HÀ ANH TUAN M T SO VAN ĐE TRONG GIẢI TÍCH BIEN PHÂN B C HAI VÀ ỨNG DỤNG LU N ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC NGH AN 2023 ( B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ NG ĐẠI HOC VINH ) HÀ ANH TUAN M T SO VAN ĐE TRONG GIẢI TÍCH BI[.]
Các khái ni m và tính chat bő trợ
Trong phan này, chúng tôi trình bày m®t so khái ni m và các ket quả đã biet trong giải tích bien phân đe sả dụng trong các phan tiep theo. Neu không có giải thích gì thêm thì các không gian được sả dụng trong lu n án là các không gian Ơclit R n , với n là so nguyên dương.
1.1.1 Định nghĩa [46, Chapter 5] Quy tac F đ t moi x ∈ R n tương áng m®t và chỉ m®t t p F (x) ⊂ R m được goi là ánh xạ đa tr tà không gian R n vào không gian R m , được kí hi u là F : R n ⇒ R m Neu với moi x ∈ R n , t p hợp F (x) chỉ có đúng m®t phan tả trong R m thì ta nói F là m®t ánh xạ đơn trị tà không gian R n vào không gian R m và kí hi u n
1.1.2 Định nghĩa [46] Cho ánh xạ đa trị F : R n ⇒ R m
(i) Mien hũu hi u của F được kí hi u và xác định bởi domF := x ∈ R n | F (x) /= ∅}
(ii) Mien ảnh của F được kí hi u và xác định bởi rgeF := y ∈ R m | ∃x ∈ R n sao cho y ∈ F (x)}
(iii) Đo th của F được kí hi u và xác định bởi gphF := (x, y) ∈ R n × R m | y ∈ F (x)}
(iv) Ánh xạ ngược F −1 : R m ⇒ R n được định nghĩa bởi
1.1.3 Định nghĩa [32, 46] Cho hàm so f : R n → R.
(i) Mien hũu hi u của hàm f được kí hi u và xác định bởi domf := x ∈ R n | f (x) < ∞}
(ii) Hàm f được goi là chính thường neu domf ∅ và f (x) > −∞, ∀x ∈ R
(iii) Hàm f được goi là nủa liên tực dưới tại x neu lim inf f (u) f (x). u→x
(iv) Hàm f được goi là nủa liên tực dưới đ a phương tại x¯ ∈ domf neu ton tại ε > 0, sao cho moi t p có dạng {x ∈ B ε (x¯)| f (x) ≤ α} là t p đóng, trong đó α ≤ f (x¯) + ε.
1.1.4 Định nghĩa [46] Cho Ω là t p con khác rong của R n
(i) Nón tiep tuyen của Ω tại x¯ ∈ Ω được kí hi u và xác định bởi
(ii) Nón pháp tuyen chính quy của Ω tại x¯ ∈ Ω được định nghĩa bởi
x→ Ω x¯ ǁx − x¯ǁ (iii) Nón pháp tuyen qua giới hạn của Ω tại x¯ ∈ Ω được xác định bởi
Neu x¯ /∈ Ω thì ta quy ước N Ω(x¯) = N Ω(x¯) := ∅.
(iv) Tắp tiep xỳc bắc hai (second-order tangent set) của Ω tại x¯ w ∈ T Ω(x¯) được kí hi u và xác định bởi
T p Ω được goi là khả đạo hàm parabol (parabolically derivable) tại x¯ đoi với w ∈ R n neu T 2 (x¯, w) /= ∅ và với moi u ∈ T 2 (x¯, w) ton tại ε > 0 và Ω Ω cung ξ : [0, ε] → Ω sao cho ξ(0) = x¯, ξ + ′ (0) = w và ξ + ′′ (0) = u, trong đó ξ ′ (0) := lim ξ ( t ) − ξ (0) và ξ ′′ (0) := lim ξ(t) − ξ(0) − tξ + ′ (0) t↓0 t + t↓0
M nh đe sau đây cho thay nón pháp tuyen chính quy bang nón cực của nón tiep tuyen.
1.1.5 M nh đe [32, Theorem 1.10] Giả sủ Ω ⊂ R n và x¯ ∈ Ω Khi đó,
Trường hợp Ω là t p loi, các khái ni m nón tiep tuyen và nón pháp tuyen ở trên được quy ve nón tiep tuyen và nón pháp tuyen, tương áng, theo nghĩa của giải tích loi Tác là:
1.1.6 Định nghĩa [46] Cho hàm so f : R n → R¯ hǎu hạn tại x¯ ∈ R n và v ∈ R n Dưới đạo hàm (subderivative) của hàm so f tại điem x¯ df (x¯) : R n → [−∞, ∞] được xác định bởi df (x¯)(w) := lim inf f (x¯ + tw ′ ) − f (x¯)
1.1.7 Định nghĩa [32, 33, 46] Cho ánh xạ đa trị F : R n ⇒ R m có domF /= ∅ Đạo hàm đo th của F tại x¯ ∈ domF đoi với y¯ ∈ F (x¯) là ánh xạ đa trị DF (x¯|y¯) : R n ⇒ R m được xác định bởi
Chú ý rang, neu ánh xạ đơn trị F : R n → R m khả vi tại x¯ thì
1.1.8 Bo đe [23, Proposition 4A.2] Giả sủ f : R n → R m là ánh xạ khả vi tại x và F : R n ⇒ R m là ánh xạ đa tr Khi đó, ta có
1.1.9 Định nghĩa [23, 33] Ánh xạ đa trị F : R n ⇒ R m được goi là dưới chính quy mêtric tại (x¯, y¯) ∈ gphF neu ton tại κ, r > 0 sao cho d x; F −1 (y¯)
Kí hi u subreg F (x¯|y¯) := inf , κ ∈ R+ ∃ r > 0 sao cho (1.2) đúng,
1.1.10 Định nghĩa [23, 33] Ánh xạ đa trị F : R n ⇒ R m được goi là dưới chính quy mêtric mạnh tại x¯ ∈ domF đoi với y¯ ∈ F (x¯) neu ton tại hang so κ > 0, lân c n U của x¯ và lân c n V của y¯ sao cho ǁx − x¯ǁ ≤ κd y¯; F (x) ∩ V , ∀x ∈ U.
