1 Hình thức luận (Formalism) Hình thức luận • Mô hình toán học có cấu trúc “hoàn chỉnh”, “tổng quát” • Pt Schrödinger có cấu trúc phương trình tuyến tính •→ Toán tử tuyến tính và hàm sóng trong không.
Hình thức luận (Formalism) Hình thức luận • Mơ hình tốn học có cấu trúc “hồn chỉnh”, “tổng qt” • Pt Schrưdinger có cấu trúc phương trình tuyến tính • → Tốn tử tuyến tính hàm sóng khơng gian Hilbert • QM: Schrưdinger (wave mechanics) & Heisenbger (matrix mechanics) • → Tốn sở liên tục (sóng) rời rạc (matrix) • Đại số tuyến tính (Linear algebra) Hàm sóng sống khơng gian Hilbert! Khơng gian Hilbert = Tập hợp hàm sóng bình phương khả tích (trong miền xác định) 𝑓 𝑥 thoả mãn 𝑏 න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 < ∞ 𝑎 𝑓 𝑥 xem vector không gian Hilbert Khơng gian Hilbert Tích (inner product) ≡ ۧ𝑔|𝑓ۦන 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Bất đẳng thức Schwarz 𝑏 න 𝑓 𝑥 𝑏 ∗𝑔 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑎 න 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑑𝑥 න 𝑎 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎 ; ∗ۧ𝑔|𝑓ۦ = ۧ𝑓|𝑔ۦ 𝑏 = ۧ𝑓|𝑓ۦන 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 ۧ𝑓|𝑓ۦlà số thực không âm 𝑓(𝑥) = Không gian vector [nhắc lại] 𝐴Ԧ 𝐵 𝑄 Tịnh tiến 𝐵 = 𝑄 𝐴Ԧ 10 Không gian vector 𝐵 𝐴Ԧ 𝑄 Quay (90) 𝐵 = 𝑄 𝐴Ԧ 11 Không gian vector 𝐵 𝐴Ԧ 𝑄 𝐵 = 𝑄 𝐴Ԧ 15 Không gian vector 𝐴Ԧ 𝑎2 𝑖Ԧ2 𝑎1 𝑖Ԧ1 ∙ 𝑖Ԧ1 = 𝑖Ԧ1 ∙ 𝑖Ԧ2 = 𝑖Ԧ1 𝑎1 2D: 𝐴Ԧ ≡ 𝑎 3D: 𝐴Ԧ ≡ 𝐴Ԧ = → 𝑖Ԧ𝑚 ∙ 𝑖Ԧ𝑛 = 𝛿𝑚𝑛 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑛D: 𝐴Ԧ ≡ 𝑎1 𝑎2 ⋮ 𝑎𝑛 𝑛 𝑚=1 𝑎𝑚 𝑖Ԧ𝑚 16 Không gian vector 𝐴Ԧ 𝐴Ԧ 𝑎2 𝑎2′ 𝑖Ԧ2 𝑎1 𝑖Ԧ1′ 𝑖Ԧ1 𝑎1′ 𝑎1′ = 𝑖Ԧ1′ ∙ 𝐴Ԧ 𝑎1 = 𝑖Ԧ1 ∙ 𝐴Ԧ 𝑎2 = 𝑖Ԧ2 ∙ 𝐴Ԧ 𝑎2′ = 𝑖Ԧ2′ ∙ 𝐴Ԧ Ԧ biểu diễn Cùng vector 𝐴, hệ sở 𝑖Ԧ1 , 𝑖Ԧ2 , {Ԧ𝑖1′ , 𝑖Ԧ2′ }, khác 17 Không gian vector 𝐴Ԧ 𝐴Ԧ 𝑄 Không gian Hilbert 𝐵 |𝛼 ۧ 𝐵 = 𝑄 𝐴Ԧ 𝛼ۧ |𝛽 ۧ = 𝑄| Tích vơ hướng 𝐴Ԧ ∙ 𝐵 𝑎1 𝑎2 𝐴Ԧ ≡ ⋮ 𝑎𝑛 |𝛽 ۧ Tích ≡ ۧ 𝛽|𝛼ۦන 𝛼 𝑥 ∗ 𝛽 𝑥 𝑑𝑥 𝑎1 𝑎2 Ket: |𝛼 ۧ = ⋮ 𝑎𝑛 ∗ Bra: 𝑎 = |𝛼ۦ1∗ 𝑎2∗ … 𝑎𝑛 18 Không gian Hilbert |𝛼 ۧ = 𝑄 𝑎1 𝑎2 ⋮ 𝑎𝑛 𝑄 |𝛽 ۧ 𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏𝑛 |𝛽 ۧ = 𝛼ۧ |𝛽ۧ = 𝑄| = 𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏𝑛 |𝛼 ۧ 𝑞11 𝑞12 … 𝑞21 ⋮ 𝑞𝑛1 𝑞22 ⋮ 𝑞𝑛2 … 𝑞2𝑛 ⋮ ⋱ … 𝑞𝑛𝑛 𝑞1𝑛 𝑎1 𝑎2 ⋮ 𝑎𝑛 19 Khơng gian vector Khơng gian Hilbert • Chuẩn hố: ൻ𝑓𝑚 |𝑓𝑚 ۧ = ; • Trực giao: ൻ𝑓𝑚 |𝑓𝑛 ۧ = , 𝑚 ≠ 𝑛 • Trực giao & Chuẩn hoá ≡ Trực chuẩn: ൻ𝑓𝑚 |𝑓𝑛 ۧ = 𝛿𝑚𝑛 ; • Đầy đủ: 𝑓 𝑥 = σ𝑛 𝑐𝑛 𝑓𝑛 𝑥 (vector 𝑓 𝑥 biểu diễn qua hệ vector sở 𝑓𝑛 ) |𝑓 ۧ = σ𝑛 𝑐𝑛 |𝑓𝑛 ۧ • Hệ số 𝑐𝑛 = = 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 𝑥 ∗𝑛𝑓 ൻ𝑓𝑛 |𝑓ۧ (xem “toạ độ” |𝑓ۧ trục |𝑓𝑛 ۧ) 𝐴Ԧ 𝑎2 𝑖Ԧ2 𝑎1 𝑖Ԧ1 𝑎1 𝐴Ԧ ≡ 𝑎 𝑖Ԧ1 ∙ 𝑖Ԧ1 = 𝑖Ԧ1 ∙ 𝑖Ԧ2 = 𝑖Ԧ𝑚 ∙ 𝑖Ԧ𝑛 = 𝛿𝑚𝑛 𝐴Ԧ = 𝑛 𝑚=1 𝑎𝑚 𝑖Ԧ𝑚 𝑎1 = 𝑖Ԧ1 ∙ 𝐴Ԧ 𝑎2 = 𝑖Ԧ2 ∙ 𝐴Ԧ 21 Đại lượng quan sát 𝑄 ≡ ۧ 𝛽|𝛼ۦන 𝛼 𝑥 ∗ 𝛽 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ൻΨ|𝑄Ψ ൿ 𝑄 = නΨ ∗ 𝑄Ψ 𝑄 ∈ 𝑅 𝑄 = 𝑄 ∗ ൿ=ൻ𝑄Ψ| Ψۧ ↔ ൻΨ|𝑄Ψ Vậy: Các toán tử biểu thị đại lượng vật lý (đại lượng quan sát được, đo được) có tính chất đặc biệt sau: ൿ = ൻ𝑄𝑓| 𝑓ۧ với 𝑓(𝑥) ൻ𝑓|𝑄𝑓 Các toán tử gọi toán tử Hermit ൿ = ൻ𝑄𝑓| 𝑔ۧ với 𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) ൻ𝑓|𝑄𝑔 22 Đại lượng quan sát (Đại lượng vật lý) Đại lượng vật lý (đại lượng quan sát được) biểu diễn toán tử 𝑄 , gọi toán tử Hermit thoả điều kiện ൿ = ൻ𝑄𝑓| 𝑓ۧ với 𝑓(𝑥) ൻ𝑓|𝑄𝑓 23 Bài tập nhỏ • Tốn tử động lượng có hermit khơng? • CMR tổng hai toán tử hermit tốn tử hermit • 𝑄 tốn tử hermit 𝛼 số phức Với điều kiện 𝛼 hermit? 