BỘ ĐỀ THI TOÁN - GIẢI TÍCH 2

BỘ ĐỀ THI TOÁN-GIẢI TÍCH 2

ĐỀ 1 Câu 1. Tìm khai triển Taylor của 2 ( , ) x y f x y x y    tại điểm (2,1) đến cấp 3. Câu 2. Tìm cực trị của hàm 2 2 12 3 z x y xy x y      . Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số   1n n n v u với u n = n n        2 1 2 và v n = 2 2 1 n n        Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 1 2 1 ( 1) 4 (3 1) n n n n x n       Câu 5. Tính tích phân kép 2 2 1 D I dxdy x y    , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 2 6 , x x y x y x     , Câu 6. Tính tích phân     2 2 cos x C I e xy dx y y x dy      với C là chu vi tam giác ABC, A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ. Câu 7. Tính ( )      C I ydx z x dy xdz , với C là giao của 2 2 1   x y và 1 z y   , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. Câu 8. Tính tích phân mặt loại một   2 2    S I x y dS , trong đó S là phần mặt nón 2 2 2 z x y   , nằm giữa hai mặt phẳng 0, 1 z z   . ĐỀ 2 Câu 1. Cho hàm 2 ( , ) xy f x y xe  . Tính 2 (2,1) d f . Câu 2. Tìm gtln, gtnn của 2 2 2 2 1 ( , ) ( ) x y f x y y x e     trên miền 2 2 {( , ) | 4} D x y x y    Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/ )2( 2 2 1             nn n n n b/ 1 1 3. )2 (6.4.2 )12 (5.3.1      n n n n Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3 1 ( 1) ( 3) 2 ln n n n x n n       Câu 5. Tính tích phân kép 2 2 x y D I e dxdy     , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 1 4, 0, 3 x y y y x      , Câu 6. Tính tích phân     C I x y dx x y dy      , với C là phần đường cong sin y x x   , từ (0,0) A đến ( , ) B   . Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu 2 2 2 z R x y    nằm trong hình trụ 2 2 x y Rx   . Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai 3 3 3     S I x dydz y dxdz z dxdy , với S là biên vật thể giới hạn bởi 2 2 2 2 2 4,      x y z z x y , phía trong. ĐỀ 3 Câu 1. Cho hàm ( , ) (2 )ln x f x y x y y   . Tính 2 (1,1) d f Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy + x 3 + y 9 với x > 0, y > 0 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 1 4 7 (3 2) (2 1)!! n n n         Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1 !( 4) n n n n x n     Câu 5. Tính tích phân kép ( 2) D I x dxdy    , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 1, 0 9 4 x y y    Câu 6. Tính tích phân     2 3 2 C I x y dx x y dy      , trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn bởi 2 2 , y x y x     , chiều kim đồng hồ. Câu 7. Tìm diện tích phần mặt 2 2 z x y   nằm trong hình cầu 2 2 2 2 x y z z    . Câu 8. Tính 2  S I xdS , với S là phần mặt trụ 2 2 4   x y nằm giữa hai mặt phẳng 1, 4 z z   . ĐỀ 4 Câu 1. Cho hàm 2 2 ( , ) 4 sin ( ) f x y y x y    . Tính 2 (0,0) d f Câu 2. Tìm cực trị của hàm 3 2 12 8 . z x y x y    Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 2 5 8 (3 1) 1 5 9 (4 3) n n n            Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3 1 ( 1) ( 1) 2 ( 1)ln( 1) n n n n x n n        Câu 5. Tính tích phân )2222 ln(. yxyx D   dxdy với D là miền 1  x 2 +y 2  e 2 Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-ye y . Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(y) vừa tìm, tính tích phân     L dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()( trong đó L là đường cong có phương trình: 4x 2 +9y 2 =36, chiều ngược kịm đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2). Câu 7. Tìm diện tích phần mặt 2 2 2 z x y    nằm trong hình paraboloid 2 2 z x y   . Câu 8. Tính 2 2 2     S I x dydz y dxdz z dxdy , với S là nửa dưới mặt cầu 2 2 2 2    x y z z , phía trên. ĐỀ 5 Câu 1. Tính 2 f x y    , với 3 ( ) sin ; 2           x f f u u u u xy e Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: 2 2 2 2 ( , ) 2 12 ; 4 25 f x y x xy y x y      Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 3 3 1 2 2 1 n n n n n            Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi: )1ln()1( )5(2)1( 11 1       nn x nnn n Câu 5. Tính tích phân   dxdyyxarctg D   22 với D là hình tròn: x 2 +y 2  3 Câu 6. Chứng tỏ tích phân   (1 ) (1 ) x y C I e x y dx x y dy         không phụ thuộc đường đi. Tính tích phân I với C là phần ellipse 2 2 1 9 4 x y   từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ. Câu 7. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi 2 2 , 1, 0, 3 y x y z z x      , lấy phần 0. z  Câu 8. Tính   2 2 3     S I xdydz y z dxdz z dxdy , với S là phần mặt phẳng 4    x y z nằm trong hình trụ 2 2 2 x y y   , phía trên. ĐỀ 6 Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 32 3 yx e . Tính dz(1,1) và )1,1( 2 yx z   Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x 3 + y 3 + 3x 2 - 3xy +3x-3y +1 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 2 1 1 4 9 (4 3)!! n n n        Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n n n nn x n )1( 1.4 3.)1( 0 3 2 1         Câu 5. Tính tích phân kép 2 2 4 D I x y dxdy     , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 1, x y y x    . Câu 6. Tính tích phân 2 2 ( ) ( ) C I x y x y dx y x xy dy        , với C là nửa bên phải của đường tròn 2 2 4 , x y y   chiều kim đồng hồ. Câu 7. Tính tích phân đường loại một 2 2    C I x y dl , với C là nửa trên đường tròn 2 2 2   x y y . Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính ( ) (2 )       C I x y dx x z dy ydz , với C là giao của 2 2 2 4    x y z và 0 x y z    , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. ĐỀ 7 Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x 2 - y 2 ). Tính dz( )1,2 và 2 2 x z   ( )1,2 Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: 2 2 ( , ) 1 4 8 ; 8 8 f x y x y x y      . Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 2 ! n n n n n    Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa           0 62 1.5 12 n n n n xn Câu 5. Tính tích phân   0 22 3 yx dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x 2 +y 2 = 1(x, y  0), x 2 +y 2 =33 (x, y 0  ), y=x, y = x 3 . Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2ye xy + e x  cosy, Q(x,y)= 2xe xy - e x  siny trong đó  là hằng số. Tìm  để biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với  vừa tìm được, tính tích phân đường dyxyxQdxyyx ]),([]),[( 33    trong đó ( )  là đường tròn x 2 +y 2 = 2x lấy theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ). Câu 7. Tính tích phân mặt loại một 2   S I x dS , với S là nửa trên mặt 2 2 2 4    x y z Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính 2 2 2 (3 ) (3 ) (3 )         C I x y dx y z dy z x dz , với C là giao của 2 2   z x y và 2 2 z y   , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. ĐỀ 8 Câu 1. Tìm ' ' , x y z z của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình 3 2 ln x y yz z    Câu 2. Tìm gtln, gtnn của 2 2 2 ( , ) 4 f x y x y x y     trên miền {( , ) | | | 1,| | 1} D x y x y    Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/ )1( 2 12 2            nn n n n b/ 2 1 2 5. !)12 (5.3.1 9.4.1      n n nn n Câu 4. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa 1 4 23 1 ( 1) ( 2) 3 1 n n n n x n n         Câu 5. Tính tích phân kép   D yx 22 9 dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường tròn x 2 + y 2 = 9, y 0  và các đường thẳng y = x, y = -x Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e -y , ( , ) (1 ) y Q x y x y e     . Tìm hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(x) vừa tìm, tính tích phân     L dyyxQxhdxyxPxh ),()(),()( trong đó L là nữa đường tròn x 2 + y 2 = 9 nằm bên phải trục tung, chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3). Câu 7. Tính 2  V I zdxdydz , với V giới hạn bởi 2 2 2 2    x y z z và 2 2 1    z x y . Câu 8. Tính tích phân mặt     ( 2 ) 2 2       S I x y dydz y z dxdz z x dxdy , với S là phần mặt paraboloid 2 2   z x y , bị cắt bởi 2 2 z x   , phía dưới. ĐỀ 9 Câu 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của 2 2 1 , if ( , ) (0,0) ( , ) 3, if ( , ) (0,0) x y e x y f x y x y            Câu 2. Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x 2 - 2xy+ 2y 2 - 2x+ 2y +4 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của       1n nn vu với )14( 14 14           nn n n n u , !).13 (10.7.4 ).2 (6.4.2 nn nn v n n   Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa       0 4 32 1.4 )3( n n n n x Câu 5. Tính J=  D dxdy với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x 2 +y 2 = 2x, x 2 +y 2 = 6x và các đường thẳng y = x, y = 0. Câu 6. Tìm hàm h(x 2 - y 2 ), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi I=   dxyxydyyxxyxh AB )()()( 222222   với AB là cung không cắt đường x 2 = y 2 . Câu 7. Tính ( ) V I x yz dxdydz    , với V giới hạn bởi 2 2 z x y   và 2 2 2 z x y    . Câu 8. Tính tích phân mặt     2 3 2 4      S I xdydz y z dxdz z y dxdy , với S là phần mặt paraboloid 2 2 2 2    x y z x , phần 0 z  , phía dưới. [...]... y |) dxdy , trong đó D là miền phẳng giới D 2 2 hạn bởi x  y  4, x  0   x y y 1   2  dx    dy , theo đường cong C   x2  y 2 x   x 2  y 2 x  (1,1)     (2, 3) Câu 6 Tính tích phân I  không qua gốc O và không cắt trục tung 1 Câu 7 I   2 dxdydz , với V được giới hạn bởi x 2  y 2  z 2  4 và z  x 2  y 2 2 2 V x  y z Câu 8 Tính tích phân mặt I    x  z dydz   y ...ĐỀ 10  xy , if ( x, y )  (0, 0)  Câu 1 Tính f xy (0, 0) f ( x, y )   x 2  y 2  0, if ( x, y )  (0, 0)  // 4 4 2 2 Câu 2 Tìm cực trị của hàm z  x  y  x  y  2 xy , x  0  2n  n 1  Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số    n 1 2n  1   ( x  4) n Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa  n 1 n n  2 Câu 5 Tính tích phân kép I   ( x  | y... với V được giới hạn bởi x 2  y 2  z 2  4 và z  x 2  y 2 2 2 V x  y z Câu 8 Tính tích phân mặt I    x  z dydz   y  x  dxdz   z  y  dxdy , với S là phần mặt S 2 2 paraboloid z  x  y nằm dưới mặt x  z  2 , phía trên . 1 z z   . ĐỀ 2 Câu 1. Cho hàm 2 ( , ) xy f x y xe  . Tính 2 (2, 1) d f . Câu 2. Tìm gtln, gtnn của 2 2 2 2 1 ( , ) ( ) x y f x y y x e     trên miền 2 2 {( , ) | 4} D x y. mặt 2 2 2 z x y    nằm trong hình paraboloid 2 2 z x y   . Câu 8. Tính 2 2 2     S I x dydz y dxdz z dxdy , với S là nửa dưới mặt cầu 2 2 2 2    x y z z , phía trên. ĐỀ 5. hạn bởi 2 2 2 2    x y z z và 2 2 1    z x y . Câu 8. Tính tích phân mặt     ( 2 ) 2 2       S I x y dydz y z dxdz z x dxdy , với S là phần mặt paraboloid 2 2   z x