Cong thuc tinh nhanh giai tich 12

Sổ tay giải toán 12 Nguyễn Đức Thắng 1 1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ GIÂI NHANH TOÁN 12 PHÆN 1 HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1 Đðnh nghïa x x K x x 1 2 1 2 , ,   ( K là khoâng hoặc đoạn hoặc.

Nguyễn Xn Cơng THPT Lý Tự Trọng TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ GIÂI NHANH TỐN 12 PHỈN HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Đðnh nghïa x1, x  K, x1  x ( K khoâng đoạn nửa khoâng)      y  f x  đồng biến K đồ thð lên tÿ trái sang phâi f x   f x   y  f x  nghðch biến K đồ thð xuống tÿ trái sang phâi Chú ý: + N u f  x   0, x  a;b   hàm s f  x  đ ng bi n tr n khoâng a;b  + N u f   x   0, x   a; b   hàm s f  x  nghðch bi n khoâng a;b  + N u f  x   0, x  a;b   hàm s f  x  h ng đ i khoâng a;b  + N u f  x  đ ng bi n khoâng a;b   f  x   0, x  a;b  + Nếu f  x  nghðch bi n khoâng a;b   f  x   0, x  a;b  f x1  f x 2 Quy tắc cơng thức tính đäo hàm   Quy tắc tính đạo hàm: Cho u  u x ; v  v x ; C : hìng số   u  v   Tích: u.v   u .v  v .u  C u   C u   Tổng, hiệu: u  v  u  u .v  v .u  C  C u   , v        v2 u2 v  u  Đạo hàm hàm hợp: Nếu y  f u , u  u x  yx  yu ux  Thương:      Bâng cơng thức tính đäo hàm: Đäo hàm hàm sơ cỗp C (C l hỡng s) x   .x  x   .x   1 u   u   1       (x  0) x x   x  x 0 x   Đäo hàm hàm hợp   1 u   u    u  u u   u u  u0 u        sin x   cos x  sin u   u.cos u  cos x    sin x  cos u   u.sin u  Nguyễn Xuân Công THPT Lý Tự Trọng   tan x   cos1 x  tan u   cosu  cot x    sin1 x  cot u    sin e  e a   a ln a  ln x   x1 e   u.e a   u.a ln a  ln u   uu  log x   x ln1 a u  log u   u.ln a 2 x u x x a u u u u u x u a Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: a    b  ax  b  ad  bc ;     cx  d  cx  d   x2  a    c x d    f  ax  bx  c  d    e     dx  ex  f  dx  ex  f   b    c e    f Đạo hàm cấp :  + Đðnh nghïa: f   x    f   x    + Ý nghïa học: Gia tốc tĀc thąi cûa chuyển động s  f t täi thąi điểm t là:     a t0  f  t0 * Một số ý:      Nếu hàm số f x g x đồng biến (nghðch biến) tr n K hàm số   f x g x cüng ng bin (nghch bin) tr n K Tớnh chỗt ny cò thể kh ng đối vĆi hiệu   f x g x       K hàm số f x  g x  cüng đồng biến (nghðch biến) tr n K Tính chỗt ny cũ th kh ng ỳng cỏc hm số f x  , g x  kh ng l cỏc hm s dỵng trờn K Cho hm s u  u  x  , xác đðnh vĆi x  a;b  u x   c;d  Hàm số f u  x   cüng xác đðnh vĆi x  a;b  Nếu hàm số f x g x hàm s dỵng v cựng ng bin (nghch bin) tr n Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giâ sā hàm số f cò đäo hàm K    hàm số f đồng biến K    Nếu f ' x  vĆi x  K f ' x  chỵ täi số hĂu hän điểm x  K    Nếu f ' x  vĆi x  K f ' x  chỵ täi số hĂu hän điểm x  K hàm số f nghðch biến K Nguyễn Xuân Công THPT Lý Tự Trọng Chú ý: * Đối vĆi hàm phân thĀc hĂu tỵ y  ax  b  d  x    dỗu " " xột dỗu ọo cx d  c hàm y  không xây   Giâ sā y  f x  ax  bx  cx  d  f  x  3ax  2bx  c Hàm số đồng biến    f  x  0; x  Hàm số nghðch biến  a        a    b    c     f  x  0; x     a        a    b    c  Trỵng hp thỡ h s c khỏc vỡ a  b  c  f x d (ỵng thợng song song hoc trựng vi trýc Ox kh ng đĄn điệu) * Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số c a đơn điệu chiều không cị độ dài l ta giõi nh sau: Bỵc 1: Tính y   f  x ; m  ax bx c Bỵc 2: Hm số đĄn điệu    a  x ; x   y  có nghim phõn bit * Bỵc 3: Hàm số đĄn điệu không cị độ dài bìng l   x1  x  l  x1  x   4x1x  l  S2  4P  l * * Bỵc 4: Giõi * giao