Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TOÀN TỔNG HỢP VỀ ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG Tài liệu được biên soạn từ các thầy (cô) trong nhóm toán VD VDC và các admin lovebook 1 Bài toán xác định điểm Dạng 1 Tìm điểm ( )M PÎ thỏa mãn ĐK cho.
BÀI TOÀN TỔNG HỢP VỀ ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG Tài liệu biên soạn từ thầy (cô) nhóm tốn VD- VDC admin lovebook Bài tốn xác định điểm Dạng Tìm điểm M Ỵ (P ) thỏa mãn ĐK cho trước Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (2; 0;1) , B (1; 0; 0) , C (1;1;1) mặt phẳng (P ) : x + y + z - = Điểm M (a ;b; c ) nằm mặt phẳng (P ) thỏa mãn MA = MB = MC Giá trị a + 2b + 3c A B C Lời giải Chọn D ìï a + b + c - = ìï M Ỵ (P ) ïï ïï 2 ï Ta có : ïí BM = A M nên ïí (a - 1) + b2 + c = (a - 2) + b2 + (c - 1) ïï ïï ïï (a - 1)2 + b2 + c = (a - 1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2 ïï BM = CM ỵ ïỵ ìï a + b + c = ìï a = ïï ïï ï Û í 2a + 2c = Û ïí b = T = a + 2b + 3c = ïï ïï ïï 2b + 2c = ïï c = ỵ ỵ ( D ) ( ) Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A - 1;3; - , B - 3;7; - 18 ( ) mặt phẳng (P ) : 2x - y + z + = Điểm M a, b, c thuộc (P ) cho mặt phẳng (A B M ) vng góc với (P ) MA + MB = 246 Tính S = a + b + c A B - C 10 D 13 Lời giải Chọn D uuuur uuur Gọi M a;b;c Î (P ) Ta có A B = - 2; 4; - 16 , A M = a + 1;b - 3;c + uuuur uuur é ù Þ êA M , A B ú= - 8b + 2c - 20; - 8a + c - 6; - 2a - b + véc-tơ pháp tuyến mặt ë û phẳng (A B M ) uuuur uur Vì mp (A B M ) vng góc với mp (P ) nên n A BM n P = Þ 2a + 5b + c - 11 = ( ) ( ( ) ( ) ) Mặt khác A , B không thuộc (P ) nằm phía mp (P ) ( ) Ta có A B = 69 Gọi I trung điểm A B , ta có I - 2;5; - 10 Vì M I trung tuyến tam giác A MB Þ MI = MA + MB A B = 54 ìï ìï a = ïï 2a - b + c + = ïï ïï Û ïí b = Khi ta có hệ phương trình í 2a + 5b + c - 11 = ïï ïï ïï (a + 2)2 + (b - 5)2 + (c + 10)2 = 54 ïï c = - ỵ ïỵ Vậy S = a + b + c = + - = - Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x + y + z - = hai điểm A (m ;1; 0), B (1; - m ;2) Gọi E , F hình chiếu A , B lên mặt phẳng (P ) S tập tất giá trị m để EF = A - B Tổng tất phần tử S C Lời giải Chọn B Gọi D đường thẳng qua A (m ;1; 0) vng góc với (P ) ìï x ïï Khi phương trình D ïí y ïï ïï z ỵ Gọi D đường thẳng qua B (1; - = m + 2t = 1+ t = t m ;2) vng góc với (P ) ìï x = + 2t ïï Khi phương trình tham số D ïí y = - m + t ïï ïï z = + t ỵ Gọi E , F hình chiếu A , B lên mặt phẳng (P ) D - ìï x = m + 2t ïï ïï y = + t Khi đó, tọa độ điêm E nghiệm hệ ïí Û ïï z = t ïï ïïỵ 2x + y + z - = ìï ïï t = - m ; x = + m ï 3 3 í ïï 1 ïï y = - m ; z = - m 3 3 ïỵ ỉ2 m m m ÷ ÷ Tương t F m ;1; ; ị E ỗỗỗ + ; ÷ è3 3 3 ÷ ø ( ) 2 1 m - 1) + (m - 1) + (m - 1) = ( 9 é êm = 17 15 15 ê Û (m - 1) = Û m- 1= Û ê 2 êm = - 13 ê 2 ë Vậy m + m = Theo giả thiết EF = Û Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (a ) : x - z - = điểm M (1;1;1) Gọi A điểm thuộc tia Oz , Gọi B hình chiếu A lên (a ) Biết tam