Như v y, neu x¯ là điem cô l p đoi với F −1 (y¯) thì tính dưới chính quy mêtric trở thành tính dưới chính quy mêtric mạnh.
1.1.11 Định nghĩa [32, 33, 44, 46] Giả sả ϕ : R n → R và x¯ y¯ := ϕ(x¯) hǎu hạn.
(i) Dưới vi phân chính quy của ϕ tại x¯ được định nghĩa bởi
∈ R n có trong đú epiϕ := (x, α) ∈ R n ì R | α ≥ ϕ(x) là tắp trờn đo th của ϕ. (ii) Dưới vi phân qua giới hạn của ϕ tại x¯ được định nghĩa bởi
(iii) Dưới vi phân gan ke (proximal subdifferential) của ϕ tại x¯ được định nghĩa bởi
(iv) Dưới vi phân suy bien (singular subdifferential) của hàm ϕ tại x¯ được xác định bởi
Neu |ϕ(x¯)| = ∞ thì ta quy ước ∂ p ϕ(x¯) = ∂ϕ(x¯) = ∂ϕ(x¯) := ∅ Ta có
Do đó ∂ p ϕ(x¯) ⊂ ∂ϕ(x¯) M t khác, ta có ∂^ϕ(x¯) ⊂ ∂ϕ(x¯) và
Neu ϕ là hàm loi thì ∂ p ϕ(x¯), ∂ϕ(x¯) và ∂ϕ(x¯) trùng với dưới vi phân theo nghĩa của giải tích loi x ∗ ∈ R n | ⟨x ∗ , x − x¯⟩ ≤ ϕ(x) − ϕ(x¯), ∀x ∈ R n }
Cho hàm ϕ : R n → R hǎu hạn tại x¯ và v¯ ∈ ∂ϕ(x¯) Khi đó, đạo hàm đo thị của ánh xạ dưới vi phân ∂ϕ tại x¯ đoi với v¯ được goi là đạo hàm đo th dưới gradient của hàm ϕ tại x¯ đoi với v¯, được kí hi u là
1.1.12 Nh n xét Trong lu n án này, luôn giả thiet hàm so được xét là hàm nảa liên tục dưới Vì the, ánh xạ dưới vi phân có giá trị đóng (xem [46, Theorem 8.6]).
Ví dụ sau chỉ ra rang, đoi với hàm chính thường nảa liên tục dưới, đo thị của ánh xạ dưới vi phân không đóng địa phương.
1.1.13 Ví dn Cho hàm f : R → R được xác định bởi
De thay f chính thường nảa liên tục dưới Ta có
[−1, 1] neu x = − 1 , n = 0, 1, 2, Áp dụng (1.5), ta được
Tuy nhiên, khi cho n → ∞, ta có
→ (0, ϵ) /∈ gph∂f. Đieu này cháng tỏ gph∂f không đóng địa phương tại (0, 0).
1.1.14 Định nghĩa [46] Cho hàm f : R n → R hǎu hạn tại x¯.
(i) Hàm f được goi là khả vi (khả vi chắt, tương ỏng) tại x¯ neu cú ma
| 2 τ tr n ∇f (x¯) cơ 1 × n, được goi là (ma tr n) Jacobi của f tại x¯, sao cho lim f ( x ) − f ( x ¯ ) − ∇ f ( x ¯ )( x − x ¯ ) x→x¯ ǁx − x¯ǁ = 0 x, lim u→x¯ f ( x ) − ( uf ) − ∇ f ( x ¯ )( x − u ) ǁx − uǁ = 0, tương áng
(ii) Hàm f được goi là khả vi hai lan tại x¯ (theo nghĩa cő đien) neu nó khả vi trên m®t lân c n U nào đó của x¯ và có ma tr n ∇ 2 f (x¯) cơ n × n, được goi là (ma tr n) Hesse của f tại x¯, sao cho
1.1.15 Định nghĩa [46] Cho f : R n → R và x¯ ∈ dom f Giả sả w ∈ R n sao cho df (x¯)(w) ∈ R.
