đề 14 bám sát minh họa 2023 môn toan

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 1: Câu 2: Câu 3: PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 MƠN TỐN ĐỀ SỐ: 14 – MÃ ĐỀ: 114 z = + i Cho số phức Điểm biểu diễn số phức z điểm sau đây? Q ( - 3; - 2) M ( 3; 2) N ( - 3; 2) P ( 3; - 2) A B C D y = log ( x + 1) Tính đạo hàm hàm số 2 y′ = y′ = ′ y = ( x + 1) ln ( x + 1) ln C 2x + A B e Đạo hàm hàm số y = x tập số thực, e +1 A y′ = ex Câu 4: Câu 5: e −1 B y′ = ex C y′ = e −1 x e D D y′ = 2x + y′ = e +1 x e +1 x+1 Tập nghiệm bất phương trình > ( −∞; ) ( −∞; 2] ( 2; +∞ ) [ 2; +∞ ) A B C D u = công bội q = −2 Số hạng thứ cấp số nhân (u ) Cho cấp số nhân n với A −384 Câu 6: Câu 7: Câu 8: B 192 C −192 D 384 A ( 9;0;0 ) , B ( 0;9;0 ) , C ( 0;0;9 ) Trong không gian Oxyz , cho Tìm tọa độ vectơ pháp ( ABC ) tuyến mặt phẳng ( 1; 2;3) ( 81;81;81) ( 9;0;0 ) ( 9;0;9 ) A B C D y = ax + bx + c ( a, b, c ∈ R ) Cho hàm số có đồ thị đường cong hình bên Tọa độ giao điểm đồ thị hàm số cho trục tung ( 0; − ) ( −2;0 ) A B ( 0; − 1) ( −1;0 ) C D Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ thoả mãn: ∫ f ( x)dx = 5; ∫ f ( x)dx = ∫ ( f ( x ) + ) dx Tính A B C 19 Câu 9: Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số nào? −1 −1 A y = − x + x + B y = − x − x + C y = x − x + D D y = x − x + Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 I ( 1; 4;0 ) M ( 1; 4; − ) S Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm Mặt cầu ( ) tâm I qua có phương trình ( x − 1) A C ( x + 1) uur nQ + ( y − 4) + z = ( x − 1) B + ( y − 4) + z = D ( x + 1) + ( y + 4) + z = + ( y + 4) + z2 = 2 uu r P) Q) ( ( nP Oxyz , Câu 11: Trong không gian cho hai mặt phẳng có hai vectơ pháp tuyến Biết cosin góc hai vectơ ( Q) uu r nP uur nQ Cosin góc hai mặt phẳng ( P ) − A B − C D − Câu 12: Cho số phức z = + 3i , tổng phần thực phần ảo số phức z A B 12 C −5 D Câu 13: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = a chiều cao h = 2a Thể tích khối lăng trụ cho bằng: 14 a A 14 a B 3 D 7a C 14a Câu 14: Cho khối chóp S ABC có ba cạnh SA , SB , SC có độ dài a vng góc với đơi Thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 A B C D a ( S ) : x + y + ( z + 3) = Mặt cầu ( S ) cắt mặt phẳng Câu 15: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( P ) : 2x − y + 2z + = theo đường trịn có bán kính B C D Câu 16: Phần ảo số phức − 3i là: A −2 B C D −3 Câu 17: Thiết diện qua trục hình nón tam giác cạnh có độ dài a Tính diện tích S tồn phần hình nón 2 S = π a S = π a S = πa tp Stp = π a 4 A B C D A Câu 18: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình thẳng d qua điểm sau B ( 2;3; −2 ) C ( −2; −3; ) A B Câu 19: Cho hàm số y = f ( x) C A ( 1; −1;1) x = + t  y = 3−t ( t ∈¡  z = −2 + t  D ) Hỏi đường D ( 2;3; ) xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên sau: Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Điểm cực đại đồ thị hàm số cho A (2; −2) B (1;5) C ( −2; 2) D Không có điểm cực đại Câu 20: Tiệm cận ngang đồ thị hàm số A y = −2 y= B y = Câu 21: Tập nghiệm bất phương trình x−2 x + đường thẳng có phương trình C x = −1 D x = log3 ( x - 1) £ ( 1;4ùúû C ( - ¥ ;4ùúû B A = { 1; 2; ;9;10} Câu 22: Cho tập Số tổ hợp chập 10 phần tử A A 2! B A10 C 10! A ( - ¥ ;4) Câu 23: Nếu D ( 0;4ùúû D C10 F ( x ) = x − x + 2e x + C C F x ( số) ( ) họ nguyên hàm hàm số sau đây? A C f ( x) = x4 7x2 − + e2 x f ( x ) = 3x − + 2e x Câu 24: Nếu ∫ f (2 x)dx = B D f ( x ) = 3x − + xe x f ( x) = x 7x − + 2e x ∫ [ f ( x ) − x ] dx A B 10 C 12 D 16 f ( x ) = sin x + x − Câu 25: Họ nguyên hàm hàm số 3 A cos x + x − x + C B cos x + x C − cos x + x − x + C D − cos x + x − x + C Câu 26: Cho hàm số Hàm số y = f ( x) y = f ( x) có đồ thị hình vẽ đồng biến khoảng khoảng sau? Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 A ( - ¥ ;2) Câu 27: Cho hàm số y = f ( x) B ( - 1;1) C ( 0;2) D ( 1;+¥ ) có bảng biến thiên sau Giá trị cực tiểu hàm số cho A B −1 D C a( Câu 28: Cho a, b số thực dương a ≠ thoả mãn 3 − − A B C −3 log a 2b ) = Giá trị log a2 b D ( H) giới hạn đường y = x ; y = 0; x = Thể tích V khối trịn ( H ) quanh trục Ox xoay thu quay 32π 8π 3π V= V= V= A V = 4π B C D Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B ′C ′ có cạnh bên có độ dài a Biết khoảng cách từ điểm Câu 29: Cho hình phẳng C ( C ′AB ) đến mặt phẳng a ( C ′AB ) ( ABC ) Tính góc hai mặt phẳng A 30 B 60 C 45 D 90 Câu 31: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình Số giá trị nguyên tham số m để phương trình nhiều nghiệm A B 12 C 13 D 11 Câu 32: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm khoảng đây? f ( x) − m = có f ′ ( x ) = ( x − ) ( x + ) ( x + 1) Hàm số y = f ( x) đồng biến ( 0; +∞ ) ( −∞; −5 ) ( −1; ) B C D Câu 33: Trong hịm phiếu có phiếu ghi số tự nhiên từ đến Rút ngẫu nhiên lúc hai phiếu Tính xác suất để tổng hai số ghi hai phiếu rút số lẻ lớn 15 1 A 18 B C 12 D A ( −5; −1) Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 34: Gọi T tổng nghiệm phương trình log x − log x + = Tính T T= A T = 243 B T = −3 C T = 36 D z+2 Câu 35: Xét số phức z thỏa mãn z − 2i số ảo Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn A B C 2 D Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo x−4 y −4 z +3 = = 2 −1 Phương trình đường vng ( d1 ) , ( d ) x − y +1 z x−2 = = = ( d1 ) : −1 A B x−2 y−2 z +2 x−4 = = = −1 C D Câu 37: Trong khơng gian Oxyz , tìm tọa độ điểm M ′ đối xứng với ( d2 ) : A ( −1; −2;0 ) B ( −1;2;0) C ( d1 ) : x −1 y +1 z − = = −2 , góc chung hai đường thẳng y−2 z +2 = −2 y −1 z = −1 −2 M (−1;2;0) qua trục Ox ? ( 1;2;0 ) D ( 0; −2;1) Câu 38: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA = a vuông d từ A đến mặt phẳng ( SBC ) a 15 a d= d= B d = a C D (log 3 x) − log x  ( x − 18.2 x + 32 ) ≥ Câu 39: Có số nguyên x < 25 thỏa mãn  ? A 22 B 23 C 24 D 25 F ( x) ,G ( x) , H ( x) f ( x) f ( x) Câu 40: Cho hàm số liên tục R Gọi ba nguyên hàm góc với mặt đáy a d= A ( ABC ) Tính khoảng cách R thỏa mãn F ( 8) + G ( 8) + H ( 8) = B A Câu 41: Cho hàm số y = f ( x) F ( 0) + G ( 0) + H ( 0) = C f ′ ( x ) = x ( x − 3x + ) có đạo hàm Khi ∫ f ( x ) dx D với x Có giá trị g ( x ) = f ( x2 − x + m) m nguyên bé 15 để hàm số có điểm cực trị? 10 13 A B 12 C D 11 z−w =9 Câu 42: Cho số phức z w thỏa mãn z + w = + 4i Tìm giá trị lớn biểu thức T= z+w A max T = 176 B max T = 14 C max T = D max T = 106 Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 2 15 = 3 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác Câu 43: Vậy · · vuông A , cạnh BC = 2a ABC = 60 Biết tứ giác BCC ' B ' hình thoi có B ' BC góc VABC A ' B 'C ' = BCC ' B ') ABC ) ABB ' A ' ) nhọn, mặt phẳng ( vuông góc với ( , góc hai mặt phẳng ( ( ABC ) 450 Thể tích khối lăng trụ 6a A a3 3a a3 B C D 2 Câu 44: Cho hai hàm số f ( x ) = ax − x + bx + − 2d g ( x ) = cx − x + d có bảng biến thiên sau: Biết đồ thị hai hàm số cho cắt ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 2 thỏa mãn x1 + x2 + x3 = 30 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ), y = g ( x), x = −3, x = 1321 A 12 1123 B 12 1231 2113 C 12 D 12 Câu 45: Trong tập số phức, cho phương trình ( z − 3) − + m = 0, m ∈ ¡ (1) Gọi m0 giá trị z z = z2 z2 Hỏi m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn 1 khoảng (0;20) có giá trị m0 ∈ ¥ ? A 13 B 11 Câu 46: Trong không gian với hệ C 12 tọa độ Oxyz , cho điểm  x = + t1  d1 :  y = + 2t1  z = − 3t  ( P) : 