𝛼𝑄 • Khi tích tốn tử hermit hermit? • CMR tốn tử vị trí (𝑥ො = 𝑥 ) tốn tử hermit • CMR tốn tử Hamiltonian hermit 24 Đại lượng quan sát Toán tử liên hiệp hermit toán tử 𝑄 toán tử 𝑄 + cho ൿ = ൻ𝑄 + 𝑓|𝑔ۧ với 𝑓và 𝑔 ൻ𝑓|𝑄𝑔 25 Đại lượng quan sát Trạng thái xác định • 𝜎 = (∆𝑗)2 , với ∆𝑗 = 𝑗 − 𝑗 • 𝜎 = (𝑗 − 𝑗 )2 • 𝜎 = (𝑗 − 𝑗 )2 = 𝑗 − 2𝑗 𝑗 + 𝑗 = 𝑗2 − 𝑗 𝑗 + 𝑗 = 𝑗2 − 𝑗 = 𝑗2 − 𝑗 • Trong lượng tử, phép đo (tức quan sát) 𝑄 tương ứng với tốn Vì ta thay 𝑗 𝑄, 𝑗 trung bình lần đo 𝑄: 𝑄 tử 𝑄 Gọi trung bình 𝑄 𝑞 ta có: • 𝜎 = (𝑄 − 𝑄 )2 = (𝑄 − 𝑞)2 𝑑𝑥 (Đại lượng quan sát) • 𝑄 ≡ 𝑄 ≡ 𝑞 ≡ Ψ ∗ 𝑄Ψ 𝑑𝑥 = ൻΨ|𝑄Ψ ൿ (theo định nghĩa tích trong) • 𝑄 = Ψ ∗ 𝑄Ψ 27 Đại lượng quan sát Trạng thái xác định 𝑑𝑥 (Đại lượng quan sát) • 𝑄 ≡ 𝑄 ≡ 𝑞 ≡ Ψ∗ 𝑄Ψ 𝑑𝑥 = ൻΨ|𝑄Ψ ൿ (theo định nghĩa tích trong) • 𝑄 = Ψ∗ 𝑄Ψ • Áp dụng cơng thức cho tốn tử (𝑄 − 𝑞)2 được: (𝜎 =) (𝑄 − 𝑞)2 = ൻΨ|(𝑄 − 𝑞)2 Ψൿ = ൻΨ| 𝑄 − 𝑞 𝑄 − 𝑞 Ψൿ = ൻΨ|(𝑄 − 𝑞)((𝑄 − 𝑞)Ψ)ൿ • Vì (𝑄 − 𝑞) toán tử hermit nên ൻΨ|(𝑄 − 𝑞)((𝑄 − 𝑞)Ψ)ൿ = ൻ(𝑄 − 𝑞)Ψ| 𝑄 − 𝑞 Ψൿ = 𝜎2 28 Đại lượng quan sát Trạng thái xác định • Nếu lần đo giá trị ứng với toán tử 𝑄 cho giá trị 𝒒 độ lệch chuẩn (𝑄 − 𝑞)2 (độ lệch lần đo so với giá trị trung bình) phải 0, tức (𝑄 − 𝑞)Ψ 𝑄 − 𝑞 Ψ = • Đây tích hàm (𝑄 − 𝑞)Ψ với • Tích 𝑄 − 𝑞 Ψ = = 𝒒𝚿 • Hay 𝑸𝚿 29 Đại lượng quan sát Trạng thái xác định = 𝑞𝛹 𝑄𝛹 𝛹 hàm riêng 𝑄 , • PT phương trình trị riêng cho tốn tử 𝑄 𝑞 trị riêng tương ứng Lúc hàm riêng 𝛹 trạng thái xác định phép đo 𝑄 trạng thái cho giá trị 𝑞 • Vậy, trạng thái xác định hàm riêng 