Định hướng cách giải các dạng toán khoảng cách trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI TRƯỜNG THPT THÁC BÀ BÁO CÁO SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ Lĩnh vực: Toán học TÊN SÁNG KIẾN “ĐỊNH HƯỚNG CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN” Tác giả/đồng tác giả : TRẦN CHÍ CƯỜNG Trình độ chun mơn: Cử nhân Sư phạm Tốn Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Thác Bà Yên Bái, ngày 20 tháng 01 năm 2022 I.THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Định hướng cách giải dạng tốn khoảng cách hình học không gian Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục Phạm vi áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng đơn vị trường THPT Thác Bà Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 10 tháng 09 năm 2021 đến ngày 25 tháng 09 năm 2021 Tác giả: Họ tên: Trần Chí Cường Năm sinh: 1985 Trình độ chun mơn: Đại học sư phạm Tốn Chức vụ cơng tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT Thác Bà Địa liên hệ: Trường THPT Thác Bà, thị trấn Thác Bà, Yên Bình, Yên Bái Điện thoại: 0984199529 II MÔ TẢ GIẢI PHÁP SÁNG KIẾN Tình trạng giải pháp biết Trong trình giảng dạy đồng nghiệp tơi nhận thấy phần lớn học sinh lơ mơ hình học khơng gian Đặc biệt gặp tốn khoảng cách thường khơng định hình cách giải, lúng túng xác định hình chiếu điểm lên đường thẳng, mặt phẳng xác định chúng khơng tính được, tìm cách làm cịn dài chưa kể đến việc vẽ hình chưa chưa biết vẽ hình Trong “Khoảng cách” sách giáo khoa lớp 11 khái niệm khoảng cách định nghĩa cách đơn giản Ngồi khơng đưa thuật tốn rõ ràng để tính khoảng cách, tập yêu cầu với học sinh lại khơng đơn giản Nếu người dạy đưa định nghĩa sách giáo khoa cho học sinh làm tập ví dụ chắn khơng nhiều học sinh làm được, học sinh lúng túng Mặt khác thời gian cho lại nên học sinh lúng túng khơng biết định hình đứng trước toán, cụ thể: Một, tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: + Chưa nhìn cách xác định hình chiếu điểm mặt phẳng + Chưa linh hoạt việc quy đổi khoảng cách mà vội vàng,“máy móc” vận dụng phương pháp tìm hình chiếu điểm xuống mặt phẳng, chưa kể đến đơi bế tắc phần tính tốn Hai, tốn tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau: + Chưa nhận “mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng kia” + Hoặc lúng túng, mặt phẳng chứa đường song song với đường nào? Với việc chọn tối ưu chưa? Liệu có tính khoảng cách khơng? + Lúng túng việc dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo Nội dung giải pháp đề nghị cơng nhận sáng kiến 2.1.Mục đích giải pháp Tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Định hướng cách giải dạng toán khoảng cách hình học khơng gian” nhằm cung cấp cho học sinh nhìn tổng qt có hệ thống tốn tính khoảng cách khơng gian, hệ thống tập phân loại cách tương đối tốt Qua giúp học sinh khơng cịn cảm thấy sợ phần quan trọng hơn, đứng trước tốn học sinh bật hướng làm bài, qua có cách giải tối ưu cho toán 2.2.Nội dung giải pháp 2.2.1 Cơ sở lý thuyết Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm quy luật, phương pháp chung để giải vấn đề quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp toán tương tự Trong dạy học giáo viên có nhiệm vụ thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học điều kiện gợi động cơ, có hướng đích, có kiến thức phương pháp tiến hành có trải nghiệm thành công Do việc định hướng trang bị phương pháp cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Bài “Khoảng cách” sách giáo khoa lớp 11 có đưa khái niệm khoảng cách: - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song - Khoảng cách hai đường thẳng chéo Do cần có định hướng hệ thống phương pháp tiếp cận giải toán: Bài toán 1: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Bài toán 2: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài toán 3: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song Bài toán 4: Khoảng cách hai đường thẳng chéo hầu hết toán khoảng cách giải Vì vậy, việc đưa “Định hướng cách giải dạng tốn khoảng cách hình học khơng gian” việc cần thiết bổ ích cho việc dạy giáo viên việc học hình học không gian học sinh 2.2.2 Một số giải pháp Qua nghiên cứu, trao đổi, đúc rút kinh nghiệm ý kiến đồng nghiệp, mạnh dạn đưa hướng giải vấn đề học sinh với giải pháp: Đưa “Định hướng cách giải dạng tốn khoảng cách hình học khơng gian” sau: 2.2.2.1 Giải pháp Định hướng cách giải dạng tốn tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khi gặp tốn tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng việc cần làm xác định hình chiếu vng góc điểm đường thẳng khơng gian, ta làm sau: Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta cần xác định hình chiếu điểm đường thẳng Điểm thường dựng theo hai cách sau: + Trong vẽ + Dựng mặt phẳng qua vng góc với Tính tốn: Sau xác định khoảng cách cần tính, ta dùng hệ thức lượng tam giác, đa giác, đường trịn, … để tính tốn Trường hợp ta thường hay gặp xem đường cao tam giác Hai cơng thức sau thường dùng để tính tam giác: + vng + có đường cao đường cao thì BÀI TẬP MINH HỌA Bài tập Cho hình chóp tam giác với vng góc với Diện tích tam giác Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng BC Hướng dẫn giải: Định hướng: Hướng dẫn học sinh ơn tập lại cách dựng hình chiếu vng góc điểm đường thẳng tính tốn Kẻ vng góc với Khoảng cách từ S đến BC SH Dựa vào tam giác vng ta có Bài tập Cho tứ diện , , vng góc với đơi , , Tính khoảng cách từ đến đường thẳng Hướng dẫn giải: Định hướng: Hướng dẫn học sinh ôn tập lại cách dựng hình chiếu vng góc điểm đường thẳng tính tốn B + Dựng + , cắt nằm H a ? S 2a C 3a A Xét vuông có đường cao ta có: + Ta dễ chứng minh vuông Áp dụng hệ thức lượng vng ta có: Bài tập Cho hình chóp có , , hình vng cạnh Gọi tâm , tính khoảng cách từ đến Hướng dẫn giải: Định hướng: Hướng dẫn học sinh ơn tập lại cách dựng hình chiếu vng góc điểm đường thẳng tính tốn Kẻ , Ta có: (g.c.g) nên Mà: Vậy , Bài tập Cho hình lập phương có cạnh Tính khoảng cách từ đỉnh hình lập phương đến đường thẳng Hướng dẫn giải: Định hướng: Hướng dẫn học sinh ôn tập lại cách dựng hình chiếu vng góc điểm đường thẳng tính tốn B C Gọi trung điểm Do hình lập phương nên tam giác D A tam giác cạnh M B' A' C' D' Bài tập Cho hình lập phương có cạnh Tính khoảng cách từ đỉnh hình lập phương đến đường thẳng Hướng dẫn giải: Định hướng: Hướng dẫn học sinh ôn tập lại cách dựng hình chiếu vng góc điểm đường thẳng tính tốn Gọi chân đường vng góc hạ từ xuống Dễ thấy vuông đỉnh B C D A B' H C' A' D' 2.2.2.2 Giải pháp Định hướng cách giải dạng tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khi gặp tốn tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ta gặp trường hợp sau: Trương hợp 1: A chân đường cao, tức S P  A  P Bước 1: Dựng K Bước 2: Dựng Trương hợp 2: Dựng đường thẳng AH, A H A' H'  Lúc đó: Trường hợp 3: Tìm đường thẳng a qua A cắt có điểm H cho IA, IH biết tỷ số Dựng đường thẳng AH, I, đường thẳng A H A'  I H' Lúc đó: Kinh nghiệm: Thường điểm H hình chiếu đỉnh BÀI TẬP MINH HỌA Bài tập Cho hình chóp , , vng góc với đơi Biết , Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng Hướng dẫn giải: Định hướng: Đây tốn rơi vào trường hợp tính khoảng cách từ chân