ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ NGỌC HƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BERRY – ESSEEN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ NGỌC HƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BERRY – ESSEEN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ NGỌC HƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BERRY – ESSEEN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số : 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN DUY TIẾN Hà Nội, Năm 2014 Lời cám ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến, người tận tình giúp đỡ bảo tơi suốt q trình làm luận văn tốt nghiệp Qua xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo Bộ môn Xác suất Thống kê Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sao Đỏ, Khoa Khoa học Cơ đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt luận văn Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian thực nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, năm 2014 Mục lục Mở đầu Các kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Biến ngẫu nhiên 1.1.1 Định nghĩa phân loại 1.1.2 Hàm phân phối 1.1.3 Hàm đặc trưng 1.1.4 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Phân bố chuẩn 1.2.1 Phân bố chuẩn chiều 1.2.2 Phân bố chuẩn nhiều chiều 10 1.3 Khoảng cách biến phân toàn phần 11 1.4 Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 11 1.5 Phương pháp Stein cho xấp xỉ chuẩn 12 1.5.1 Phương trình Stein ý nghĩa 12 1.5.2 Xây dựng đẳng thức Stein 13 1.5.3 Xấp xỉ chuẩn hàm trơn 14 Bất đẳng thức Berry - Esseen chiều 16 2.1 Giới thiệu chung 16 2.2 Bất đẳng thức Berry – Esseen 17 2.2.1 Trường hợp phân bố 17 2.3 2.2.2 Trường hợp không phân bố 18 2.2.3 Chứng minh bất đẳng thức Berry - Esseen 19 2.2.4 Áp dụng định lý Berry – Esseen 24 Bất đẳng thức Berry – Esseen không 26 2.3.1 Trường hợp phân bố 26 2.3.2 Trường hợp không phân bố 26 2.3.3 Chứng minh bất đẳng thức Berry - Esseen không 27 Bất đẳng thức Berry - Esseen nhiều chiều 36 3.1 Trường hợp phân bố 36 3.2 Trường hợp không phân bố 49 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Mở đầu Xác suất phận toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất nhằm tìm quy luật tượng tưởng chừng khơng có quy luật này; đời nước Pháp vào nửa cuối kỷ 17 Trong lý thuyết xác suất định lý giới hạn trung tâm định lý có nhiều ứng dụng thực tiễn Nó đưa phép tính xấp xỉ cho hàm phân phối tổng biến ngẫu nhiên độc lập W so với hàm phân phối chuẩn hóa Φ Tuy nhiên định lý khơng đánh giá tốc độ hội tụ giới hạn W→ Φ Trong thực tế ta lại quan tâm nhiều đến khoảng cách phân bố W phân bố chuẩn hóa Khoảng cách nhỏ xấp xỉ cần có giá trị Một công cụ để đánh giá khoảng cách W Φ hay đánh giá tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm bất đẳng thức Berry – Esseen Trong đề tài tơi trình bày lịch sử, q trình hồn thiện, chứng minh, mở rộng, phát triển ứng dụng bất đẳng thức Nội dung đề tài gồm ba chương: Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương đưa số kiến thức biến ngẫu nhiên, phân phối chuẩn, khoảng cách biến phân toàn phần, phương pháp Stien Đây kiến thức bổ trợ nhắc đến chương sau Chương Bất đẳng Berry - Esseen chiều Chương tác giả phát biểu định lý Berry - Esseen không Với dạng tác giả phát biểu định lý trường hợp phân bố không phân bố, có giới thiệu