Đề học sinh giỏi Toán 10 năm 2022 – 2023 trường THPT Phùng Khắc Khoan – Hà Nội

Đề thi môn Toán Lớp 10 Trang 1/ 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN THẠCH THẤT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG CÁC MÔN VĂN HÓA KHỐI 10, 11 NĂM HỌC 2022 2023 ĐỀ THI MÔN TO[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN - THẠCH THẤT ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG CÁC MÔN VĂN HĨA KHỐI 10, 11 NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ THI MƠN: TOÁN HỌC LỚP 10 Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm 01 trang) Số báo danh: Họ tên Câu (5,0 điểm): a)Tìm phương trình parabol  P  : y  ax  bx  c , biết  P  qua ba điểm A, B, C hình vẽ b) Giải phương trình 3x  x   3x  tập số thực Câu (2,5 điểm): Tìm tất giá trị tham số thực m để bất phương trình  m  1 x   m  1 x  3m   với x   Câu (5,0 điểm):      a) Cho tam giác ABC lấy điểm I, J thỏa mãn IA  IB JA  JC  Chứng minh IJ qua trọng tâm G tam giác ABC b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M  1;  hai đường thẳng d1 : x  y   , d : x  y   Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt d1 A , cắt d B cho MA  2MB Câu (2,5 điểm): Trong tam giác ABC, gọi a, b, c độ dài cạnh BC, AC, a  b2  c2 AB S diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng: cot A  cot B  cot C  4S Câu (2,0 điểm): Cho phương trình x  x   x  x  2m  Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt Câu (3,0 điểm): Cho x, y, z số thực Chứng minh x  y  z  x y z  xyz  y z  yz   - HẾT (Thí sinh khơng dùng tài liệu, cán coi thi khơng giải thích thêm) Đề thi mơn Toán Lớp 10 Trang 1/ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN - THẠCH THẤT ĐÁP ÁN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG CÁC MƠN VĂN HĨA KHỐI 10, 11 NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC LỚP 10 Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm 01 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm (2,5 điểm) a)Tìm phương trình parabol  P  : y  ax  bx  c , biết  P  qua ba điểm A, B, C hình vẽ 1.a 2,5 Dựa vào đồ thị ta có  P  qua ba điểm A 1;  1 , B  2;3 , C  1;  3 a.12  b.1  c  1 a    Ta có: a.2  b.2  c   b    P  : y  x  x  c  3   a  1  b  1  c  3 Vậy  P  có phương trình y  x  x  1.b (2,5 điểm) Giải phương trình Ta có: 3x  x   3x  tập số thực 3x   3x  x   3x    2 x  x   x     0,5 1,75 0,25 2,5 1,0 2  x    x      x   x  6 x  16 x     x    1,25 Vậy tập nghiệm phương trình S  0 0,25 (2,5 điểm): Tìm tất giá trị tham số thực m để bất phương trình  m  1 x   m  1 x  3m   với x   Nếu m  1 f  x   x  11   x  3.a 11 không thỏa mãn 2,5 0,5   2m  3m   Nếu m  1 f  x   0, x      m   a  1,0  3  m   ;    3;     m 2  m  1  0,75 3  Vậy f  x   0, x    m   ;   2  0,25   (3,0 điểm): Cho tam giác ABC lấy điểm I, J thỏa mãn IA  IB    3JA  JC  Chứng minh IJ qua trọng tâm G tam giác ABC        IA  IB  IA  IB     Ta có :         IA  IJ  IC  IJ  JA  JC               IA  IB        IA  IB  IC  IJ 3IA  IC  5IJ    3,0 1,0 1,0    IG  IJ ( Với G trọng tâm tam giác ABC ) Vậy IJ qua trọng tâm G tam giác ABC 3.b ( 2,0 điểm ) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M  1;  hai đường thẳng d1 : x  y   , d : x  y   Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt d1 A , cắt d B cho MA  2MB 1,0 2,0 Ta có   d1  A suy A  d1 nên A  1  2a; a  ,   d  B suy B  d nên B  b; 2  2b    Suy MA   2a; a   MB   b  1; 2b   Do  qua M nên A , B , M thẳng hàng    MA  2MB Hơn MA  2MB , suy     MA  2MB 0,25 0,25  a     a  b       Với MA  2MB   a    2b   b    0,25  2  4 Suy A   ;  B   ;   3  3 0,25   2  Khi đường thẳng  qua M  1;  nhận AB   ;   1;1 làm 3 3 vectơ phương nên  : x  y      a  2  2a  2  b  1 Với MA  2 MB    b  3 a   2  2b   0,25 0,25 Suy A  3; 2  B  3;  0,25  Khi đường thẳng  qua M  1;  nhận AB   6;6  làm vectơ phương nên  : x  y   Vậy có hai đường thẳng cần tìm:  : x  y    : x  y   0,25 (2,5 điểm): Trong tam giác ABC, gọi a, b, c độ dài cạnh BC, AC, AB S diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng: 2 2,5 a b c 4S cos A cos B coC   Từ giả thiết ta có VT  cot A  cot B  cot C  sin A sin B sin C cot A  cot B  cot C  b2  c2  a a  c2  b2 a  b2  c2    a b c 2bc 2ac 2ab 2R 2R 2R 0,5 0,75 R(b  c  a ) R(a  c  b ) R(a  b  c )    2bc.a 2ac.b 2ab.c 0,5 abc R R(a  b  c ) a  b  c   )    VP ( Do S = abc 4S 4R abc 4S 0,75 (2,0 điểm): Cho phương trình x  x   x  x  2m  Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt 2,0 PT xác định x   0,5 2 2 Ta có x  x   x  x  2m  1  x  x   x  x    2m t  x  x   t  1;   Phương trình có dạng t  4t   2m  2 Phương trình 1 có nghiệm x phân biệt phương trình   có nghiệm t phân biệt lớn 0,5 0,5 Lập BBT cho hàm số f  t   t  4t 1;  ta có phương trình   có nghiệm t phân biệt lớn f     2m  f 1  m5 0,5 (3,0 điểm): Cho x, y, z số thực Chứng minh x  y  z  x y z  xyz  y z  yz     Bất đẳng thức viết lại  y z x  xyz  y  z  y z  yz    3,0 0,25  Đặt f  x    y z x  xyz  y  z  y z  yz  Khi f  x  tam thức bậc hai ẩn x có hệ số a   y z  ;   'x  y z   y z  y 0,75   z  y z  yz  Ta có  ' x  (1  y  yz  z  y z  y z  y z  y z  y z ) 0,5  y z  y z  y3 z3  Áp dụng BĐT a  b  2ab ta có:  y z   y z ,  2  y  z  yz 0,75 Cộng vế với vế lại suy  'x  Do f  x   0, x, y, z ĐPCM 0,75