2x − y − z + = D 10 A ( 2;3; − 1) ; mặt phẳng  x = + 2t2  d :  y = + t2  z = −5 + t  hai đường thẳng ; Đường thẳng d qua điểm A , cắt hai đường thẳng d1 ; d B C Tính tổng khoảng cách từ B ( P) C đến mặt phẳng A B C D Câu 47: Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn log ( x + y + x ) + log ( x + y ) ≤ log ( x ) + log ( x + y + 48 x ) ? A 189 B 196 C 190 D 168 ( N ) có chiều cao 6a Cắt ( N ) mặt phẳng qua đỉnh cách tâm Câu 48: Cho hình nón đáy khoảng 3a ta thiết diện có diện tích 12 11a Thể tích khối nón giới hạn hình nón cho Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 D 12 5πa x =  d : y = −t ( P ) : y − = , đường thẳng  z = hai điểm Câu 49: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng 1  B  ;0;8 ÷ A ( −1; −3;11)  Hai điểm M , N thuộc mặt phẳng ( P ) cho d ( M , d ) = , 2 A 36 5πa B 270πa C 90πa NA = NB Tìm giá trị nhỏ đoạn MN A MN = B MN = C MN = 2 MN = D y = x5 + x − mx + 3x − 20 m Câu 50: Có giá trị nguyên âm tham số để hàm số nghịch ( −∞; −2 ) ? biến A B C D HẾT Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 1.D 11.A 21.C 31.D 41.B Câu 1: 2.A 12.A 22.D 32.C 42.D 3.B 13.C 23.C 33.C 43.C 4.D 14.A 24.C 34.C 44.A BẢNG ĐÁP ÁN 5.B 6.B 7.C 15.B 16.D 17.B 25.C 26.B 27.C 35.B 36.C 37.A 45.D 46.A 47.B 8.B 18.A 28.A 38.C 48.C 9.A 19.B 29.B 39.B 49.A 10.A 20.B 30.A 40.B 50.A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Cho số phức z = + 2i Điểm biểu diễn số phức z điểm sau đây? Q ( - 3; - 2) M ( 3; 2) N ( - 3; 2) P ( 3; - 2) A B C D Lời giải Giả thiết z = + 2i Þ z = - 2i ( 3;- 2) Suy điểm biểu diễn số phức z = - 2i có tọa độ Câu 2: Câu 3: y = log ( x + 1) Tính đạo hàm hàm số 2 y′ = y′ = y′ = x + 1) ln 2 x + 1) ln ( ( 2x + A B C Lời giải Chọn A ( x + 1) ′ = y′ = ( log ( x + 1) ) ′ = ( x + 1) ln ( x + 1) ln Ta có D y′ = 2x + y′ = e +1 x e +1 e Đạo hàm hàm số y = x tập số thực, e +1 A y′ = ex e −1 B y′ = ex y′ = C e −1 x e D Lời giải Chọn B Ta có Câu 4: y′ = ( x e ) ′ = ex e−1 x+1 Tập nghiệm bất phương trình ( −∞; ) ( −∞; 2] A B > [ 2; +∞ ) C Lời giải D ( 2; +∞ ) Chọn D x +1 x +1 Ta có bất phương trình > ⇔ > ⇔ x > Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( 2; +∞ ) Câu 5: Cho cấp số nhân A −384 ( un ) u1 = công bội q = −2 Số hạng thứ cấp số nhân B 192 C −192 D 384 với Lời giải Chọn B u = u1 q = ( −2 ) = 192 Số hạng thứ cấp số nhân Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 6: Câu 7: A ( 9;0;0 ) , B ( 0;9;0 ) , C ( 0;0;9 ) Trong không gian Oxyz , cho Tìm tọa độ vectơ pháp ( ABC ) tuyến mặt phẳng ( 1; 2;3) ( 81;81;81) ( 9;0;0 ) ( 9;0;9 ) A B C D Lời giải Chọn B uuu r uuur AB = ( −9;9; ) AC = ( −9;0;9 ) Ta có ; r uuur uuur n =  AB, AC  = ( 81;81;81) ABC ) ( Một vectơ pháp tuyến mặt phẳng y = ax + bx + c ( a, b, c ∈ R ) Cho hàm số có đồ thị đường cong hình bên Tọa độ giao điểm đồ thị hàm số cho trục tung A ( 0; − ) B ( −2;0 ) ( 0; − 1) C Lời giải D Chọn C Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tọa độ Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ thoả mãn: ∫ −1 ( −1;0 ) ( 0; −1) f ( x)dx = 5; ∫ f ( x)dx = −1 Tính ∫ ( f ( x ) + ) dx A B ∫( Câu 9: C 19 Lời giải 4 D f ( x ) + 3) dx = ∫ f ( x )dx + ∫ 3dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx + ∫ 3dx 2 −1 −1 Ta có Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số nào? A y = − x + x + B y = − x − x + C y = x − x + Lời giải = 8−5+6 = D y = x − x + Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Nhánh cuối đồ thị xuống nên a < , đồ thị có hai điểm cực trị nên a.c < I ( 1; 4;0 ) M ( 1; 4; − ) S Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm Mặt cầu ( ) tâm I qua có phương trình ( x − 1) A C ( x + 1) Mặt cầu ( x − 1) + ( y − 4) + z = + ( y + 4) + z = ( S) có tâm B + ( y − 4) + z = ( x + 1) + ( y + 4) + z = D Lời giải I ( 1; 4;0 ) + ( y − 4) + z = ( x − 1) 2 S , bán kính IM = nên phương trình mặt cầu ( ) uu r P) Q) ( ( nP Oxyz , Câu 11: Trong không gian cho hai mặt phẳng có hai vectơ pháp tuyến và uur nQ Biết cosin góc hai vectơ ( Q) uu r nP uur nQ − Cosin góc hai mặt phẳng ( P ) A − B C Lời giải D − Chọn A Ta có: 3 ·uur uur cos (·( P ) ; ( Q ) ) = cos nP ; nQ = − = 3 ( ) Câu 12: Cho số phức z = + 3i , tổng phần thực phần ảo số phức z B 12 A C −5 Lời giải D Chọn A z = ( + 3i ) = −5 + 12i nên tổng phần thực phần ảo −5 + 12 = Câu 13: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = a chiều cao h = 2a Thể tích khối lăng trụ cho bằng: 14 14 a a 3 A B C 14a D 7a Ta có Lời giải Thể tích khối lăng trụ cho là: V = B.h = a 2a = 14a Câu 14: Cho khối chóp S ABC có ba cạnh SA , SB , SC có độ dài a vng góc với đơi Thể tích khối chóp S ABC a3 A a3 B a3 C D a Lời giải Do khối chóp S ABC có ba cạnh SA , SB , SC có độ dài a vng góc với 1 a3 VS ABC = SA.SB.SC = a.a.a = 6 đôi nên ta có: Page 10 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Điểm cực đại đồ thị hàm số cho A (2; −2) B (1;5) C ( −2; 2) D Khơng có điểm cực đại Lời giải Từ bảng biến thiên suy đồ thị hàm số có điểm cực đại (1;5) x−2 y= x + đường thẳng có phương trình Câu 20: Tiệm cận ngang đồ thị hàm số A y = −2 B y = C x = −1 D x = Lời giải Chọn B Ta thấy x−2  lim = 1 x →+∞ x +  ⇒ x−2  lim =1 x →−∞ x +  Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = Câu 21: Tập nghiệm bất phương trình A ( - ¥ ;4) Ta có B log3 ( x - 1) £ ( 1;4ùúû C Lời giải ( - ¥ ;4ùúû log ( x − 1) ≤ ⇔ < x − ≤ ⇔ < x ≤ Câu 22: Cho tập A = { 1; 2; ;9;10} ( 0;4ùúû Số tổ hợp chập 10 phần tử A B A10 C 10! A 2! D D C10 Lời giải Số tổ hợp chập 10 phần tử A C10 F ( x ) = x − x + 2e x + C C F x Câu 23: Nếu ( số) ( ) họ nguyên hàm hàm số sau đây? x4 7x2 f ( x) = − + e2 x f ( x ) = 3x − + xe x A B x4 x2 f ( x) = − + 2e x f ( x ) = 3x − + 2e C D Lời giải F ( x) x họ nguyên hàm hàm số f ( x) nên f ( x ) = F ′ ( x ) = x − x + 2e x Page 12 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 24: Nếu ∫ f (2 x)dx = A Suy B 10 Ta có ∫ [ f ( x ) − x ] dx D 16 C 12 Lời giải 2 1 f (2 x)dx = ∫ f (2 x)d(2 x) = ∫ f ( x)dx = ⇒ ∫ f ( x)dx = 16 20 20 ∫ 2 0 ∫ [ f ( x) − x ] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ 2xdx = 16 − = 12 Câu 25: Họ nguyên hàm hàm số A cos x + x − x + C f ( x ) = sin x + x − B cos x + x C − cos x + x − x + C D − cos x + x − x + C Lời giải ( sin x + 3x Ta có: ∫ Câu 26: Cho hàm số Hàm số A − 1) dx = − cos x + x3 − x + C y = f ( x) y = f ( x) có đồ thị hình vẽ đồng biến khoảng khoảng sau? ( - ¥ ;2) B ( - 1;1) ( 0;2) C Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến khoảng Câu 27: Cho hàm số y = f ( x) D ( 1;+¥ ) ( −1;1) có bảng biến thiên sau Giá trị cực tiểu hàm số cho A B −1 D C Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực tiểu hàm số y = f ( 0) = Page 13 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 a( Câu 28: Cho a, b số thực dương a ≠ thoả mãn 3 − − A B C −3 Lời giải log Từ giả thiết ta có Vậy giá trị log a ( a 2b ) = log a b = a 2b ) = Giá trị log a2 b D 1 ⇔ log a a + log a b = ⇔ log a b = − = − 2 2 1  3 log a b =  − ÷ = − 2  2 ( H) giới hạn đường y = x ; y = 0; x = Thể tích V khối tròn ( H ) quanh trục Ox xoay thu quay 32π 8π 3π V= V= V= A V = 4π B C D Lời giải Câu 29: Cho hình phẳng Phương trình hồnh độ giao điểm: x = ⇔ x = Thể tích cần tính: V =π ∫( x ) 2 x5 32π dx = π = 5 Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B ′C ′ có cạnh bên có độ dài a Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng A 30 a ( C ′AB ) ( ABC ) Tính góc hai