ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HOÀNG THẾ MẠNH VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TỨ GIÁC “HÌNH CHIẾU” LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HỒNG THẾ MẠNH VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TỨ GIÁC “HÌNH CHIẾU” LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HOÀNG THẾ MẠNH VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TỨ GIÁC “HÌNH CHIẾU” Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên - 2021 i Mục lục Danh sách ký hiệu ii Danh mục hình vẽ iv Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm tam giác hình chiếu 1.2 Một số kết bất đẳng thức tam giác hình chiếu 15 Một số bất đẳng thức hình học liên quan đến tứ giác hình chiếu 31 2.1 Khái niệm tứ giác hình chiếu 31 2.2 Một số bất đẳng thức tứ giác hình chiếu 35 2.3 Một số bất đẳng thức đa giác hình chiếu 43 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 52 ii Danh sách ký hiệu △ABC RABC SABC SABCD Sp Rp rp R O r c s ∼ ⊥ Tam giác ABC Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Diện tích tam giác ABC Diện tích tứ giác ABCD Diện tích tam giác hình chiếu Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác hình chiếu Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác hình chiếu Bán kính đường trịn ngoại tiếp Tâm đường trịn ngoại tiếp Bán kính đường trịn nội tiếp Chu vi Nửa chu vi Phép đồng dạng Phép vng góc iii Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 Hình minh họa Định lý 1.1.3 1.3 Tam giác hình chiếu ứng với trực tâm 1.4 Tam giác hình chiếu DEF △ABC ứng với điểm O 10 1.5 Tam giác hình chiếu DEF △ABC ứng với điểm P Các đường thẳng vng góc với AB, BC, CA F, D, E đồng quy P 1.6 1.7 1.8 12 △ABC ∼ △A3 B3 C3 14 △DEF tam giác hình chiếu ứng với P △ABC 15 Minh họa Mệnh đề 1.2.1 16 1.9 AB ′ C ′ đối xứng với ABC qua phân giác góc A 17 2.1 Tứ giác hình chiếu KM N L tứ giác ABCD ứng với điểm P 32 2.2 Tứ giác tiếp xúc KM N L 32 2.3 Hình bình hành Varignon KM N L 33 2.4 Tứ giác hình chiếu KM N L 34 2.5 Minh họa Mệnh đề 2.2.1 35 2.6 Minh họa Mệnh đề 2.2.1 38 2.7 Minh họa Mệnh đề 2.2.2 39 2.8 Minh họa Mệnh đề 2.2.2 40 2.9 Minh họa Mệnh đề 2.2.3 41 2.10 Đa giác hình chiếu H1 H2 · · · Hn 43 2.11 Ngũ giác hình chiếu GKJIH 44 iv 2.12 Lục giác hình chiếu LKJIHG 44 2.13 Minh họa Mệnh đề 2.3.2 45 2.14 Minh họa Mệnh đề 2.3.3 48 Mở đầu Trong chương trình mơn Tốn trường phổ thơng, tốn liên quan đến bất đẳng thức hình học nội dung quan trọng xuất đề thi THPT Quốc gia, tạp chí tốn học, blog tốn học, đề thi học sinh giỏi hay kì thi Olympic Các tốn liên quan đến bất đẳng thức hình học ln đánh giá nội dung tương đối khó, tập thú vị, thu hút u thích thầy dạy tốn học sinh Đã có vài học viên lựa chọn số nội dung liên quan đến bất đẳng thức hình học để làm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ, đơn cử: - Hoàng Ngọc Quang (2011) với đề tài “Một số bất đẳng thức hình học” tập trung vào việc sử dụng nguyên lý Dirichlet bất đẳng thức AM-GM vào giải số bất đẳng thức hình học - Trần Quang Hùng (2011) với đề tài “Một số dạng bất đẳng thức hình học” tập trung khai thác số tính chất mối quan hệ đường tam giác bất đẳng thức quen thuộc phổ thông để giải số bất đẳng thức hình học - Nguyễn Thị Hậu (2015) với đề tài “Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học” vận dụng tính chất hàm lồi số phức để đưa lời giải cho số bất đẳng thức hình học Như với phạm vi rộng, luận văn khai thác vài khía cạnh, phạm vi cụ thể bỏ ngỏ nhiều vấn đề thú vị liên quan đến bất đẳng thức hình học Liên quan đến tam giác Pedal (mà luận văn gọi tam giác hình chiếu), tứ giác Pedal (mà luận văn gọi tứ giác hình chiếu) mở rộng lên đa giác Pedal (mà luận văn gọi đa giác hình chiếu) có nhiều bất đẳng thức hình học thú vị Tuy nhiên nội dung giảng dạy chương trình đại trà chương trình nâng cao bậc phổ thơng Với mong muốn tìm hiểu thêm số bất đẳng thức hình học liên quan đến tứ giác hình chiếu để làm tài liệu cho việc giảng dạy thân làm tài liệu tham khảo cho học sinh khá, giỏi tự học, chọn chủ đề: Về số bất đẳng thức hình học tứ giác “hình chiếu” làm chủ đề cho luận văn thạc sĩ Mục tiêu luận văn là: • Tìm hiểu khái niệm, tính chất bất đẳng thức hình học liên quan đến tam giác hình chiếu, tứ giác hình chiếu • Sưu tầm toán luyện thi đội tuyển học sinh giỏi, đề thi học sinh giỏi tốn hình học vận dụng tính chất, bất đẳng thức hình học liên quan đến tam giác hình chiếu, tứ giác hình chiếu • Trình bày lời giải số toán sở vận dụng tính chất, bất đẳng thức hình học liên quan đến tam giác hình chiếu, tứ giác hình chiếu để giải quyết, cố gắng đưa lời giải tường minh toán, đề thi mà tài liệu tham khảo có lời giải vắn tắt định hướng lời giải • Trình bày số ví dụ minh họa khả mở rộng bất đẳng thức hình học hình chiếu, tứ giác hình chiếu Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, đề tài gồm chương, cụ thể: Chương Kiến thức chuẩn bị: Nội dung chương dành để trình bày định nghĩa tam giác hình chiếu, tính chất bất đẳng thức liên quan đến tam giác hình chiếu Chương Một số bất đẳng thức hình học liên quan đến tứ giác hình chiếu: Nội dung chương là: Khái niệm tứ giác hình chiếu kết bất đẳng thức hình học liên quan đến tứ giác hình chiếu Phần cịn lại chương phần mở rộng: Trình bày khái niệm số kết mớivề đa giác hình chiếu Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nỗ lực học hỏi thân, tác giả nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS TS Trịnh Thanh Hải, giảng viên Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân tác giả điều thầy dành cho tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo, Khoa Tốn Tin, q thầy giảng dạy lớp Cao học K13, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tác giả hồn thành khóa học Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường trung học phổ thông Bắc Sơn, tỉnh Lạng Sơn tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2021 Tác giả luận văn Hoàng Thế Mạnh Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm tam giác hình chiếu Định nghĩa 1.1.1 ([4]) Xét tam giác ABC, điểm P nằm tam giác, không trùng với ba đỉnh A, B, C Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ P tới ba cạnh BC, CA, AB Khi đó, DEF gọi tam giác Pedal hay cịn gọi tam giác hình chiếu ứng với điểm P tam giác ABC P gọi điểm hình chiếu Hình 1.1: Tam giác hình chiếu DEF △ABC ứng với điểm P Một số trường hợp đặc biệt tam giác hình chiếu như: • Nếu P trực tâm DEF tam giác orthic • Nếu P tâm nội tiếp DEF tam giác tiếp xúc • Nếu P tâm ngoại tiếp DEF tam giác trung trình