(i) Dưới đạo hàm bắc hai (second subderivative) của f tại x¯ đoi với v và w được cho bởi d 2 f (x¯|v)(w) = lim inf ∆ 2 f (x¯|v)(w ′ ), (1.6) trong đó τ ↓ 0 τ w ′ −→w
(ii) Dưới đạo hàm parabol (parabolic subderivative) của f tại x¯ w và đoi với z là đoi với d 2 f (x¯)(w z) := lim inf t ↓ 0 z ′ −→z f (x¯ + tw + 1 t 2 z ′ ) − f (x¯) − tdf (x¯)(w)
(iii) Hàm so f được goi là khả vi trên đo th hai lan (twice epi-differentiable) tại x¯ đoi với v¯ neu với moi w ∈ R n và τ k ↓ 0 được chon, đeu ton tại w k → w sao cho
(iv) Hàm so f được goi là khả vi trên đo th parabol (parabolically epi- differentiable) tại x¯ đoi với w neu các đieu ki n sau thỏa mãn: dom d 2 f (x¯)(w|ã) = {z ∈ R n | d 2 f (x¯)(w|z) < ∞} = ∅, với moi z ∈ R n và t k ↓ 0 ton tại z k → z sao cho f (x¯ + t k w + 1 t 2 z k ) − f (x¯) − t k df (x¯)(w) d 2 f (x¯)(w z) lim k→∞ 2 k
1.1.16 Định nghĩa [30, Definition 3.1] Hàm f : R n → R được goi là chính quy parabol (parabolically regular) tại x¯ đoi với v¯ ∈ R n neu f (x¯) ∈ R và với moi w có d 2 f (x¯|v¯)(w) < ∞ ton tại t k ↓ 0 và w k → w sao cho lim ∆ 2 f (x¯|v¯)
(w k ) = d 2 f (x¯ v¯)(w) và lim sup ǁw k − wǁ k→∞ t k
T p ∅ /= Ω ⊂ R n được goi là chính quy parabol tại x¯ chỉ δ Ω chính quy parabol tại x¯ đoi với v¯. đoi với v¯ neu hàm
Mohammadi và Sarabi ([30, Proposition 3.6]) đã chỉ ra rang hàm so f : R n → R là chính quy parabol tại x¯ đoi với v¯ ∈ ∂ p f (x¯) neu và chỉ neu d 2 f (x¯ v¯)(w) = inf z∈ R n d 2 f (x¯)(w|z) − ⟨z, v¯⟩}
K f (x¯, v¯) := {w ∈ R n | df (x¯)(w) = ⟨v¯, w⟩} được goi là nón tới hạn (critical cone) của hàm f tại (x¯, v¯) Hơn nǎa, neu hàm f chính quy parabol tại x¯ đoi với v¯ và w ∈ dom d 2 f (x¯|v¯) thỡ ton tại z¯ ∈ dom d 2 f (x¯)(w|ã) sao cho d 2 f (x¯|v¯)(w) = d 2 f (x¯)(w|z¯) − ⟨z¯, v¯⟩ (1.10)
1.1.17 Định nghĩa [39, 46] Hàm so f : R n → R được goi là chính quy gan ke (prox-regular) tại x¯ ∈ domf đoi với v¯ ∈ ∂f (x¯) neu ton tại r, ε
> 0 sao cho với moi x, u ∈ B ε (x¯) mà |f (u) − f (x¯)| < ε, ta có f (x) ≥ f (u) + ⟨v, x − u x − uǁ 2 , ∀v ∈ ∂f (u) ∩
Ta thay rang lớp hàm chính quy gan ke cháa lớp hàm loi Hơn nǎa, tà (1.11) suy ra rang ∂f (u) ∩ B ε (v¯) ⊂ ∂ p f (u) khi ǁu − x¯ǁ < ε với
|f (u) − f (x¯)| < ε Như v y, với moi (x, v) ∈ gph∂f đủ gan (x¯, v¯) và f (x) đủ gan f (x¯), ta có v là dưới vi phân gan ke của f tại x¯, tác là v ∈ ∂ p f (x¯).
1.1.18 Bo đe [46, Theorem 13.36] Giả sủ f : R n → R chính quy gan ke và liên tực dưới vi phân tại x¯ đoi với v¯ Khi đó, ton tại các so r, ϵ > 0 sao cho
1.1.19 Định nghĩa [28] Hàm ϕ : R n → R được goi là liên tục Lipschitz địa phương tại x¯ đoi với t p Ω ⊂ domϕ neu x¯ ∈ Ω, ton tại κ ∈ R+ và lân c n U của x¯ sao cho
1.1.20 Bo đe [30, Proposition 2.2] Giả sủ hàm f : R n → R liên tực
Lipschitz đ a phương tại x¯ đoi với mien hũu hi u của nó Khi đó, ta có dom df (x¯) = Tdom f (x¯).
Hơn nũa, ta có df (x¯)(w) hũu hạn, với moi w ∈ Tdom f (x¯).
1.1.21 Bo đe [30, Proposition 4.1] Giả sủ hàm f : R n → R hũu hạn tại x¯, liên tực Lipschitz đ a phương tại x¯ đoi với mien hũu hi u của nó và f khả vi trên đo th parabol tại x¯ đoi với w ∈ Tdom f (x¯) Khi
2ǁ ε r do z ep z đ nh sau thóa mãn:
(ii) dom f khả đạo hàm parabol tại x¯ đoi với w.
1.1.22 Bo đe [46, Proposition 13.64] Cho hàm f : R n → R hũu hạn tại x¯ và w là vộctơ sao cho df (x¯)w hũu hạn Khi đú, d 2 f (x¯)(w|ã) : R n → R là hàm nủa liên tực dưới Hơn nũa, với moi v thóa mãn df (x¯)w = ⟨v, w⟩, ta có inf{d 2 f (x¯)(w|z) − ⟨v, z⟩} ≥ d 2 f (x¯|v)(w).
