Tinh goc trong hinh hoc khong gian

BÀI TỐN VỀ GĨC Vấn đề 1: GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa góc hai đường thẳng Trong không gian cho đường thẳng a, b Từ điểm O ta vẽ đường thẳng a  , b song song với a b Ta nhận thấy điểm O thay đổi góc đường thẳng a  b khơng thay đổi Do ta có định nghĩa: Định nghĩa: Góc đường thẳng a b khơng gian góc đường thẳng a  b qua điểm song song với a b Cách xác định góc hai đường thẳng Để xác định góc đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại Nếu u vecto phương đường thẳng a v vecto phương đường thẳng b u; v   góc đường thẳng a b     90 180     90    180 Nếu đường thẳng a b song song trùng góc chúng 0 Góc đường thẳng góc có số đo    90 Phương pháp tính góc hai đường thẳng Để tính góc hai đường thẳng không gian cần nhớ công thức sau: AB2  AC2  BC2 ■ Định lý hàm số cosin tam giác ABC: cos BAC  2.AB.AC Tương tự ta có: cos ABC  BA  BC2  AC2 CA  CB2  AB2 cos ACB  2.BA.BC 2.CA.CB Chú ý: AB.AC  AB.ACcos BAC  AB2  AC2  BC2   ■ Tính góc hai đường thẳng AB CD ta tính góc hai vectơ AB CD dựa vào   công thức cos AB;CD  AB.CD AB CD  cos  AB;CD   AB.CD từ suy góc hai đường AB CD thẳng AB CD Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA   ABC  SA  a Gọi M, N trung điểm AB SC Tính cosin góc hai đường thẳng AN CM Lời giải a Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy AM  CE      Khi AE / /CM  AE;CM  AN; AE   Mặt khác SC  SA2  AC2  2a  độ dài đường trung tuyến AN AN  SC a  a.AE  CM  2 Do ABC nên CM  AM  AMCE hình chữ nhật Khi CE  AE mà CE  SA  CE  SAE   CE  SE SEC vng E có đường trung tuyến EN  SC  a Ta có: cos NAE  AN  AE  NE 3    cos   2.AN.AE 4 Cách 2: Ta có: AN     1 AS  AC ;CM  AM  AC  AB  AC 2  1 a 3a 1  Khi AN.CM  AS  AC  AB  AC   AB.AC  AC  a cos 60   2 2  Lại có: AN  SC a  a;CM   cos   2 3a a a  Bình luận: Dựa vào hai cách làm ta thấy rằng, số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc hai đường thẳng giúp tốn trở nên dễ ràng nhiều! Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  AB  a;AC  a BC  a Tính cosin góc hai đường thẳng SC AB Lời giải Cách 1: Gọi M, N, P trung điểm SA, SB AC     MP / /SC  SC; AB  MP; MN  N / /AB Khi  Ta có: MN  AB a SC a  ; MP   2 2 Mặt khác SAC vuông S  SP  AC a  2 BA  BC2 AC2 a BP    a  BP  2 Suy PN2  PS2  PB2 SB2 3a a    NP  4 Khi cos NMP    MN  MP2  NP2    NMP  120    SC; AB  60 2.M N.MP   Cách 2: Ta có: AB  SB  SA  AB.SC  SB  SA SC  SB.SC  SA.SC  1 a2 2 2 2 SB  SC  AC  SA  SC  AB     2  2 a 2 Suy cos SC; AB     SC; AB   60 a.a Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB  x1,CD  x ;AC  y1, BD  y2 , BC  z1, AD  z Tính góc hai đường thẳng BC AD Lời giải   Ta có: BC.DA  BC DC  CD  CB.CD  CB.CD  1 CB2  CD2  BD2    CB2  CA2  AB2    AB2  CD2  BD2  CA2   2 Khi cos  BC; DA   BC.DA BC.DA  x12  x 22  y12  y 22 2z1z         BC; AD  Đặc biệt: Nếu AB  CD  x;AC  BD  y BC  AD  z ta đặt   AB;CD ta có:     AC; BD  y2  z x  y2 z2  z2 cos   ;cos   ;cos   z2 x2 y2 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh 2a, SA   ABCD  SB  a Gọi M trung điểm AB N trung điểm BC Tính cosin góc đường thẳng SM DN Lời giải ■ Cách 1: Do SA   ABCD  Ta có: SA  SB2  AB2  a Gọi E trung điểm AD I trung điểm AE Dễ thấy BNDE hình bình hành MI đường trung bình tam giác ABE Khi DN / /BE / /MI Tacó: AM  a; AI  AE a  2 5a Mặt khác: SM  SA  AM  2a ;SI2  SM  MI2  SI2 10 5a   cos(SM; DN) Do cosSMI  MI  AI  AM  2.SM.MI 2   ■ Cách 