Một Số Lớp Hàm Dạng Đặc Biệt Và Các Bất Đẳng Thức Liên Quan_Compressed.pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HUỆ MỘT SỐ LỚP HÀM DẠNG ĐẶC BIỆT VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHO[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HUỆ MỘT SỐ LỚP HÀM DẠNG ĐẶC BIỆT VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HUỆ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS: HOÀNG VĂN HÙNG Thái Nguyên - Năm 2014 Mục lục Lời nói đầu HÀM LỒI VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN 1.1 1.2 1.3 1.4 HÀM LỒI 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất hàm lồi hàm lõm BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN 1.2.1 Định lý (J.Jensen) 1.2.2 Bổ đề 10 1.2.3 Định lý (J.Jensen) 11 MỘT SỐ HỆ QUẢ CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN 13 1.3.1 Định lý: 13 1.3.2 Định lý: 13 1.3.3 Ví dụ áp dụng: 13 1.3.4 Bất đẳng thức Nesbitt suy rộng 18 1.3.5 Bất đẳng thức Cauchy 19 1.3.6 Bất đẳng thức Holder 19 1.3.7 Bất đẳng thức Holder dạng tích phân 20 1.3.8 Hệ quả: 21 1.3.9 Bất đẳng thức Cauchy dạng tích phân 22 BẤT ĐẲNG THỨC KARAMATA 22 1.4.1 So sánh hai dãy giảm 22 1.4.2 Bất đẳng thức Karamata 22 1.4.3 Một số áp dụng bất đẳng thức Karamata 24 HÀM LỒI NHIỀU BIẾN VÀ CÁC HÀM NỬA CỘNG TÍNH,THUẦN NHẤT DƯƠNG 2.1 2.2 2.3 2.4 29 TẬP LỒI VÀ NÓN LỒI TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ HÀM LỒI NHIỀU BIẾN 29 2.1.1 Định nghĩa 29 2.1.2 Hàm lồi n biến 30 CÁC HÀM NỬA CỘNG TÍNH VÀ CÁC HÀM THUẦN NHẤT DƯƠNG 30 2.2.1 Định nghĩa 30 2.2.2 Mệnh đề: 31 2.2.3 Mệnh đề: 31 2.2.4 Mệnh đề: 33 2.2.5 Mệnh đề [N.H Bingham and A.J Ostaszewski] 33 2.2.6 Định lý [Janus Matkowski] 34 2.2.7 Hệ 35 TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI NHIỀU BIẾN 36 2.3.1 Mệnh đề 36 2.3.2 Mệnh đề: 36 2.3.3 Mệnh đề: 37 2.3.4 Định lý: 37 2.3.5 Hệ quả: 38 MỘT SỐ ÁP DỤNG VÀO LÝ THUYẾT CÁC BẤT ĐẲNG THỨC 39 2.4.1 Chứng minh khác bất đẳng thức Minkowski 39 2.4.2 Chứng minh khác bất đẳng thức Minkowski ngược ( trường hợp < p < 1) 40 2.4.3 Chứng minh khác bất đẳng thức Holder 41 2.4.4 Hàm cộng tính bậc k 42 2.4.5 Định lý: 45 2.4.6 Định lý: 45 LỜI NÓI ĐẦU Một số bất đẳng thức tiếng bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức Karamata, liên quan đến hàm lồi hàm lõm Một số bất đẳng thức tiếng khác bất đẳng thức Mincowski, Holder, liên quan đến hàm nửa cộng tính dương Điều chứng tỏ nhiều bất đẳng thức quan trọng hệ tính chất hàm số thuộc lớp đặc biệt Do nghiên cứu tính chất hàm số có tính chất đặc biệt giúp phát bất đẳng thức cách chứng minh mới, đơn giản chứng minh biết Bản luận văn “Một số lớp hàm dạng đặc biệt bất đẳng thức liên quan” gồm Lời nói đầu, hai chương, phần kết luận Tài liệu tham khảo Chương HÀM LỒI VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN Chương trình bày định nghĩa hàm lồi, hàm lõm, tính chất quan trọng hàm lồi, hàm lõm cách chứng minh loạt bất đẳng thức tiếng dựa tính chất