giác MA B cân M Diện tích tam giác MA B A B 3 C 123 D 3 Lời giải Chọn B Gọi A (0; 0; a ) Đường thẳng A B qua A vng góc với (a )có phương trình ìï x = t ïï ïy = í ïï ïï z = a - t ỵ ìï x ïï ïï y B hình chiếu A lên (a )nên tọa độ B thỏa mãn hệ ïí ïï z ïï ïïỵ x ỉa + a - ữ ữ B ỗỗỗ ; 0; ữ ữ ø è Tam giác MA B cân M nên = t = = a- t - z- 3= suy éa = 5ư ÷ ê ÷ MA = MB Û + + (1 - a ) Û ÷ êa = - ÷ ø êë Nếu a = tọa độ A (0; 0; 3), B (3; 0; 0) Diện tích tam giác MA B 2 ỉa + 1ư ữ ữ = ỗỗỗ + 1+ ữ ữ ố ứ ổa ỗỗ ốỗ 2 ộuuur uuur ự 3 S = êMA, MB ú = û 12 ë Nếu a = - tọa độ A (0; 0; - 3)và B (0; 0; - 3) trùng nhau, loại Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x + y - z + = hai điểm A (3;4;1); B (7; - 4; - 3) Điểm M (a;b;c )(a > 2) thuộc (P ) cho tam giác A BM vuông M có diện tích nhỏ Khi giá trị biểu thức T = a + b + c bằng: A T = B T = C T = D T = Lời giải Chọn D Ta có: S A BM = A B MH với H hình chiếu vng góc M lên AB Do A B không đổi nên S ABM nhỏ MH nhỏ uuur ìï ïï A B = (4; - 8; - 4) uuur uur Þ A B n P = Þ A B / / (P ) í uur ïï n = (1;1; - 1) ïỵ P MH nhỏ M nằm giao tuyến mặt phẳng (Q ) (P ) ; với (Q ) mặt phẳng chứa A B vng góc với mp (P ) uuur ìï ïï A B = (4; - 8; - 4) uur Þ nQ = (3; 0; 3) Þ phương trình mp (Q )là x + z - = í uur ïï n = (1;1; - 1) ïỵ P M nằm giao tuyến mặt phẳng (Q ) (P ) nên tọa độ M nghiệm hệ ìï x = t ïï ï í y = - 2t Þ M (t ;2 - 2t ; - t ) với t > ïï ïï z = - t ỵ uuuur uuur Ta có A M = (t - 3; - - 2t ;3 - t ); BM = (t - 7;6 - 2t ;7 - t ) ìï x + z - = Þ phương trình ïí ïï x + y - z + = ỵ Tam giác A BM vng M nên uuuur uuur A M BM = Û (t - 3)(t - ) + (- - 2t )(6 - 2t ) + (3 - t )(7 - t ) = ét = (n ) ê Û (t - 3)(t - ) + (t - 3)(t + 1) = Û (t - 3)(3t - 5) = Û ê êt = (l ) êë + t = Þ M (3; - 4;1) Þ a + b + c = - + = Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 3x - 3y - 2z - 15 = ba điểm A (1; 4;5) , B (0; 3;1) , C (2; - 1; 0) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) cho MA + MB + MC có giá trị nhỏ A M (- 4; - 1; 0) B M (4; - 1; 0) C M (0; - 1; - 6) D M (1; - 4; 0) Lời giải Chọn B uur uur uur r Gọi I a , b , c thỏa mãn IA + IB + IC = Þ I 1;2;2 ( ) ( ) uuur uuur uuur Ta có MA + MB + MC = MA + MB + MC uuur uur uuur uur uuur uur = MI + IA + MI + IB + MI + IC uuur uur uur uur = 3MI + 2MI IA + IB + IC + IA + IB + IC ( ) ( ( ) ( ) ) = 3MI + IA + IB + IC Do I , A , B ,C cố định nên MA + MB + MC nhỏ M I nhỏ hay M hình chiếu I lên mặt phẳng (P ) Gọi d đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng (P ) x- y- z- = = - - Có M = d Ç (P ), tọa độ M nghiệm hệ phương trình Suy d : ìï x - y - z - ïï = = Þ M ; - 1; í 3 ïï 3x - 3y - 2z - 15 -= 20 ïïỵ ( ) Câu 7: Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x + 2y - z - 18 = hai ( ) ( ) ( ) điểm A 2;1;3 , B 4;5; Gọi điểm M a ;b ;c thuộc (P ) cho MA + MB nhỏ Khi giá trị a + 2b + 3c bằng: A 17 B 13 C - 15 D 21 Lời giải Chọn A uur uur r Gọi I điểm thõa mãn: IA + IB = Khi I trung điểm A B nên I 