2: Ta có: SM.DN  SM SN  SD  SM.SN  SM.SD = 1 SM  SN  MN   SM  SD2  MD2   2 Mặt khác: SN2  SA2  AN2  SA2  AB2  BN2  6a , MN  Do SM.DN  2a  cos SM; DN   2a 2 SM.DN  AC  a 2,SD2  5a , MD2  5a 2a 10  a 2.a Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB  a;AD  a 2, SA   ABCD  SA=2a a) Tính cosin góc hai đường thẳng BC SD b) Gọi I trung điểm CD Tính cosin góc hai đường thẳng SB AI Lời giải a) Do BC / /AD  (SD;BC)  (SD;AD)  SDA SAD vuông A  cosSDA  AD AD   SD AD2  SA b) Gọi M, K trung điểm AB SA MK đường trung bình tam giác SAB Khi MK / /SB , mặt khác MC / /AI Suy (SB; AI)  (MK;CM) Ta có: MK  3a SB SA  AB2 a ; MC  MB2  BC2  ; KC  KA2  AC2  2a   2 2 Khi cosKMC    KM + MC2  KC2 1   cos SB; AI  2.KM.MC 5   Cách khác: Ta có: SB.AI  SB SI  SA  SB.SI  SB.SA  1 SB2  SI2  IB2   SB2  SA  AB2   2 Do SB2  5a ;SI2  SA2  AD2  DI2  25a 3a ; AI  AD2  DI2   IB Suy SB.AI  a2 SB.AI a2  cos  SB; AI     SB.AI a 3a Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, ABC  60 Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SC tạo với đáy góc 30 Tính cosin góc a) SD BC b) DH SC, với H chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABCD) Lời giải a) Do AB  BC  a , ABC  60  ABC cạnh a Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB cân S nên SH  AB  SAB    ABCD  Mặt khác   AB  SAB    ABCD  ABC nên CH   SH   ABC    a , SC;  ABC   SCH  30 a Ta có: SH  HC tan 30  Do ABC  60  BAD  120  HD  AH2  AD2  2AH.AD cos120  Suy SA  SH  HA  a , SD  SH2  HD2  a     Mặt khác AD / /BC  BC;SD  AD;SD , cosSDA    Do cos BC;SD   a DS2  DA  SA  2.DS.DA  b) Ta có SC.DH  SC SH  SD  SC.SH  SC.SD  1 3a 2 2 2 SH  SC  HC  SC  SD  CD     2  3a SC; DH Mặt khác: SC  SH  HC2  a  cos SC; DH     SC.DH 14 a a DH / /BI Cách khác: Gọi I trung điểm CD   a , gọi M trung điểm SD DH  BI   MI/ / SC a  2  SC a Lại có: BD  a ; SB  SH  HB  MI     2 BD2  BS2 SD2 5a MI2  IB2  MB2 17    cos MIB   Do BM  4 2.IM.IB 14   Suy cos DH;SC  17 14 Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B có AD  2AB  2CD  2a SA   ABCD  Biết SC tạo với đáy góc 60 Tính cosin góc giữa: a) BC SD b) AI SD với I trung điểm CD Lời giải a) Ta có: AC  AB2  BC2  a   Do SA   ABCD   SC;  ABC   SCA  60 Khi SA  AC tan 60  a     Do AD / /BC  BC;SD  AD;SD Mặt khác cos ADS   2a 6a  4a  AD AD  SD SA  AD2 10  cos BC;SD  b) Gọi E trung điểm AD  AE  DE  BC  a  ABCE hình vng cạnh a Do CE  AD  ACD vuông C Ta có: CD  CE  ED2  a  ID    a Lại có: AI.SD  SI  SA SD  SI.SD  SA.SD  Trong AI2  AC2  CI2  SI  SD  DI   SA  SD  AD   2 5a 17a  SI2  SA  AI2  2 Do AI.SD  3a  cos  AI;SD   3a 3a   AI.SD a 10 MI / /SD a 10 SC Cách khác: Gọi M trung điểm SC   SD a 10 , AI  , AM   a  MI   2 IM  IA  AM Khi MIA   2.IM.IA Ví dụ 8: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu điểm A xuống mặt đáy (ABC) trung với trung điểm BC Biết cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60 a) Tính tan góc tạo BC AC b) Cosin góc tạo CC AB Lời giải a) Gọi H trung điểm BC     Ta có: BC/ / BC  BC; AC  BC; AC  ACH   Mặt khác AH   ABC   AA;  ABC   AAH  60 AH  a 3a  AH  AH tan 60  2 Xét tam giác vng AHC ta có: tan ACH   AH  HC  Vậy BC; AC  b) Do CC / /AA   CC; AB   AA; AB Ta có: AA  AH2  HA2  a a 10 AA2  AB2  AB2 AB  AH  HB   cos AAB   2.AA.AB 2 Vậy cos  CC; AB  Vấn đề 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ■ Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (P) 90 (hình 1) Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a  (P) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) (hình 2) Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng không vượt 90 ■ Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng Cách tìm hình chiếu a  a mặt phẳng (P) ta làm sau: Tìm giao điểm M  a   P  Tìm điểm A tùy ý đường thẳng a  A  M  xác định hình chiếu vng góc H A mặt phẳng (P) Khi đó, a  đường thẳng qua hai điểm A M Ta có:    a;  P    AMH  HM cos   AM  AH Xét tam giác vuông AMH ta có:  tan   (trong d  A;  P   khoảng cách từ MH   AH d  A;  P    sin    AM AM điểm A đến mặt phẳng (P))  Dạng 1: Góc cạnh bên mặt đáy Tìm góc cạnh bên SA mặt đáy (ABC) Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy (ABC) Như HA hình chiếu vng góc SA (ABC)   Vậy SA;  ABC   SA; HA   SAH Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, có AB  a;BC  a Biết SA   ABC  , SB tạo với đáy góc 60 M trung điểm BC a) Tính cosin góc SC mặt phẳng (ABC) b) Tính cosin góc SM mặt phẳng (ABC) Lời giải   a) Do SA   ABC   SB;  ABC   SBA  60 Do SA  ABtanSBA  a tan 60  a Ta có: AC  AB2  BC2  2a; SC;  ABC    SCA Khi đó: cosSCA  AC AC 2a    SC SA  AC2 3a  4a b) Do SA   ABC  SM;  ABC   SMA   a 3 a Ta có: AM  AB  BM  a     2   Khi cos   2 AM AM 133   2 SM 19 SA  AM Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật có AB  2a;AD  a Tam giác (SAB) thuộc mặt phẳng vng góc với đáy a) Tính góc SB, SC mặt phẳng (ABCD) b) Gọi I trung điểm BC Tính tan góc SI mặt phẳng (ABCD) Lời giải a) Gọi H trung điểm AB ta có: SH  AB  SAB   ABCD  Mặt khác   AB   SAB    ABCD   SH   ABCD  Tam giác SAB cạnh 2a nên SH  a 3, HC  HB2  BC2  a   Do SH   ABCD   SB;  ABCD   SBH  60 SH  SC;  ABCD  SCH tan SCH  HC 2 a a b) Ta có: HI  HB  BI  a     2 2   Mặt khác SI;  ABCD   SIH SIH  SH a 15 a 3:  SI Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy nửa lục giác cạnh a, AD  2a Biết SA   ABCD  đường thẳng SB tạo với đáy góc 45 a) Tính cosin góc tạo cạnh SC, SD mặt đáy (ABCD) b) Gọi I trung điểm CD, tính tan góc tạo SI mặt phẳng (ABCD) Lời giải a) Gọi O trung điểm AD  OABC hình thoi cạnh a  CO  a  AD  ACD vuông C Do SA   ABCD   SB;  ABCD    SBA  45 Do SA  ABtan 45  a AC  AD2  CD2  a  cos SC;  ABC    cosSCA  AC AC a 3    SC SA  AC2 a  3a   cos SD;  ABCD   cosSDA  AD SA  AD2  a a 13 b) Ta có: AI  AC2  CI2  3a     2 Do tan SI;  ABCD    tan SIA  SA  AI 13  Dạng 2: Góc cạnh bên mặt phẳng chứa đường cao Tìm góc cạnh bên SB mặt phẳng (SHA) với SHA    ABH  Dựng BK  AH , có BK  SH  BK  SHA  Suy K hình chiếu vng góc B mặt phẳng (SAH) Vậy SB; SAH    SB;SK   BSK Lời giải Dựng BH  AC  BH  SAC  BH  SC Dựng BH  SC   HKB  SC   SBC  ; SAC    HKB Ta có: SA  SB2  AB2  Khi sin KCH  Mặt khác: BH  a ; AC  AB2  BC2  2a HK SA SA a     HK  2 HC SC 3 SA  AC BA.BC a BH   tan HKB   AC HK  HKB  60 Vậy góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) 60 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có ABC  60 , SA   ABC  SA  a Tính cosin góc giữa: a) (SBC) (SCD) b) (SBC) (SCD) Lời giải a) Nhận xét ABC tam giác cạnh a AB  BC  a ABC  60 Gọi O tâm hình thoi ABCD BD  AC  BD   SAC   BD  SC BD  SA Ta có:  Dựng BE  SC  SC   BED Mặt khác: SA  AC  a  SAC vuông cân A suy ECO  45 Khi OE  OCsin 45  Lại có: OB  a a OB  tan BEO   OE Do BED  2BEO sử dụng cơng thức lượng giác máy tính CASIO ta tính cos BED  5 Cách khác: Ta có: BE  DE  OE  OB2  Suy  SBC  ; SCD    14 EB2  ED2  BD2 5  cos BED   2.EB.ED CM  AD  CM   SAD   CM  