1.1.23 Bo đe [46, Example 13.62] Giả sủ hàm f : R n → R hũu hạn tại x¯ và w là véctơ sao cho df (x¯)w hũu hạn Khi đó, epi d 2 f (x¯)(w|ã) = T 2 (x¯, f (x¯)), (w, df (x¯)w)
Hơn nũa, hàm f khả vi trên đo th parabol tại x¯ đoi với w khi và chí khi epi f khả đạo hàm parabol tại x¯, f (x¯) đoi với w, df (x¯)w
1.1.24 Bo đe [30, Proposition 3.6] Giả sủ f : R n → R hũu hạn tại x¯ và v¯ ∈ ∂ p f (x¯) Khi đó, f chính quy parabol tại x¯ đoi với v¯ khi và chí khi inf{d 2 f (x¯)(w|z) − ⟨v¯, z⟩} = d 2 f (x¯|v¯)(w), ∀w ∈ K f (x¯, v¯).
Hơn nũa, với mői w ∈ dom d 2 f (x¯|v¯), ton tại cho z¯ ∈ dom d 2 f (x¯)(w|ã) sao d 2 f (x¯)(w|z¯) − ⟨v¯, z¯⟩ = d 2 f (x¯|v¯)(w).
Nhac lại rang [46, trang 473] hàm f ∗ : R n → R xác định bởi f ∗ (v) := sup{⟨v, x⟩ − f (x)} được goi là liên hợp của hàm f : R n → R. x e k e
1.1.25 Bo đe [46, Theorem 11.34] Giả sủ rang f, f k : R n → R với k = 1, 2, , là các hàm chính thường, nủa liên tực dưới và loi Khi đó, f k → f ⇔ f ∗ e
→ f có nghĩa là lim inf epi f k k
1.1.26 Bo đe [46, Proposition 7.2] Giả sủ rang f k , f : R n → R với k = 1, 2, Khi đó, f k → f khi và chí khi với mői x ∈ R n , ta có lim inf f k (x k ) ≥ f (x) với moi dãy x k → x, lim sup f k (x k ) ≤ f (x) với dãy x k → x nào đó.
1.1.27 Bo đe [46, Proposition 13.5] Giả sủ f : R n → R hũu hạn tại
Khi đú, hàm d 2 f (x¯|v) nủa liờn tực dưới, thuan nhat dương bắc hai và
Hàm khả vi hai lan theo nghĩa mở r®ng
Trong phan này, chúng tôi nghiên cáu m®t so tính chat của hàm khả vi hai lan theo nghĩa mở r®ng Moi quan h của lớp hàm khả vi hai lan theo nghĩa mở r®ng và lớp hàm chính quy gan ke Chúng tôi thiet l p được m®t so quy tac tính toán vi phân suy r®ng b c hai và thu được các mở r®ng của m®t so ket quả trong [30].
1.2.1 Định nghĩa [46] Cho hàm f : R n → R hǎu hạn tại x¯ Hàm f được goi là khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mớ r®ng (twice differentiable at x¯ in the extended sense) neu f e k k k vi tại x¯ và ton tại ma tr n A cơ x
∇g(x) n ì n, lõn c n U của x¯ và t p con D của U với à(U \D) = 0 sao cho hàm f liên tục Lipschitz trên U, khả vi trên D và lim ∇ f ( x ) − ∇ f ( x ¯ ) − A ( x − x ¯ ) = 0, x→ D x¯ ǁx − x¯ǁ trong đú à kớ hi u đđ đo Lebesgue trờn R n Ma tr n A là duy nhat và được goi là (ma tr n) Hesse của f tại x¯ theo nghĩa mở r®ng và cũng được kí hi u bởi ∇ 2 f (x¯).
M®t cách tự nhiên, ta nói rang ánh xạ
F : R n → R m , x ›→ F 1(x), F 2(x), , F m (x) là khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mớ r®ng neu F k khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng, với moi k = 1, 2, , m.
Ví dụ dưới đây chúng tôi chỉ ra rang hàm khả vi hai lan có the không chính quy gan ke.
1.2.2 Ví dn Xét hàm so f : R → R xác định bởi g(x) x3√ 3 xcos 1 neu x 0,
0 neu x = 0, và hàm g khả vi hai lan trên R Bang tính toán, ta thu được:
Bây giờ, ta chỉ ra rang hàm g không chính quy gan ke tại x¯ = 0 đoi với
∇g(x¯) = 0 Th t v y, với r > 0 co định, ta xét u k = 1 2kπ, x k 1 π + 2kπ, k = 1, 2,
Khi đó, ta có đánh giá
Như v y, (1.12) không thỏa mãn Do đó, theo Bő đe 1.1.18 hàm g không chính quy gan ke tại x¯ = 0 đoi với v¯ = 0.
Ta thay rang neu hàm f khả vi hai lan tại x¯ thì nó khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng và có Hesse trùng với Hesse mở r®ng Định lý 13.51 trong [46] khȁng định rang moi hàm dưới C 2 trên m®t t p mở đeu khả vi hai lan theo nghĩa mở r®ng hau khap nơi trên t p mở đó Hơn nǎa, trong ví dụ sau chúng tôi chỉ ra rang, ton tại hai hàm khả vi liên tục hai lan sao cho hàm max của chúng khả vi hai lan theo nghĩa mở r®ng nhưng không khả vi hai lan.