sơ lược lịch sử định lý, cuối chứng minh đưa vài áp dụng định lý Chương Bất đẳng Berry - Esseen nhiều chiều Chương mở rộng định lý Berry - Esseen chiều Sự mở rộng phát biểu cho hai trường hợp phân bố không phân bố Tuy nhiên, để giảm độ phức tạp tác giả dừng lại việc chứng minh định lý trường hợp đơn giản hơn, trường hợp phân bố Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương tác giả đưa vài kiến thức biến ngẫu nhiên, phân bố chuẩn, khoảng cách biến phân toàn phần, phương pháp Stein Đây kiến thức xác suất thống kê mà sử dụng nhiều chương sau 1.1 1.1.1 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa phân loại Nói cách chung chung biến ngẫu nhiên đại lượng lấy giá trị thực tùy thuộc vào kết ngẫu nhiên phép thử Định nghĩa xác biến ngẫu nhiên sau: Định nghĩa 1.1 : Giả sử (Ω, A) không gian đo cho Biến ngẫu nhiên ánh xạ X : Ω → R cho: (X ≤ x) = {ω ∈ Ω |X(ω) ≤ x} ∈ A, ∀x ∈ R Hoặc tương đương: X−1 (B) = {ω ∈ Ω |X(ω) ∈ B} ∈ A, ∀B ∈ B với B σ - đại số tập Borel R Định nghĩa 1.2 : Biến ngẫu nhiên gọi rời rạc tập giá trị hữu hạn hay đếm Biến ngẫu nhiên rời rạc xác định bảng phân phối xác suất: n P X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn pi = 1, pi > i=1 Định nghĩa 1.3 : Biến ngẫu nhiên gọi liên tục giá trị có lấp đầy khoảng trục số Biến ngẫu nhiên liên tục X xác định hàm mật độ f(x) thỏa mãn hai tính chất: f(x)≥ với +∞ R x f (x)dx = −∞ 1.1.2 Hàm phân phối Định nghĩa 1.4 : Hàm phân phối (quy luật phân phối) biến ngẫu nhiên X hàm F(x) xác định sau F(x)= P(X : lim P (|Xn − X| ≥ ε) = n→∞ Định nghĩa 1.13 : Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) gọi hội tụ hầu chắn (hay hội tụ với xác suất 1) tới biến ngẫu nhiên X, kí hiệu Xn −→ X , tồn tập A có xác suất khơng cho với ω ∈ / A: Xn (ω) → X(ω) 11 Định nghĩa 1.14 : Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) gọi hội tụ theo trung bình bậc p tới biến ngẫu nhiên X, kí hiệu Xn −→ X , nếu: E|Xn − X|p → (n → ∞) Mối liên hệ dạng hội tụ: Nếu Xn −→ X Xn −→ X Nếu Xn −→ X tồn dãy (Xnk ) cho (Xnk ) −→ X Nếu Xn −→ X (0 < p < +∞) Xn −→ X Nếu Xn −→ X (Xn ) vị chặn với xác suất Xn −→ X với p, < p < +∞ 1.5 Phương pháp Stein cho xấp xỉ chuẩn Trong lý thuyết xác suất phân bố biến ngẫu nhiên xác định rõ ràng Điều điều hỏi phải xấp xỉ phân bố phức tạp phân bố đơn giản Phương pháp Stein là phương pháp công bố năm 1972 Đó phương pháp dùng để suy ước lượng xấp xỉ phân bố phân bố khác, công cụ cho xấp xỉ không tốt với biến ngẫu nhiên độc lập mà dùng cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc Hơn ta ước lượng sai số xấp xỉ cách trực tiếp 1.5.1 Phương trình Stein ý nghĩa Cho X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hóa h hàm đo nhận giá trị thực cho trước cho E |h (X)| < ∞ f : R → R hàm liên tục có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn E f (X) < ∞ Khi ta có: f (ω) − ωf (ω) = h (ω) − Eh (X) 12 (1.1) Phương trình (1.1) gọi phương trình Stein tổng quát +∞ x2 R t2 Hàm fh (x) = e {h(t) − Eh(X)} e− dt nghiệm −∞ Đặc biệt: với x ∈ R cố định, phương trình (1.1) có dạng: f (ω) − ωf (ω) = 1(−∞;x] (ω) − Φ (x) (1.2) Thay w biến ngẫu nhiên W, lấy kì vọng hai vế phương trình (1.1), (1.2) ta được: E {f (W ) − W f(W )} = Eh(W ) − Eh(X) (1.3) P (W ≤ x) − Φ(x) = E {f (W ) − W f(W )} (1.4) Trong hai phương trình (1.3), (1.4) thay ước lượng vế phải ta ước lượng vế