SD CM  SA b) Dựng CM  AD ta có:  Dựng CK  SD  SD   MKC Tam giác ACD cạnh a nên CM  SDM  45 Do MK  MDsin 45  Suy tan MKC  a Do SA  AD  a  SAD vuông cân A suy a CM   cos MKC  MK Vậy cos  SCD  ; SAD    Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác cạnh a với AD  2a , biết SA   ABCD  mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 45 Tính cosin góc mặt phẳng (SCD) (SBC) Lời giải Do AD  2a nên tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AD  2a AC  CD  CD   SAC  CD  SA Ta có:  Suy  SCD  ;  ABCD    SCA  45  SA  AC  4a  a  a Dựng AE  SC  AE  SCD AH  BC  AF   SBC  , góc mặt phẳng (SCD) (SBC) góc AE AF AF  SH Dựng  Tacó: AE  Suy AF  SA.AC SA  AC 2 SA.AH SA  AH  a a ; AH  ACsin 30  2  a AF 10  , AF  SBC  AF  FE Do cos FAE  AE 5 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a;AD  a , cạnh bên SA   ABCD  Biết mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy góc 60 Tính cosin góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) Lời giải Do SA   ABCD  BC  AB  BC  SBA  Do  SBC ;  ABC   SBA  60; AC  2a  SA  ABsin 60  a Dựng DE  AC  E  BC  I, mặt khác DE  SA  DE  SAC  DE  SC Dựng IH  SC  SC   EHD  Ta có: DI  DCsin ICD tan ICD   ICD  60 Suy DI  a sin 60  a DC2 2a ; DE   DI a a SA a  CI  EI.DI  ;sin ICH    IH  ICsin IHC  SC 7  IE  DE  DI  Suy EH  EI2  IH2  Do cos EHD  2a a 42 ; ED  21 EH2  HD2  ED2  2    cos  SBC  ; SCD    2.EH.HD 4 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh a Biết SA   ABCD  , tính độ dài đoạn thẳng SA để góc mặt phẳng (SBC) (SCD) 60 Lời giải BD  AC  BD   SAC   BD  SC BD  SA Ta có:  Kẻ BI  SC  SC   BID  Vậy  SBC ; SCD     BI; ID   60 OI  SC Dễ thấy  BIO  BID ■ Trường hợp 1: BID  60  BIO  30 Ta có: tan BIO  BO a a  tan 30  OI   OC  (vô lý) IO 2 (OI cạnh góc vng, OC cạnh huyền tam giác vuông OIC) ■ Trường hợp 2: BID  120  BIO  60 Ta có: tan BIO  BO a  tan 60  OI  IO Mặt khác: sin ICO  OI   tan ICO   SA  AC tan ICO  a OC Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác cạnh a với AB  2a , biết SA   ABCD  SA  a Tính tan góc mặt phẳng (SAB) (SCD) Lời giải Do ABCD nửa lục giác cạnh a với AB  2a  ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AB Do ABD  90 Gọi I  AB  CD  SI  SAB  SCD  AI  BD  BD  SAI   BD  SI BD  SA Do  Dựng BK  SI  SI   BKD Khi  SAB ; SCD     BK; KD   BKD Do BD  SAI   BD  BK  KBD vng B có BD  AD2  AB2  a BC / /AD Do   BC đường trung bình tam giác AID  AB  BI AI  2a BC  AD   1 SA.AI a 21 BD  BK  d  A;SI     tan BKD   2 SA  AI2 BK  Dạng 3: Sử dụng định lý hình chiếu để tính góc hai mặt phẳng Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA   ABC  Trên cạnh SA lấy điểm M cho diện tích tam giác MBC a2 Tính góc hai mặt phẳng (MBC) (ABC) Lời giải Ta có: SABC a2  Gọi     MBC  ;  ABC   Do ABC hình chiếu tam giác MBC mặt phẳng (ABC) cos   SABC SMBC a2  24     60 a 2 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, SA   ABCD  Gọi N trung điểm SA, mặt phẳng (NCD) cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích S  2a Tính góc mặt phẳng (NDC) mặt phẳng (ABCD) Lời giải Đặt     NCD  ;  ABCD   Do CD / /AB   NCD  cắt (SAB) theo thiết diện NM / /AB  MN đường trung bình tam giác SAB Khi thiết diện tứ giác MNDC Gọi H hình chiếu M mặt phẳng (ABCD) H trung điểm AB SABCD  a  2a 2a  3a Do tứ giác HADC hình chiếu tứ giác MNDC SAHCD 3a   mặt phẳng (ABCD)  cos   SNMCD 2a Do   30 Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác cân với