Rèn luyện kỹ năng xác định và tính góc trong hình không gian cho học sinh ôn thi tốt nghiệp thpt

SỞ GD&ĐT YÊN BÁI TRƯỜNG THPT CẢM NHÂN BÁO CÁO SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ Lĩnh vực: Giáo dục (Toán) RÈN LUYỆN KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GĨC TRONG HÌNH KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT Tác giả: NGUYỄN DUY THIỀU Trình độ chun mơn: Cử Nhân SP Toán – Tin Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Đơn vị công tác: Trường THPT Cảm Nhân Yên Bái, ngày 06 tháng 02 năm 2022 I THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Rèn luyện kỹ xác định tính góc hình không gian cho học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục đào tạo (Toán) Phạm vi áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng đơn vị trường THPT Cảm Nhân Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 06 tháng năm 2021 đến ngày 28 tháng năm 2022 Tác giả: Họ tên: Nguyễn Duy Thiều Năm sinh: 1982 Trình độ chun mơn: Đại học sư phạm Tốn – Tin Chức vụ cơng tác: Tổ trưởng chuyên môn Nơi làm việc: Trường THPT Cảm Nhân Địa liên hệ: Trường THPT Cảm Nhân, Thôn Làng Lạnh, Xã Cảm Nhân, Huyện Yên Bình, Tỉnh Yên Bái Điện thoại: 0944 239 776 II MÔ TẢ GIẢI PHÁP SÁNG KIẾN Tình trạng giải pháp biết * Hiện trạng trước áp dụng giải pháp Mỗi nội dung chương trình tốn phổ thơng có vai trị quan trọng việc hình thành phát triển lực học sinh Tuy nhiên nội dung đánh giá khó học học sinh THPT phần hình học khơng gian, có tốn xác định tính góc hình học khơng gian Trong sách giáo khoa Hình học 11 (ban bản) trình bày cách đầy đủ định nghĩa, nhận xét nêu cách xác định góc khơng gian, nhiên nội dung chưa thật cụ thể, thiếu ví dụ áp dụng cho trường hợp, thiếu tập trắc nghiệm tập vận dụng nên nghiên cứu, học tập học sinh không cảm thấy hứng thú, thiếu tính chủ động tiếp thu kiến thức mới, hạn chế việc phát triển lực tư lập luận người học kiến thức dễ bị quên dẫn đến kết học tập em cịn thấp Trong tốn xác định góc tính góc hình học khơng gian thường xun xuất đề thi tốt nghiệp THPT * Ưu nhược điểm giải pháp cũ - Ưu điểm: Đã trình bày cách đầy đủ định nghĩa, nhận xét nêu cách xác định góc hình khơng gian, nêu vài ví dụ minh họa đề xuất số tập để rèn luyện kỹ xác định tính góc - Nhược điểm: Chưa đưa phương pháp tổng quát để xác định tính góc khơng gian; Thiếu ví dụ áp dụng cho số trường hợp, đặc biệt chưa đưa ví dụ trắc nghiệm khách quan theo mức độ từ thấp đến cao để minh họa cho dạng tập xác định tính góc; Chưa tạo hứng thú học tập cho học sinh; Chưa phát huy tính chủ động tiếp thu kiến thức người học; Chưa phát triển phẩm chất lực, khả tư sáng tạo người học đặc biệt rèn luyện trí tưởng tượng khơng gian; Thời lượng dành cho tốn góc q nên giáo viên khơng có đủ thời gian học sinh luyện tập * Đóng góp sáng kiến: Sáng kiến hệ thống kiến thức trọng tâm góc khơng gian, từ đưa dạng tốn góc không gian thường xuất đề thi tốt nghiệp THPT cách giải cách cụ thể, tường minh Cùng với 20 ví dụ trắc nghiệm minh họa đề xuất 20 tập áp dụng trình bày theo mức độ tăng dần dạng tốn xác định tính góc hình khơng gian Các ví dụ minh họa tập áp dụng số tốn trích từ đề thi THPT quốc gia, đề thi tốt nghiệp THPT năm trước đề thi thử vài trường THPT Qua phát triển lực tư lập luận, rèn luyện trí tưởng tượng khơng gian, rèn luyện kỹ năng, khéo léo bóc tách yếu tố phẳng khỏi không gian để đơn giản hóa tốn, đưa từ tốn xác định tính góc khơng gian trở tốn xác định tính góc hình học phẳng Từ khơi dậy hứng thú, tính tự giác, tích cực học tập, giúp em hình thành, phát triển phẩm chất lực trình học tập, mang lại kết cao công tác giảng dạy đơn vị trường THPT Cảm Nhân Với việc xác định tính góc khơng gian yêu cầu cần thiết để làm vài tốn tính thể tích, tính khoảng cách, … khơng gian, qua nâng cao chất lượng dạy học phần hình học khơng gian 2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến 2.1 Mục đích giải pháp Giúp học sinh nhớ định nghĩa, biết nhận dạng, xác định tính góc hình khơng gian, đặc biệt rèn luyện kỹ năng, khéo léo bóc tách yếu tố phẳng khỏi không gian để đơn giản hóa bái tốn, đưa từ tốn xác định tính góc khơng gian trở tốn xác định tính góc hình học phẳng Biết vận dụng kiến thức để giải số ví dụ trắc nghiệm minh họa số toán góc khơng gian trích từ đề thi THPT quốc gia, đề thi tốt nghiệp THPT năm trước đề thi thử vài trường THPT nhằm hình thành phát triển phẩm chất, lực người học, khơi dậy hứng thú nghiên cứu hình khơng gian, qua nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường THPT 2.2 Nội dung giải pháp 2.2.1 Cơ sở lý thuyết Để xác định tính góc hai đường thẳng khơng gian, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng ta thường đưa toán xác định tính góc mặt phẳng, ta sử dụng kiến thức sau hình học phẳng: a) Tỷ số lượng giác tam giác vuông Trong tam giác ABC vuông A , ta có: AC AB AC AB sin B  ; cos B  ; tan B  ; cot B  BC BC AB AC AB AC AB AC sin C  ; cos C  ; tan C  ; cot C  BC BC AC AB b) Hệ định lý côsin Trong tam giác ABC với BC  a, CA  b, AB  c , ta có: b2  c  a2 cos A  2bc a2  c2  b2 cos B  2ac a  b2  c2 cos C  2ab c) Tính góc hai vectơ    a.b cos a, b    a.b   2.2.2 Phân loại toán xác định tính góc hình khơng gian Dạng 1: Góc hai đường thẳng không gian a) Định nghĩa: Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a ' b ' qua điểm song song với a b b) Phương pháp: * Phương pháp 1: - Chọn điểm O qua O kẻ đường thẳng a '/ / a , b '/ / b - Chọn OAB cho A  a ', B  b ' , sử dụng hệ thức biết để tính góc  AOB AOB  90o , - Suy ( a, b)   AOB 0o   AOB  180o ( a, b)  180o   AOB 90o   Lưu ý: - Ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng a, b a, b)  ( c, b ) - Nếu c / / a ( a, b)  ( a, d ) - Nếu d / / b ( * Phương pháp 2:   - Tìm vectơ u vectơ phương đường thẳng a vectơ v vectơ phương đường thẳng b   - Khi cos  a , b   cos(u , v ) Ví dụ (Câu 29 – Mã đề 102 – Đề thi TN THPT năm 2021 – Đợt 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có tất cạnh (tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng AA BC A 90o B 45o C 30o D 60o Lời giải  AA, BC    CC , BC   B ' CC ' Ta có: AA '/ / CC '   Mặt khác  BCC ' vng C có CC   BC  nên tam giác vuông cân  AA, BC   B ' CC '  45o Vậy  Chọn B Ví dụ (Câu 35 – Mã đề 102 – Đề thi TN THPT năm 2021 – Đợt 2) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh (tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng SB CD A 60o B 90o C 45o D 30o Lời giải  SB, CD    SB, BA   SBA Ta có: BA / / CD   Do hình chóp S ABCD có tất cạnh nên SAB   60o SB, CD   SBA Vậy  Chọn A Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' (tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng A ' C ' BD A 60o B 90o C 45o D 30o Lời giải Ta có: AC / / A ' C '   A ' C ', BD    AC , BD   90o ABCD hình vng Chọn B Ví dụ (Câu 28 – Đề thi tham khảo Bộ năm 2018) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc với OA  OB  OC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng OM AB A 90o B 30o C 60o D 45o Lời giải Gọi N trung điểm AC , ta có: OM , AB    OM , MN  MN / / AB   Vì OAC  OAB  OBC  AB  AC  BC (1) Do OAC , OBC vuông O nên AC (2) Mặt khác MN đường trung bình ABC  MN  AB (3) Từ (1), (2) (3) suy OMN tam giác   60o OM , AB   OMN Vậy  OM  OM  Chọn C Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC (tham khảo hình bên) Khi cos( AB, DM ) C A D B Lời giải Cách 1: Gọi N trung điểm AC , ta có: AB, DM    MN , DM  MN / / AB   Giả sử tứ diện ABCD có cạnh a , ta có: a , a MN  AB  2 DN  DM  3a a 3a   DM  MN  DN 4   Do cos( MN , DM )   2.DM MN a a 2 AB, DM )  cos ( MN , DM )  Vậy cos( Chọn A MN , DM ) Nhận xét: Ta dựa vào DMN cân D để tính cos( Cách 2: a Giả sử tứ diện ABCD có cạnh a, ta có DM        2     AB.DM AB.( DB  BM ) AB.DB  AB.BM      Do cos( AB, DM )     AB DM AB DM AB DM a a.a.cos60o  a .cos120o   a a   AB, DM )  cos( AB, DM )  Vậy cos( Chọn A Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a Gọi M , N trung điểm BC AD , MN  a (tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng AB CD A 90o B 30o C 45o D 60o Lời giải Gọi I trung điểm BD IN / / AC    Ta có:    AB, CD    IM , IN  IM / / CD  Xét IMN có: IM  IN  a , MN  a IM  IN  MN  Do cos MIN  2.IM IN a  a  3a   120o     MIN 2.a.a AB, CD   180o  120o  60o Vậy:  Chọn D Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ,  ABC  60o , SA  a SA  ( ABCD) Gọi M trung điểm SB (tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng SA CM A 45o B 60o C 90o D 30o Lời giải Gọi H trung điểm AB  MH / / SA   SA, CM    MH , CM  a Ta có MH  SA  2 a Vì SA  ( ABCD )  MH  ( ABCD )  MH  HC ABC cạnh a  CH  Xét MHC vng H , ta có HC a a   60o  :   HMC MH 2 SA, CM    MH , CM   60o Vậy:   tan HMC Chọn B Bài tập áp dụng Câu (Câu 36 – Mã đề 101 – Đề thi TN THPT năm 2021 – Đợt 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có tất cạnh (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng AA BC A 30o B 90o C 45o D 60o Câu (Câu 30 – Mã đề 101 – Đề thi TN THPT năm 2021 – Đợt 2) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh (tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng SC AB A 90o B 60o C 30o D 45o Câu Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a (tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng A ' B AC ' A 90o B 60o C 45o D 30o Câu Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' (tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng A ' B B ' C A 90o B 60o C 45o D 30o Câu Cho hình lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình thoi với AB  BD  AA '  a (tham khảo hình bên) Khi cơsin góc hai đường thẳng AC ' BC A B 5 C D 4 Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có cạnh đáy a , cạnh bên 2a (tham khảo hình bên) Cơsin góc hai đường thẳng AB SC 1 A  B 4 1 C  D 2 Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B, SA vuông a , SB  a 2, BC  a (tham khảo hình bên) Gọi M trung điểm SB Góc hai đường thẳng SA CM A 45o B 90o C 60o D 30o góc với mặt phẳng đáy, SA  Dạng 2: Góc đường thẳng mặt phẳng khơng gian a) Định nghĩa Cho đường thẳng d mặt phẳng ( ) Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng ( ) 90o Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng ( ) góc d hình chiếu d ' ( ) gọi góc đường thẳng d mặt phẳng ( ) b) Phương pháp + Tìm O  d  ( ) + Lấy điểm A thuộc d , ( A  O) kẻ AH vng góc với ( ) , H  ( ) Khi HO hình chiếu vng góc AO lên mặt phẳng ( ) d ,( )    AO, HO    AOH + Suy  Ví dụ (Câu 35 – Đề thi tham khảo Bộ năm 2021) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  AD  AA '  2 (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng CA ' mặt phẳng ( ABCD) A 30o C 60o B 45o D 90o Lời giải Vì CA hình chiếu vng góc CA ' lên mặt phẳng ( ABCD)   CA,( ABCD )    CA, CA    ACA ' Vì ABCD hình chữ nhật, AB  AD  nên ABCD hình vng cạnh  AC  2 Do ACA ' vng cân A Vậy  CA,( ABCD )    ACA '  45o Chọn B Ví dụ (Câu 32 – Mã đề 103 – Đề thi TN THPT năm 2020 – Đợt 1) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB  a, BC  3a; SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  30a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng SC mặt đáy A 45o B 90o C 60o D 30o 10 Lời giải Vì AC hình chiếu vng góc SC lên mp ( ABC )    SC ,( ABC )    SC , AC   SCA Ta có: AC  AB  BC  a 10 Xét  SAC vng A , ta có SA a 30   60o    SCA AC a 10   60 o Vậy  SC ,( ABC )   SCA  tan SCA Chọn C Ví dụ 10 (Câu 17 – Đề tham khảo Bộ năm 2020 – Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a (minh họa hình bên) Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  A 45o C 60o B 30o D 90o Lời giải Vì AC hình chiếu vng góc SC lên mp ( ABCD)    SC ,( ABCD )    SC , AC   SCA Vì ABCD hình vuông cạnh 3a  AC  3a  a Xét  SAC vng A , ta có   SA  a   SCA   30o tan SCA AC a   30 o Vậy  SC ,( ABCD )   SCA Chọn B Ví dụ 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SB  5a (minh họa hình bên) Tính tang góc đường thẳng SC mặt phẳng ( SAB ) C A D B 11 Lời giải Ta có: BC  AB ABCD hình vng BC  SA SA  ( ABCD )  BC  ( SAB ) Do SB hình chiếu vng góc SC lên mp ( SAB)    SC ,( SAB )    SC , SB   CSB Xét  SBC vuông B , ta có   BC  a  tan CSB SB 5a Vậy tan  SC ,( SAB )   Chọn B Ví dụ 12 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a (tham khảo hình bên) Tang góc đường thẳng SC mặt phẳng ( SAB) A C 2 D B Lời giải Gọi M trung điểm AB, ta có CM  AB ABC tam giác CM  SA SA  ( ABC )  CM  ( SAB ) Do SM hình chiếu vng góc SC lên mp ( SAB)    SC ,( SAB )    SC , SM   CSM a a2 a , SM  SA2  AM  a   Xét  SMC vng M , ta có   MC  a : a  tan CSM SM 2 Vậy tan  SC ,( SAB )   Chọn A Mặt khác CM  12 Ví dụ 13 (Câu 25 – Đề tham khảo Bộ năm 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm SD (tham khảo hình bên) Tang góc đường thẳng BM mặt phẳng ( ABCD) 2 C A D B Lời giải Gọi O  AC  BD  SO  ( ABCD) Gọi N trung điểm OD  MN / / SO  MN  ( ABCD) Do BN hình chiếu vng góc BM lên mp ( ABCD)   IBO  , với I  BM  SO   BM ,( ABCD )    BM , BN   MBN a Vì ABCD hình vng cạnh a  BO  BD  2 2a a 2 2  SO  SB  OB  a   a Vì I trọng tâm SBD  OI  SO    OI  a : a  Xét OIB vuông O , ta có tan IBO BO Vậy tan  BM ,( ABCD )   Chọn D Bài tập áp dụng Câu (Câu 35 – Mã đề 104 – Đề thi TN THPT năm 2020 – Đợt 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A BC  D có AB  a, AD  3a, AA  3a (tham khảo hình vẽ) Góc đường thẳng AC mặt phẳng  ABCD  A 45o C 60o B 30o D 90o 13 Câu (Câu 26 – Mã đề 104 – Đề thi TN THPT năm 2020 – Đợt 1) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB  a, BC  2a; SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng SC mặt đáy A 90o B 45o C 60o D 30o Câu 10 (Câu 19 – Mã đề 101– Đề thi THPT quốc gia năm 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SB  2a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy A 60o B 90o C 30o D 45o Câu 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân A , AB  AA '  a (tham khảo hình vẽ bên) Tang góc đường thẳng BC ' mặt phẳng ( ABB ' A ') A C 3 D B Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a (minh họa hình bên) Gọi  góc đường thẳng SA mặt phẳng ( SBC ) Khi C cos   A cos   D cos   B cos   Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA  ( ABCD) SA  a Gọi M trung điểm SB (tham khảo hình bên) Tang góc đường thẳng DM mặt phẳng ( ABCD) 14 A B C D 10 Dạng 3: Góc hai mặt phẳng khơng gian a) Định nghĩa Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng b) Phương pháp Phương pháp 1: Cách xác định góc hai mặt phẳng cắt + Tìm giao tuyến ( )  (  )  c + Chọn điểm I  c + Trong ( ) tìm đường thẳng a qua I cho a  c + Trong (  ) tìm đường thẳng b qua I cho b  c  a, b  + Khi    ,       Phương pháp 2: Sử dụng cơng thức diện tích hình chiếu Cho đa giác nằm mặt phẳng ( ) có diện tích S hình chiếu vng góc mặt phẳng (  ) có diện tích S ' , gọi  góc hai mặt phẳng ( ) (  ) Khi cos  S' S Ví dụ 14 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB  a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a (tham khảo hình bên) Góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) A 30o C 60o B 45o D 90o Lời giải Ta có  SBC    ABC   BC Mặt khác AB  BC ABC vng cân B SA  BC SA  ( ABC )  SB  BC 15 Mà AB  ( ABC ) , SB  ( SBC )  Do  ( SBC ), ( ABC )   ( SB , AB )  SBA Xét SAB vuông A , ta có   SA  a   SBA   60o tan SBA AB a Vậy  ( SBC ), ( ABC )   60 o Chọn C Ví dụ 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh 2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a (tham khảo hình bên) Góc hai mặt phẳng ( SBD ) ( ABCD ) A 30o C 60o B 45o D 90o Lời giải Ta có  SBD    ABCD   BD Gọi O  AC  BD , AO  BD ABCD hình vng SA  BD SA  ( ABCD)  SO  BD  Do  ( SBD ), ( ABCD )   ( SO , AO )  SOA AC 2a   a  SA 2   45o nên SOA vuông cân A  SOA Vậy  ( SBD ), ( ABCD )   45o Xét SOA vuông A có AO  Chọn B Ví dụ 16 (Câu 30 – Đề tham khảo Bộ năm 2019) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' (tham khảo hình bên) Góc hai mặt phẳng  A ' B ' CD   ABC ' D '  A 30o C 45o B 60o D 90o 16 Lời giải Cách Gọi I  AD ' A ' D ; J  BC ' B ' C Ta có  ABCD    ABC D   IJ Mặt khác AI  AB  AI  IJ DI  DC  DI  IJ Mà AI  ( ABC ' D ') , DI  ( A ' B ' CD ) Vậy ( A ' B ' CD ), ( ABC ' D ')   ( AI , DI )   AID  90 o ADD ' A ' hình vng  Chọn D Cách Ta có: CD   ADDA   CD  AD AD  AD ADA ' D ' hình vuông  AD   ABCD  Mà AD   ABC D    ABCD    ABC D  Vậy  ( A ' B ' CD ),( ABC ' D ')   90 o Chọn D Ví dụ 17 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy 2a , cạnh bên a (tham khảo hình bên) Góc hai mặt phẳng  AB ' C '  A ' B ' C '  A  C arccos B  D arcsin Lời giải Ta có  AB ' C '   A ' B ' C '  B ' C ' Gọi I trung điểm B ' C ' , A ' I  B ' C ' A ' B ' C ' tam giác AA '  B ' C '  B ' C '  AI Do  ( AB ' C '), ( A ' B ' C ')   ( AI , A ' I )   AIA ' Xét AIA ' vuông A ' , ta có 17 AA ' a     AIA '  A' I a  Vậy  ( AB ' C '), ( A ' B ' C ')    AIA '  Chọn A tan  AIA '  Ví dụ 18 (Câu 47 – Đề tham khảo Bộ năm 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB  AA '  Gọi M , N , P trung điểm cạnh A ' B ' , A ' C ' BC (tham khảo hình vẽ) Cơsin góc tạo hai mặt phẳng  AB ' C '   MNP  A 13 65 B C 17 13 65 D 13 65 18 13 65 Lời giải Gọi I , Q trung điểm MN B ' C ' Gọi O  PI  AQ Ta có: B ' C '   AB ' C ' , MN   MNP  B ' C '/ / MN Gọi d   AB ' C '  ( MNP ) d qua O d / / B ' C ', d / / MN Vì AB ' C ' cân A  AQ  B ' C '  AQ  d PMN cân P  PI  MN  PI  d Do  ( AB ' C '), ( MNP )   ( AQ , PI ) Mặt khác: ABC cạnh  AP  3, AQ  13, IP  OAP ∽ OQI AP 2 13   OA  AQ  ; OP  IP  IQ 3 3 OA2  OP  AP 13    Xét OAP , có cos AOP  2OA.OP 65 13 Vậy cos  ( AB ' C '), ( MNP )   cos ( AQ , PI )  cos  AOP  65 Chọn B 18 Ví dụ 19 (Câu 37 – Mã đề 101 – Đề thi THPT quốc gia năm 2018) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có tâm O Gọi I tâm hình vng A ' B ' C ' D ' M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO  MI (tham khảo hình vẽ) Khi cơsin góc tạo hai mặt phẳng  MC ' D '  MAB  85 85 17 13 C 65 85 85 13 D 65 Lời giải Ta có: AB   MAB  , C ' D '   MC ' D ' A B AB / / C ' D ' Gọi d   MAB   ( MC ' D ') , d qua M d / / AB, d / / C ' D ' Gọi Q, P trung điểm AB C ' D ' , ta có: MAB cân M  MQ  AB  MQ  d MC ' D ' cân M  MP  AB  MP  d Do  ( MAB ), ( MC ' D ')   ( MQ , MP ) Không tính tổng qt, giả sử cạnh hình lập phương 1 Khi ta có: IM  OI  AA '  MP  IM  IP  10 , MQ  34 , PQ  BC '  MP  MQ  PQ 14 85    Xét MPQ , có cos MPQ  MP.MQ 85 340 85  Vậy cos  ( MAB ), ( MC ' D ')   cos ( M Q , MP )  cos M PQ  85 Chọn B Ví dụ 20 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có   1200 Gọi I trung điểm AA '  AB  AC  , BAC CC ' (tham khảo hình bên) Cơsin góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB ' I ) 19 A 370 20 B 70 10 C 30 20 D 30 10 Lời giải Gọi  góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB ' I ) Vì ABC hình chiếu vng góc AB ' I lên mặt phẳng ( ABC ) , nên cos   S ABC S AB ' I 2 2 BC  AB  AC  AB AC.cos A   BC  B ' C '  13  B ' I  B ' C '2  C ' I  13 Vì AB '2  AI     B ' I nên AB ' I vuông A 4 10 Mặt khác SABC  AB AC.sin A  , SAB ' I  AB ' AI  4 S 10 30 :  Vậy cos   ABC  S AB ' I 4 10 Chọn D Ta có: AB '  AB  BB '2  , AI  AC  CI  Bài tập áp dụng Câu 14 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AB  a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a (tham khảo hình bên) Gọi  góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) Tính cos  C cos   A cos  D cos  B cos  Câu 15 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a a , chiều cao hình chóp (tham khảo hình bên) Góc mặt bên mặt đáy A 30o B 45o C 60o D 90o 20 Câu 16 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' (tham khảo hình bên) Cơsin góc hai mặt phẳng  CB ' D '   A ' B ' C ' D ' A B C D Câu 17 Cho hình lăng đứng ABC A ' B ' C ' có cạnh bên a , đáy tam giác ABC vuông A , AB  a, AC  a (tham khảo hình bên) Ký hiệu  góc tạo hai mặt phẳng ( A ' BC ) ( BCC ' B ') Tính tan  A tan   B tan   C tan   D tan   Câu 18 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Góc hai mặt phẳng  BA ' C  ( DA ' C ) A 30o C 60o B 45o D 90o Câu 19 (Câu 37 – Mã đề 104 – Đề thi