1.2.3 Ví dn Cho hàm f : R 2 → R được cho bởi f (x, y) = max{x 4 , y 4 } với moi (x, y) ∈ R 2 Rõ ràng, f liên tục Lipschitz địa phương tại (0, 0) và
= 0, ta có f ( x, y 0) − f ( x 0 , y 0) max{x 4 − x 4 , 0} lim = lim 0 = max{4x 3 , 0},
Do min{4x 3 , 0} /= max{4x 3 , 0}, đieu này cho thay rang f không khả vi tại (x 0 , y 0) ∈ R 2 với |x 0| = |y 0| /= 0 Do đó, f không khả vi hai lan tại
(0, 0) M t khỏc, với D = {(x, y) ∈ R 2 | |x| /= |y|}, ta cú à(R 2 \D) = 0 và lim
= 0, trong đú à là đđ đo Lebesgue trờn R 2 Đieu này cháng tỏ rang f khả vi hai lan tại (0, 0) theo nghĩa mở r®ng và
Khái ni m hàm khả vi hai lan theo nghĩa mở r®ng được Rockafellar và Wets đe c p trong cuon sách chuyên khảo Variational Analysis ([46]). Tuy nhiên, cho đen nay chưa có thêm các công bo mới nào ve loại hàm này Định lý dưới đây chúng tôi thiet l p được m®t so tính chat của hàm khả vi hai lan theo nghĩa mở r®ng.
1.2.4 Định lý Cho các hàm so f, g : R n → R, x¯ ∈ R n và hang so α. Giả sủ các hàm so f, g khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mớ r®ng Khi đó, (i) Hàm f + g khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mớ rđng, với ma trắn
Hesse mớ r®ng được cho bới
(ii) Hàm αf khả vi hai lan tại x¯ mớ r®ng được cho bới theo nghĩa mớ rđng, với ma trắn Hesse
(iii) Hàm f.g khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mớ rđng, với ma trắn Hesse
. g ( x ¯ ∇ ) g ( x ¯ ) − 2 ∇ g ( x ¯ ) mớ r®ng được cho bới
(iv) Neu g(x¯) =/ 0 thì hàm f khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mớ r®ng, với ma trắn Hesse mớ rđng được cho bới
Chúng minh Do f, g là các hàm khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng nên ta có à(U \ D f ) = 0, à(U \ D g ) = 0 với U là mđt lõn c n nào đú của x¯, à là đđ đo Lebesgue trờn R n Do đú
Suy ra à U \ D f ∩ D g = 0 Hơn nǎa, vỡ f, g là cỏc hàm liờn tục
Lipschitz địa phương tại x¯ nên ton tại ϵ > 0, κ 1 > 0, κ 2 > 0 sao cho
|f (x 1) − f (x 2)| ≤ κ 1 ǁx 1 − x 2ǁ và |g(x 1) − g(x 2)| ≤ κ 2 ǁx 1 − x 2ǁ , với moi x 1 , x 2 ∈ B ϵ (x¯) Đ t m 1 = min{|f (x)| | x ∈ B ϵ (x¯)}, M 1 = max{|f (x)| | x ∈
(i) Hàm f + g khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng:
Th t v y, vì f, g là các hàm khả vi tại x¯ nên hàm f + g khả vi tại x¯
Suy ra hàm f + g liên tục Lipschitz trên B ϵ (x¯).
Như v y, hàm f + g khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng, với ma tr n Hesse mở r®ng là ∇ 2 (f + g)(x¯) = ∇ 2 f (x¯) + ∇ 2 g(x¯).
(ii) αf khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng:
Th t v y, vì f khả vi tại x¯ nên αf khả vi tại x¯ Ta có
Suy ra, hàm αf liên tục Lipschitz trên U = B ϵ (x¯) M t khác, ta có
Do đó, hàm αf khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng, với ma tr n Hesse mở r®ng là ∇ 2 (αf )(x¯) = α∇ 2 f (x¯).
(iii) Hàm f.g khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng Th t v y, vì f, g x
(1.1 là các hàm khả vi tại x¯ nên hàm f.g khả vi tại x¯ Ta có
Cháng tỏ rang hàm f.g liên tục Lipschitz trên U = B ϵ (x¯) Hơn nǎa, với
Do đó, hàm f.g khả vi hai lan tại x¯ Hesse mở r®ng là theo nghĩa mở r®ng, với ma tr n
(iv) Hàm f khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng.
Trước het, ta cháng minh rang hàm 1 khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng, với ma tr n Hesse mở r®ng là: g(x¯)∇ 2 g(x¯) − 2[∇g(x¯)] T
Th t v y, vì hàm g khả vi tại x¯ và g(x¯) /= 1
0 nên khả vi tại x¯ Không mat tính tőng quát, giả sả rang g(x) 0 với moi x ∈ B ϵ (x¯), với ϵ > 0 nào đó Khi đó, ta có m 2 > 0 Với moi x 1 , x 2 ∈ B ϵ (x¯), ta có
≤ κ 2 ǁx — x ǁ Đieu này cháng tỏ hàm 1 liên tục Lipschitz trên B ϵ (x¯) Xét
Do đó, ánh xạ − ∇g khả vi tại x¯ đoi với D g Như v y, hàm 1 khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng, với ma tr n Hesse mở r®ng là −B.