3;3;3 ( ) Ta có: MA + MB = IA + IB + 2IM Vì IA + IB không đổi nên MA + MB nhỏ IM nhỏ Û M hình chiếu I lên (P ) ( ) Khi đường thẳng IM qua I 3;3;3 vng góc với (P ) nên có phương ìï x = + 2t ïï trình: ïí y = + 2t ïï ïï z = - t ỵ Tọa độ giao điểm đường thẳng IM (P ) ứng với t nghiệm phương trình: (3 + 2t ) + (3 + 2t ) - (3 - t ) - 18 = Û t = ( ) Vậy M 5;5;2 nên a + 2b + 3c = 21 Dạng Tìm điểm M Ỵ d thỏa mãn ĐK cho trước ìï x = - + t ïï Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng D : ïí y = - t ïï ïï z = - + 2t ỵ ( ) ( ) hai điểm A x ; y ; z , B 3; - 1;4 Biết x + 2z = y x 02 + y 02 + z 02 = Điểm ( M x M ;yM ; zM ) thuộc đường thẳng D tổng x M + y M + z M cho tam giác MA B có chu vi bé Khi A B C D Lời giải Chọn D r Ta có D qua E - 1;1; - có vectơ phương u = 1; - 1;2 ( ) ( r uuur é ù u uuur r uuur ê , BE ú é ù BE = - 4;2; - Þ êu, BE ú= 2; - 2; - Þ d B ; D = ë r û = ë û u ( ) ( ( ) ) ) x + 2z = y Û x - y + 2z = ị A ẻ (P ) : x - y + 2z = mặt phẳng vng góc với D Tọa độ giao điểm H đường thẳng D mặt phẳng (P ) thỏa mãn hệ: ìï x ïï ïï y ïí ïï z ïï ïïỵ x = - 1+ t = 1- t ìï x = ïï Þ ïí y = Þ H º O 0; 0; ïï = - + 2t ïz = - y + 2z = îï ( ) ( ) x 02 + y 02 + z 02 = Û A O = Û d A; D = (C ) có tâm O có bán kính ( ) = d B ; D Tức A thuộc đường tròn nằm mặt phẳng (P ) Do với điểm M Ỵ D với A Î (C ) giá trị độ dài A M không đổi uuur r Chọn A 1;1; , A B = 2; - 2; = 2u nên A B / / D Þ A B , D đồng phẳng ( ) ( ) Xét mặt phẳng chứa A B D : ( ) Gọi A ' điểm đối xứng A qua D Khi O 0; 0; trung điểm A A ' nên ( ) A ' - 1; - 1;0 Chu vi tam giác MA B bé MA + MB bé Ta có MA + MB = MA '+ MB ³ A ' B Do MA + MB bé M trùng với M giao điểm A ' B với D ìï x = - - t ' ïï Đường thẳng A ' B qua A ' - 1; - 1;0 , có phương trình: ïí y = - ïï ïï z = t ' ỵ ìï x = - + t = - - t ' ïï Þ t = Þ M 1; - 1;2 Giải hệ phương trình: ïí y = - t = - ïï ïï z = - + 2t = t ' ỵ ( ) ( ( ) ) Vậy chu vi tam giác A BC bé M 1; - 1;2 Do x M + y M + z M = Dạng Tìm tập hợp điểm thỏa mãn ĐK cho trước ( ) ( ) Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B - 1;2; , ( ) C 2; - 3;2 Tập hợp tất điểm M cách ba điểm A , B , C đường thẳng d Phương trình tham số đường thẳng d là: ìï x = - + 3t ìï x = - - 3t ìï x = - + 3t ïï ïï ïï ï ï A í y = t B í y = t C ïí y = - t D ïï ïï ïï ïï z = - 15 - 7t ïï z = 15 + 7t ïï z = 15 - 7t î î î ìï x = - + 3t ïï ïy = t í ïï ïï z = 15 + 7t ỵ Lời giải Chọn A uuur uuur Ta có A B = - 2;1; - ; BC = 3; - 5;2 uuur uuur Ta thấy A B BC không phương nên ba điểm A , B , C không thẳng hàng M cách hai điểm A , B nên điểm M nằm mặt trung trực A B M cách hai điểm B , C nên điểm M nằm mặt trung trực BC Do tập hợp tất điểm M cách ba điểm A , B , C giao tuyến hai mặt trung trực A B BC ( ) ( ) Gọi (P ) , (Q ) mặt phẳng trung trực A B BC ỉ1 ỉ 1ư ÷ ữ l trung im A B ; N ỗỗỗ ; - ;1ữ K ỗỗỗ0; ; ữ ữ ữ l trung điểm BC ÷ è2 ÷ è 2ø ø uuur (P ) qua K nhận A B = - 2;1; - làm véctơ pháp tuyến nên ( ỉ ) 3ư ÷ ÷ ÷ ÷ 2ø ổ 1ử ỗỗz - ữ ữ = hay (P ) : 2x - y + z + = ữ ữ 2ứ ố ốỗ uuur (Q ) qua N nhận BC = 3; - 5;2 làm véctơ pháp tuyến nên (P ) : - 2x + ỗỗỗy - ( ổ (Q ) : ỗỗỗx è ) ỉ 1ư 1ư ÷ ÷ ÷ - çççy + ÷ + (z - 1) = hay (Q ) : 3x - 5y + 2z - = ÷ ÷ ÷ è ÷ 2ø 2ø ìï 2x - y + z + = Ta có d : ïí ïï 3x - 5y + 2z - = ỵ r Nên d có véctơ phương u = uuur uuur é ù A ê B , BC ú= - 3;1;7 ë û ( ) ( ) Cho y = ta tìm x = - , z = 15 nên - 8;0;15 Ỵ d ìï x = - - 3t ïï Vậy ïí y = t ïï ïï z = 15 + 7t ỵ Bài toán xác định đường thẳng Dạng Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (P ) , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x + 2y + z - = x+1 y z+2 = = Phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (P ) , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d có dạng đường thẳng d : x- = x- = C A x- y- z- y- z- = = = B - 1 - - y+1 z- x+1 y+ z- = = = D - - Lời giải Chọn A r Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P ) n (P ) = 1;2;1 ( ) r Vectơ phương đường thẳng d ud = 2;1;3 ( ) ìï x = - + 2t ïï Phương trình tham số đường thẳng d : ïí y = t ïï ïï z = - + 3t ỵ Xét phương trình: - + 2t + 2t - + 3t - = Û 7t - = Û t = Suy giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P ) A 1;1;1 Ta có A Ỵ ( ) 3) r r ù ér Vectơ phương đường thẳng u = ên (P ) , ud ú= 5; - 1; ë û x- y- z- = = Phương trình tắc đường thẳng : - - Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y − z − = ( x = 1− t đường thẳng d : y = + 2t ; t z = + t Lập phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng ( P ) đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d x = + t A y = −t z = − 3t x = + t C y = −t z = + 3t x = + t B y = −t z = + 3t x = + 2t D y = −t z = + 3t Lời giải Chọn B Mặt phẳng ( P ) có vecto pháp tuyến n = ( 2; − 1; − 1) Đường thẳng d có vecto phương u = ( −1; 2;1) Đường thẳng nằm mặt phẳng ( P ) đồng thời vng góc với đường thẳng d nên có vecto phương u = n, u = (1; − 1; 3) Gọi M = d ( P ) , tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: x = 1− t t = −1 y = + 2t x = M ( 2; 0; ) z = + t y = 2 x − y − z − = z = Đường thẳng qua M có vecto phương u = (1; − 1; 3) có phương trình tham số là: - + + = Û t = 2(T M ) t t t T H2:a = b = - c = t Þ + + = Û t = 6(T M ) t t t - TH : a = - b = c Þ + = Û t = - 4(L) t t t - TH : a = - b = - c Þ - = Û = 1(L) t t t T H1:a = b = c = t Þ - - + + = Û = 1(L) t t t - T H6: - a = b = - c = t Þ + + = Û t = 4(T M ) t t t - - TH : - a = - b = c Þ + = Û t = - 6(L) t t t - TH : - a = - b = - c Þ - - = Û t = - 2( L) t t t T H5: - a = b = c = t Þ Vậy có mặt phẳng thỏa yêu cầu tốn Câu 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (2; - 1; 4) Số mặt phẳng (a ) qua điểm M cắt trục Ox , Oy , Oz A , B , C cho OA = OB = OC ( A , B , C không trùng với gốc tọa độ O ) A B C D Lời giải Tác giả: Trần Đức Phương Facebook: Trần Đức Phương Chọn A Gọi A (a ; 0; 0) , B (0;b; 0), C (0; 0; c ) với abc ¹ Phương trình mặt phẳng (a ) : x y z + + = Khi M Ỵ (a ) Û - + = a b