AB  AC  a , BAC  120 , cạnh bên BB  a , gọi I trung điểm CC Chứng minh tam giác ABI vng A tính cosin góc hai mặt phẳng  ABI  (ABC) Lời giải Ta có: BC  BC  AB2  AC2  2AB.ACcos BAC  a  AB  AB2  BB2  a  a Mặt khác AI  AC2  CI    a 13 2 BI  BC  CI   Do AB2  AI2  BI  13a  BAI vng A Ta có: SABI  AB.AI  a 10 S a2 30 SABC  AB.ACsin BAC   cos   ABI  ;  ABC    ABC  SABI 10 Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy hình vuông cạnh a chiều cao AA  6a Trên CC lấy điểm M, DD lấy điểm N cho CM  2MC DN  2ND Tính cosin góc mặt phẳng  BMN  (ABCD) Lời giải Gọi     BMN  ;  ABCD   Ta có: SBCD  a2 ; DN  2a;CM  4a Lại có: BD  a  BN  BD2  DN2  a BM  BC2  CM2  a 17, MN  a   2a   a Theo công thức Herong S  p  p  a  p  b  p  c  Ta tính được: SBMN  21 Do BCD hình chiếu BMN mặt phẳng (ABCD) nên cos   SBCD  SBMN 21 BÀI TẬP TỰ LUYỆN  GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA  3a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD (tham khảo hình vẽ bên) Cơsin góc hai đường thẳng AM SC A 5 C B D Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi M, N trung điểm AC BC (tham khảo hình vẽ bên) Cơsin góc hai đường thẳng MN BD A C 10 5 10 B 10 10 D 10 20 Câu 3: Cho tứ diện ABCD có AC  AD , CAB  DAB  60 , CD  AD Gọi  góc hai đường thẳng AB CD Khẳng định đúng? A cos   B   60 C   30 D cos   Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy thể tích khối chóp S.ABCD Gọi M trung điểm cạnh SB Cơsin góc hai đường thẳng AM CD A B C D Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh Cạnh SA  3 vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SB Cơsin góc hai đường thẳng AM SD A B C D Câu 6: Cho hình ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông A với AB  3, AC  3 Hình chiếu vng góc A mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC Đường thẳng AA tạo với mặt phẳng (ABC) góc 45 Cơsin cùa góc hai đường thẳng BB AC A B C D Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh SA  a vng góc với mặt phẳng đáy Trên cạnh SB lấy điểm M cho SM  2BM Côsin góc hai đường AM CD A B C D Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Tam giác SAB vng S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, cạnh SA  a , SB  a Gọi O giao điểm AC BD Cơsin góc hai đường thẳng SO CD A B 3 C D Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Cạnh SA  a vuông góc với mặt phẳng đáy Lấy hai điểm M, N cho SM  MB , SN  2DN Cơsin góc hai đường MN SC A 28 B 14 C 721 28 D 21 14 Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 3a, M trung điểm cạnh AB, hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng (ABCD) giao điểm AC DM Biết tam giác SAD vng S Cosin góc DM SC là: A B C D Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt đáy trùng với trọng tâm G tam giác ABD , mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60 Cosin góc hai đường thẳng SA BG là: A 70 B 97 162 C D Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a,SA  a,SB  (SAB) vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Cosin góc đường thẳng SM DN là: A  B C  D  GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA   ABCD  Góc SB (SAD) góc phương án đây? A BSA B SBA C BSD D SBD Câu 14: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD vng góc với đôi Khẳng định sau đúng? A Góc CD (ABD) góc CDB B Góc AC (BCD) góc ACB C Góc CD (ABC) góc DBC D Góc AC (ABD) góc CAB Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, SA   ABCD  