Cuoi cùng, vì f, 1 là các hàm khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng nên theo (iii), hàm f tr n Hesse mở r®ng là khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng, với ma
[g(x¯)] 3 Định lý được cháng minh Q
1.2.5 Bo đe [33, Theorem 2.19] Cho ϕ 1 , ϕ 2 : R n → R là các hàm nủa liên tực dưới và x¯ ∈ dom ϕ 1 ∩ dom ϕ 2 Giả sủ rang
1.2.6 Bo đe [46, Theorem 13.2] Giả sủ f : R n → R khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mớ r®ng Khi đó, ∂f (x¯) = {∇f (x¯)} và ton tại lân cắn U của x¯ sao cho
Hơn nũa, hàm f khả vi chắt tại x¯ và f (x) = f (x¯) + ⟨∇f (x¯), x − x¯⟩ + 1
Chúng tôi thu được các quy tac tőng dạng đȁng thác đoi với đạo hàm đo thị dưới gradient, dưới đạo hàm b c hai và dưới đạo hàm parabol.
1.2.7 Định lý Cho hàm ϕ : R n → R khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mớ r®ng và hàm ψ : R n → R chính thường nủa liên tực dưới đ a phương tại x¯ Giả sủ v¯ ∈ ∂(ϕ + ψ)(x¯) Khi đó, ta có
Chúng minh Trước het, ta cháng minh (1.20) Giả sả w ∈ R n và z ∈
D∂(ϕ + ψ)(x¯|v¯)(w) Khi đó, ton tại t k ↓ 0 và (w k , z k ) → (w, z) sao cho v¯ + t k z k ∈ ∂(ϕ + ψ)(x¯ + t k w k ), ∀k ∈ N ∗
Vì ϕ khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng nên ϕ liên tục Lipschitz địa phương tại x¯ Theo Bő đe 1.2.5 và (1.18), ta được
⊂ ∇ϕ(x¯) + t k ∇ 2 ϕ(x¯)(w k ) + o(ǁt k w k ǁ)B +∂ψ(x¯ + t k w k ), với moi k ∈ N ∗ đủ lớn.
Tà đó, ta có v¯ − ∇ϕ(x¯) t k + hay z k
Nói cách khác, z − ∇ 2 ϕ(x¯)(w) ∈ D∂ψ(x¯|v¯ − ∇ϕ(x¯)(w). Đieu này chỉ ra rang
Chú ý rang hàm (−ϕ) khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng với
Do đó, tà (1.23) và (1.24), ta được
Tiep theo, ta sě cháng minh rang (1.21) thỏa mãn Lay bat kì w ∈ R n
Do ϕ khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng nên theo (1.19), ta có w, 2 ϕ(x¯)w = lim t ↓ 0 w ′ −→w
Cuoi cùng, ta chỉ ra rang (1.22) thỏa mãn Th t v y, ta có ϕ khả vi tại x¯ nên d(ϕ + ψ)(x¯)(w) = lim inf (ϕ+ψ)(x¯+tw ′ )−(ϕ+ψ)(x¯) t ↓ 0 t w ′ −→w t ↓ 0 t t w ′ −→w
Vì ϕ khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng nên theo (1.19), ta được lim inf ϕ(x¯+tw+ 1 t 2 z ′ )−ϕ(x¯)
Do đó, ta có d 2 (ϕ + ψ) x¯ (w|z) = lim inf (ϕ+ψ)(x¯+tw+ 1 t 2 z ′ )−(ϕ+ψ)(x¯)−td(ϕ+ψ)(x¯)(w) t ↓ 0 2 z ′ −→z t t t ↓
R n , z ∈ R n Định lý được cháng minh Q
Cho hàm ψ : R n → R hǎu hạn tại x¯ ∈ R n Giả sả rang ton tại lân c n O của x¯ sao cho hàm ψ bieu dien được dưới dạng ψ(x) = g ◦ F (x), ∀x ∈ O, (1.25) trong đó, ánh xạ F : R n → R m khả vi hai lan tại x¯ theo nghĩa mở r®ng và hàm g : R m → R chính thường, nảa liên tục dưới, loi và liên tục Lipschitz địa phương tại F (x¯) đoi với mien hǎu hi u của g, với hang so Lipschitz là l ∈ R+ , tác là ton tại lân c n V của F (x¯) sao cho
Nhac lại rang hàm ψ = g◦F ([28, Definition 3.2]) được goi là thỏa mãn đieu ki n ràng bu®c chuȁn hóa dưới chính quy mêtric (metric subregularity qualification condition) (MSCQ) tại x¯ ∈ dom ψ neu ton tại hang so κ ∈R+ và lân c n U của x¯ sao cho d(x; dom ψ) ≤ κd F (x); dom g , ∀x ∈ U (1.28)
1.2.8 Bo đe [28, Theorem 3.4] Cho ánh xạ F : R n → R m khả vi tại x¯ ∈ R n và hàm g : R m → R liên tực Lipschitz đ a phương tại F (x¯) đoi với mien hũu hi u của nó Giả sủ hàm ψ = g ◦F thóa mãn đieu ki n ràng bu®c chuȁn hóa MSCQ tại x¯, với hang so κ ∈ R+ Khi đó, ta có d(g ◦ F )(x¯)(w) = dg F (x¯)
1.2.9 Bo đe [28, Theorem 3.5] Cho F : R n → R m khả vi chắt tại x¯ ∈
R n , hàm g : R m → R loi nủa liên tực dưới đ a phương tại F (x¯) và liên tực Lipschitz đ a phương tại F (x¯) đoi với mien hũu hi u của g.