𝑄 Đại lượng vật lý (đại lượng quan sát được) biểu diễn toán tử 𝑄 , gọi toán tử Hermit thoả điều kiện ൿ = ൻ𝑄𝑓| 𝑓ۧ với 𝑓(𝑥) ൻ𝑓|𝑄𝑓 30 10 Trạng thái riêng toán tử hermit Phổ rời rạc (năng lượng) = 𝒒𝒇, 𝐪 ∈ 𝑹 • Các trị riêng (của hàm riêng) thực: 𝑸𝒇 • Các hàm riêng trực giao • Các hàm riêng (của đại lượng quan sát) đầy đủ [Xin xem thêm mục 3.3.1, trang 101 sách Griffiths] Chuẩn hoá: ൻ𝑓𝑚 |𝑓𝑚 ۧ = ; Trực giao: ൻ𝑓𝑚 |𝑓𝑛 ۧ = , 𝑚 ≠ 𝑛 Trực chuẩn: ൻ𝑓𝑚 |𝑓𝑛 ۧ = 𝛿𝑚𝑛 Đầy đủ: 𝑓 𝑥 = σ𝑛 𝑐𝑛 𝑓𝑛 𝑥 (vector 𝑓 𝑥 biểu diễn qua hệ sở 𝑓𝑛 ) |𝑓ۧ = σ𝑛 𝑐𝑛 |𝑓𝑛 ۧ 𝑐𝑛 = = 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 𝑥 ∗𝑛𝑓 ൻ𝑓𝑛 |𝑓ۧ 31 Trạng thái riêng toán tử hermit Phổ rời rạc (năng lượng) • {|𝑓𝑛 ۧ}: 𝑓𝑛 ۧ = 𝐸𝑛 |𝑓𝑛 ۧ • 𝐻| Viết cách khác • {|𝑛ۧ}: |𝑛ۧ = 𝐸𝑛 |𝑛ۧ •𝐻 {|𝑓𝑛 ۧ} Trực chuẩn: ൻ𝑓𝑚 |𝑓𝑛 ۧ = 𝛿𝑚𝑛 ; Đầy đủ: 𝑓 𝑥 = σ𝑛 𝑐𝑛 𝑓𝑛 𝑥 |𝑓ۧ = σ𝑛 𝑐𝑛 |𝑓𝑛 ۧ (vector 𝑓 𝑥 biểu diễn qua hệ sở 𝑓𝑛 ) 𝑐𝑛 = = 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 𝑥 ∗𝑛𝑓 ൻ𝑓𝑛 |𝑓ۧ 32 11 Khơng gian Hilbert – Giải thích thống kê Ý nghĩa “tích vơ hướng” (tích trong) 𝑓 𝑔 : • Tương tự tích vơ hướng 𝐴Ԧ ∙ 𝐵 khơng gian Euclide biểu diễn Ԧ tích 𝑓 𝑔 biểu diễn hình chiếu hình chiếu 𝐵 lên 𝐴, vector |𝑔ۧ lên |𝑓ۧ • Về mặt thống kê, trường hợp trạng thái chuẩn hoá (thoả mãn điểu kiện chuẩn hoá hàm sóng), tích 𝑓 𝑔 cho biết thơng tin xác suất hạt trạng thái |𝑔ۧ tìm thấy trạng thái |𝑓ۧ khác sau tác động (tác động phép đo…): • 𝒇 𝒈 𝟐 = Xác suất tìm hạt trạng thái |𝒇ۧ mà trước hạt trạng thái |𝒈ۧ 33 Bài tập nhỏ Một electron khối lượng 𝑚 chuyển động giếng vng vơ hạn có bề rộng 𝑎: 𝑉 𝑥 = 0, 𝑥 ∈ (0, 𝑎), ngồi 𝑉 𝑥 = ∞ Nếu electron thời điểm ban đầu trạng thái