c a b c Ta có OA = a , OB = b , OC = c ìï b = a ìï OA = OB ìï b = ± a ï ï ï Û Û Do í í í ïï OA = OC ïï c = a ïï c = ± a ỵ ỵ ïỵ (2) (1) Từ (1) (2 ) ta tìm (a ;b; c ) Vậy có mặt phẳng thỏa mãn toán Dạng 20 Đếm số mặt phẳng cách bốn điểm cho trước Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (0; 0; - 6), B (0;1; - ) , C (1;2; - 5) D (4; 3; 8) Hỏi có tất mặt phẳng cách bốn điểm đó? A Có vơ số mặt phẳng phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt Lời giải Chọn C uuur uuur uuur é ù Ta có êA B , A C ú.A D ¹ , suy bốn điểm A , B , C , D không đồng phẳng ë û Gọi (P ) mặt phẳng cách bốn điểm A , B , C , D TH1: Có điểm nằm khác phía với ba điểm cịn lại so với (P ) Có bốn mặt phẳng thỏa mãn TH2: Mỗi phía mặt phẳng (P ) có hai điểm Có ba mặt phẳng thỏa mãn Vậy có bảy mặt phẳng thỏa mãn Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1; −2; ) , B ( 0; −1;1) , C ( 2;1; −1) D ( 3;1; ) Hỏi có mặt phẳng cách bốn điểm đó? A C B D vô số Lời giải Chọn C Ta có: AB = ( −1;1;1) ; AC = (1; 3; −1) ; AD = ( 2; 3; ) Suy ra: AB, AC = ( −4; 0; −4 ) AB, AC AD = −24 điểm A, B, C, D không đồng phẳng Khi đó, mặt phẳng cách điểm A, B, C, D có hai loại: Loại 1: Có điểm nằm khác phía với điểm cịn lại Mặt phẳng qua trung điểm cạnh chung đỉnh có mặt phẳng thỏa mãn ycbt A A A A D B B D B C C D B D C C Loại 2: Có điểm nằm khác phía với điểm lại mặt phẳng qua trung điểm cạnh thuộc hai cặp cạnh chéo có mặt phẳng thỏa ycbt A A A D B D B C C D B C Vậy có tất mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (1; 2; ) , B ( 2;1; ) , C ( −1;5;1) , D ( 3;1;1) E ( 0; −1;2) Có mặt phẳng cách năm điểm cho? A Vô số B C D Lời giải Chọn D uuur Ta có: AB = (1; −1;0 ) , CD = ( 4; −4;0 ) , AD = ( 2; −1; −1) , BC = ( −3; 4; −1) , AC = (- 2;3; - 1) Nhận thấy CD = AB AD BC bốn điểm A, B, C , D tạo thành hình thang hai đáy AB CD Oxyz uuur uuur é ù Mặt khác, êA B , A C ú= (1;1;1) nên (A BC ) : x + y + z - = ë û Suy E Ï (A BC ) Vậy điểm A, B ,C , D, E tạo thành hình chóp có đỉnh E Gọi M , N ; P ,Q ; R , S trung điểm A C , BD ; EB , EA ; EC , ED Ta dễ chứng minh mặt phẳng (MNQP ), (MNSR ) , (PQR S ) mặt phẳng thỏa mãn u cầu tốn Vậy có mặt phẳng cách điểm cho Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( −2;2;6) , B ( −3;1;8) , C ( −1;0;7 ) D (1;2; −6) Hỏi có tất mặt phẳng cách bốn điểm đó? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D Có vơ số mặt phẳng Lời giải Chọn C AB ( −1; −1; ) AC (1; −2;1) AD ( 3;0; −12 ) AB, AC = ( 3;3;3) Ta có AB, AC AD = 3.3 + 3.0 + ( −12 ) = −27 , suy bốn điểm A , B , C , D không đồng phẳng Gọi ( ) mặt phẳng cách bốn điểm A , B , C , D Gọi M , N , P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, CD, BD, AC , BC , AD A M S Q P D B R N C TH1: ( ) qua trung điểm cạnh xuất phát từ đỉnh tứ diện ABCD Có mặt phẳng vậy: ( MQS ) , ( MRP ) , ( RQN ) , ( NPS ) TH2: ( ) chứa đường trung bình (song song với nhau) mặt tứ diện ABCD Có mặt phẳng vậy: ( MQNP ) , ( MSNR ) , ( RQSP ) Vậy có bảy mặt phẳng thỏa mãn Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A (1; - 2; 0) , B (0; - 1;1) C (2;1; - 1) , D (3;1; 4) Hỏi có tất mặt phẳng cách bốn điểm đó? A B C D Vô số Lời giải Chọn C uuur uuur uuur uuur uuur é ù A B = (- 1;1;1), A C = (1; 3; - 1), A D = (2; 3; 4) Þ êA B , A C ú= (- 4; 0; - ) Þ ë û , suy bốn điểm A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện uuur uuur uuur é ù êA B , A C úA D ¹ ë û Xét mp(P) hai điểm M, N không nằm (P), ta có: (P) cách hai điểm M, N (P) song song với MN (P) qua trung điểm đoạn MN Vậy có mặt phẳng cách điểm A, B, C, D, có + mặt phẳng mà mặt phẳng qua trung điểm ba cạnh chung đỉnh + mặt phẳng mà mặt phẳng song song với hai cạnh đối diện qua trung điểm bốn cạnh lại Dạng 21 Các dạng khác Câu: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : y - = Có đường thẳng d song song với ba mặt phẳng (xOy ) , (zOx ), (P ) đồng thời cách mặt phẳng A Chọn B B C D Vì (P )/ / (xOz ) nên đường thẳng d nằm mặt phẳng cách mặt phẳng (P ); (xOz ) Do d thuộc mặt phẳng (Q ) : y - = Mà mặt phẳng (xOy ) vng góc với hai mặt phẳng (P ); (xOz ) Do có đường thẳng d thỏa mãn đề Một số dạng toán khai thác từ tốn hình học phẳng ỉ8 ÷ Câu 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1;2; - 2) v B ỗỗ ; ; ữ ữ ỗố3 3 ÷ ø Biết I (a ;b; c ) tâm đường tròn nội tiếp tam giác OA B Giá trị a - b + c A B C D Lời giải Chọn D Ta có I (a ;b; c ); OA = ; OB = ; A B = uur uur uur r Sử dụng kết quả: BO.IA + OA.IB + A B IO = ìï æ ö ïï (1 - x ) + çç8 - x ÷ ÷ + (- x ) = ữ ỗố ùù ữ ứ ỡù x = ùù ùù ổ ùù ữ ỗ ÷ Û í (2 - y ) + çç - y ÷+ (- y ) = Û ïí y = Þ I (1;1; 0) ÷ ïï ïï è3 ø ïï ïï z = ỉ ỵ ïï - - z + ỗ8 - z ữ ) ỗỗ3 ữữữ+ (- z ) = ïï ( è ø ïỵ Vậy a - b + c = - + = Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC cân A Gọi 5 1 G ; ; trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng ( P ) x + y + z − = qua cạnh 3 3 BC vng góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC Phương trình đường thẳng x = + t qua BG có dạng y = − t Tìm tọa độ điểm C z = − 4t −3 50 −7 A C ; ; B C ; ;5 C C 3; ; D 3 16 C ;3; −1 Lời giải Chọn D Ta có B giao điểm đường thẳng BG mặt phẳng ( P ) 5 4 1 13 + t + − t + − 4t − = t = −1 B ; ; 3 3 3 3 3 Gọi M trung điểm BC , ta có GM vng góc với đường thẳng BC x = + t vng góc với mặt phẳng ( P ) Vậy phương trình đường thẳng GM y = + t z = + t Ta có điểm M giao điểm GM với mặt phẳng ( P ) Vậy ta có tọa độ điểm M 5 4 1 5 + t + + t + + t − = t = M 3; ; 3 3 3 3 16 Mà M lại trung điểm BC ta có tọa độ C C ;3; −1 ( ) Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác A BC với A 2; 3; đường x- y- z- = = , phương trình đường phân giác - - x- y- z- góc C = = Đường thẳng A B có véctơ phương là: - - ur uur uur A u1 = (0;1; - 1) B u = (2;1; - 1) C u = (1;2;1) D uur u = (1; - 1;0) trung tuyến kẻ từ đỉnh B Lời giải Chọn A Gọi M (3 - t ;3 + 2t ;2 - t ) trung điểm cạnh A C , C (4 - 2t ;3 + 4t ;1 - 2t ) Mặt khác C