trái đơn giản Đó ý nghĩa thiết thực phương trình Stein 1.5.2 Xây dựng đẳng thức Stein Trong phần trở lại phương pháp sở mà Stein sử dụng Giả sử X1 , X2 , Xn biến ngẫu nhiên độc lập phân phối n n P P có kì vọng EXi = Đặt W = Xi , W (i) = W − Xi định i=1 i=1 nghĩa: Ki (t) = E Xi I{0≤t≤Xi } − I{Xi ≤t1} , β2 = n P i=1 E|Xi |3 I{|Xi |≤1} 15 (1.11) Chương Bất đẳng thức Berry - Esseen chiều 2.1 Giới thiệu chung Trong lý thuyết xác suất thống kê ứng dụng, định lý giới hạn trung tâm định lý có nhiều ứng dụng thực tiễn Định lý khẳng định: Nếu (Xn ) đại lượng ngẫu nhiên độc lập phân phối có EXi = µ DXi = δ , i = 1, , n Đặt Wn = X1 +X2 + X n −nµ √ δ n Fn (x) hàm phân phối Wn Khi đó: với x ∈ R Fn (x) hội tụ yếu đến hàm phân phối chuẩn hóa Φ(x) Tuy nhiên định lý cho biết hội tụ yếu Fn (x) → Φ(x) mà chưa đánh giá tốc độ hội tụ Berry (1941) Esseen (1942) hai nhà toán học độc lập đưa bất đẳng thức cho phép đánh giá khoảng cách Fn (x) Φ(x) Vì bất đẳng thức mang tên hai ơng đời, bất đẳng thức Berry – Esseen Kể từ đó, nhiều nhà toán học giới quan tâm đến việc xác định cận cho bất đẳng thức Berry – Esseen nhằm thu hẹp khoảng cách Fn (x) Φ(x) Khoảng cách nhỏ xấp xỉ cần có giá trị Hơn thống kê tốn cỡ mẫu tối thiểu có ý 16 nghĩa thực tế vô to lớn Nhờ bất đẳng thức Berry - Esseen ta xác định cỡ mẫu tối thiểu n nhỏ đáng kể so với kết có phương pháp khác Với ý nghĩa thiết thực vậy, tác giả nghiên cứu đề tài "Bất đẳng thức Berry - Esseen" Chương tác giả trình bày bất đẳng thức Berry - Esseen chiều 2.2 2.2.1 Bất đẳng thức Berry – Esseen Trường hợp phân bố Định lý sau đưa độc lập Berry năm 1941 Esseen năm 1942 Kết nghiên cứu họ sau: Định lý 2.1 Nếu (Xi ) đại lượng ngẫu nhiên độc lập phân bố có: EXi = 0, DXi = σ , β = E |Xi |3 < ∞, ∀i n P Đặt Wn = Xi i=1 √ σ n Khi tồn số C > cho : C β sup |P (Wn ≤ x) − Φ(x)| ≤ 1/2 σ n x∈R Trong đó: Φ(x) = √1 2π Rx e−t /2 (2.1) dt hàm phân phối chuẩn hóa −∞ Vài nét lịch sử: Việc đưa bất đẳng thức (2.1) xác định số C (2.1) toán quan trọng lý thuyết thực hành có lịch sử dài Năm 1942, Esseen C ≤ 7.59, sau C ≤ 2.9 năm 1956 Năm 1958, Wallace chứng minh C ≤ 2.05 Năm 1967, Zolotarev C ≤ 0.81097 Năm 1982, Shiganov khẳng định C ≤ 0.7655 Kết tốt thuộc Tyurin (năm 2009) đưa C ≤ 0.4785 Với nhà tốn học bất đẳng thức Berry - Esseen có phiên 17 khác Năm 1965, Petrov đưa phát biểu tổng quát thêm vào tham số δ ∈ (0, 1] Định lý (2.1) trường hợp riêng δ = Petrov chứng minh được: Định lý 2.2 Nếu (Xi ) đại lượng ngẫu nhiên độc lập phân bố có: EXi = 0, DXi = σ , β 2+δ = E |Xi |2+δ < ∞, ∀i n P Đặt Wn = Xi i=1 √ σ n Khi với δ ∈ (0, 1] tồn số C > cho: Cδ β 2+δ sup |P (Wn ≤ x) − Φ(x)| ≤ δ/2 σ n x∈R 2.2.2 (2.2) Trường hợp không phân bố Sau đưa định lý 2.1 trên, Berry - Esseen tiếp tục mở rộng định lý cho trường hợp không phân bố Kết nghiên cứu họ sau: Định lý 2.3 Nếu (Xi ) đại lượng ngẫu nhiên độc lập (không thiết phân bố) có: EXi = 0, DXi = σi2 Đặt Γ3n = n P i=1 E|Xi | < ∞, s2n = n P σi , Wn = i=1 n P Xi i=1 sn Khi tồn số C > cho : Γn sup |P (Wn ≤ x) − Φ(x)| ≤ C sn x∈R 3 (2.3) Những cố gắng ước lượng cận cho C (2.3): Esseen (năm 1945) C ≤ 7.5 Bergstrom (năm 1949) chứng minh C ≤ 4.8 Beck (năm 1972) khẳng định C ≤ 0.7975 Kết tốt thuộc Tyurin (năm 2010) với C ≤ 0.5606 Trải qua nhiều năm nghiên cứu, tác giả đưa bất đẳng thức Berry – Esseen nhiều dạng khác mặt hình thức 18