vĆi * * để suy giá trð m cỉn tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ Đðnh nghïa Giâ sā hàm số f xác đðnh tr n têp K x  K   + x0 điểm cực tiểu cûa hàm số f tồn täi khoâng a; b chĀa x cho  a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x  Khi đò f  x  ỵc gi l giỏ tr cc tiu cỷa hm s f 0   + x điểm cực đäi cûa hàm số f tồn täi khoâng a;b chĀa x cho  a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x  0   Khi đò f x ỵc gi l giỏ tr cc ọi cỷa hm số f + Điểm căc đäi điểm căc tiểu gọi chung điểm cực trð + Giá trð căc đäi giá trð căc tiểu gọi chung cực trð + Điểm căc đäi điểm căc tiểu ỵc gi chung l im cc tr ca hm s điểm căc trð phâi điểm têp hợp K Nguyễn Xuân Công THPT Lý Tự Trọng + Giá trð căc đäi giá trð căc tiểu ỵc gi chung l giỏ tr cc tr (hay cc trð) hàm số   + Nếu x0 điểm căc trð cûa hàm số điểm x ; f (x ) ỵc gi l im cc trð đồ thð hàm số f Điều kiện cæn để hàm số đät cực trð   cị đäo hàm   Đðnh lí 1: Giâ sā hàm số y  f x đät căc trð täi điểm x Khi đò, y  f x   täi điểm x f  x  Chú ý:    Đäo hàm f  x bìng täi điểm x0 nhỵng hm s f kh ng ọt cc tr täi điểm x0 Hàm số đät căc trð täi điểm mà täi đò hàm số kh ng cị đäo hàm Hàm số chỵ đät căc trð täi điểm mà täi đò đäo hàm cûa hàm số bìng hc täi đị hàm số kh ng cò đäo hàm Điều iện đủ để hàm số đät cực trð Đðnh lí 2: Giâ sā hàm số f đät căc trð täi điểm x Khi đò, hàm số f cò đäo hàm täi     f  x   khoâng x ; x  h  thỡ x l m t i m cỵc cỷa hàm s f x   N u f   x   khoâng x  h; x  f   x   khoâng  x ; x  h  thỡ x l m t i m cỵc ti u cûa hàm s f  x      điểm x f ' x0  N u f  x  tr n khoâng x  h; x 0 0 0 0 Quy tắc tìm cực trð Quy tắc 1:   i  1;2;   Bước 1: Tìm têp xác đðnh Tìm f  x  Bước 2: Tìm điểm x i mà täi đò đạo hàm hàm số hc hàm số liên tục khơng cị đạo hàm      đổi dấu Bước 3: Lờp bõng bin thiờn hoc bõng xột dỗu f  x Nếu f  x qua x i hàm số đät căc trð täi x i   Nếu f   x   0, f   x   hàm số Nếu f   x   0, f   x   hàm số   Đðnh lí 3: Giâ sā y  f x có đäo hàm cå p khoâng x  h; x  h vĆi h    0 f đät căc đäi täi x 0 f đät căc tiểu täi x Từ đðnh lí trên, ta cị quy tắc khác để tìm cực trð hàm số Quy tắc 2:    Bước 1: Tìm têp xác đðnh Tìm f  x  Bước 2: Tìm nghim x i i 1;2; cỷa phỵng trỡnh f  x   Bước 3: Tính f  x tính f  x i        Nếu f   x   hàm số f Nếu f   x   hàm số f   i đät căc đäi täi điểm x i i đät căc tiểu täi điểm xi Nguyễn Xn Cơng THPT Lý Tự Trọng MỘT SỐ DÄNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ I CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước   ài to n t ng quat: Cho hàm số y  f x ; m  ax  bx  cx  d Tìm tham số m để hàm số có căc đäi, căc tiểu täi x 1, x thóa mãn iu kin K cho trỵc Phng ph p: c 1:  Têp xác đðnh: D  2  Đäo hàm: y   3ax  2bx  c  Ax  Bx  C ước 2: Hàm số có căc trð (hay có hai căc trð, hai căc trð phân biệt hay có căc đäi căc tiểu)  y   có hai nghiệm phân bit v y i dỗu qua nghim ũ phỵng trỡnh y cú hai nghiệm phân biệt   A  3a  a     m  D1  y   B  4AC  4b  12ac  b  3ac       ước 3: Gọi x 1, x l hai nghim cỷa phỵng trỡnh y   B 2b  x  x   A   3a Khi đò:  C c x x     A 3a ước 4: Bi n đ i u ki n K v da ng t ng S ti ch P Tÿ giâi tìm ỵc m D2 c 5: K t luồn giá trð m thóa mãn: m  D1  D2   * Chú ý: Hàm số bêc ba: y  ax  bx  cx  d a  Ta có: y '  3ax  2bx  c Điều kiện b  3ac  b  3ac  Kết luận Hàm số kh ng cò căc trð Hàm số cò hai điểm căc trð Điều kiện để hàm số có cực trð dấu, trái dấu  Hm s cú cc tr trỏi du phỵng trình