đường cao A đến mặt bên (SBC) Kẻ Ta có: Suy Trong tam giác vng ta có: Bài tập Cho hình chóp có , đáy hình chữ nhật Biết , Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng: Hướng dẫn giải: Định hướng: Đây toán rơi vào trường hợp quy trường hợp khoảng cách từ chân đường cao A đến mặt bên (SCD) qua việc nhận thấy AB // (SCD) Dễ thấy AB // (SCB), nên Kẻ , mà nên Trong tam giác vng ta có: Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết Hướng dẫn giải: Định hướng: Đây tốn rơi vào trường hợp tính khoảng cách từ chân đường cao A đến mặt bên (SBC) Gọi E trung điểm BC (vì ABC đều) S Có , F C A E B mà hai mặt phẳng vng góc với theo giao tuyến SE, mp(SAE) dựng F Suy Vậy Trong tam giác vng SAE có Kết luận Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc , có SO vng góc mặt phẳng (ABCD) SO = a a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn giải: a) Định hướng: Đây toán rơi vào trường hợp tính khoảng cách từ chân đường cao O đến mặt bên (SBC) S Hạ F Trong (SOK) kẻ Ta có Trong tam giác vng OBC có: H A E ; B D D B K O C Trong tam giác vng SOK có: Vậy 10 b) Định hướng: Đây toán rơi vào trường hợp quy tính khoảng cách từ chân đường cao O đến mặt bên (SBC) Và dễ dàng nhận thấy Ta có Bài tập 5.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = = 300 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Hướng dẫn giải: Định hướng: H hình chiếu vng góc đỉnh S, hai điểm B H nằm đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAC) C Nên bước ta phải tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SAC) , sau sử dụng cơng thức tỉ số khoảng cách để tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) Cách làm cụ thể sau : S Gọi H hình chiếu vng góc S BC Do vng góc với theo giao tuyến K BC nên Trong G A vuông H, H 3a có Trong mp(ABC) dựng 300 G Ta có C 2a 4a B mà hai mặt phẳng vng góc với theo giao tuyến SG, mp(SHG) dựng K Vậy Ta có Trong vuông H : Hai điểm H B nằm đường thẳng có giao điểm với mp(SAC) C, nên có: 11 Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, , hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Hướng dẫn giải: Định hướng: Đây toán rơi vào trường hợp quy tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (SBD), sau sử dụng cơng thức tỉ số khoảng cách để tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SBD) Gọi H trung điểm AB, O giao điểm AC BD Theo đề ta có S vng A có I A D H O K B vng H có C Dựng Có mà hai mặt phẳng vng góc với theo giao tuyến SK, dựng Vậy Ta có , có Hai điểm A H nằm đường thẳng có giao điểm với mp(SBD) B có: Bài tập Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A' mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A'C mặt phẳng đáy 60 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC'A') Hướng dẫn giải: Định hướng: Quy tốn tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC'A') tốn tính khoảng cách từ hình chiếu vng góc H đến mp(ACC’A’) 12 A' Gọi H trung điểm AB Theo đề ta có Có HC hình chiếu vng góc A'C mặt phẳng (ABC), nên góc A'C mặt phẳng (ABC) góc Do I B' A Dựng Có C' K C 600 H B mà hai mặt phẳng vng góc với theo giao tuyến A'K, dựng Vậy Ta có , có Hai điểm B H nằm đường thẳng có giao điểm với mp(ACC'A') A có: 2.2.2.3 Giải pháp Định hướng cách giải dạng tốn tính khoảng đường thẳng mặt phẳng song song Việc tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với ln quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cần lưu ý việc chọn điểm đường thẳng cho việc xác định khoảng cách đơn giản BÀI TẬP MINH HỌA Bài tập Cho hình thang vng đường thẳng vng góc với vng , lấy điểm với Trên Tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng Hướng dẫn giải: Định hướng: Quy tốn tính khoảng cách từ BC đến mặt phẳng (SAB) tốn tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) 13 Vì // nên // Kẻ , Trong tam giác vng , nên suy ta có: Bài tập Cho hình chóp tứ giác cách từ đường thẳng đến mặt phẳng Hướng dẫn giải: Định hướng: Quy tốn tính khoảng cách từ AB đến Tính khoảng mặt phẳng (SCD) tốn tính khoảng cách từ trung điểm I đến mặt phẳng (SCD) Gọi Vẽ trung điểm cạnh S cạnh H A Và I Cuối B D M O C 2.2.2.4 Giải pháp Định hướng cách giải dạng tốn tính khoảng hai mặt phẳng song song Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song ln quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cần lưu ý việc chọn điểm mặt phẳng cho việc xác định khoảng cách đơn giản BÀI TẬP MINH HỌA Bài tập Cho hình lăng trụ tứ giác có cạnh đáy Gọi , , trung điểm , , Tính khoảng cách hai mặt phẳng Hướng dẫn giải: Định hướng: Quy tốn tính khoảng cách hai mặt phẳng (MNP) (ACA’) tốn tính khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng (ACA’) 14 Ta có: // Bài tập Cho hình lăng trụ có tất cạnh Góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy Hình chiếu mặt phẳng thuộc đường thẳng Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy lăng trụ Hướng dẫn giải: Định hướng: Quy tốn tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy lăng trụ toán tính khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy Do hình lăng trụ suy có tất cạnh A C B A' C' H B' 2.2.2.5 Giải pháp Định hướng cách giải dạng tốn tính khoảng hai đường thẳng chéo Khi gặp tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo phương pháp chung ta phải chuyển khoảng cách hai đường thẳng chéo về: khoảng cách hai đường mặt phẳng song song với chứa đường thẳng cịn lại; khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng tìm cách dựng đường vng góc chung tính độ dài đoạn Cụ thể, để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta dùng cách sau: Cách 1: Chọn mặt phẳng chứa đường thẳng song song với Khi M '  H  15 Cách 2: Dựng hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Khoảng cách hai mặt phẳng khoảng cách cần tìm   '  Cách 3: Dựng đoạn vng góc chung tính độ dài đoạn Trường hợp 1: vừa chéo vừa vng góc với Bước 1: Chọn mặt phẳng chứa vng góc với Bước 2: Trong mặt phẳng kẻ Khi đoạn vng góc chung  ' I J  Trường hợp 2: chéo mà khơng vng góc với Bước 1: Chọn mặt phẳng chứa song song với Bước 2: Dựng hình chiếu vng góc xuống cách lấy điểm dựng đoạn , lúc đường thẳng qua song song với Bước 3: Gọi , dựng Khi đoạn vng góc chung M K H  d  N ' Hoặc Bước 1: Chọn mặt phẳng Bước 2: Tìm hình chiếu xuống mặt phẳng Bước 3: Trong mặt phẳng , dựng , từ dựng đường thẳng song song với cắt , từ dựng 16 Khi đoạn vng góc chung  ' H M d I J  BÀI TẬP MINH HỌA Bài tập Cho hình chóp có , đáy nhật với Tính khoảng cách Hướng dẫn giải: Định hướng: Do mặt phẳng (SAD) chứa SD hình chữ BC // (SAD), nên nghĩ tới việc quy tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SD BC tính khoảng cách đường thẳng BC mp(SAD) Ta có: // Mà Ta có: Bài tập Cho chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên Gọi G trọng tâm tam giác ABC Dựng tính đoạn vng góc chung hai đường thẳng SA BC S Hướng dẫn giải: Định hướng: Hướng dẫn học sinh cách dựng đoạn N vuông góc chung hai đường thẳng chéo tính Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC M C A G Chóp Vì Trong S.ABC đều, mà G tâm từ suy kẻ nên M B ( ) Do MN đoạn vng góc chung BC SA 17 Trong vng G có Trong có Bài tập Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a , Hình chiếu vng góc