mặt phẳng 0 B 60 C 45 D 90 ( C ′AB ) Lời giải · · ′H , CH = C C ′AB ) , ( ABC ) ) = ( C ( ) · ′HC ( Kẻ CH ⊥ AB H Khi Kẻ CK ⊥ C ′H K Ta lại có Page 14 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023  AB ⊥ C ′C ⇒ AB ⊥ ( C ′HC ) ⇒ AB ⊥ CK   AB ⊥ CH CK ⊥ ( C ′AB ) ⇒ d ( C , ( C ′AB ) ) = CK Mà CK ⊥ C ′H Do Trong tam giác C ′HC vng C có 1 1 1 = − = − = ⇒ CH = a 2 2 CH CK C ′C a 3a a 3  ÷ ÷   ′ · ′HC = C C = a = ⇒ C · ′HC = 300 tan C CH a 3 Suy y = f ( x) Câu 31: Cho hàm số có đồ thị hình f ( x) − m = Số giá trị ngun tham số m để phương trình có nhiều nghiệm A B 12 C 13 D 11 Lời giải m f ( x) = Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị hàm số y = f ( x ) Ta có y= m Phương trình có nhiều nghiệm −3 < m < ⇔ −9 < m < 3 m ∈ { −8; −7;K ;2} Vì m ∈ ¢ nên Có 11 giá trị m Câu 32: Cho hàm số y = f ( x) A ( −5; −1) f ′ ( x ) = ( x − ) ( x + ) ( x + 1) có đạo hàm khoảng đây? ( −∞; −5 ) C Lời giải  x = −5 f ′ ( x ) = ⇔ ( x − ) ( x + ) ( x + 1) = ⇔  x = −1  x = B ( 0; +∞ ) Hàm số D y = f ( x) đồng biến ( −1; ) Ta có Bảng xét dấu đạo hàm Page 15 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ( −∞; −5 ) ; ( 2; +∞ ) Hàm số đồng biến khoảng Câu 33: Trong hịm phiếu có phiếu ghi số tự nhiên từ đến Rút ngẫu nhiên lúc hai phiếu Tính xác suất để tổng hai số ghi hai phiếu rút số lẻ lớn 15 1 A 18 B C 12 D Lời giải Chọn C n ( Ω ) = C92 = 36 Số phần tử không gian mẫu A = " Gọi tổng hai số ghi hai phiếu rút số lẻ lớn 15" ( 6;9 ) ; ( 7;8 ) ; ( 9;7 ) ⇒ n ( A) = Ta có cặp số có tổng số lẻ lớn 15 P ( A) = = 36 12 Vậy xác suất biến cố A Câu 34: Gọi T tổng nghiệm phương trình A T = B T = −3 log x − log x + = Tính T C T = 36 Lời giải D T= 243 Chọn C Xét phương trình: log x − log x + = ⇔ ( − log x ) − 5log x + = ⇔ ( log x ) − 5log x + 6( 1) 2 t = ⇒ ( 1) ⇔ t − 5t + =⇔ ( t − ) ( t − 3) = ⇔  t = Đặt t = log x Với t = ⇒ log x = ⇒ x = Với t = ⇒ log x = ⇒ x = 27 Vậy T = 36 z+2 Câu 35: Xét số phức z thỏa mãn z − 2i số ảo Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn A B C 2 Lời giải D M ( a; b ) Đặt z = a + bi, a, b ∈ ¡ Gọi điểm biểu diễn cho số phức z w= Có = z+2 a + + bi = ( a + + bi ) a − ( b − ) i  = a2 + ( b − 2) z − 2i a + ( b − ) i a ( a + ) + b ( b − ) + − ( a + ) ( b − ) + ab  i a2 + ( b − 2)  a ( a + ) + b ( b − ) = ( 1) ⇔ 2  a + ( b − ) ≠ w số ảo Page 16 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Có ( 1) ⇔ a + b2 + 2a − 2b = I ( −1;1) Suy M thuộc đường trịn tâm , bán kính R = x −1 y +1 z − = = ( d1 ) : Oxyz −2 , Câu 36: Trong không gian , cho hai đường thẳng chéo x−4 y −4 z +3 = = ( d2 ) : 2 −1 Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng ( d1 ) , ( d ) x − y +1 z x−2 y−2 z +2 = = = = ( d1 ) : −1 −2 A B x−2 y−2 z +2 x − y −1 z = = = = −1 D −1 −2 C Lời giải ur uu r u1 = ( 3; 2; − ) u2 = ( 2; 2; − 1) d1 ) , ( d ) ( Hai đường thẳng có VTCP A ( + 3t ; − + 2t ; − 2t ) ∈ ( d1 ) B ( + 2u ; + 2u ; − − u ) ∈ ( d ) Lấy điểm AB đường thẳng vng góc chung hai đường thẳng ( d1 ) , ( d )  A ( 4;1;0 )  uuu r ur  ⇒ B ( 2; 2; − )  AB.u1 = 12u − 17t = −29 u = −1  u r r uu r  uuu  uu ⇔ ⇔ AB AB u = u − 12 t = − 21 t =    ( −2;1; − )   ( d ) , ( d2 ) Vậy phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng x−2 y−2 z+2 = = −1 Câu 37: Trong không gian Oxyz , tìm tọa độ điểm M ′ đối xứng với M (−1;2;0) qua trục Ox ? A ( −1; −2;0 ) B ( −1;2;0) ( 1;2;0 ) ( 0; −2;1) C D Lời giải M ( x0 ; y0 ; z0 ) M ′( x0 ; − y0 ; − z0 ) Tọa độ điểm M ′ đối xứng với qua trục Ox là: M ′ ( −1; −2;0 ) Nên tọa độ điểm đối xứng với M (−1;2;0) qua trục Ox là: Câu 38: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA = a vuông ( ABC ) Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng ( SBC ) góc với