 0) 14 Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng ìï x = t ïï D : ïí y = - + 2t ïï ïï z = - t ỵ ìï x = - t ïï D : ïí y = - - t (t , t Ỵ ¡ ).Gọi A giao điểm hai đường thẳng D D , ïï ïï z = + 2t ợ B ẻ D 1,C ẻ D điểm D thuộc mặt phẳng Oyz cho tứ giác A BDC hình thoi Khi điểm B cótọa độ B (a ;b; c ) Giá trị a + b + c bằng: A - B - C - D Lời giải Chọn D · C Ta có A BDC hình thoi nên A D đường phân giác BA r r D Ç D = A 1; 0; VTCP D 1, D a = 1;2; - b = - 1; - 1;2 ( ) ( ) ( ) · + Trường hợp 1: BA C £ 900 rr Vì a.b = - < nên góc hai vectơ góc tù đường phân giác góc nhọn r r r · C BA có VTCP u = a - b = 2; 3; - ( ) Vậy phương trình đường phân giác AD cần tìm: x- y z = = - ỉ 3ư ÷ D = A D ầ Oyz ị D ỗỗỗ0; - ; ữ ữ 2÷ è ø ỉ1 3 ÷ Gọi I l trung im ca A D ị I ỗỗ ; - ; ữ ữ ữ ỗố2 4 ứ Ta có B Ỵ D , gọi B (t ; - + 2t ;1 - t ) uur ỉ uuur ỉ 3ư ÷ ữ IB = ỗỗỗt - ;2t - ; - t + ữ , A D = ỗỗỗ- 1; - ; ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 4ø 2ø è è uur uuur 15 3 Tứ giác A BDC hình thoi nên IB A D = Û - t + - 3t + - t+ = 0Û t = 8 ổ1 1ử 1 ữ ị a = ;b = - 1;c = Þ a + b + c = Suy B ỗỗỗ ; - 1; ữ ÷ ÷ 2ø 2 è2 · C > 900 + Trường hợp 2: BA r r r · C Do đường phân giác góc BA có VTCP u = a + b = (0;1;1) ìï x = ïï Vậy phương trình đường phân giác AD là: ïí y = t (khơng thỏa mãn A D khơng cắt ïï ïï z = t ỵ Oyz ) ( ) Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm B 2; - 1; - , ( ) C - 6; - 1; Trong tam giác A BC thỏa mãn đường trung tuyến kẻ từ B C vuông góc với nhau, điểm A (a ;b; 0) , b > cho góc A lớn Tính giá trị A 10 B - 20 C 15 Lời giải Chọn C D - a+b cos A 31 A M N P C B Gọi M , N trung điểm cạnh A C , A B Gọi P = BM Ç CN , ta có BM ^ CN nên BC = BP + CP Theo cơng thức tính đường trung tuyến, ta có ( ( ) ) 2 2 2 2 æ2 ö æ2 ö BA + BC - A C CA + CB - A B ữ ữ ỗ ỗ BP = ỗỗ BM ữ = = , CP = ỗỗ CN ữ ÷ ÷ ÷ ÷ 9 è3 ø è3 ø A B + A C + 4BC Þ A B + A C = 5BC Góc A lớn Û cosA nhỏ Þ BC = ( ) ( ) AB2 + AC - AB2 + AC A B + A C - BC Ta có cos A = = 2A B A C 10A B A C 2 AB + AC 2A B A C = ³ = , dấu " = " xảy Û AB = AC A B A C A B A C ) ( ( ) Ta có A (a ;b; 0) , b > B 2; - 1; - , C - 6; - 1; 2 ìï uuur ïï A B = (2 - a; - - b; - 3) Þ A B = (2 - a ) + (b + 1) + Þ í uuur ïï A C = - - a; - - b; Þ A C = a + + b + + ( ) ( ) ( ) ùợ 2 2 ị (2 - a ) + (b + 1) + = (a + 6) + (b + 1) + Þ - 4a = 12a + 36 Þ a = - uuur Ta có BC = (- 8; 0;6) Þ BC = 82 + 62 = 100 Khi từ AB + AC = 5BC A B = A C 2 é ù Þ ê(2 - a ) + (b + 1) + 9ú= 5.100 Þ 42 + (b + 1) + = 250 êë ú û Kết hợp với b > ta b = 14 thỏa mãn Như a + b - + 14 = = 15 cos A