bản, ta đột ngột làm cho giếng có bề rộng 4𝑎 (dời cách tức thời thành bên phải từ 𝑎 đến 4𝑎), tính xác suất tìm electron ở: trạng thái giếng ∞ 𝑉 𝑥 ∞ ∞ 𝜓1 (𝑥) 𝑉 𝑥 ∞ 𝜑1 (𝑥) 𝑎 𝑥 4𝑎 𝑥 35 12 Trạng thái riêng toán tử hermit Phổ liên tục: Xét toán tử động lượng [Xem 3.3.2 sách Griffiths] (Xin xem ví dụ 3.2) Hệ sở {|𝑝ۧ} (hoặc {𝑓𝑝 𝑥 }) ứng với toán tử động lượng cho bởi: 𝑝ො|𝑝ۧ = 𝑝|𝑝ۧ ෝ𝑝𝑓𝑝 𝑥 = 𝑝𝑓𝑝 𝑥 (∗) với 𝑝ො = ℏ 𝑑 𝑖 𝑑𝑥 , 𝑝 trị riêng toán tử này, tức giá trị động lượng 𝑑 Giải PT (*) (tức ℏ𝑖 𝑑𝑥 𝑓𝑝 𝑥 = 𝑝𝑓𝑝 𝑥 ), hệ hàm riêng (hệ sở) 𝑖𝑝𝑥 𝑖𝑝𝑥 |𝑝ۧ ≡ 𝑓𝑝 𝑥 = 𝐴𝑒 ℏ = 𝑒 ℏ 2𝜋ℏ 𝐴 xác định điều kiện chuẩn hoá: ∞ 𝑝′ 𝑝 ≡ න 𝑓𝑝∗′ 𝑥 𝑓𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝛿(𝑝 − 𝑝′ ) −∞ 37 Trạng thái riêng toán tử hermit Phổ liên tục: Xét toán tử động lượng [Xem 3.3.2 sách Griffiths] 𝑝 liên tục nên tổng thay tích phân tính đầy đủ (đầy đủ: 𝑓(𝑥) = σ𝑛 𝑐𝑛 𝑓𝑛 𝑥 ): Một hàm sóng (vector) biểu diễn qua hệ sở {𝑓𝑝 𝑥 } ∞ ∞ 𝑖𝑝𝑥 𝑓 𝑥 ≡ න 𝑐 𝑝 𝑓𝑝 𝑥 𝑑𝑝 = න 𝑐(𝑝) 𝑒 ℏ 𝑑𝑝 2𝜋ℏ −∞ −∞ với 𝑐(𝑝) = 𝑓𝑝 𝑓 Đặt Φ 𝑝 = 𝑐(𝑝) Một cách tổng quát, hàm sóng phụ thuộc thời gian → Thay 𝑓 𝑥 thành Ψ 𝑥, 𝑡 Φ 𝑝 thành Φ 𝑝, 𝑡 ∞ ∞ 𝑖𝑝𝑥 𝑖𝑝𝑥 ℏ Ψ 𝑥, 𝑡 = න 𝑐 𝑝, 𝑡 𝑒 𝑑𝑝 ≡ න Φ 𝑝, 𝑡 𝑒 ℏ 𝑑𝑝 2𝜋ℏ −∞ −∞ 38 13 Trạng thái riêng toán tử hermit Phổ liên tục: Xét toán tử toạ độ [Xem 3.3.3 sách Griffiths] (Xin xem ví dụ 3.3) Hệ sở {|𝑥 ۧ} (hoặc {𝑔𝑦 𝑥 }) ứng với toán tử toạ độ 𝑥ො cho bởi: 𝑥ො |𝑥 ۧ = 𝑦|𝑥 ۧ 𝑥𝑔 ො 𝑦 𝑥 = 𝑦𝑔𝑦 𝑥 (∗) 𝑥ො = 𝑥 (toán tử nhân 𝑥 vào vector |𝑥 ۧ) , 𝑦 (một số cố định) trị riêng toán tử 𝑥, ො tức giá trị vị trí Giải phương trình *, hệ hàm riêng (hệ sở) |𝑥 ۧ ≡ 𝑔𝑦 𝑥 = 𝐴𝛿 𝑥 − 𝑦 𝐴 xác định đk chuẩn hoá: ∞ 𝑥′ 𝑥 ≡ −∞ 𝑔𝑦∗ ′ 𝑥 𝑔𝑦 