mặt đáy a a 15 a d= d= d= A B d = a C D Lời giải Page 17 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ⇒ BC ⊥ ( SAH ) Vẽ AH ⊥ BC H ⇒ AK ⊥ ( SBC ) Vẽ AK ⊥ SH K mà AK ⊥ BC K AK = d ( A, ( SBC ) ) Do H trung điểm BC nên AK = SA AH SA + AH 2 Vậy AH = a = ( a 3) a a 2 a 3 + ÷   = a 15 ( ) (log 3 x) − log x  x − 18.2 x + 32 ≥ Câu 39: Có số nguyên x < 25 thỏa mãn  ? B 23 A 22 C 24 Lời giải D 25 Chọn B (log 3 x) − log x  ( x − 18.2 x + 32 ) ≥ 0(1) +ĐK: < x < 25; x ∈ Z (1) ⇔ (log x) − log x + 1 ( x −18.2 x + 32 ) ≥ ⇔ ( log x − 1) (4 x − 18.2 x + 32 ) ≥ +TH 1: log x − = ⇔ x = 3(tm) +TH : log x − ≠ ⇔ x ≠ (1) ⇔ x − 18.2 x + 32 ≥  x ≥ 24 x ≥ ⇔ x ⇔ & < x < 25; x ∈ Z ⇒ x ∈ { 1; 4;5; ; 24} x ≤ ≤   Vậy có 23 giá trị nguyên x thỏa mãn yêu cầu F ( x) ,G ( x) , H ( x) f ( x) f ( x) Câu 40: Cho hàm số liên tục R Gọi ba nguyên hàm R thỏa mãn F ( 8) + G ( ) + H ( ) = F ( ) + G ( ) + H ( ) = Khi ∫ f ( x ) dx Page 18 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 B A 3 D C Lời giải Chọn B Ta có: G ( x) = F ( x ) + C H ( x ) = F ( x ) + C′ ,  F ( ) + G ( ) + H ( ) = 3F ( ) + C + C ′ = ⇔ ⇔ F ( ) − F ( ) =   F ( ) + G ( ) + H ( ) = 3F ( ) + C + C ′ = Vậy: F ( 8) − F ( ) 1 = ∫0 f (4 x)dx = ∫0 f ( x)dx = 4 Câu 41: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 3x + ) với x Có giá trị g ( x ) = f ( x2 − x + m) m nguyên bé 15 để hàm số có điểm cực trị? 10 13 A B 12 C D 11 Lời giải x =  x2 = f ′( x) = ⇔  ⇔  x =  x − 3x + =  x = Ta có g ′ ( x ) = ( x − 1) f ′ ( x − x + m )  x =    x =  2 g ′ ( x ) = ⇔ ( x − 1) f ′ ( x − x + m ) = ⇔  ⇔  x − x + m = ( *)  2  f ′ ( x − x + m ) = x − x + m =  x2 − x + m =  ( ) g ( x ) = f x2 − x + m nghiệm bội chẵn nên để hàm số 2 điểm cực trị phương trình x − x + m = phương trình x − x + m = phải vơ nghiệm Vì nghiệm ( *) có nghiệm kép  m≥  1 − ( m − 1) ≤ 5 − 4m ≤  ⇔m≥ ⇔ ⇔ ⇔ 9 − 4m ≤ m ≥ 1 − ( m − ) ≤  m ∈ ¢  m ∈ { 3; 4; ;14} Vì m < 15 nên ( ) g ( x) = f x2 − x + m Vậy, có 12 giá trị nguyên m bé 15 để hàm số có điểm cực trị z−w =9 Câu 42: Cho số phức z w thỏa mãn z + w = + 4i Tìm giá trị lớn biểu thức T= z+w A max T = 176 B max T = 14 C max T = D max T = 106 Page 19 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Lời giải Chọn D z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) w = ( − x) + ( − y) i Đặt Do z + w = + 4i nên Mặt khác z−w =9 nên ( x − 3) z−w = + ( y − ) = x + y − 12 x − 16 y + 25 = ⇔ x + y − x − y = 28 ( 1) Suy T = z + w = x2 + y2 + ( − x) + ( − y) T ≤ ( x + y − x − y + 25 ) Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có x + y = ( − x) + ( − y) Dấu " = " xảy T ≤ ( 28 + 25 ) ⇔ ≤ T ≤ 106 ( 1) ( ) 2 ( 2) Từ ta có Vậy MaxT = 106 2 15 = 3 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác Câu 43: Vậy · · vuông A , cạnh BC = 2a ABC = 60 Biết tứ giác BCC ' B ' hình thoi có B ' BC góc VABC A ' B 'C ' = BCC ' B ') ABC ) ABB ' A ' ) nhọn, mặt phẳng ( vng góc với ( , góc hai mặt phẳng ( ( ABC ) 450 Thể tích khối lăng trụ 6a A a3 B 3a C Lời giải a3 D · Tam giác ABC vng A có BC = 2a ABC = 60 AB = 2a.cos600 = a, AC = 2a.sin600 = a S ∆ABC a2 = Dựng B ' H vng góc với BC H BCC ' B ' ) ⊥ ( ABC ) B ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ B ' H ⊥ AB Vì ( nên ABC ) Trong ( dựng HK ⊥ AB K  AB ⊥ HK ⇒ AB ⊥ ( B ' HK ) ⇒ AB ⊥ B ' K   AB ⊥ B ' H Page 20 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023  HK ⊥ AB, HK ⊂ ( ABC ) · ' KH = 450 ⇒ ( ( ABB ' A ') , ( ABC ) ) = B   B ' K ⊥ AB, B ' K ⊂ ( ABB ' A ' ) Vậy ∆B ' HK vuông cân H ⇒ B ' H = HK Đặt B ' H = HK = x 2 Xét ∆B ' HB vuông H ⇒ BH = 4a − x Ta lại có HK song song AC BH HK 4a − x x ⇒ = ⇒ = ⇔ a 4a − x = 2a.x ⇔ x = ( 4a − x ) BC AC 2a a ⇔ x = 12a ⇒ x = 2a Vậy thể tích hình lăng trụ V= a 2a 3a = 7 2 Câu 44: Cho hai hàm số f ( x ) = ax − x + bx + − 2d g ( x ) = cx − x + d có bảng biến thiên sau: Biết đồ thị hai hàm số cho cắt ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 2 thỏa mãn x1 + x2 + x3 = 30 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ), y = g ( x), x = −3, x = 1321 A 12 1123 B 12 1231 C 12 Lời giải 2113 D 12 Ta có f '( x) = 3ax − x + b Từ BBT ta thấy α, β nghiệm phương trình  α + β = a  α.