Giả sủ, hàm ψ = g ◦ F thóa mãn đieu ki n ràng bu®c chuȁn hóa MSCQ tại x¯ Khi đó,
1.2.10 Bo đe Cho hàm ψ : R n → R bieu dien được dưới dạng (1.25) thóa mãn đieu ki n chuȁn hóa ràng bu®c MSCQ tại x¯ sủ w ∈ R n Khi đó, ánh xạ S w : R m ⇒ R n cho bới
F (x¯), ∇F (x¯)w } thóa mãn bao hàm thúc dom g
Chúng minh Lay p ∈ R n và u ∈ S w (p), theo (1.31), ta có
Khi đó, theo Định nghĩa 1.1.4 (iv), ton tại t k ↓ 0 sao cho
Theo Bő đe 1.2.6, với k đủ lớn, ta có
+ o t 2 , ket hợp đieu này và hàm ψ thỏa mãn đieu ki n chuȁn hóa ràng bu®c
Do đó, ton tại y k ∈ dom ψ sao cho
Lay dãy con neu can, giả sả rang ton tại d ∈ R n sao cho d k → d khi k → ∞ Tà đó, ta được ǁdǁ ≤
M t khác, không mat tính tőng quát, giả sả rang x¯ +t w + 1 t 2 u − t 2 d = y ∈ (dom ψ) ∩ O, với k đủ lớn.
Khi đó, tà (1.27) suy ra rang
Do đó, theo Bő đe 1.2.6, ta có
Tdom g F (x¯), ∇F (x¯)w Đieu này cháng tỏ u − 2d ∈ S w (0).
Bő đe được cháng minh Q
M nh đe sau đây là sự mở r®ng của các ket quả ở [30, Proposition 4.3] t k k
1.2.11 M nh đe Giả sủ hàm ψ : R n → R bieu dien được dưới dạng
(1.25) thóa mãn đieu ki n chuȁn hóa ràng bu®c MSCQ tại x¯ Khi đó, dψ(x¯)(w) = dg F (x¯)
Hơn nũa, neu w ∈ Tdom ψ (x¯) và g khả vi trên đo th parabol tại F (x¯) đoi với ∇F (x¯)w thì các khȁng đ nh sau thóa mãn:
F (x¯), ∇F (x¯)w và dom ψ khả đạo hàm parabol tại x¯ đoi với w.
(ii) Với moi z ∈ R n , ta có d 2 ψ(x¯)(w|z) = d 2 g F (x¯)
(iv) Hàm ψ khả vi trên đo th parabol tại x¯ đoi với w.
Chúng minh Do F : R n → R m khả vi hai lan tại x¯ nên theo Bő đe 1.2.6, ta có theo nghĩa mở r®ng
(1.35) và f khả vi ch t tại x¯ Ket hợp với hàm ψ = g ◦ F thỏa mãn đieu ki n chuȁn hóa ràng bu®c MSCQ tại x¯ và Bő đe 1.2.8, suy ra dψ(x¯)(w) = dg F (x¯) ∇F
(x¯)w , ∀w ∈ R n (1.36) Theo Bő đe 1.2.9, ta thu được
Tiep theo, ta cháng minh rang F (x¯) ∗ ∂g F (x¯) ∂ p ψ(x¯) Lay bat kì y ∈ ∂g F (x¯) Vì g là hàm loi nên ta có y ∈ ∂ p g F (x¯) Do đó lim inf ψ(x)−ψ(x¯)− ∇F (x¯) ∗ y,x−x¯ x →x¯ ǁx−x¯ǁ 2 g F (x¯)+∇F (x¯)(x−x¯)+ 1 ∇ 2 F (x¯)(x−x¯,x−x¯)+o(ǁx−x¯ǁ 2 ) −g F (x¯) − y,∇F (x¯)
∇ 2 F (x¯)(x−x¯, x−x¯)+o(ǁx−x¯ǁ 2 ) → 0 khi x → x¯. Đieu này cháng tỏ ∇F (x¯) ∗ y ∈ ∂ p ψ(x¯), tà đó ta được
∂ p ψ(x¯) = ∂ψ(x¯) = ∇F (x¯) ∗ ∂g F (x¯) (1.39) Hơn nǎa, tà (1.36) và Bő đe 1.1.20, ta được
Bây giờ, giả sả rang w ∈ Tdom ψ (x¯) và hàm g khả vi trên đo thị parabol tại F (x¯) đoi với ∇F (x¯)w Do hàm g liên tục Lipschitz địa phương tại F (x¯) đoi với mien hǎu hi u của nó và ∇F (x¯)w ∈ Tdom g
F (x¯) , theo Bő đe 1.1.21, dom g khả đạo hàm parabol tại F (x¯) đoi với ∇F (x¯)w.
Cháng minh (i) Lay bat kì w ∈ Tdom ψ (x¯) Trước het, ta cháng minh ǁ dom ψ (x¯, w) /= ∅ (1.40)
Vì hàm g khả vi trên đo thị parabol tại F (x¯) đoi với ∇F (x¯)w nên, theo Bő đe 1.1.21, dom g khả đạo hàm parabol tại F (x¯) đoi với ∇F (x¯)w Theo Định nghĩa 1.1.4 (iv), ta có dom 2 g
Tdom g F (x¯), ∇F (x¯)w Đieu này cháng tỏ rang
M t khác, theo Bő đe 1.2.10, ta có
Lay w ∈ Tdom ψ (x¯) và z ∈ T 2 (x¯, w), ta có u := ∇F (x¯)z + ∇ 2 F (x¯)(w, w) ∈ T 2 F (x¯), ∇F (x¯)w
Khi đó, theo đieu ki n (1.27), ta có d x¯ + tw + 1 t 2 z; dom ψ
Vì the, ton tại z t ∈ dom ψ sao cho x¯ + tw + 1 t 2 z z
V y dom ψ khả đạo hàm parabol tại x¯ đoi với w.