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴 𝛿(𝑦 − 𝑦 ′ ) Chọn 𝐴 = 39 Trạng thái riêng toán tử hermit Phổ liên tục: Xét toán tử toạ độ [Xem 3.3.3 sách Griffiths] 𝑦 liên tục nên tổng thay tích phân tính đầy đủ (𝑓(𝑥) = σ𝑛 𝑐𝑛 𝑓𝑛 𝑥 ): Một hàm sóng (vector) biểu diễn qua hệ sở {𝑔𝑦 𝑥 } ∞ ∞ 𝑓 𝑥 ≡ න 𝑐 𝑦 𝑔𝑦 𝑥 𝑑𝑦 = න 𝑐 𝑦 𝛿 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑐(𝑥) −∞ −∞ 𝑐 𝑦 = 𝑔𝑦 𝑓 = 𝑓(𝑦) ∞ ∞ Ψ 𝑥, 𝑡 = න 𝑐 𝑦, 𝑡 𝑔𝑦 𝑥 𝑑𝑦 = න 𝑐 𝑦, 𝑡 𝛿 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑐(𝑥, 𝑡) −∞ −∞ Như vậy, 𝑐 𝑥, 𝑡 hàm sóng theo toạ độ thời gian Ψ 𝑥, 𝑡 ! 40 14 Không gian Hilbert – Giải thích thống kê Phổ rời rạc (năng lượng) • Ψ(𝑥) = σ𝑛 𝑐𝑛 𝑓𝑛 𝑥 • ۦΨ|Ψۧ = σ𝑛 𝑐𝑛 =1 • 𝑐𝑛 = 𝑥 ∗𝑛𝑓 Ψ 𝑥 𝑑𝑥 = ൻ𝑓𝑛 |Ψۧ 𝑛 = 𝑞𝑛 𝑓𝑛 → 𝑄 = ۦΨ|𝑄Ψ ൿ = σ𝑛 𝑞𝑛 𝑐𝑛 • 𝑄𝑓 • 𝑐𝑛 = ൻ𝑓𝑛 |Ψۧ 2 = Xác suất đo Q thu 𝑞𝑛 • Nếu Q lượng: 𝑐𝑛 trị 𝐸𝑛 xác suất đo E thu giá 41 Khơng gian Hilbert – Giải thích thống kê Phổ liên tục: Toán tử động lượng ∗𝑝𝑓 +∞ −𝑖𝑝𝑥 𝑒 ℏ 2𝜋ℏ −∞ 𝑐 𝑝 = 𝑓𝑝 Ψ = 𝑥 Ψ 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥 = Ψ 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥 𝑐(𝑝) 𝑑𝑝: Xác suất đo động lượng thu 𝑝 khoảng 𝑝, 𝑝 + 𝑑𝑝 𝑐(𝑝) đại lượng quan trọng ký hiệu Φ(𝑝, 𝑡) 42 15 Không gian Hilbert – Giải thích thống kê Φ(𝑝, 𝑡) = +∞ 2𝜋ℏ න 𝑒 −𝑖𝑝𝑥/ℏ Ψ 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥 [3.54] −∞ Φ(𝑝, 𝑡) phép biến đổi Fourier hàm sóng khơng gian toạ độ Ψ 𝑥, 𝑡 Vì 𝜱(𝒑, 𝒕) có ý nghĩa hàm sóng khơng gian động lượng 𝜱(𝒑, 𝒕) gọi hàm sóng biểu diễn động lượng Φ(𝑝, 𝑡) 𝑑𝑝: xác suất để phép đo động lượng cho 𝑝 khoảng 𝑝, 𝑝 + 𝑑𝑝 Ψ(𝑥, 𝑡) phép biến đổi Fourier ngược hàm sóng khơng gian động lượng: Ψ (𝑥, 𝑡) = 2𝜋ℏ +∞ න 𝑒 𝑖𝑝𝑥/ℏ Φ 𝑝, 𝑡 𝑑𝑝 [3.55] −∞ 43 Ký hiệu Dirac 𝐴Ԧ 𝐴Ԧ 𝑎2 𝑎2′ 𝑖Ԧ2 𝑎1 𝑖Ԧ1 𝑖Ԧ1′ 𝑎1′ 𝑎1′ = 𝑖Ԧ1′ ∙ 𝐴Ԧ 𝑎1 = 𝑖Ԧ1 ∙ 𝐴Ԧ 𝑎2 = 𝑖Ԧ2 ∙ 𝐴Ԧ 𝑎2′ = 𝑖Ԧ2′ ∙ 𝐴Ԧ Ԧ biểu diễn Cùng vector 𝐴, hệ sở 𝑖Ԧ1 , 𝑖Ԧ2 , {Ԧ𝑖1′ , 𝑖Ԧ2′ }, khác 48 16 Ký hiệu Dirac Hệ vật lý: Trạng thái hệ biểu diễn vector: |𝑆(𝑡)ۧ Vector |𝑆(𝑡)ۧ hệ biểu diễn hệ sở khác nhau, tựa vector 𝐴Ԧ sở khác 𝑎1′ = 𝑖Ԧ1′ ∙ 𝐴Ԧ 𝑎1 = 𝑖Ԧ1 ∙ 𝐴Ԧ 𝑎2 = 𝑖Ԧ2 ∙ 𝐴Ԧ 𝑎2′ = 𝑖Ԧ2′ ∙ 𝐴Ԧ 49 Biểu diễn trạng thái |S(𝑡)ۧ hệ sở {|𝑥 ۧ}: 𝑥ො |𝑥 ۧ = 𝑥|𝑥 ۧ {|𝑝ۧ}: 𝑝ො|𝑝ۧ = 𝑝|𝑝ۧ Ψ 𝑥, 𝑡 = ۧ)𝑡(𝑆|𝑥ۦ Φ 𝑝, 𝑡 = ۧ)𝑡(𝑆|𝑝ۦ {|𝑛ۧ}: |𝑛ۧ = 𝐸𝑛 |𝑛ۧ 𝐻 𝑐𝑛 = ۧ)𝑡(𝑆|𝑛ۦ |S(𝑡)ۧ 50 17 Bài tập • Xin đọc trình bày lại cách thật chi tiết ví dụ 3.4 (trang 108 sách Griffiths) • Bài tập 3.12 (sách Griffiths) • Bài tập 3.27 (sách Griffiths) • Bài tập 3.30 (sách Griffiths) 55 Nguyên lý bất định • Xét hai đại lượng khảo sát A B • Tốn tử tương ứng 𝐴መ 𝐵 • Tìm 𝜎𝐴2 𝜎𝐵2 56 18 CM Ngun lý bất định 𝜎𝐴2 = 𝐴መ − 𝐴 = Ψ 𝐴መ − 𝐴 = ൻΨ|൫𝐴መ − 𝐴 )(𝐴መ − 𝐴 )Ψൿ Ψ ൿ = ൻ𝑄𝑓| 𝑔ۧ ൻ𝑓|𝑄𝑔 = ർ൫𝐴መ − 𝐴 )Ψ| 𝐴መ − 𝐴 Ψൿ = 𝑓 𝑓 , 𝑓 ≡ 𝐴መ − 𝐴 Ψ 𝜎𝐵2 = 𝐵 − 𝐵 = (𝐵 − 𝐵 )Ψ 𝐵 − 𝐵 Ψ = 𝑔 𝑔 𝑔 ≡ 𝐵 − 𝐵 Ψ 57 CM Nguyên lý bất định 𝜎𝐴2 𝜎𝐵2 = 𝑓 𝑓 𝑔 𝑔 ≥ 𝑓 𝑔 𝑧 = Re z 𝑧= 𝑓𝑔 + Im(z) 2 (BĐT Schwarz) ≥ Im z = (𝑧 − 𝑧 ∗ ) 2𝑖 2 𝜎𝐴2 𝜎𝐵2 ≥ (𝑓𝑔 − 𝑔𝑓) 2𝑖 𝜎𝐵2 = 𝐵 − 𝐵 = ർ൫𝐵 − 𝐵 )Ψ| 𝐵 − 𝐵 Ψൿ = 𝑔 𝑔 𝑔 = 𝐵 − 𝐵 Ψ 58 19 CM Nguyên lý bất định 𝜎𝐴2 𝜎𝐵2 = 𝑓 𝑓 𝑔 𝑔 ≥ 𝑓 𝑔 𝑧 = Re z + Im(z) 2 ≥ Im z 𝑧= 𝑓𝑔 = (𝑧 − 𝑧 ∗ ) 2𝑖 2 2 𝜎𝐴 𝜎𝐵 ≥ (𝑓𝑔 − 𝑔𝑓) 2𝑖 𝑓 𝑔 = 𝐴መ 𝐵 − 𝐴 𝐵 𝑔 𝑓 = 𝐵 𝐴መ − 𝐴 𝐵 መ 𝐵 𝑓 𝑔 − 𝑔 𝑓 = 𝐴መ 𝐵 − 𝐵 𝐴መ = 𝐴መ 𝐵 − 𝐵 𝐴መ = 𝐴, 59 CM Nguyên lý bất định 𝜎𝐴2 𝜎𝐵2 ≥ (𝑓𝑔 − 𝑔𝑓) 2𝑖 መ 𝐵 𝑓 𝑔 − 𝑔 𝑓 = 𝐴, መ 𝐵 𝜎𝐴2 𝜎𝐵2 ≥ 𝐴, 2𝑖 [𝑥,𝑝]=𝑖ℏ 𝜎𝑥 𝜎𝑝 ≥ ℏ 2 𝜎𝑥2 𝜎𝑝2 ≥ 𝑥, ො 𝑝ො 2𝑖 𝑖ℏ = 2𝑖 ℏ = 2 60 20