Góc SA (SBD) A SAB B ASB C ASO D ASD Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên (ABC) trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác Số đo góc SA (ABC) A 60 B 75 C 45 D 30 Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA   ABCD  Góc SC (SAB) góc đây? A CSA B CSB C SCA D SCB Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên tạo với mặt đáy góc Gọi H hình chiếu S (ABC) Khẳng định đúng? A H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC B H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C H trọng tâm tam giác ABC D H trực tâm tam giác ABC Câu 19: Cho hình chóp tam giác đều, cạnh bên có độ dài a tạo với đáy góc 60 Tính chu vi đáy P hình chóp B P  A P  3a 3a C P  3a D P  3a Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA   ABCD  SA  a Gọi  góc SC (ABCD) Tính cos  A cos   B cos   C cos   2 D cos   Câu 21: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng với cạnh huyền BC  a Hình chiếu vng góc S lên (ABC) trùng với trung điểm BC Biết SB  a Số đo góc SA (ABC) A 30 B 45 C 60 D 75 Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác có đường cao SH vng góc với (ABCD) Gọi  góc BD (SAD) Tính sin  A sin   2 B sin   C sin   10 D sin   Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA   ABCD  Gọi I, J, K trung điểm AB, BC SB Khẳng định sau sai? A Góc BD (SAC) 90 B Góc BD (SAB) DBA C Góc BD (IJK) 60 D Góc BD (SAD) BDA Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  tam giác ABC không vuông Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC Số đo góc HK (SBC) A 60 B 90 C 45 D 120 Câu 25: Cho hình lập phương ABCD.ABCD Gọi  góc AC (ABCD) Tính tan  A tan   B tan   C tan   D tan   Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a Gọi  góc đường thẳng SC mặt phẳng (SAB) Khi đó, tan  nhận giá trị giá trị sau? A tan   B tan   C tan   D tan   Câu 27: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M, N trung điểm SA, BC Biết AB  a , góc MN mặt phẳng đáy 45 Tính SO A SO  a 10 B SO  a C SO  a 10 D SO  a Câu 28: Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC Tính số đo góc  SC (BHK) A   30 B   45 C   60 D   90 Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Tam giác SAB hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm AB Gọi M, N trung điểm AB, AD Tính giá trị sin  góc SN mặt phẳng (SCM) A sin   B sin   3 C sin   D sin   Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Tam giác SAB hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm AB Tính giá trị sin  góc SD (SBC) A sin   B sin   C sin   D sin   Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Kẻ AP  SB , AQ  SD P Q Gọi M trung điểm SD Tính giá trị cos  góc CM (APQ) A cos   10 B cos   10 C cos   3 D cos    GÓC GIỮA HAI MẶT PHẢNG Câu 32: Cho hai mặt phẳng cắt       , biết có đường thẳng thỏa mãn d1     , d     , d3 / /    , d / /   Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề mệnh đề đúng? A Góc       góc d d B Góc       góc d1 d C Góc       góc d1 d D Góc       góc d d Câu 33: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vng B, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (ABC) góc đây? A CSA B SBA C SCA D ASB Câu 34: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a, cạnh bên SA  2a vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính góc tạo hai mặt phẳng (SBC) (ABC) A 45 B 496 C 4053 D 6214 Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC  2a Biết cạnh bên SA  a vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Tính tan góc tạo hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) A 60 B 30 C 45 D 90 Câu 36: Cho tam giác ABC khơng nằm mặt phẳng (P), giả sử góc mặt phẳng (P) mặt phẳng (ABC)  ,   90 Gọi A , B , C hình chiếu vng góc ba điểm A, B, C lên mặt phẳng (P) Khi đó, hệ thức sau đúng? A SABC  SABC cos  B SABC  SABC cos  C SABC  SABC sin  D SABC  SABC sin  Câu 37: Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  Gọi  góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC) Khẳng định sau đúng? A SABC  SSBC cos  B SABC  SSBC sin  C SABC  SSAB cos  D SABC  SSAC cos  Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, SA   ABCD  Góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) A AOS B ADS C ABS D BSO Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông, SA   ABCD  , gọi I, J trung điểm cạnh AB, CD Góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) góc hai đường thẳng nào? A SA SD B SB SC C SB SD D SI SJ Câu 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, SA   ABCD  Tính góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) A 30 B 60 C 90 D 45 Câu 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA   ABCD  SA  a Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) A 30 B 60 C 90 D 45 Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, SA   ABCD  Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (SAD) A 90 B 45 C 60 D 30 Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, SA   ABCD  Gọi H hình chiếu vng góc O lên cạnh SC Góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) góc hai đường thẳng sau đây? A SB SD B BH CH C CH DH D BH DH Câu 44: Cho hình chóp tam giác S.ABC có tất cạnh a Tính tan góc mặt bên mặt phẳng đáy hình chóp 2 A 2 B C D Câu 45: Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Tính tang góc mặt bên mặt phẳng đáy chóp A B 2 C D Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết AC  2a SA  a Tính góc tạo hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) A 60 B 5046 C 3913 D 30 Câu 47: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết BD  2a SA  a Tính góc tạo hai mặt phẳng (SAB) (SAD) A 60 B 30 C 4725 D 90 Câu 48: Cho hình lập phương ABCD.ABCD , tính góc  tạo mặt phẳng  ABD  với mặt phẳng  ABCD A   5444 B   60 C   45 D   3515 Câu 49: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính góc  tạo mặt phẳng (SAB) (SAC) A   30 B   5324 C   60 D   6427 Câu 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I, có cạnh a ABC  60 Cạnh bên SC  a vng góc với mặt phẳng đáy Xác định độ lớn góc hai mặt phẳng (SAC) (SBD) A 60 B 45 C 90 D 30 Câu 51: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên hai lần cạnh đáy Tính góc  mặt bên mặt đáy hình chóp A   752 B   7353 C   7531 D   7214 Câu 52: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, hình chiếu đỉnh S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm M cạnh AB Giả sử tam giác SAB tam giác đều, tính góc  tạo mặt phẳng (SCD) với mặt phẳng (ABCD) A   45 B   496 C   4053 D   60 Câu 53: Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên tạo với đáy góc 30 , biết diện tích xung quanh hình chóp 90cm2 diện tích đáy hình chóp gần với giá trị nhất? A 77cm2 B 72cm2 C 75cm2 D 78cm2 Câu 54: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a, gọi M trung điểm SC Tính góc hai mặt phẳng (MBD) (SAC) A 