hàm này: bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Jensen(dạng dãy dạng tích phân), bất đẳng thức Holder(dạng dãy dạng tích phân), bất đẳng thức Karamata, hệ Tác giả trình bày chứng minh loạt bất đẳng thức khó chương trình tốn sơ cấp dựa bất đẳng thức tiếng vừa kể Một số bất đẳng thức này, theo ý kiến chủ quan tác giả, chứng minh dựa lý thuyết hàm lồi (ví dụ bất đẳng thức Jensen dạng tích phân số bất đẳng thức tam giác mục 1.3.3) Chương HÀM LỒI NHIỀU BIẾN VÀ CÁC HÀM NỬA CỘNG TÍNH, THUẦN NHẤT DƯƠNG Chương xét hàm lồi nhiều biến, hàm nửa cộng tính, hàm dương bất đẳng thức liên quan Tư liệu chương tuyển chọn từ tài liệu [N.H Bingham and A.J Ostaszewski], [Janus Matkowski], [H.V.Hùng L.M.Tiến] Các hàm cộng tính dương nón lồi K với đỉnh khơng không gian Rn lớp lớp hàm lồi K có nhiều tính chất đặc sắc Tác giả trình bày loạt tính chất hàm lồi nhiều biến, hàm nửa cộng tính, dương, chứng minh tổng quát hóa kết Janus Matkowski báo [Janus Matkowski] Dựa tổng quát hóa tác giả đưa chứng minh ngắn bất đẳng thức Mincowski ( thuận nghịch) trường hợp tổng quát bất đẳng thức Holder Trong chương tác giả chứng minh số khẳng định mơ tả đặc trưng hàm cộng tính k – nón lồi K không gian véc tơ thực V cho áp dụng khẳng định dạng số toán chứng minh bất đẳng thức ( mệnh đề 2.4.4) Cuối tác giả trình bày mở rộng kết [H.V.Hùng L.M.Tiến] (định lý 2.4.6) cho ví dụ minh họa Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn T.S Hoàng Văn Hùng, Viện Khoa học Cơ - Đại học Hàng Hải Việt Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thày hướng dẫn ý tưởng luận văn tận tụy công việc hướng dẫn Tác giả xin chân thành cảm ơn thày cô khoa Toán –Tin, Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2014 Người viết Đỗ Thị Huệ Chương HÀM LỒI VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN Chương trình bày khái niệm hàm lồi, tính chất hàm lồi bất đẳng thức liên quan Tư liệu chương tham khảo từ tài liệu [Hardy, Littllewood,Polya] [Zoran K and others] 1.1 HÀM LỒI 1.1.1 Định nghĩa Hàm biến f(x) gọi lồi khoảng số thực (a;b) với cặp số thực z,t thuộc khoảng (a;b), số thực λ ∈ (0; 1) ta ln có bất đẳng thức: f (λz + (1 − λ)t) ≤ λf (z) + (1 − λ)f (t) (1.1) Hàm f(x) gọi lõm khoảng (a;b) -f(x) lồi (a;b), nói cách khác, f(x) lõm (a;b) với cặp số thực z,t thuộc khoảng (a;b), số thực λ ∈ (0; 1) ta có bất đẳng thức: f (λz + (1 − λ)t) ≥ λf (z) + (1 − λ)f (t) (1.2) Nếu (1.1) (1.2) z, t phân biệt ta có dấu bất đẳng thức thực hàm f(x) gọi lồi chặt ( tương ứng: lõm chặt) (a;b) Tính lồi, lõm hàm f(x) khoảng đóng nửa đóng định nghĩa tương tự 1.1.2 Tính chất hàm lồi hàm lõm Tính chất Nếu f(x) lồi khoảng (a;b) với số thực phân biệt x, z, t thuộc khoảng (a;b) thoả mãn t < z ta ln có: f(t) − f(x) f (z) − f (x) ≤ t−x z−x (1.3) Chứng minh Giả sử a < t < x < z < b Đặt : λ = x−t z−x →1−λ= z−t z−t Vì f(x) lồi (a;b) ta có: f (λz + (1 − λ)t) ≤ λf (z) + (1 − λ)f (t) ↔ f (x) ≤ λf (z) + (1 − λ)f (t) ↔ λ(f (x) − f (z)) ≤ (1 − λ)(f (t) − f (x)) z−x x−t ↔ (f (x) − f (z)) ≤ (f (t) − f (x)) z−t z−t f (t) − f (x) f (z) − f (x) ↔ ≤ t−x z−x Bây giả sử a < x < t < z < b Áp dụng điều vừa chứng minh ta có: f (x) − f (t) f (z) − f (t) f (z) − f (x) + f (x) − f (t) ≤ = x−t z−t z−t ↔ (z − x + x − t)(f (x) − f (t)) ≥ (x − t)(f (z) − f (x) + f (x) − f (t)) ↔ (z − x)(f (x) − f (t)) ≥ (x − t)(f (z) − f (x)) f (t) − f (x) f (z) − f (x) ↔ ≤ t−x z−x Cuối cùng, a < t < z < x < b, áp dụng điều vừa chứng minh ta có: f (z) − f (t) f (x) − f (t) ≤ z−t x−t ↔ (x − t)(f (z) − f (x) + f (x) − f (t)) ≤ (z − x + x − t)(f (x) − f (t)) ↔ (x − t)(f (z) − f (x)) ≤ (z − x)(f (x) − f (t)) f (t) − f (x) f (z) − f (x) ↔ ≤ t−x z−x Vậy tính chất chứng minh hồn tồn Nhận xét : Nếu f(x) lồi chặt bất đẳng thức (1.3) dấu “ ≤” thay dấu “ tuỳ ý, bất đẳng thức (1.13) có nghĩa n X lim δ(P )→0 1.2.3 h(si )g(ti )(xi − xi−1 ) = i=1 Zβ h(x)g(x)dx α Định lý (J.Jensen) Cho f hàm lồi khoảng (a;b), h(x) g(x) hàm số liên tục Rβ [α;β] thoả mãn a < h(x) < b, g(x) ≥ 0, g(x)dx = Khi đó: α Zβ Zβ f ( h(x)g(x)dx) ≤ f (h(x))g(x)dx α α 11 Nếu f hàm lõm khoảng (a;b) ta có bất đẳng thức: Zβ Zβ f ( h(x)g(x)dx) ≥ f (h(x))g(x)dx α α Chứng minh Xét phân hoạch P: α = x0 < x1 < < xn = β Đặt: n Rβ Rxi P λi = g(x)dx → λi ≥ 0, λi = g(x)dx = i=1 xi−1 α Theo định lý trung bình tích phân ta có: Rxi Rxi h(x)g(x)dx = h(si ) g(x)dx = λi h(si ) = h(si )g(ti )(xi − xi−1 ), xi−1 xi−1 (si , ti ∈ [xi−1 , xi ], i = n) Vì f hàm lồi (a;b) nên theo 1.2.1 ta có: Zβ n Zxi n X X f ( h(x)g(x)dx) = f ( h(x)g(x)dx) =f ( h(si )λi ) i=1 x α ≤ n P λi f (h(si )) = i=1 i=1 i−1 n P f (h(si ))g(ti )(xi − xi−1 ) (1.14) i=1 Bất đẳng thức (1.14) với phân hoạch P đoạn [α;β] nên cho δ(P ) → (1.14) dùng bổ đề 1.2.2 ( ý hàm f(h(x)) liên tục trên[α; β] ) ta được: Zβ Zβ f ( h(x)g(x)dx) ≤ f (h(x))g(x)dx α α Nếu f hàm lõm – f hàm lồi, áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh cho hàm –f ta bất đẳng thức Zβ Zβ f ( h(x)g(x)dx) ≥ f (h(x))g(x)dx α α 12 1.3 1.3.1 MỘT SỐ HỆ QUẢ CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Định lý: Nếu f hàm lồi khoảng (a;b) với n số xi ( i = n) tuỳ ý thuộc n n 1P 1P khoảng (a;b) ta có: f ( xi ) ≤ f (xi ) n i=1 n i=1 n n 1P 1P Nếu f hàm lõm khoảng (a;b) f ( xi ) ≥ f (xi ) n i=1 n i=1 Chứng minh Trong định lý 1.2.1 lấy λi = với i =1 n ta suy định lý 1.3.1 n 1.3.2 Định lý: Nếu f hàm lồi (0;π ) với α, β, γ số đo radian góc tam giác ABC tùy ý ta có: π f (α) + f (β) + f (γ) ≥ 3f ( ) π Nếu f hàm lõm (0;π ) f (α) + f (β) + f (γ) ≤ 3f ( ) Chứng minh Khẳng định định lý suy từ 1.3.1 từ giả thiết ta có α, β, γ ∈ (0; π), α + β + γ = π 1.3.3 Ví dụ áp dụng: Để tiện áp dụng định lý 1.3.2 bất đẳng thức ta xem α, β, γ số đo radian góc A,B,C tam giác ABC, hiển nhiên bất đẳng thức đưa đại lượng α, β, γ số đo độ góc A,B,C 1) Nếu α, β, γ số đo góc tam giác ABC ta có: √ 1 + + ≥2 sin α sin β sin γ Chứng minh Rõ ràng f(x) xác định (0;π ) sinx + cos2 x 00 f (x) = > (x ∈ (0; π)) sin3 x Xét hàm f (x) = 13 Vậy f lồi (0; π ), theo định lý 1.3.2 ta có: √ 1 + + ≥ = π sin α sin β sin γ sin Dấu đẳng thức xảy α = β = γ = π/3 2) Nếu α, β, γ số đo góc tam giác ABC ta có: tan α β γ √ + tan + tan ≥ 2 Chứng minh x x x 00 xác định (0;π ) f (x) = tan (1 + tan2 ) > 2 2 (x ∈ (0; π)) Do f lồi (0; π ), theo định lý 1.3.2 ta có: α β γ π √ tan + tan + tan ≥ tan = 2 Hàm f (x) = tan Dấu đẳng thức xảy α = β = γ = π/3 3) Nếu k > α, β, γ số đo góc tam giác ABC ta có: 1 k √ + + ≥ 3( ) sink α sink β sink γ Chứng minh lồi (0;π ) Hàm sin x g(u) = uk k >1 hàm lồi thực tăng khoảng (0;+∞ ), hàm hợp g(f(x)) = hàm lồi khoảng (0; π ) theo tính chất sink x hàm lồi Theo 1.3.2 ta có: Trong ví dụ ta chứng minh hàm f (x) = 1 1 k + + ≥ 3( ) = 3( √ )k (1.15) π k k k sin α sin β sin γ sin Kết hợp ví dụ ví dụ ta suy (1.15) với k≥ Tương tự ta có bất đẳng thức: k 1− α β γ tank + tank + tank ≥ 2 2 (1.16) với k > α, β, γ số đo góc tam giác ABC 4) Nếu a,b,c cạnh, R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, k ≥ ta có bất đẳng thức sau: 14 k 1 + + ≥ ak bk ck Rk √ 1 Nói riêng, với k = ta có bất đẳng thức: + + ≥ a b c R 1 1 Với k = ta có bất đẳng thức: + + ≥ a b c R Chứng minh 1− (1.17) Theo định lý hàm số sin ta có : a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC, thay vào vế trái (1.17) dùng (1.15) ta điều phải chứng minh 5)Nếu α, β, γ số đo góc tam giác ABC ta có: √ 3 sin α + sin β + sin γ ≤ (1.18) Nếu < k < thì: k sink α + sink β + sink γ ≤ k (1.19) Chứng minh Hàm f(x) = sinx có f ”(x) = -sinx < khoảng (0; π) nên 1+ f(x) lõm (0; π) Theo khẳng định thứ hai 1.3.2 ta có: √ π 3 sin α + sin β + sin γ ≤ sin = Vậy (1.18) chứng minh Hàm g(u) = uk hàm lõm thực tăng < k < Vậy theo tính chất hàm lõm ta có g(f (x)) = sink x hàm lõm (0; π) Do (1.19) suy từ khẳng định thứ hai 1.3.2 6) Nếu a,b,c cạnh, R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, < k ≤1 ta có bất đẳng thức: k ak + bk + ck ≤ Rk (1.20) √ Nói riêng, k = ta có: a + b + c ≤ 3R √ √ √ √ Khi k = ta có: a + b + c ≤ 35/4 R Chứng minh Khẳng định bất đẳng thức suy từ bất đẳng 1+ thức (1.18), (1.19) định lý hàm số sin 15 7) Bất đẳng thức (1.17) với k > Chứng minh Chỉ cần chứng minh (1.17) cho < k < Từ bất đẳng thức Cauchy dễ dàng suy ra: (ak + bk + ck )( 1 + + )≥9 ak b k c k (1.21) k Khi < k < theo (1.20) ta có ak + bk + ck ≤ 31+ Rk , từ (1.21) ta suy ra: k 1 + + ≥ ak bk ck Rk Vậy (1.17) với giá trị < k < Cho k = 1/2 ta bất 1− đẳng thức: 1 33/4 √ +√ +√ ≥√ a c R b với a,b,c, R cạnh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tuỳ ý 8) Nếu α, β, γ số đo góc tam giác ABC ta có: √ 3 sin α sin β sin γ ≤ (1.22) Chứng minh Xét hàm f(x) = ln(sinx) khoảng (0; π) 00 Ta có f (x) = −(1 + cot2 x) < với x thuộc (0; π), hàm f(x) lõm trên(0; π) Áp dụng định lý 1.3.2 ta có: √ π ln(sin α) + ln(sin β) + ln(sin γ) ≤ ln(sin ) = ln √ 3 ↔ sin α sin β sin γ ≤ 9) Nếu α, β, γ số đo góc tam giác ABC