y   có hai nghiệm phân biệt trỏi dỗu ac Hm s có hai cực trð dấu  y   phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit cựng dỗu C P  x 1.x   A  Hàm số có hai cực trð dấu dương   y B phỵng trỡnh y cú hai nghim dỵng phồn bit S  x  x    A  C P  x x  0  A Nguyễn Xuân Công  THPT Lý Tự Trọng Hàm số có hai cực trð dấu âm   y '   B  phỵng trỡnh y cú hai nghim õm phân biệt  S  x  x    A  C P  x x  0  A  Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trð x 1, x thỏa mãn: x1    x x1  x     x1  x  Hai căc trð x 1, x thóa mãn x1    x       x1   x     x1.x   x1  x      Hai căc trð x 1, x thóa mãn x1  x             x   x2    x x   x1  x      x  x  2 x  x  2     Hai căc trð x 1, x thóa mãn   x1  x       x   x2    x x   x1  x      x  x  2 x  x  2    Phỵng trỡnh bờc cú nghim lờp thnh cỗp s cng cú nghim x  b d , có nghiệm lêp thnh cỗp s nhõn cú nghim l x   3a a Tìm điều kiện để đồ thð hàm số có c c điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng i tri tương đ i giưa điêm vơi đương th ng:     ỵng thởng : ax by c  c ax  by  c   thi hai điểm A, B nëm v Cho m A x A; yA , B x B ; yB  N u ax A  byA B B hai phớa so vi ỵng thởng  N u ax A  byA  c ax B  byB  c  thi hai điểm A, B nởm cu ng phớa so vi ỵng thợng  Một số trương hơp đ c biêt: + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Oy  hàm số có cc tr cựng dỗu phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit cựng dỗu + Cỏc điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Oy  hàm số có cc tr trỏi dỗu phỵng trỡnh y cú hai nghim trỏi dỗu + Cỏc im cc trð cûa đồ thð nìm phía đối vi trc Ox phỵng trỡnh y có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  Nguyễn Xuân Công THPT Lý Tự Trọng Đặc biệt: + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Ox y y  phỵng trỡnh y cú hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ  yCT  Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Ox y y phỵng trỡnh y  có hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ  yCT  + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía i vi trc Ox phỵng trỡnh y có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  (áp dung không nh m đươc nghiêm viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trð đồ thð hàm số) Hoðc: Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Ox  đồ thð cít trýc Ox tọi im phõn bit phỵng tri nh hoành đ giao m f x  co nghi m phân bi t (áp dung nh m nghiêm) Phương trình đường thẳng qua c c điểm cực trð  2c 2b  y.y y .y  bc g  x   9ay  g x  y  g x   x  d  3y  9a  9a 3     Khoâng cách hai điểm cực trð đồ thð hàm số ậc AB  b  3ac 4e  16e vĆi e  a 9a II CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC TRÙNG PHƯƠNG y  ax  bx  c a  0 MỘT SỐ KẾT Q CỈN NHỚ  Hàm số có căc trð  ab   Hàm số có ba căc trð  ab  a  b  a   Hàm số cò căc trð căc trð căc đäi   b  a   Hàm số có hai căc tiểu căc đäi   b  a   Hàm số có căc tiểu hai căc đäi   b   Hàm số cò căc trð căc trð căc tiểu    Giâ sā hàm số y  ax  bx  c có căc trð: A(0;c), B      täo thành tam giác ABC thóa mãn dĂ kiện: ab  b   b  ;   ,C   ;   2a 4a   2a 4a  Nguyễn Xuân Công THPT Lý Tự Trọng MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH y Tổng quát:  b cot  8a A O x B C Công thức thỏa mãn ab  Dữ kiện Tam gi{c ABC vuông c}n A b  8a b  24a 32a (S )2  b  Tam gi{c ABC Tam gi{c ABC có diện tích S ABC  S Tam gi{c ABC có diện tích max (S ) S0   Tam gi{c ABC có b{n kính đường trịn nội tiếp rABC  r0 Tam gi{c ABC có b{n kính đường trịn ngoại tiếp r  b5 32a b2  b3   a 1    8a    b  8a RABC  R R Tam gi{c ABC có độ d|i cạnh BC  m0 am02  2b  Tam gi{c ABC có độ d|i AB  AC  n0 16a 2n02  b  8ab  Tam gi{c ABC có cực trị B,C  Ox Tam gi{c ABC có góc nhọn b  4ac b(8a  b )  Tam gi{c ABC có trọng t}m O Tam gi{c ABC có trực t}m O b  6ac b  8a  4ac  b  2ac b  8a  4abc  b  8a  8abc  b k  8a(k  4)  Tam gi{c ABC điểm O tạo th|nh hình thoi Tam gi{c ABC có O l| t}m đường trịn nội tiếp Tam gi{c ABC có O l| t}m đường trịn ngoại tiếp Tam gi{c ABC có cạnh BC  kAB  kAC Trục ho|nh chia tam gi{c ABC th|nh hai phần có diện tích b  ac Tam giác ABC cò điểm căc trð cách trýc hoành b  8ac   Đồ thð hàm số C : y  ax  bx  c cít trýc Ox tọi im phồn bit lờp thnh cỗp s cộng Đðnh tham số để hình phỵng giĆi hän bći đồ thð C  : y  ax 8ab  bx  c trýc hồnh cị diện tớch phổn tr n v phổn dỵi bỡng b2  100 ac b2  36 ac 2   2     c y  c   0  b 4a   b 4a 2 Phỵng trỡnh ỵng trủn ngoọi tip ABC : x  y   Nguyễn Xuân Công THPT Lý Tự Trọng GIÁ TRỊ LỚN NHÇT - GIÁ TRỊ NHỎ NHÇT I Đðnh nghïa   Cho hàm số y  f x xác đðnh têp D  f (x )  M , x  D x  D, f (x )  M    Số M gọi giá trð lớn cûa hàm số y  f x D nếu:  Kí hiệu: M  max f ( x) xD   f (x )  m, x  D x  D, f (x )  m      Số m gọi giá trð nhỏ cûa hàm số y  f x D nếu:  Kí hiệu: m  f (x ) x D Phương pháp tìm GTLN,GTNN * Tìm GTLN, GTNN hàm số cách khâo sát trực tiếp      Bước 1: Tính f  x tìm điểm x1, x 2, , x n  D mà täi đò f  x  hoðc hàm số kh ng cò đäo hàm + Bước 2: Lêp bâng biến thi n v ri suy giỏ tr ln nhỗt, giỏ tr nhú nhỗt cỷa hm s * Tỡm GTLN, GTNN hàm số tr n đoän  Bước 1:    Hàm số cho y  f x xác đðnh liên týc tr n đoän a;b         Tìm điểm x1, x 2, , x n không a;b , täi đị f  x  hoðc f  x kh ng xác đðnh          Bước 2: Tính f a , f x1 , f x , , f x n , f b  Bước 3: Khi đò:              f x   f x  , f x  , , f x  , f a  , f b   max f x  max f x , f x , , f x n , f a , f b a ,b  a ,b  n * Tìm GTLN, GTNN hàm số tr n hoâng  Bước 1: Tính đäo hàm f (x )  Bước 2: Tỡm tỗt cõ cỏc nghim x i (a;b) cỷa phỵng trỡnh f (x ) v tỗt câ điểm i  (a;b) làm cho f (x ) kh ng xác đðnh  Bước Tính A  lim f (x ) , B  lim f (x ) , f (x i ) , f (i ) x a  Bước x b So sỏnh cỏc giỏ tr tớnh ỵc v kt luờn M  max f (x ) , m  f (x ) (a ;b ) (a ;b ) Nếu giá trð lớn (nhó nhất) A B kết luận khơng cị giá trð lớn (nhó nhất)         min f x  f a  a ;b  + N u y  f x đ ng bi n a;b     f x f b max  a ;b  min f (x )  f b  a ;b  + N u y  f x nghich bi n a;b     f (x )  f a max  a ;b      Nguyễn Xuân Công THPT Lý Tự Trọng KHÂO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ PHÅN THỨC: a  0 a) HÀM SỐ BẬC BA y  ax  bx  cx  d TRƯỜNG HỢP a0 a 0 Phương trình y  có / y y nghiệm ph n iệt 1 O x 1 O / Phương trình y  có x y y nghiệm kép 1 O x O Phương trình y /  vơ x y y nghiệm O x 1 O x b) HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y  ax  bx  c TRƯỜNG HỢP Phương trình y  có / a  0 a0 a 0 y y nghiệm ph n iệt 1 O x O x Nguyễn Xuân Công THPT Lý Tự Trọng + #t /n ph' hoàn toàn: Cn nh# mt s công thc sau: log a b  log c b log c a   a, c  1, b   , loga  x   loga x   x  0,0  a  1,   0 t t  log a x Mt s công thc bin i + #t /n ph' khơng hồn tồn S d(ng bi%t thc  cho tam thc b*c 5n t, ó t  log a x ! phân tích thành tích d) Ph+ng pháp sL d.ng tính n iu c(a hàm s" CMn nhA: +) a>1: Hàm s y  log a x ng bin R (ngh9a là: Nu  x1  x2  log a x1  log a x2 ) +) 0