thuộc đường phân giác góc C D nên (4 - 2t ) - (3 + 4t ) - (1 - 2t ) - = = Û t = Þ C (4; 3;1) - - Gọi A ¢đối xứng với A qua phân giác gúc C ị A ' ẻ CB Mt phẳng (a ) qua A vng góc với đường phân giác góc C : (a ) : 2(x - 2) - (y - 3) - (z - 3) = ( ) Gọi H = (a ) Ç D Þ H 2;4;2 Mặt khác: H trung điểm A A ¢ nên A ¢ 2;5;1 ( Phương trình đường thẳng BC qua A ¢,C là: ) ìï x ïï ïy í ïï ïï z ỵ Þ = + 2t = - 2t = uuur BC ầ BM = B 2;5;1 ị A B = 0;2; - ( ) ( ) Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC vuông A , x −4 y −5 z +7 = = , Đường ABC = 30, BC = Đường thẳng BC có phương trình 1 −4 thẳng AB nằm mặt phẳng ( a ) : x + z − = Điểm C có cao độ âm Tìm hồnh độ điểm A A B C D Lời giải Chọn C Ta có B = BC ( a ) B ( 2;3;1) C BC C ( t + 4; t + 5; −4t − ) BC = BC = 18 ( t + ) (t + 2) + (t + 2) + ( −4t − 8) 2 2 t = −1 C ( 3; 4; −3) Mà BC = 18 ( t + ) = 18 t = −3 C (1; 2;5 )( L ) Lại có ( BC; ( a ) ) = ABC = 30 nên ta có A hình chiếu C lên ( a ) mà ta có x = + t phương trình đường thẳng AC y = z = −3 + t −3 9 A ; 4; 2 2 Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC vuông A Gọi H ( 5;5;2 ) hình chiếu điểm A lên cạnh BC Mặt phẳng ( P ) x + y + z − = qua Vậy tọa độ điểm A + t − + t − = t = đường phân giác AJ góc A tam giác ABC vng góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC Điểm K ( −2; −1;0) thuộc đường trung tuyến AM Tìm tọa độ điểm A 50 29 −64 A A ; ; 50 29 −64 A ; ; 3 50 29 −64 B A ; ; 2 Lời giải Chọn D 50 29 −64 C A ; ; D Do tam giác ABC vuông A AM đường trung tuyến nên ta có MA = MC = MB MCA = MAC = BAH mà AJ phân giác nên dễ dàng có HAJ = MAJ Hay AJ phân giác tam giác HAM Vậy ta có điểm đối xứng H qua AJ thuộc AM Gọi E ( x; y; z ) điểm đối xứng với H qua AJ ta có tọa độ điểm E cách giải hệ: x= x −5 y −5 z −2 = = 1 1 −8 y = E ; ; 3 3 x+5 + y +5 + z + −5 = −8 2 z = x = − + t Phương trình đường thẳng AM qua K E nên có dạng y = −1 + t −8 z = t Ta có A giao điểm mặt phẳng ( P ) đường thẳng AM Vậy 50 29 −64 −2 + t + −1 + t − t − = t = A ; ; 3 ( ) ( ) Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho hình vng A BCD có A 8; 0; , C 0; - 4; - ( )( ) D a ;b ;c a ;b ;c ẻ  thuc mt phng (Oyz ) Giỏ tr a + b + c bằng: A B C - Lời giải D - Chọn A Ta có A BCD hình vng nên D thuộc mặt cầu đường kính A C có tâm I (4; - 2; - 1) , 2 bán kính R = có phương trình (x - 4) + (y + 2) + (z + 1) = 36 Có DA = DC Þ D thuộc mặt phẳng trung trực A C Þ D Î (a ) : 2x + y + 2z - = Lại có D Ỵ (Oyz ) : x = Do tọa độ D nghiệm hệ phương trình ìï x = ìï x = ïï ïï 2 ïï ï í (x - 4) + (y + 2) + (z + 1) = 36 Û í y = - 2z ïï ïï ïï 2x + y + 2z - = ïï 5z - 22z + 17 = ỵ ïỵ ìï ïï ïï ïï ïï x = ìï ü ỉ 14 17 ïï ÷ Û ïí y = - 2z Û (x ; y ; z ) ẻ ớù (0;2;1), ỗỗỗ0; ; ữ ý ữ ùù ùù 5ữ ố ứùùỵ ợ ùù ộz = ïï êê ïï êz = 17 ïï êë ỵ mà D có tọa độ ngun nên D (0;2;1) Þ a = 0, b = 2, c = Þ a + b + c = Câu 7: Trong không gian Oxyz cho tam giác A BC vuông cân A với B (2; 0; 4) C (0;6; 0) Biết điểm A (a;b; c ) với