PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BÁ THƯỚC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn Toán 8 Đề có 05 câu, gồm 01 trang Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm) Phân t[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BÁ THƯỚC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề có 05 câu, gồm 01 trang Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 4x2 - 12xy + 5y2; b) x2 - 2xy + x + 3xz - 2y + 3z; c) (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) - 24 Câu (4,5 điểm) Cho biểu thức: P = a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa rút gọn P b) Tính giá trị biểu thức P, biết |2x - 5| = c) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên Câu (4,0 điểm) a) Cho số a, b, c thỏa mãn (a + b + c)(ab + bc + ca) = 2019 abc = 2019 Tính giá trị biểu thức: P = (b2c + 2019)(c2a + 2019)(a2b + 2019) b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5x2 + 2xy + y2 - 4x - 40 = c) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c chia hết cho Chứng minh rằng: A = (a + b)(b + c)(c + a) - abc chia hết cho Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB < AC Đường cao AH Từ H kẻ HD AB (D AB), HE AC (E AC) a) Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ABC b) Gọi M điểm đối xứng B qua H Từ M kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt cạnh AC điểm N Chứng minh rằng: DE//BN c) Chứng minh rằng: Câu (1,5 điểm) Cho số dương x, y thỏa mãn x + y biểu thức: Tìm giá trị nhỏ P= -Hết Họ tên thí sinh:: SBD PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HUYỆN BÁ THƯỚC Câu GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM NĂM HỌC 2018-2019 Mơn thi: Tốn (Hướng dẫn chấm gồm có trang) Nội dung a) 4x2 - 12xy + 5y2 = (2x – 5y)(2x - y) b) x2 - 2xy + x + 3xz - 2y + 3z = x(x + 1) - 2y(x + 1) + 3z(x + 1) = (x + 1)(x - 2y + 3z) Điểm 1,0đ 0,75đ 0,75đ c) (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) – 24 = (x +1)(x+2)(x+3)(x+4) – 24 1(4,0 đ) 0,5đ = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 24 Đặt x2 + 5x + = t, ta được: 0,5đ (t - 1)(t + 1) – 24 = t2 – 25 = (t + 5)(t - 5) Thay t = x2 + 5x + 5, ta được: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) – 24 = (x2 + 5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x + 5x + 10) 2(4,5) a) (2,0 đ) Tìm ĐKXĐ : x 1, x 0,5đ 0,5đ P= 0,5đ = 0,5đ = Vậy P = với x 0,25đ 1, x 0,25đ b) (1,0 đ) 0,5đ Ta có: |2x - 5| = Vậy với x = thì : P = 0,25đ b) (1,5đ) Ta có : P = -1 Để P có giá trị ngun 0,5đ có giá trị nguyên 2x - Ư(5) = {-1 ; 1 ; -5 ; 5} Ta có trường hợp sau : + 2x - = -1 x = (TMĐK) + 2x - = x = (loại) 0,25đ + 2x - = -5 x = -2 (TMĐK) + 2x - = x = (TMĐK) Vậy với x {0; -2; 3} P có giá trị nguyên 3(4,0đ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ a) (1,5đ) Ta có: (a + b + c)(ab + bc + ca) = abc (a + b)(b + c)(c + a) = Suy ra: P = (b2c + 2019)(c2a + 2019)(a2b + 2019) = (b2c + abc)(c2a + abc)(a2b + abc) = a2b2c2(a + b)(b + c)(c + a) = Vậy P = b) (1,5đ) Ta có: 5x2 + 2xy + y2 - 4x - 40 = (2x - 1)2 + (x + y)2 = 41 = 25 + 16 Ta có trường hợp sau: + + + + Vậy (x, y) {(3; 1), (3; -7), (-2; 6), (-2; -2)} 0,5đ 0,75đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 4(6,0đ) c) (1,0đ)Ta có: A = (a + b)(b + c)(c + a) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - 2abc Vì a + b + c nên (a + b + c)(ab + bc + ca) (1) Vì a + b + c nên ba số a, b, c có số chẵn (vì số lẻ a + b + c không chia hết cho 4) 2abc (2) Từ (1) (2) suy ra: A 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ A E N O D B H M C a) (2,0đ) Chứng minh được: Tứ giác ADHE hình chữ nhật Gọi O giao điểm hai đường chéo OA = OE 0,5đ OAE cân O mà OAE= OEA 0,5đ OAE = ABC (vì phụ với góc BAH) OEA = ABC hay AED = ABC 0,5đ 0,5đ AED đồng dạng với ABC (g.g) b) (2,0đ) Chứng minh CMN đồng dạng với CAB 0,5đ Xét CMA CNB có: chung, CMA đồng dạng với CNB AMC = BNC ANB = AMB (1) ABM có AH vừa đường cao vừa đường trung tuyến ứng với cạnh BM nên ABM cân A AMB = ABC (2) Mà AED = ABC (cm a) (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: AED = ANB DE//BN c) (2,0đ) Chứng minh được: HBA đồng dạng với ABC Chứng minh tương tự, ta được: AC2 = HC.BC, HB2 = BD.AB, HC2 = CE.AC 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,75đ 0,75đ 0,25đ Ta có: P = + Áp dụng bất đẳng thức (với a, b >0), dấu “=” xảy a = b, ta có: Dấu “=” xảy x = y (1,5đ) + (x + y)2 4xy 0,5đ Dấu “=” xảy x = y Suy ra: P + 2014 = 2018 Vậy GTNN P 2018 x=y= * Lưu ý: - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa - Bài hình vẽ sai không chấm điểm 0,5đ 0,25đ