điểm D BB' điểm K nằm BB' , hình chiếu vng góc điểm B' mặt phẳng (ABCD) điểm H nằm đoạn thẳng BD Tính khoảng cách hai đường thẳng B'C DC' Hướng dẫn giải: Định hướng: Do mặt phẳng (SAD) chứa SD DC’ // (AB’C), nên nghĩ tới việc quy tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo B’C DC’ tính khoảng cách đường thẳng DC’ mp(AB’C) B' Ta có C' A' K Trong tam giác vuông BKD : D' a B H 60° A Ta có C D Trong tam giác vuông B'KD : Suy tam giác B'BD cân B' H giao điểm AC BD Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Hướng dẫn giải: Định hướng: Dựng đoạn vng góc chung tính Ta có: 18 S Do Kẻ Suy HK đoạn vuông góc chung K N A DM SC nên D H M Ta có: B C Vậy Bài tập Cho hình lập phương trung điểm có cạnh a Gọi M Tính khoảng cách hai đường thẳng CM Hướng dẫn giải: Định hướng: Dựng mặt phẳn chứa A’D song song với CM Quy tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách đường thẳng mặt phẳng Gọi N trung điểm D' C' hình bình hành nên Mặt phẳng ( song song với ) chứa A' nên B' M O G với N D C Gọi G trọng tâm tam giác Tứ diện Do A B E vng A nên 19 Vậy Khả áp dụng giải pháp Sáng kiến áp dụng vào dạy bồi dưỡng cho học sinh giỏi thi vượt cấp lớp 11 thi học sinh giỏi lớp 12 – Trường THPT Thác Bà – huyện n Bình – tỉnh n Bái Ngồi sáng kiến áp dụng để dạy cho học sinh lớp 11, dạy bồi dưỡng cho học sinh giỏi thi vượt cấp lớp 11 thi học sinh giỏi lớp 12 – THPT toàn quốc Hiệu quả, lợi ích thu dự kiến thu áp dụng giải pháp 4.1 Hiệu cụ thể mang lại Trong năm trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi trường dự thi cấp tỉnh áp dụng sáng kiến kinh nghiêm kết thu sau: - Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Yên Bái năm học 2021 - 2022 học sinh thi làm câu hình học khơng gian đề thi - Giải học sinh giỏi cấp tỉnh: 04 giải khuyến khích 4.2 So sánh hiệu trình giảng dạy Để kiểm nghiệm hiệu đề tài nghiên cứu tiến hành giảng dạy theo nội dung đề tài q trình ơn thi chọn đội tuyển học sinh giỏi trường THPT Thác Bà thi cấp tỉnh năm học 2021 – 2022 Nhóm (nhóm thực nghiệm): học sinh Nhóm (nhóm đối chứng): học sinh Kết thực nghiệm thông qua điểm số kiểm tra khảo sát 45 phút (ở phần tài liệu gửi kèm) Kết thu cụ thể sau: Nhóm thực nghiệm ( học sinh) Nhóm đối chứng (4 học sinh) điểm ; điểm 10 điểm 5; điểm 7,5 Giỏi: 100% Trung bình: 50% ; Khá 50% ; Giỏi: 0% Nhận xét: Thông qua bảng kết so sánh nhận thấy nhóm (nhóm thực nghiệm) có kết học tập trội hẳn so với nhóm (nhóm đối chứng) Lý do: 20 - Nhóm (nhóm thực nghiệm): sau áp dụng đề tài dễ dàng định hướng cách giải tốn khoảng cách khơng gian; dễ dàng lựa chọn phương pháp giải tình cụ thể Vì kết kiểm tra tốt - Nhóm (nhóm đối chứng): lúng túng, khó khăn việc định hướng lựa chọn phương pháp giải phù hợp Gặp toán lạ bắt đầu tư đâu, dẫn đến kết làm kiểm tra thấp Những người tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến lần đầu: không Các thông tin cần bảo mật Sáng kiến muốn áp dụng rộng rãi trường THPT Thác Bà nên không sử dụng thông tin cần bảo mật Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến - Giáo viên: Trình độ chuyên mơn: Cử nhân sư phạm Tốn trở lên - Học sinh: Sáng kiến áp dụng đối tượng học sinh lớp 11; học sinh thi học sinh giỏi THPT tỉnh Yên Bái Tài liệu gửi kèm: - Kế hoạch dạy học - Ma trận đề kiểm tra - Đề kiểm tra III CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN Tôi cam kết không chép vi phạm quyền Thác Bà, ngày 20 tháng 01 năm 2022 Người viết báo cáo Trần Chí Cường 21 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG VỀ VIỆC TRIỂN KHAI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN TẠI ĐƠN VỊ 22