THPT quốc gia năm 2018) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có tâm O Gọi I tâm hình vng A ' B ' C ' D ' M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO  MI (tham khảo hình vẽ) Khi sin góc tạo hai mặt phẳng  MC ' D '  MAB  A 17 13 65 B 85 85 C 85 85 D 13 65 21 Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  AB  AD  DC  a (tham khảo hình bên) Gọi  góc tạo hai mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) Tính tan  A tan   2 C tan   B tan   2 D tan   Khả áp dụng giải pháp Sáng kiến áp dụng công tác giảng dạy lớp 12A1 trường THPT Cảm Nhân năm học 2021 – 2022 cho kết cao; Sáng kiến áp dụng cho đối tượng học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT Hiệu quả, lợi ích thu dự kiến thu áp dụng giải pháp Tiến hành kiểm tra khảo sát với thời lượng 30 phút gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khách quan (có ma trận đề kiểm tra, đề kiểm tra đáp án kèm theo) tốn xác định tính góc hình khơng gian lớp 12A5 không áp dụng sáng kiến lớp 12A1 sau áp dụng sáng kiến (có bảng điểm chi tiết kèm theo) Kết tổng hợp sau: Kết kiểm tra khảo sát lớp 12A5 không áp dụng sáng kiến: Lớp 12A5 Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Tổng số HS SL % SL % SL % SL % SL % 39 0 12,8 12 30,8 15 38,4 18,0 Kết kiểm tra khảo sát lớp 12A1 sau áp dụng sáng kiến: Lớp 12A1 Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Tổng số HS SL % SL % SL % SL % SL % 39 12,8 11 28,2 16 41,0 18,0 0 Qua bảng tổng hợp kết cho ta thấy việc áp dụng sáng kiến vào giảng dạy làm tăng chất lượng học tập học sinh: Tỷ lệ học sinh khá, giỏi 22 tăng 28,2%; Tỷ lệ học sinh yếu, giảm 38,4%; Đặc biệt cịn có học sinh đạt điểm giỏi (12,8%) Nguyên nhân kết là: Sáng kiến hệ thống kiến thức trọng tâm góc khơng gian, từ đưa dạng tốn góc khơng gian thường xuất đề thi tốt nghiệp THPT cách giải cách cụ thể, tường minh Cùng với 20 ví dụ trắc nghiệm minh họa đề xuất 20 tập áp dụng trình bày theo mức độ tăng dần dạng tốn xác định tính góc hình khơng gian Các ví dụ minh họa tập áp dụng số tốn trích từ đề thi THPT quốc gia, đề thi tốt nghiệp THPT năm trước đề thi thử vài trường THPT Qua phát triển lực tư lập luận, rèn luyện trí tưởng tượng khơng gian, rèn luyện kỹ năng, khéo léo bóc tách yếu tố phẳng khỏi không gian để đơn giản hóa bái tốn, đưa từ tốn xác định tính góc khơng gian trở tốn xác định tính góc hình học phẳng Từ khơi dậy hứng thú, tính tự giác, tích cực học tập phần hình học khơng gian Tuy nhiên sáng kiến cần có bổ sung, cải tiến để sau lần áp dụng thu nhiều thành công Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến Đối với giáo viên: Là giáo viên giảng dạy chương trình mơn Tốn THPT theo chương trình chuẩn Đối với học sinh: Là học sinh học xong chương trình lớp 11 ôn thi kỳ thi tốt nghiệp THPT Tài liệu gửi kèm - Kế hoạch học áp dụng sáng kiến; - Ma trận đề kiểm tra; - Đề kiểm tra; - Bảng điểm kiểm tra III CAM KẾT KHƠNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN Tơi cam kết không chép vi phạm quyền, có gian dối khơng thật báo cáo, xin chịu hoàn toàn trách nhiệm theo quy định pháp luật./ Cảm Nhân, ngày 06 tháng 02 năm 2022 Người viết báo cáo Nguyễn Duy Thiều 23 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG VỀ VIỆC TRIỂN KHAI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN TẠI ĐƠN VỊ 24