ta có: α β γ sin sin sin ≤ 2 Chứng minh Xét hàm f(x) = ln(sinx) khoảng (0; π) Ta có 00 f (x) = −(1 + cot2 x) < 16 (1.23) với x thuộc (0; π), hàm f(x) lõm (0; π) Áp dụng định lý 1.3.1 ta có: β γ α+β+γ π α ) = 3f ( ) f ( ) + f ( ) + f ( ) ≤ 3f ( 2 6 α β γ π ↔ ln(sin sin sin ) ≤ ln (sin ) 2 α β γ ↔ sin sin sin ≤ 2 10) Nếu α, β, γ số đo góc tam giác ABC ta có: cos α + cos β + cos γ ≤ (1.24) Chứng minh Với giả thiết nêu ta có đồng thức: cos α + cos β + cos γ = + sin α β γ sin sin 2 Do đó, (1.24) suy từ (1.23) * Nhận xét: Nếu f (α, β, γ) hàm biến α, β, γ có tính chất P α, β, γ số đo góc tam giác tuỳ ý, tức α, β, γ ∈ (0; π); α + β + γ = π , tính chất P hàm π−α π−β π−γ , , ) α, β, γ ∈ (0; π); α + β + γ = π f( 2 Chứng minh π−α π−β π−γ Đặt α0 = ,β = ,γ = ta có α0 , β , γ ∈ (0; π); 2 0 α + β + γ = π tính chất P phải f (α0 , β , γ ) = π−α π−β π−γ f( , , ) α, β, γ ∈ (0; π); α + β + γ = π 2 Nhận xét cho phép thu loạt bất đẳng thức tam giác π−α từ bất đẳng thức chứng minh thay:α → ,β → π−β π−γ ,γ → Chẳng hạn từ (1.15), (1.19), (1.22), (1.24) ta thu 2 bất đẳng thức sau với α, β, γ số đo góc tam giác ABC: 1 + + ≥ 3( √ )k α γ β k cosk cosk cos 2 17 (k≥1) (1.25) k β γ α cosk + cosk + cosk ≤ k 2 2 √ α β γ 3 cos cos cos ≤ 2 α β γ sin + sin + sin ≤ 2 2 1+ ( < k ≤ 1) (1.26) (1.27) (1.28) 11) Nếu α, β, γ số đo góc tam giác ABC, n số thực > ta có: √ (n − 1)α + β (n − 1)β + γ (n − 1)γ + α sin + sin + sin ≤3 n n n (1.29) Chứng minh Hàm sinx lõm (0; π) với giả thiết nêu ta có: (n − 1)α + β (n − 1)β + γ (n − 1)γ + α , , ∈ (0; π) n n n Áp dụng định lý 1.3.1 cho hàm lõm ta có: √ (n − 1)α + β (n − 1)β + γ (n − 1)γ + α π 3 sin + sin + sin ≤ sin = n n n Các ví dụ vừa nêu chứng tỏ định lý 1.3.1 1.3.2 công cụ để đưa chứng minh ngắn gọn nhiều bất đẳng thức quen thuộc tam giác, chứng minh số chúng điều dễ dàng dùng biến đổi lượng giác ( không dùng lý thuyết hàm lồi, lõm) Các định lý 1.3.1, 1.3.2 cho phép thày giáo dạy tốn sáng tạo bất đẳng thức tam giác nhiều bất đẳng thức khác đại số, giải tích 1.3.4 Bất đẳng thức Nesbitt suy rộng Định lý: Cho a, b, c, M, N số dương tùy ý Khi ta có: b c a + + ≥ Mb + Nc Mc + Na Ma + Nb M +N a b c Chứng minh.Đặt S = a + b + c Khi ta có , , số dương S S S a b c + + = Hàm f (x) = lồi khoảng (0; +∞) nên áp dụng bất S S S x 18 ... thức tiếng bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức Karamata, liên quan đến hàm lồi hàm lõm Một số bất đẳng thức tiếng khác bất đẳng thức Mincowski, Holder, liên quan đến hàm nửa... ? ?Một số lớp hàm dạng đặc biệt bất đẳng thức liên quan? ?? gồm Lời nói đầu, hai chương, phần kết luận Tài liệu tham khảo Chương HÀM LỒI VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN Chương trình bày định nghĩa hàm. .. lồi, hàm lõm, tính chất quan trọng hàm lồi, hàm lõm cách chứng minh loạt bất đẳng thức tiếng dựa tính chất hàm này: bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Jensen (dạng dãy dạng tích phân), bất đẳng thức