β = b f '( x ) = 3ax − x + b = nên  3a Ta có α, β nghiệm phương trình  2 = α + β = c  a = c a c ⇔   b = 3d α.β = d b =d  g ( x) = cx − x + d = , nên  c Từ, suy  3a c 1 1 I ( ; −4) g ( ) = −4 ⇒ d = − ⇔ d = − g ( x ) c a Từ BBT ta thấy có đỉnh c c > , suy c x, x , x Ta có phương trình f ( x) − g ( x) = có nghiệm phân biệt ⇔ ax3 − (3 + a ) x + (3d + 2) x + − 3d = có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , nên ta có Page 21 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 3+ a   x1 + x2 + x3 = a   x x + x x + x x = 3d +  2 3 a 2 2 Nên ta có x1 + x2 + x3 = 30 ⇔ ( x1 + x2 + x3 ) − 2( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = 30 3.( − 4) + 3+ a 3+ a 3d + ) − a = 30 ⇔( ) − 2( ) = 30 ⇔ ( ⇔ 29a − 26a − = a a a a a = ⇔ a = − 29 Vì a = c > , nên a = , suy c = 1, d = −3, b = −9  Từ đây, ta f ( x ) − g ( x ) = x − x − x + 10 Ta có diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ), y = g ( x), x = −3, x = 6 1321 S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ x − x − x + 10 dx = 12 −3 −3 Câu 45: Trong tập số phức, cho phương trình ( z − 3) − + m = 0, m ∈ ¡ (1) Gọi m0 giá trị z z = z2 z2 Hỏi m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn 1 khoảng (0;20) có giá trị m0 ∈ ¥ ? A 13 B 11 C 12 D 10 ( z − 3) = − m0 Ta xét phương trình: TH1: Nếu m0 = ⇒ z = Hay phương trình có nghiệm Trường hợp khơng thỏa điều kiện toán z = − − m0 , z2 = + − m0 TH2: Nếu m0 < phương trình cho có hai nghiệm thực 2 ( z1.z1 = z2 z2 ⇔ z1 = z2 ⇔ − − m0 ) = ( 3+ − m0 ) Do: 3 − − m0 = + − m0  ⇔ − m0 = ⇔ m0 = 3 − − m0 = −3 − − m0 ( VN ) TH3: Nếu m0 > phương trình cho có hai nghiệm phức liên hợp là: z1 = − i m0 − 9, z2 = + i m0 − Khi z1.z1 = z2 z2 = 32 + ( m0 − ) Do m0 > thỏa mãn yêu cầu toán m ∈ ( 0; 20 ) m ∈ { 10;11; ;19} Do tốn địi hỏi nên Vậy có 10 giá trị thỏa mãn A ( 2;3; − 1) Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm ; mặt ( P) : 2x − y − z + = hai đường thẳng  x = + t1  d1 :  y = + 2t1  z = − 3t  ;  x = + 2t2  d :  y = + t2  z = −5 + t  phẳng Đường thẳng d Page 22 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 qua điểm A , cắt hai đường thẳng d1 ; d B C Tính tổng khoảng cách từ B ( P) C đến mặt phẳng A B C D Lời giải Chọn A B ( + t1 ; + 2t1 ;5 − 3t1 ) C ∈ d Do B ∈ d1 nên tọa độ B có dạng ; nên tọa độ C có dạng uuur uuur C ( + 2t2 ;3 + t2 ; − + t2 ) ⇒ AB = ( + t1 ; − + 2t1 ;6 − 3t1 ) AC = ( 2t ; t2 ; − + t2 ) ; uuu r uuur Do A ; B ; C thẳng hàng nên AB = k AC t1 = 1 + t1 = 2kt2  1 + t1 = 2kt2   k = −    −1 + 2t1 = kt2 3t1 − =  6 − 3t = k −4 + t  t = − ( ) ⇔  −7 + 5t1 = k ⇔  ⇔ 2 ⇒ B ( 4; 4; ) ; C ( −2;1; − ) ( P ) là: Vậy tổng khoảng cách từ B C đến mặt phẳng ( −2 ) − 2.1 + + 2.4 − 2.4 − + d ( B; ( P ) ) + d ( C ; ( P ) ) = + =3 2 2 2 + ( −2 ) + ( −1) + ( −2 ) + ( −1) ( x ; y ) Câu 47: Có cặp số nguyên thỏa mãn 2 log ( x + y + x ) + log ( x + y ) ≤ log ( x ) + log ( x + y + 48 x ) ? A 189 B 196 C 190 Lời giải D 168 Chọn B Điều kiện: x > Ta có: ( ) ( ) (x ( log x + y + x + log x + y ≤ log ( x ) + log x + y + 48 x ( ) ⇔ log x + y + x − log ( x ) ≤ log 2 ) ( + y + 48 x − log x + y ) )  x2 + y + x   x + y + 48 x   x2 + y   48 x  ⇔ log  ≤ log ⇔ log ÷ ÷ ÷ ≤ log 1 + 2 1 + 2 ÷ 2x 2x   x +y     x +y    x2 + y   48 x  ⇔ log  + ÷− log 1 + ≤ ÷  x +y   2x  Đặt: t=  24  x2 + y log (1 + t ) − log 1 + ÷≤ (t > 0) t   2x , bất phương trình trở thành: 24  24  ′ f ( t ) = + > 0, ∀t > f (t ) = log (1 + t ) − log 1 + ÷ (1 + t ) ln t + 24 t ln t  có  Xét hàm số Suy hàm số đồng biến khoảng (0; +∞) ( )  24  f (8) = log (1 + 8) − log 1 + ÷ =   Ta có Từ suy ra: (1) ⇔ f (t ) ≤ f (8) ⇔ t ≤ ⇔ x2 + y ≤ ⇔ ( x − 8) + y ≤ 64 2x Đếm cặp giá trị nguyên ( x; y ) Page 23 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Ta có: ( x − 8) ≤ 64 ⇔ ≤ x ≤ 16 , mà x > nên < x ≤ 16 Với x = 1, x = 15 ⇒ y = {±3; ±2; ±1; 0} nên có 14 cặp Với x = 2, x = 14 ⇒ y = {±5; ±4; ±3; ±2; ±1; 0} nên có 22 cặp Với x = 3, x = 13 ⇒ y = {±6; ±5; ±4; ±3; ±2; ±1; 0} nên có 26 cặp Với x = 4; x = 12 ⇒ y = {±6; ±5; ±4; ±3; ±2; ±1; 0} nên có 26 cặp Với x = 5, x = 11 ⇒ y = {±7; ±6; ±5; ±4; ±3; ±2; ±1; 0} nên có 30 cặp Với x = 6; x = 10 ⇒ y = {±7; ±6; ±5; ±4; ±3; ±2; ±1; 0} nên có 30 cặp Với x = 7, x = ⇒ y = {±7; ±6; ±5; ±4; ±3; ±2; ±1;0} nên có 30 cặp Với x = ⇒ y = {±8; ±7; ±6; ±5; ±4; ±3; ±2; ±1;0} có 17 cặp Với x = 16 ⇒ y = có cặp Vậy có 196 cặp giá trị nguyên ( x; y ) thỏa mãn đề ( N ) có chiều cao 6a Cắt ( N ) mặt phẳng qua đỉnh cách tâm Câu 48: Cho hình nón đáy khoảng 3a ta thiết diện có diện tích 12 11a Thể tích khối nón giới hạn hình nón cho A 36 5πa B 270πa C 90πa Lời giải D 12 5πa Chọn C Giả sử mặt phẳng ( P ) qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác SBC  BC ⊥ OI ⇒ BC ⊥ ( SOI )  BC ⊥ SO BC  I Gọi trung điểm Ta có ( H ∈ SI ) , mà OH ⊥ BC Kẻ OH ⊥ SI OH ⊥ ( SBC ) suy S = 12 11a d ( O; ( SBC ) ) = OH = 3a Theo giả thiết có: SO = 6a , SBC 1 = + 2 SO OI ⇒ OI = 3a Trong ∆SOI vuông O có: OH SI = SO + OI = 3a 2S BC S SBC = SI BC ⇒ BC = SBC = 33a ⇒ IC = = 33a 2 SI Ta có: Page 24 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 2 Trong ∆OIC vuông I có: OC = OI + IC = 5a = R V = π.SO.OC = 90πa 3 Vậy thể tích khối nón cho ( P ) : y − = , đường thẳng Câu 49: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng x =  d : y = −t z =  hai điểm 1  B  ;0;8 ÷  Hai điểm M , N thuộc mặt phẳng ( P ) cho d ( M , d ) = , 2 NA = NB Tìm giá trị nhỏ đoạn MN A ( −1; −3;11) A MN = B MN = C MN = 2 MN = D 2a × 24 V= Lời giải Chọn A I = d ∩ ( P ) ⇒ I ( 1; − t ;1) Gọi I ∈ ( P ) ⇒ − t − = ⇒ t = ⇒ I ( 1;1;1) d ⊥ ( P) ⇒ M I ( 1;1;1) , R1 = thuộc đường tròn tâm uuu r uuur   N ( x; y; z ) ⇒ NA ( −1 − x; −3 − y;11 − z ) ; NB  − x; − y;8 − z ÷ 2   2 2  NA = NB ⇔ ( + x ) + ( + y ) + ( 11 − z ) =  − x ÷ + y + ( − z )     Ta có ⇔ 3x + y + z − x − y − 42 z + 126 = ⇔ x + y + z − x − y − 14 z + 42 = Vậy N ∈ S ( J ( 1;1;7 ) ; R2 = ) J ∈ ( P) : y = J ( 1;1;7 ) ; R2 = Nên N thuộc đường tròn tâm Ta có IJ = > R1 + R2 ⇒ MN = IJ − R1 − R2 = y = x5 + x − mx + 3x − 20 Câu 50: Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số nghịch biến A ( −∞; −2 ) ? B C Lời giải D Xét hàm số f ( x ) = x + x − mx + 3x − 20 f ′ ( x ) = x + x − 2mx + Ta thấy lim f ( x ) = −∞ x →−∞ y = f ( x) nên hàm số y = f ( x) nghịch biến ( −∞; −2 ) hàm số đồng biến ( −∞; −2 ) hàm số không dương miền ( −∞; −2 ) Page 25 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023  f ′ ( x ) ≥ ∀x ∈ ( −∞; −2 ) 5 x + x − 2mx + ≥ ∀x ∈ ( −∞; −2 ) ⇔ ⇔ −4m − 26 ≤  f ( −2 ) ≤  5 x + x + x ≤ m ∀x ∈ ( −∞; −2 ) ⇔  m ≥ − 13  Xét hàm số g ( x ) = x3 + x + x ( −∞; −2 ) 3 = ( x + ) + 11x − 16 − x2 x 3 ( x + ) > 0, 11x > 44, 16 + < 16 ∀x ∈ ( −∞; −2 ) x Ta có g ′ ( x ) = 15 x + 16 x − g ′ ( x ) > + 44 − 16 > ∀x ∈ ( −∞; −2 ) Suy Ta có bảng biến thiên hàm số g ( x ) ( −∞; −2 ) Dựa vào bảng biến thiên ta có Kết hợp với m≥− x3 + x + 19 19 ≤ m ∀x ∈ ( −∞; −2 ) ⇔ − ≤ m ⇔ m ≥ − x 13 19 m≥− ta có Do có giá trị nguyên âm thỏa mãn đề HẾT Page 26