PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BÁ THƯỚC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn Toán 7 Đề có 05 câu, gồm 01 trang Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm) Tính g[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BÁ THƯỚC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề có 05 câu, gồm 01 trang Câu (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: a) A= ; b) B = ; c) C = x3 + x2y - 3x2 - y(x + y) + 4y + x + 2016 với x + y - = Câu (4,5 điểm) a) Chứng minh rằng: Nếu b) Tìm ba phân số tối giản biết tổng chúng , tử số chúng tỉ lệ với 3; 5; 7, mẫu số chúng tỉ lệ với 2; 3; c) Cho hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a N* f(5) - f(4) = 2012 Chứng minh f(7) - f(2) hợp số Câu (4,0 điểm) a) Tìm x, biết: b) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = (với x nguyên) c) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24 Câu (6,0 điểm) Cho ABC vuông A (AB < AC), O trung điểm BC Trên tia đối tia OA lấy điểm K cho OA = OK Vẽ AH BC H Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh rằng: ABC = CKA AO = BC b) Chứng minh rằng: AB = AE c) Gọi M trung điểm BE Tính số đo góc CHM Câu (1,5 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thoả mãn Chứng minh rằng: Trong ba số x, y, z có số khơng nhỏ có số khơng lớn -Hết Họ tên thí sinh:: SBD PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BÁ THƯỚC HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM NĂM HỌC 2018-2019 Mơn thi: Tốn (Hướng dẫn chấm gồm có trang) Nội dung Câu Điểm a) A = = 0,5đ = 0,5đ = -4 + = -4 0,5đ 1(4,0 đ) b) B = c) Ta có: C = x3 + x2y - 3x2 - y(x + y) + 4y + x + 2016 = x2.(x + y - 3) - y(x + y - 3) + x + y - + 2019 = x2.0 - y.0 + + 2019 (vì x + y - = 0) = 2019 2(4,5đ) a) 1,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 1,0đ Vậy 0,25đ b) Gọi ba phân số tối giản cần tìm x, y, z (x, y, z > 0) Vì tử số chúng tỉ lệ với 3; ; 7, mẫu số chúng tỉ lệ với 2; 3; nên : x:y:z = x + y + z = x:y:z = 18:20:21 x + y + z = Suy ra: x = ,y= ,z= 0,25đ 0,25đ 0,25đ Vậy ba phân số tối giản cần tìm là: c) Ta có : f(5) - f(4) = a.(53 - 43) + b(52 - 42) + c(5 - 4) = 61a + 9b + c = 2012 f(7) - f(2) = a.(73 - 23) + b(72 - 22) + c(7 - 2) = 335a + 45b + 5c 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ = 30a + 5.(61a + 9b + c) = 30a + 10060 10 (do a N*) 0,25đ 0,25đ 0,25đ Vậy f(7) - f(2) hợp số a) |x - | = 0,25đ 12 1,0đ Vậy x = x = b) P = 3(4,0đ) P lớn + Nếu x > < + Nếu x < > Khi để lớn 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ có giá trị lớn - x số nguyên dương nhỏ - x = x = Vậy P đạt giá trị lớn x = 0,25đ c) Vì ba số tự nhiên liên tiếp p - 1, p, p + ln có số chia hết cho 3, mà p số nguyên tố lớn nên hai số p 1, p + có số chia hết cho (p - 1)(p + 1) (1) Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ p - p + hai số chẵn liên tiếp (p - 1)(p + 1) (2) Từ (1) (2) (3,8) = nên (p - 1)(p + 1) 3.8 = 24 4(6,0đ) A E I M B H O D K a)(2,5đ) Xét AOB KOC có: OA = OK (gt) AOB = KOC (2 góc đối đỉnh) OB = OC (gt) C 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ Suy ra: AOB = KOC (c - g - c) AB = CK (2 cạnh tương ứng) ABO = KCO (2 góc tương ứng) mà ABO, KCO vị trí so le AB//CK ACK = 1800 - BAC = 1800 - 900 = 900 ABC CKA có: BAC = ACK = 900 AC cạnh chung AB = CK (cmt) Suy ra: ABC = CKA (c.g.c) 1,0đ 0,25đ 0,25đ Xét BC = AK mà AO = AK 0,5đ 0,5đ AO = BC b) (2,0đ) Kẻ EI AH (E AH), nối I với D Vì EI AH AH BC nên: EI//BC Vì ED BC AH BC nên: ED//AH Xét HID EDH có: HID = EDI (2 góc so le trong, ED//AH) DI cạnh chung HDI = EID (2 góc so le trong, EI//BC) Suy ra: HID = EDH (g-c-g) HD = EI (2 cạnh tương ứng) mà HD = AH AH = EI Xét AIE BHA có: AIE = BHA = 900 AH = EI (cmt) AEI = ABH (vì phụ với góc ABC) Suy ra: AIE = BHA (g-c-g) AB = AE (2 cạnh tương ứng) d) (1,5) Áp dụng kết câu a vào tam giác vuông ABE với đường 0,5đ 0,25đ trung tuyến AM, ta có: AM = 0,25đ BE (1) 0,5đ 0,5đ 0,25đ Áp dụng kết câu a vào tam giác vng BDE với đường trung tuyến DM, ta có: DM = BE (2) Từ (1) (2) suy ra: AM = DM Xét AHM DHM có: AH = HD (gt) HM cạnh chung AM = DM (cmt) Suy ra: AHM = DHM (c-c-c) AHM = DHM mà AHD = 900 = 900 (1,5đ) Giả sử ba số x, y, z lớn thì: 1+x>3 0,25đ 0,25đ DHM = 450 hay CHM 0,5đ 0,25đ 1+y>3 1+z>3 Suy ra: 0,75đ (trái giả thiết) Vậy ba số x, y, z có số khơng lớn Giả sử ba số x, y, z nhỏ thì: 1+x