Ket hợp với (i), ta được dom 2 g
Khi đó, áp dụng Bő đe 1.1.21 và ∇F (x¯)w ∈ Tdom g F (x¯) , ta thu được dom d 2 g F (x¯)
Như v y, (1.34) thỏa mãn, với moi z ∈/
Bây giờ, xét dãy t k ↓ 0 và đ t z k := z, với k ∈ N ∗ , ta có ψ x¯+t k w+ 1 t 2 z k −ψ(x¯)−t k dψ(x¯)(w) k→∞ lim sup k→∞
Tà đó suy ra d 2 ψ(x¯)(w z) lim k→∞
Lay z ∈ T 2 (x¯, w) và xét dãy bat kì t k ↓ 0 Khi đó, ton tại z k → z khi k → ∞ sao cho x := x¯ + t w + 1 t 2 z
Hơn nǎa, vì hàm g khả vi trên đo thị parabol tại F (x¯) đoi với ∇F (x¯)w nên ton tại u k → u sao cho d 2 g F (x¯)
Sả dụng (i), ta có dom 2 g
Ket hợp với (1.42), ta được d 2 g F (x¯)
+ lim sup g F ( x k ) Đieu này suy ra
Chú ý rang g liên tục Lipschitz địa phương tại F (x¯) đoi với mien hǎu hi u của nó với hang so Lipschitz là l ≥ 0 Khi đó, theo Bő đe 1.1.21 (i), (1.44) và (1.45), ta thu được ψ x¯+t k w+ 1 t 2 z k −ψ(x¯)−t k dψ(x¯)(w) k→∞ lim sup k→∞
M t khác, với moi z ∈ R n , ta có d 2 g F (x¯)
Ket hợp với (1.46), ta được d 2 ψ(x¯)(w|z) = d 2 g F (x¯)
| 2 k , dom dom dom dom và d 2 ψ(x¯)(w z) lim k→∞ ψ x¯ + t k w + 1 t 2 z k
Như v y (ii) được cháng minh.
2 (x¯, w), ket hợp với (i), ta có dom 2 g
Theo (ii) và (1.42), ta thu được d 2 ψ(x¯)(w|z) = d 2 g F (x¯)
Ket hợp với (1.41), ta được dom d 2 ψ(x¯)(w|ã) = T
Cuoi cùng, tà (iii) và (1.40), ta có dom d 2 ψ(x¯)(w|ã) /= ∅.
M t khác, tà (1.43) và (1.47), ta được (1.7) thỏa mãn, với moi z ∈ R n
Vì v y, theo Định nghĩa 1.1.15(iv), ta có (iv) được cháng minh Q
1.2.12 Nh n xét Đe cháng minh M nh đe 1.2.11 chúng tôi dựa theo lược đo cháng minh trong [29, Theorem 4.5] và [30, Theorem 4.4].
Tương tự [29, Proposition 4.6], chúng tôi thu được ket quả sau. u ∈T
1.2.13 Bo đe Giả sủ f : R n → R là m®t hàm loi, nủa liên tực dưới với f (x¯) ∈ R, v¯ ∈ ∂f (x¯), w ∈ K f (x¯, v¯) và f khả vi trên đo th parabol tại x¯ đoi với w Khi đú, hàm d 2 f (x¯)(w|ã) loi chớnh thường nủa liên tực dưới Hơn nũa, f chính quy parabol tại x¯ đoi với v và ta có d 2 f (x¯)(w|ã) ∗ (v) = ∞ khi v ∈ R n \A(x¯, w); d 2 f (x¯)(w|ã) ∗ (v) = −d 2 f (x¯|v)(w)khi v ∈ A(x¯, w), trong đó A(x¯, w) := {v ∈ ∂f (x¯) | df (x¯)(w) = ⟨v, w⟩}.
Chúng minh Do hàm f nảa liên tục dưới, hǎu hạn tại x¯ và df (x¯)(w) ⟨v¯, w⟩ ∈ R nờn theo Bő đe 1.1.22, ta cú d 2 f (x¯)(w|ã) nảa liờn tục dưới và d 2 f (x¯)(w|z) − ⟨v¯, z⟩ ≥ d 2 f (x¯|v¯)(w) ∀z ∈
R n (1.48) Chú ý rang, hàm f loi và v¯ ∈ ∂f (x¯), ta có d 2 f (x¯|v¯)(w) = lim inf f (x¯ + tw ′ ) − f (x¯) − t⟨v¯, w ′ ⟩ ≥ 0 (1.49) w ′ w 1 2
Do đó d 2 f (x¯)(w|z) > −∞ với moi z ∈ R2 n Ket hợp đieu này với dom d 2 f (x¯)(w|ã) /= ∅, hàm d 2 f (x¯)(w|ã) chớnh thường Theo Bő đe 1.1.23, epi d 2 f (x¯)(w|ã) = T 2 x¯, f (x¯) , w, df (x¯)(w)