c > A thuộc mặt phẳng (P ) : y - = Tính giá trị biểu thức T = A c - 2a b B 14 C 14 Lời giải Chọn B + A Ỵ (P ) Þ b = D + 14 ìï A B = A C A BC + Tam giác vng cân A Þ ïí ïï 2A B = BC ïỵ + Ta có hệ phương trình ìï ìï + 14 ïï ïï b = ïï c = ïï ïí (a - 2)2 + b2 + (c - 4)2 = a + (b - 6)2 + c Û ïïí b = ïï ïï ïï éa - 2 + b2 + c - ù= 56 ïï - 14 ) ( ) úúû ïï êêë( ïï a = ỵ ïỵ Do T = c - 2a = b (c > 0) 14 Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng ìï x = t ïï D : ïí y = - + 2t ïï ïï z = - t ỵ ìï x = - t ïï D : ïí y = - - t (t , t Ỵ ¡ ).Gọi A giao điểm hai đường thẳng D D , ïï ïï z = + 2t ợ B ẻ D 1,C ẻ D điểm D thuộc mặt phẳng Oyz cho tứ giác A BDC hình thoi Khi điểm B cótọa độ B (a ;b; c ) Giá trị a + b + c bằng: A - B - C - D Lời giải Chọn D · C Ta có A BDC hình thoi nên A D đường phân giác BA r r D Ç D = A 1; 0; VTCP D 1, D a = 1;2; - b = - 1; - 1;2 ( ) ( ) ( ) · + Trường hợp 1: BA C £ 900 rr Vì a.b = - < nên góc hai vectơ góc tù đường phân giác góc nhọn r r r · C BA có VTCP u = a - b = 2; 3; - ( ) Vậy phương trình đường phân giác AD cần tìm: x- y z = = - ỉ 3ư ÷ D = A D ầ Oyz ị D ỗỗỗ0; - ; ữ ữ 2÷ è ø ỉ1 3 ÷ Gọi I l trung im ca A D ị I ỗỗ ; - ; ữ ữ ữ ỗố2 4 ứ Ta có B Ỵ D , gọi B (t ; - + 2t ;1 - t ) uur ỉ uuur ỉ 3ư ÷ ữ IB = ỗỗỗt - ;2t - ; - t + ữ , A D = ỗỗỗ- 1; - ; ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 4ø 2ø è è uur uuur 15 3 Tứ giác A BDC hình thoi nên IB A D = Û - t + - 3t + - t+ = 0Û t = 8 ổ1 1ử 1 ữ ị a = ;b = - 1;c = Þ a + b + c = Suy B ỗỗỗ ; - 1; ữ ÷ ÷ 2ø 2 è2 · C > 900 + Trường hợp 2: BA r r r · C Do đường phân giác góc BA có VTCP u = a + b = (0;1;1) ìï x = ïï Vậy phương trình đường phân giác AD là: ïí y = t (khơng thỏa mãn A D khơng cắt ïï ïï z = t ỵ Oyz ) ( ) Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm B 2; - 1; - , ( ) C - 6; - 1; Trong tam giác A BC thỏa mãn đường trung tuyến kẻ từ B C vuông góc với nhau, điểm A (a ;b; 0) , b > cho góc A lớn Tính giá trị A 10 B - 20 C 15 Lời giải Chọn C D - a+b cos A 31 A M N P C B Gọi M , N trung điểm cạnh A C , A B Gọi P = BM Ç CN , ta có BM ^ CN nên BC = BP + CP Theo cơng thức tính đường trung tuyến, ta có ( ( ) ) 2 2 2 2 æ2 ö æ2 ö BA + BC - A C CA + CB - A B ữ ữ ỗ ỗ BP = ỗỗ BM ữ = = , CP = ỗỗ CN ữ ÷ ÷ ÷ ÷ 9 è3 ø è3 ø A B + A C + 4BC Þ A B + A C = 5BC Góc A lớn Û cosA nhỏ Þ BC = ( ) ( ) AB2 + AC - AB2 + AC A B + A C - BC Ta có cos A = = 2A B A C 10A B A C 2 AB + AC 2A B A C = ³ = , dấu " = " xảy Û AB = AC A B A C A B A C ) ( ( ) Ta có A (a ;b; 0) , b > B 2; - 1; - , C - 6; - 1; 2 ìï uuur ïï A B = (2 - a; - - b; - 3) Þ A B = (2 - a ) + (b + 1) + Þ í uuur ïï A C = - - a; - - b; Þ A C = a + + b + + ( ) ( ) ( ) ùợ 2 2 ị (2 - a ) + (b + 1) + = (a + 6) + (b + 1) + Þ - 4a = 12a + 36 Þ a = - uuur Ta có BC = (- 8; 0;6) Þ BC = 82 + 62 = 100 Khi từ AB + AC = 5BC A B = A C 2 é ù Þ ê(2 - a ) + (b + 1) + 9ú= 5.100 Þ 42 + (b + 1) + = 250 êë ú û Kết hợp với b > ta b = 14 thỏa mãn Như a + b - + 14 = = 15 cos A