60 B 45 C 90 D 30 Câu 55: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình chữ nhật AB  a , AD  2a Cạnh bên SA vng góc với đáy (ABCD), SA  2a Tính tan góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) A B C D Câu 56: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy tam giác vuông cân, AB  BC  2a , AB  4a Tính góc  tạo hai mặt phẳng  ABC   ABC  A   30 B   45 C   5335 D   60 Câu 57: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính độ lớn góc  tạo hai mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (ABC) A   60 B   5423 C   45 D   6326 Câu 58: Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a M trung điểm AA Góc hai mặt phẳng (ABCD) (MBD) gần góc nhất? A 35 B 42 C 50 D 60 Câu 59: Cho hình chóp S.ABCD có dường cao SA  a , đáy ABCD hình thang vng A D với AB  2a , AD  DC  a Tang góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) A B C D Câu 60: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA, đáy hình chữ nhật ABCD có AB  a , AD  a Độ lớn góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) A 90 B 60 C 45 D 30 Câu 61: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA  3a , đáy hình chữ nhật ABCD có AB  a , AD  a Độ lớn góc hai mặt phẳng (SBC) (DBC) A 90 B 60 C 45 Câu 62: Cho tứ diện A.BCD có BC  a , AD  D 30 a cạnh lại a Độ lớn góc hai mặt phẳng (ABC) (DBC) A 90 B 60 C 45 D 30 Câu 63: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA  3a , đáy hình chữ nhật ABCD có AB  a , AD  a Tang góc hai mặt phẳng (SBD) (ABD) A B C D Câu 64: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy   0    90 Tính tang góc  hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo  A tan   tan  B tan   tan  C tan   tan  D tan   tan  Câu 65: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AA  4AB  2AD Tính hai mặt phẳng  ABD  với mặt phẳng (ABCD) A B 105 21 C 21 21 sin góc tạo D Câu 66: Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30cm, chiều dài 40cm, người ta gấp cạnh dài hình chữ nhật thành bốn phần dán lại để tạo thành hình hộp đứng ABCD.ABCD Tính góc  tạo mặt chéo  ABCD (ABCD) A   5618 B   3652 C   7644 D   7133 Câu 67: Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC , ASB  120 , BSC  90 , CSA  60 Độ lớn góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC) A 90 B 120 C 45 D 30 Câu 68: Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC , ASB  120 , BSC  90 , CSA  60 Tan góc hai mặt phẳng (ABC) (SAC) A B C D Câu 69: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh a, SA   ABCD  SA  x Xác định x để hai mặt phẳng (SCD) (SBC) tạo với góc 60 A a B a C a D a Câu 70: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh a, SA   ABCD  SA  x Hai điểm M N thay đổi hai cạnh CB CD, đặt CM  x , CN  y Xác định hệ thức liên hệ x y góc 45 để hai mặt phẳng (SAM) (SAN) tạo với A 2a  xy  2a  x  y  B 2a  xy  a  x  y  C a  xy  2a  x  y  D a  xy  a  x  y  ... ACD vuông C Ta có: CD  CE  ED2  a  ID    a Lại có: AI.SD  SI  SA SD  SI.SD  SA.SD  Trong AI2  AC2  CI2  SI  SD  DI   SA  SD  AD   2 5a 17a  SI2  SA  AI2  2 Do AI.SD... M Ta có:    a;  P    AMH  HM cos   AM  AH Xét tam giác vuông AMH ta có:  tan   (trong d  A;  P   khoảng cách từ MH   AH d  A;  P    sin    AM AM điểm A đến mặt phẳng... Do tan CSH  39  13 13   DO  AC OD  SD;  SAC   DSO tan DSO  SO DO  SA b) Ta có:  Trong OD  a a 13 39 ;SO  SA  OA   tan DSO  2 13 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình