Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng.Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng.Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng.Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng.Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng.Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng.Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng.Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng.Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng.Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng.Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng.Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng.Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng.Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng.BË GI�O DÖC V� ��O T�O TR×ÍNG ��I HÅC VINH H� ANH TU�N MËT SÈ V�N �� TRONG GI�I T�CH BI�N PH�N B�C HAI V� ÙNG DÖNG Chuy¶n ng nh To¡n Gi£i t½ch M¢ sè 9 46 01 02 TÂM T�T LU�N �N TI�N S� TO�N HÅC NGH� AN.
BË GIO DƯC V O TO TR×ÍNG I HÅC VINH H ANH TUN MËT SÈ VN TRONG GII TCH BIN PH N BC HAI V ÙNG DƯNG Chuy¶n ng nh: To¡n GiÊi tẵch M số: 46 01 02 TM TT LUN N TIN S TON HÅC NGH AN - 2023 Cổng trẳnh ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Vinh Ngữới hữợng dăn khoa hồc: PGS TS Nguyạn Huy Chiảu Ph£n bi»n 1: Ph£n bi»n 2: Ph£n bi»n 3: Luªn Ăn ữủc bÊo vằ tÔi Hởi ỗng chĐm luên Ăn cĐp trữớng Ôi hồc Vinh vo lúc 8h00 ngy thĂng nôm 2023 Cõ th tẳm hiu luên Ăn tÔi: Trung tƠm thổng tin thữ viằn Nguyạn Thúc Ho - Trữớng Ôi hồc Vinh Thữ viằn Quốc gia Viằt Nam Mé U GiÊi tẵch bián phƠn l mởt lắnh vỹc toĂn hồc ữủc hẳnh thnh v phĂt trin nhu cƯu nghiản cựu cĂc bi toĂn tối ữu, cƠn bơng v iÃu khin, õ php tẵnh vi phƠn suy rởng nơm v trẵ trung tƠm Tản gồi GiÊi tẵch bián phƠn cho lắnh vỹc toĂn hồc ny ữủc à xuĐt nôm 1998 bi R T Rockafellar v R J.-B Wets v sau â ÷đc chĐp nhên rởng rÂi Tuy nhiản, cĂc khĂi niằm cỡ bÊn, nhỳng ỵ tững chẵnh v nhiÃu kát quÊ quan trồng cừa giÊi tẵch bián phƠn  tỗn tÔi tứ lƠu GiÊi tẵch bián phƠn bêc hai l mởt bở phên cừa giÊi tẵch bián phƠn, nghiản cựu cĂc cĐu trúc vi phƠn suy rởng bêc hai v cĂc vĐn à liản quan Nhỳng cĐu trúc ny xuĐt hiằn mởt cĂch tỹ nhiản khÊo sĂt cĂc hằ bián phƠn ữủc mổ tÊ thổng qua dữợi vi phƠn hoc nõn phĂp tuyán CĐu trúc vi phƠn suy rởng bêc hai cụng xuĐt hiằn nghiản cựu cĂc bi toĂn tối ÷u khỉng trìn v tèi ÷u câ r ng bc Nhúng nôm gƯn Ơy, giÊi tẵch bián phƠn bêc hai thu hút ữủc sỹ quan tƠm nghiản cựu cừa nhiÃu nh toĂn hồc v nhiÃu kát quÊ thú v theo hữợng ny  ữủc thiát lêp Php tẵnh vi phƠn suy rởng cõ nhiÃu ựng dửng lỵ thuyát tối ữu v tèi ÷u sè °c bi»t, nâ gióp mð rëng v hđp nh§t c¡c i·u ki»n cüc trà cho nhi·u lợp bi toĂn tối ữu Chng hÔn, dữợi vi phƠn bêc nhĐt  ữủc dũng thiát lêp cĂc quy tc Fermat suy rëng Tø â, nhí h» thèng quy tưc tẵnh toĂn, ngữới ta dăn ữủc cĂc quy tưc nhƠn tỷ Lagrange suy rởng Tữỡng tỹ nhữ cĂc cĐu trúc vi phƠn suy rởng bêc nhĐt, cĂc cĐu trúc vi phƠn suy rởng bêc hai cụng cõ vai trá quan trång vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tối ữu iÃu kiằn cƯn v iÃu kiằn ừ cỹc tr cho hm chẵnh thữớng nỷa liản tửc dữợi biu diạn ữủc thổng qua tẵnh nỷa xĂc nh dữỡng v xĂc nh dữỡng cừa dữợi Ôo hm bêc hai Têp tiáp xúc bêc hai ữủc dũng thiát lêp iÃu ki»n cüc trà cho c¡c b i to¡n tèi ÷u câ rng buởc Dữợi vi phƠn bêc hai Frchet  ữủc dịng c¡c i·u ki»n c¦n cüc trà cho b i to¡n tèi ÷u trìn khỉng r ng bc v câ r ng buởc tuyán tẵnh Tứ phữỡng diằn tối ữu số, cĂc iÃu kiằn tối ữu õng vai trỏ thiát yáu viằc thiát ká v phƠn tẵch sỹ hởi tử cừa c¡c thuªt to¡n M°t kh¡c, gi£i c¡c b i to¡n thỹc tá ngữới ta thữớng cƯn sỹ hộ trủ cừa mĂy tẵnh v kát quÊ thu ữủc l nhỳng lới giÊi số (vợi mởt tiảu chuân dứng no õ, sau hỳu hÔn bữợc lp, mĂy tẵnh s xuĐt mởt nghiằm, gồi l lới giÊi số) Do nhiÃu nguyản nhƠn khĂc nhau, nhiạu v sai số xuĐt hiằn quĂ trẳnh giÊi l khổng th trĂnh khọi iÃu ny dăn án ở tin cêy cừa mởt lới giÊi số phử thuởc rĐt lợn vo c tẵnh ờn nh cừa bi toĂn Chẵnh vẳ thá, ngữới ta rĐt quan tƠm án c¡c i·u ki»n tèi ÷u £m b£o mët sü ên nh no õ cừa nghiằm Mửc ẵch nghiản cựu cừa luªn ¡n l sû dưng v ph¡t triºn mët số cổng cử cừa giÊi tẵch bián phƠn bêc hai thiát lêp cĂc iÃu kiằn tối ữu loÔi ny Nhơm lm ró cĂc vĐn à nghiản cựu, tiáp theo chúng tổi s nhưc lÔi mởt số kát quÊ và i·u ki»n tèi ÷u £m b£o sü ên ành cõa nghiằm v mởt số vĐn à liản quan án nhỳng õng gõp cừa luên Ăn Nôm 1980, S M Robinson  giợi thiằu iÃu kiằn ừ bêc hai mÔnh cho quy hoÔch phi tuyán v chựng minh rơng ối vợi lợp bi toĂn ny náu iÃu kiằn chuân hõa rng buởc ởc lêp tuyán tẵnh v iÃu kiằn ừ bêc hai mÔnh ữủc thọa mÂn tÔi im dứng thẳ hằ Karush-Kuhn-Tucker l chẵnh quy mÔnh tÔi im tữỡng ựng Nôm 1995, J F Bonnans v A Sulem ch¿ r¬ng náu im dứng ữủc xt l mởt cỹc tiu a phữỡng thẳ chiÃu ngữủc lÔi cụng úng Nôm 1996, A L Dontchev v R T Rockafellar chựng minh ữủc rơng: tẵnh chẵnh quy mÔnh cừa bĐt ng thực bián phƠn trản têp lỗi a diằn l tữỡng ữỡng vợi tẵnh chĐt Aubin cừa Ănh xÔ nghiằm cừa bi toĂn tuyán tẵnh hõa cừa nõ vợi nhiạu chuân tưc Nhớ õ, bơng cĂch sỷ dửng tiảu chuân Mordukhovich cho tẵnh chĐt Aubin, cĂc tĂc giÊ ny thu ữủc c trững tẵnh chĐt chẵnh quy mÔnh cừa bi toĂn qua iÃu kiằn mt tợi hÔn Mởt số m rởng cừa cĂc kát quÊ Ã cêp trản  ữủc thiát lêp cho lợp bi toĂn quy hoÔch nõn bêc hai v lợp bi toĂn quy hoÔch nỷa xĂc nh Nôm 1998, R A Poliquin v R T Rockafellar giỵi thi»u kh¡i ni»m cỹc tiu a phữỡng ờn nh xiản é õ, hai tĂc giÊ ny  thiát lêp mởt c trững cừa im cỹc tiu a phữỡng ờn nh xiản qua tẵnh xĂc nh dữỡng cừa dữợi vi phƠn bêc hai qua giợi hÔn cho lợp hm chẵnh quy gƯn kà liản tửc dữợi vi phƠn ối vợi quy hoÔch phi tuyán thọa mÂn iÃu kiằn chuân hõa rng buởc ởc lêp tuyán tẵnh, tẵnh ờn nh xiản cừa cỹc tiu a phữỡng v tẵnh chẵnh quy mÔnh cừa hằ Karush-Kuhn-Tucker l tữỡng ữỡng Tuy nhiản, khĂc vợi tẵnh chẵnh quy mÔnh cừa hằ Karush-Kuhn-Tucker, tẵnh ờn nh xiản cừa cỹc tiu a phữỡng khổng ko theo iÃu kiằn chuân hõa rng buởc ởc lêp tuyán tẵnh ữủc thọa mÂn iÃu ny gõp phƯn thúc ây cĂc nh toĂn hồc tiáp tửc nghiản cựu tẵnh ờn nh xiản cừa cỹc tiu a phữỡng cho cĂc quy hoÔch phi tuyán vợi nhỳng iÃu kiằn chuân hõa yáu hỡn Vẳ quy tưc tẵnh dữợi vi phƠn bêc hai qua giợi hÔn thữớng yảu cƯu iÃu kiằn chuân hõa mÔnh nản c trững ờn nh xi¶n cõa Poliquin v Rockafellar khâ ¡p dưng cho b i toĂn tối ữu ch thọa mÂn iÃu kiằn chuân hõa rng buởc yáu Do õ, mởt số cĐu trúc vi phƠn suy rởng khĂc  ữủc xem xt nghiản cựu tẵnh ờn nh xiản c biằt, N H Chieu, L V Hien v T T A Nghia ¢ chùng minh ữủc rơng tẵnh xĂc nh dữỡng Ãu cừa Ôo hm ỗ th dữợi gradient c trững ữủc tẵnh ờn nh xiản cừa im cỹc tiu a phữỡng náu hm ữủc xt l chẵnh quy gƯn kà liản tửc dữợi vi phƠn Mt khĂc, vợi mởt số giÊ thiát, mởt im cỹc tiu a phữỡng l ờn nh xiản náu v ch náu iÃu kiằn tông trững bêc hai Ãu ữủc thọa mÂn Do õ, và cỡ bÊn, tẵnh xĂc nh dữỡng Ãu cừa Ôo hm ỗ th dữợi gradient v iÃu kiằn tông trững bêc hai Ãu l hai tẵnh chĐt tữỡng ữỡng Ngoi iÃu kiằn tông trững bêc hai Ãu, iÃu kiằn tông trững bêc hai cụng l mởt khĂi niằm quan trồng lỵ thuyát tối ữu v tèi ÷u sè Nâ câ thº ÷đc sû dưng º chùng minh tèc ë hëi tư cõa c¡c thuªt toĂn tối ữu cụng nhữ phƠn tẵch nhiạu cừa cĂc bi toĂn tối ữu ối vợi hm khÊ vi liản tửc hai lƯn, iÃu kiằn tông trững bêc hai tữỡng ữỡng vợi tẵnh xĂc nh dữỡng cừa ma Hesse cừa hm mửc tiảu tÔi im dứng ối vợi hm khổng trỡn, c trững cừa iÃu kiằn tông trững bêc hai qua tẵnh xĂc nh dữỡng cừa dữợi Ôo hm bêc hai cụng  ữủc thiát lêp Do sỹ tữỡng ữỡng giỳa tẵnh xĂc nh dữỡng Ãu cừa Ôo hm ỗ th dữợi gradient v iÃu kiằn tông trững bêc hai Ãu, cƠu họi ữủc t tỹ iÃu kiằn tông trững bêc hai v tẵnh xĂc nh dữỡng cừa Ôo hm ỗ th dữợi gradient cõ quan hằ vợi nhữ thá no? Ơy l vĐn à thự nhĐt ữủc nhiản l: nghiản cựu luên Ăn ny Nôm 2014, J Aragõn Artacho v M H Geoffroy  chựng minh rơng ối vợi cĂc hm lỗi chẵnh thữớng nỷa liản tửc dữợi, tẵnh xĂc nh dữỡng cừa Ôo hm ỗ th dữợi gradient tÔi im dứng tữỡng ữỡng vợi iÃu kiằn tông trững bêc hai ối vợi cĂc hm khổng lỗi, A Eberhard v R Wenczel ữa iÃu kiằn ừ iÃu kiằn tông trững bêc hai ữủc thọa mÂn iÃu kiằn ny yáu hỡn iÃu kiằn xĂc nh dữỡng cừa Ôo hm ỗ th dữợi gradient Tuy nhiản, vẵ dử cừa chúng tổi ch rơng kát quÊ ny cừa Eberhard v Wenczel l khổng chẵnh xĂc ối vợi cĂc hm chẵnh thữớng nỷa liản tửc dữợi, chúng tổi chựng minh ữủc rơng tẵnh nỷa xĂc nh dữỡng cừa Ôo hm ỗ th dữợi gradient tÔi mët iºm døng k²o theo iºm døng n y l cüc tiu a phữỡng v dữợi vi phƠn l dữợi chẵnh quy mảtric mÔnh Mt khĂc, theo D Drusvyatskiy, B S Mordukhovich v T T A Nghia, tẵnh dữợi chẵnh quy mảtric mÔnh cừa dữợi vi phƠn tÔi im cỹc tiu a phữỡng l ừ Êm bÊo iÃu kiằn tông trững bêc hai úng Do õ, ối vợi cĂc hm chẵnh thữớng nỷa liản tửc dữợi, tẵnh xĂc nh dữỡng cừa Ôo hm ỗ th dữợi gradient tÔi im dứng ko theo iÃu kiằn tông trững bêc hai Tuy nhiản, chiÃu ngữủc lÔi l khổng úng Vợi nhỳng lợp hm no, iÃu kiằn tông trững bêc hai ko theo dữợi vi phƠn l dữợi chẵnh quy mảtric mÔnh? Mối liản hằ giỳa iÃu kiằn tông trững bêc hai v tẵnh dữợi chẵnh quy VĐn à thự hai ữủc nghiản cựu luên Ăn ny l: mảtric mÔnh cừa dữợi vi phƠn  ữủc nhiÃu nh toĂn hồc quan tƠm Nôm 1995, R Zhang v J Treiman chùng minh ÷đc mët số kát quÊ và iÃu kiằn tông trững bêc hai cho cĂc hm cõ Ănh xÔ ngữủc cừa dữợi vi phƠn l Lipschitz trản Nôm 2008, J Aragõn Artacho v M H Geoffroy  phĂt trin ỵ tững cừa Zhang v Treiman bơng cĂch thay tẵnh chĐt Lipschitz trản bi mởt số tẵnh chĐt chẵnh quy mảtric cừa dữợi vi phƠn, ch têp trung vo trữớng hủp hm lỗi c biằt, ối vợi cĂc hm lỗi chẵnh thữớng nỷa liản tửc dữợi v xt tÔi im cỹc tiu, hồ ch rơng iÃu kiằn tông trững bêc hai thọa mÂn v ch dữợi vi phƠn l dữợi chẵnh quy mảtric mÔnh ối vợi cĂc hm chẵnh thữớng nỷa liản tửc dữợi v xt tÔi im cỹc tiu a phữỡng, nôm 2014, D Drusvyatskiy, B S Mordukhovich, T T A Nghia cho thĐy tẵnh dữợi chẵnh quy mảtric mÔnh cừa dữợi vi phƠn ko theo iÃu kiằn tông trững bêc hai Nôm 2015, sỷ dửng cĂc kát quÊ tứ hẳnh hồc nỷa Ôi số, D Drusvyatskiy v A D Ioffe chựng minh ữủc rơng chiÃu ngữủc lÔi cụng úng náu hm ữủc xt l nỷa Ôi số Chúng tổi thu ữủc kát quÊ tữỡng tỹ nhữ kát quÊ cừa Drusvyatskiy v Ioffe cho mởt số lợp hm khĂc, bao gỗm lợp hm lỗi bián phƠn v lợp hm chẵnh quy gƯn kÃ, liản tửc dữợi vi phƠn v khÊ vi trản ỗ th hai lƯn CĂch tiáp cên cừa chúng tổi Ơy l dỹa vo Ôo hm ỗ th dữợi gradient v hằ thống cĂc quy tưc tẵnh toĂn cừa giÊi tẵch bián phƠn Mởt số phĂt trin gƯn Ơy theo hữợng ny cõ th tẳm thĐy cĂc cổng trẳnh cừa B S Mordukhovich v M E Sarabi, ð â c¡c t¡c gi£ nghi¶n cựu mổ hẳnh hm hủp vợi cĂc hm thnh phƯn thọa mÂn cĂc giÊ thiát nhĐt nh, Êm bÊo hm hủp liản tửc dữợi vi phƠn, chẵnh quy gƯn kà v khÊ vi trản ỗ th hai lƯn KhÊo sĂt cĂc iÃu kiằn tối ữu bêc hai cho bi toĂn quy hoÔch nõn thọa mÂn iÃu kiằn chuân hõa rng buởc dữợi chẵnh quy mảtric? ối vợi quy hoÔch nõn thọa mÂn iÃu kiằn chuân VĐn à thự ba ữủc nghiản cựu luên Ăn ny l: hõa rng buởc Robinson, cĂc iÃu kiằn tối ữu bêc hai  ữủc thiát lêp nôm 1999 bi J F Bonnans, R Cominetti v A Shapiro CĂc kát quÊ theo hữợng ny  ÷đc J F Bonnans v A Shapiro têng hđp v tr¼nh b y cuèn s¡ch Perturbation Analysis of Optimization Problems iÃu kiằn chuân hõa rng buởc dữợi chẵnh quy mảtric yáu hỡn iÃu kiằn chuân hõa rng buởc Robinson Chúng tổi thu ữủc cĂc iÃu kiằn cƯn tối ữu bêc hai cho mởt lợp bi toĂn quy hoÔch nõn thọa mÂn iÃu kiằn chuân hõa rng buởc dữợi chẵnh quy mảtric c biằt, tẵnh nỷa xĂc nh dữỡng cừa Ôo hm ỗ th dữợi gradient cừa tờng hm mửc tiảu v h m ch¿ cõa tªp r ng buëc l i·u ki»n cƯn tối ữu cho cĂc bi toĂn quy hoÔch nõn ÷đc xem x²t Nâ ÷đc chùng minh l t÷ìng ÷ìng vợi iÃu kiằn cƯn bêc hai cừa Bonnans, Cominetti v Shapiro Tứ kát quÊ ny, kát hủp vợi iÃu kiằn ừ bêc hai cho cỹc tiu a phữỡng mÔnh, chúng tỉi thu ÷đc mët sè °c tr÷ng cõa i·u ki»n tông trững bêc hai iÃu kiằn chuân hõa rng buởc dữợi chẵnh quy mảtric khổng nhỳng cõ vai trỏ quan trồng viằc thiát lêp iÃu kiằn cƯn bêc hai m cán l i·u ki»n khỉng thº thi¸u º £m bÊo dữợi vi phƠn cừa tờng hm mửc tiảu v hm ch cừa têp rng buởc l dữợi chẵnh quy mảtric mÔnh tÔi im cỹc tiu a phữỡng mÔnh iÃu ki»n chu©n hâa r ng bc n y cơng cho ph²p chóng tổi thiát lêp ữủc mối liản hằ giỳa mởt số iÃu kiằn tối ữu bêc hai  cõ v cĂc iÃu kiằn tối ữu mợi dỹa vo Ôo hm ỗ th dữợi gradient GƯn Ơy, bơng mởt cĂch tiáp cên khĂc, Mordukhovich, Sarabi v Mohammadi  ch rơng ối vợi cĂc bi toĂn quy hoÔch nõn ữủc xem xt ð â, têng cõa h m mưc ti¶u v h m ch¿ cừa miÃn rng buởc l liản tửc dữợi vi phƠn, chẵnh quy gƯn kà v khÊ vi trản ỗ th hai lƯn Do õ, mởt số kát quÊ cừa chúng tổi và quy hoÔch nõn cõ th chựng minh bơng c¡ch ¡p dưng trüc ti¸p k¸t qu£ cõa chóng tỉi phƯn trữợc v kát quÊ Ã cêp trản cừa Mordukhovich, Sarabi v Mohammadi Nởi dung luên Ăn ữủc trẳnh by ba chữỡng Trong chữỡng 1, chúng tổi trẳnh by mởt số kát quÊ và php tẵnh vi phƠn suy rởng giÊi tẵch bián phƠn Mửc 1.1 ữủc dnh trẳnh by mởt số khĂi niằm cỡ bÊn giÊi tẵch bián phƠn lm cỡ s cho viằc giợi thiằu cĂc kát quÊ chẵnh cừa luên Ăn Mửc 1.2 ữủc dnh trẳnh by cĂc vĐn à cừa hm khÊ vi hai lƯn theo nghắa m rởng v thiát lêp mởt số quy tưc tẵnh toĂn Trong chữỡng 2, chúng tổi trẳnh by cĂc kát quÊ và iÃu kiằn tông trững bêc hai v tẵnh dữợi chẵnh quy mảtric mÔnh cừa dữợi vi phƠn Mửc 2.1 ữủc dnh trẳnh by iÃu kiằn tối ữu cừa hm chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi dỹa vo Ôo hm ỗ th dữợi gradient CĂc kát quÊ và mối quan hằ tữỡng ữỡng giỳa iÃu kiằn tông trững bêc hai v tẵnh dữợi chẵnh quy mảtric mÔnh cừa dữợi vi phƠn cừa mởt số lợp hm khổng chẵnh quy gƯn kà ữủc trẳnh by mửc 2.2 Trong Chữỡng 3, chúng tổi trẳnh by cĂc kát quÊ và iÃu kiằn tối ữu bêc hai cho lợp bi toĂn quy hoÔch nõn Mửc 3.1 ữủc dnh cho cĂc kát quÊ và iÃu kiằn cƯn tối ữu bêc hai Mửc 3.2 ữủc dnh trẳnh by cĂc c trững cừa sỹ tông trững bêc hai trữớng hủp bi toĂn quy hoÔch nõn CHìèNG MậT Sẩ KT QU V PHP TNH VI PH N SUY RËNG TRONG GII TCH BIN PH N Ch÷ìng n y ÷đc chóng tỉi d nh º thiát lêp mởt số quy tưc tẵnh toĂn vi phƠn suy rởng bêc hai 1.1 CĂc khĂi niằm v tẵnh chĐt bờ trủ Trong phƯn ny, chúng tổi trẳnh by mởt số khĂi niằm v cĂc kát quÊ Â biát giÊi tẵch bián phƠn sỷ dửng cĂc phƯn tiáp theo 1.1.1 nh nghắa m F (x) R Quy tc ÷đc gåi l F °t méi x Rn tữỡng ựng mởt v ch mởt têp Ănh xÔ a tr tứ khổng gian Rn vo khổng gian Rm, ữủc F : Rn Rm Náu vợi måi x ∈ Rn , tªp hđp F (x) ch¿ cõ úng mởt m n phƯn tỷ R thẳ ta nõi F l mởt Ănh xÔ ỡn tr tứ khæng gian R v o khæng m n m gian R v k½ hi»u F : R → R k½ hiằu l 1.1.4 nh nghắa (i) Cho l têp kh¡c réng cõa Rn Nân ti¸p tuy¸n cõa tÔi x ữủc kẵ hiằu v xĂc ành bði TΩ (¯ x) := v ∈ Rn | ∃ tk ↓ 0, vk → v (ii) cho x¯ + tk vk ∈ Ω, ∀k ∈ N Nõn phĂp tuyán chẵnh quy cừa tÔi x ữủc nh nghắa bi hv, x x¯i bΩ (¯ ≤0 N x) := v ∈ Rn | lim sup kx − x¯k Ω x→¯ x (iii) Nõn phĂp tuyán qua giợi hÔn cừa tÔi x¯ ∈ Ω ÷đc x¡c ành bði Ω NΩ (¯ x) := v ∈ Rn | ∃x → x¯ Náu x thẳ ta quy ữợc v b (xk ) vk ∈ N cho vk → v bΩ (¯ NΩ (¯ x) = N x) := (iv) Têp tiáp xúc bêc hai (second-order tangent set) cừa tÔi x ối vợi w T ( x) ữủc kẵ hiằu v xĂc nh bi T2 (¯ x, w) := u ∈ Rn | ∃tk ↓ 0, uk → u cho x¯ + tk w + 12 t2k uk ∈ Ω, ∀k ∈ N ữủc gồi l khÊ Ôo hm parabol (parabolically w ∈ Rn n¸u TΩ2 (¯ x, w) = ∅ v vợi mội u T2 ( x, w) Têp x ối vợi > v cung derivable) tÔi tỗn tÔi : [0, ] cho ξ(0) = x¯, ξ+0 (0) = w v ξ+00 (0) = u, â ξ+0 (0) := lim t↓0 1.1.7 nh nghắa th cừa F tÔi (t) (0) t v ξ+00 (0) := lim t↓0 ξ(t) − ξ(0) − tξ+0 (0) t F : Rn Rm cõ domF 6= Ôo hm ỗ y F ( x) l Ănh xÔ a tr DF (¯ x|¯ y ) : Rn ⇒ Rm Cho Ănh xÔ a tr x domF ối vợi ữủc x¡c ành bði o DF (¯ x|¯ y )(w) := v ∈ R n subreg F (¯ x|¯ y ) := inf R+ 1.1.10 nh nghắa nh xÔ a tr U cừa mảtric mÔnh tÔi x domF cừa x v lƠn cên V ối vợi y ∃r>0 o cho (1.1) óng F : Rn Rm ữủc gồi l dữợi chẵnh y F ( x) náu tỗn tÔi hơng số > 0, lƠn quy cên cho kx xk d y¯; F (x) ∩ V , ∀x ∈ U 1.1.11 ành ngh¾a x) ϕ : Rn → R v x¯ Rn cõ y := ( (i) Dữợi vi phƠn chẵnh quy cừa tÔi x ữủc nh nghắa bi b x) := x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ N bepiϕ (¯ ∂ϕ(¯ x, y¯) , n â epiϕ := (x, α) ∈ R × R | (x) l têp trản ỗ th (ii) Dữợi vi phƠn qua giợi hÔn cừa tÔi x ữủc nh nghắa bi ( x) := x ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ Nepiϕ (¯ x, y) (iii) GiÊ sỷ hỳu hÔn cừa Dữợi vi phƠn gƯn kà (proximal subdifferential) cừa tÔi x ữủc nh nghắa bi n o (x) ( x) − hv, x − x¯i n ∂p ϕ(¯ x) := v ∈ R | lim inf > −∞ x→¯ x kx − x¯k2 (1.2) N¸u |ϕ(¯ x)| = thẳ ta quy ữợc b x) := p ϕ(¯ x) = ∂ϕ(¯ x) = ∂ϕ(¯ x) Khi â, Ôo hm ỗ th cừa : Rn R hỳu hÔn tÔi x v v ( Ănh xÔ dữợi vi phƠn tÔi x ối vợi v ữủc gồi l Ôo hm ỗ th dữợi gradient cừa hm tÔi x ối vợi v, ữủc kẵ hi»u l D(∂ϕ) x¯|¯ v n Cho f : R → R v x ¯ ∈ dom f Gi£ sû w ∈ Rn cho df (¯ x)(w) ∈ R (i) Dữợi Ôo hm bêc hai (second subderivative) cừa f tÔi x ối vợi v v w ữủc Cho h m 1.1.15 ành ngh¾a cho bði d2 f (¯ x|v)(w) = lim inf ∆2τ f (¯ x|v)(w0 ), τ ↓ w0 −→w â ∆2τ f (¯ x|v)(w0 ) := (ii) vỵi (1.3) f (¯ x + τ w0 ) − f (¯ x) − τ hv, w0 i Dữợi Ôo hm parabol (parabolic subderivative) cừa f tÔi x ối vợi w v ối z l x) − tdf (¯ x)(w) f (¯ x + tw + 12 t2 z ) − f (¯ d f (¯ x)(w|z) := lim inf t ↓ t 2 z −→z (iii) Hm số f ữủc gồi l khÊ vi trản ỗ th hai lƯn (twice epi-differentiable) tÔi x ối vợi v náu vợi mội w Rn v k ữủc chồn, Ãu tỗn tÔi wk w cho ∆2τk f (¯ x|v)(wk ) → d2 f (¯ x|¯ v )(w) (iv) H m sè f ÷đc gåi l khÊ vi trản ỗ th parabol (parabolically epi-differentiable) tÔi x ối vợi w náu cĂc iÃu kiằn sau thọa mÂn: dom d vợi mội z Rn v f (¯ x)(w|·) = {z ∈ Rn | d2 f (¯ x)(w|z) < ∞} = ∅, tk ↓ tỗn tÔi zk z cho x) tk df (¯ x)(w) f (¯ x + tk w + 21 t2k zk ) − f (¯ d f (¯ x)(w|z) = lim k→∞ t k 2 1.1.16 ành ngh¾a (1.4) f : Rn → R ữủc gồi l chẵnh quy parabol (parabolically regular) tÔi x ối vợi v Rn náu f ( x) ∈ R v vỵi måi w câ d2 f (¯ x| v )(w) < tỗn tÔi tk v wk → w cho H m lim ∆2tk f (¯ x|¯ v )(wk ) = d2 f (¯ x|¯ v )(w) k Têp 6= Rn ữủc gồi l chẵnh quy parabol tÔi x v lim sup k→∞ kwk − wk < ∞ tk (1.5) ch½nh quy parabol tÔi x ối vợi v náu hm ch èi vỵi v¯ 1.2 H m kh£ vi hai lƯn theo nghắa m rởng Trong phƯn ny, chúng tổi nghiản cựu mởt số tẵnh chĐt cừa hm khÊ vi hai lƯn theo nghắa m rởng v thiát lêp ữủc mởt số quy tưc tẵnh toĂn vi phƠn suy rởng bêc hai 1.2.1 nh nghắa Cho hm f : Rn R hỳu hÔn tÔi x Hm f ữủc gồi l khÊ vi hai lƯn tÔi x theo nghắa m rëng (twice differentiable at x¯ in the extended f kh£ vi tÔi x v tỗn tÔi ma A cù n ì n, lƠn cên U cừa x v têp D cừa U vợi à(U \D) = cho h m f li¶n tưc Lipschitz tr¶n U, kh£ vi tr¶n D v ∇f (x) − ∇f (¯ x) − A(x − x¯) lim = 0, D kx − x k x x sense) náu kẵ hiằu ở o Lebesgue trản Rn Ma A l nhĐt v ữủc gồi l (ma trên) Hesse cừa f tÔi x theo nghắa m rởng v cụng ữủc k½ hi»u bði ∇2 f (¯ x) â Mët cĂch tỹ nhiản, ta nõi rơng Ănh xÔ F : Rn → Rm , x 7→ F1 (x), F2 (x), , Fm (x) l khÊ vi hai lƯn tÔi x theo nghắa m rởng náu Fk khÊ vi hai lƯn tÔi x theo nghắa m rởng vợi mồi k = 1, 2, , m nh lỵ dữợi Ơy chúng tổi thiát lêp ữủc mởt số tẵnh chĐt cừa hm khÊ vi hai lƯn theo nghắa m rởng 1.2.4 nh lỵ Cho cĂc hm số f, g : Rn R, x¯ ∈ Rn v h¬ng sè α Gi£ sû cĂc hm số f, g khÊ vi hai lƯn tÔi x¯ theo ngh¾a mð rëng Khi â, (i) H m f + g khÊ vi hai lƯn tÔi x theo nghắa m rởng, vợi ma Hesse m rởng ữủc cho bði ∇2 (f + g)(¯ x) = ∇2 (f )(¯ x) + ∇2 (g)(¯ x) H m αf kh£ vi hai lƯn tÔi x theo nghắa m rởng, vợi ma Hesse mð rëng ÷đc cho bði 2 (ii) ∇ (αf )(¯ x) = α∇ (f )(¯ x) (iii) H m f.g khÊ vi hai lƯn tÔi x theo nghắa m rởng, vợi ma Hesse m rởng ữủc cho bi T ∇2 (f.g)(¯ x) = g(¯ x)∇2 f (¯ x) + ∇f (¯ x) ∇g(¯ x) T + ∇g(¯ x) ∇f (¯ x) + f (¯ x)∇2 g(¯ x) Náu g(x) 6= thẳ hm fg khÊ vi hai lƯn tÔi x theo nghắa m rởng, vợi ma Hesse m rởng ữủc cho bi (iv) ( fg )(¯ x) = ∇2 f (¯ x) g(¯ x) − T x) ∇f (¯ x) ∇g(¯ [g(¯ x)]2 g(¯ x)∇2 g(¯ x)−2 ∇g(¯ x) −f (¯ x) [g(¯ x)]3 T − T x) ∇g(¯ x) ∇f (¯ [g(¯ x)]2 ∇g(¯ x) 10 Chóng tỉi thu ữủc cĂc quy tưc tờng dÔng ng thực ối vợi Ôo hm ỗ th dữợi gradient, dữợi Ôo hm bêc hai v dữợi Ôo hm parabol 1.2.7 nh lỵ.n Cho h m ϕ : Rn → R kh£ vi hai l¦n tÔi x theo nghắa m rởng v hm : R → R v¯ ∈ ∂(ϕ + ψ)(¯ x) Khi chẵnh thữớng nỷa liản tửc dữợi a phữỡng tÔi x Gi£ sû â, ta câ D∂(ϕ + ψ)(¯ x|¯ v )(w) = ∇2 ϕ(¯ x)(w) + D∂ψ x¯|¯ v − ∇ϕ(¯ x) (w), d2 (ϕ + ψ) x¯|¯ v (w) = w, ∇2 ϕ(¯ x)w + d2 ψ x¯|¯ v − ∇ϕ(¯ x) (w) (1.6) (1.7) v d2 (ϕ + ψ)(¯ x)(w|z) = w, ∇2 ϕ(¯ x)w + ∇ϕ(¯ x)z + d2 ψ(¯ x)(w|z), (1.8) vỵi måi w ∈ Rn v z ∈ Rn ψ : Rn R hỳu hÔn tÔi x Rn hm biu diạn ữủc dữợi dÔng Cho hm x cho GiÊ sỷ rơng tỗn tÔi lƠn cên O ψ(x) = g ◦ F (x), ∀x ∈ O, õ, Ănh xÔ m F : Rn Rm khÊ vi hai lƯn tÔi x cừa (1.9) theo nghắa mð rëng v h m g : R → R ch½nh thữớng, nỷa liản tửc dữợi, lỗi v liản tửc Lipschitz a phữỡng tÔi F ( x) ối vợi miÃn hỳu hiằu cừa g, vợi hơng số Lipschitz l ` R+ , tực l tỗn tÔi lƠn cên V cừa F (¯ x) cho |g(y1 ) − g(y2 )| ≤ `ky1 − y2 k, ∀y1 , y2 ∈ dom g ∩ V (1.10) (dom ψ) ∩ O = {x ∈ O | F (x) ∈ dom g} (1.11) Ta thĐy rơng Nhưc lÔi rơng hm = gF ữủc gồi l thọa mÂn iÃu kiằn rng buởc chuân hõa dữợi chẵnh quy mảtric (metric subregularity qualification condition) (MSCQ) tÔi x dom náu tỗn tÔi hơng số d(x; dom ψ) κ ∈ R+ ≤ κd U cõa x¯ F (x); dom g , ∀x ∈ U v lƠn cên cho (1.12) Chúng tổi thu ữủc kát qu£ sau 1.2.11 M»nh · Gi£ sû h m ψ : Rn R biu diạn ữủc dữợi dÔng mÂn iÃu kiằn chuân hõa rng buởc MSCQ tÔi x Khi õ, (1.9) thäa dψ(¯ x)(w) = dg F (¯ x) ∇F (¯ x)w , ∀w ∈ Rn , ∂p ψ(¯ x) = ∂ψ(¯ x) = ∇F (¯ x)∗ ∂g F (¯ x) , n o n x)w ∈ Tdom g F (¯ x) Tdom ψ (¯ x) = w ∈ R ∇F (¯ Hìn núa, n¸u w Tdom (x) v g khÊ vi trản ỗ th parabol tÔi F (x) ối vợi F ( x)w thẳ cĂc khng nh sau thọa mÂn: (i) Ta cõ 2 z ∈ Tdom (¯ x, w) ⇔ ∇F (¯ x)z + ∇2 F (¯ x)(w, w) ∈ Tdom F (¯ x), ∇F (¯ x)w ψ g 11 v dom khÊ Ôo hm parabol tÔi x ối vỵi w (ii) Vỵi måi z ∈ Rn , ta câ d2 ψ(¯ x)(w|z) = d2 g F (¯ x) ∇F (¯ x)w|∇F (¯ x)z + ∇2 F (¯ x)(w, w) (iii) dom d (1.13) ψ(¯ x)(w|·) = Tdom (¯ x, w) ψ H m ψ kh£ vi trản ỗ th parabol tÔi x ối vợi w 1.2.13 Bê · Gi£ sû f : Rn → R l mởt hm lỗi, nỷa liản tửc dữợi vợi f (x) ∈ R, v¯ ∈ ∂f (¯ x), w ∈ Kf ( x, v) v f khÊ vi trản ỗ th parabol tÔi x ối vợi w Khi õ, hm d f (x)(w|Ã) lỗi chẵnh thữớng nỷa liản tửc dữợi Hỡn nỳa, f chẵnh quy parabol tÔi x ối vợi v v ta câ x)(w|·)∗ (v) = ∞ v ∈ Rn\A(¯x, w); d f (¯ (iv) d f (¯ x)(w|·)∗ (v) = −d2 f (¯ x|v)(w) v ∈ A(¯x, w), â A(¯x, w) := {v ∈ ∂f (¯x) | df (¯x)(w) = hv, wi} 1.2.14 nh nghắa Ta nõi rơng hm cĂc giÊ thiát cỡ bÊn tÔi ( x, v) gph ψ := g ◦ F câ biºu di¹n (1.9) thäa mÂn náu (H1) iÃu kiằn chuân hõa rng buởc dữợi chẵnh quy mảtric (1.12) thọa mÂn tÔi y ( x, v¯), u ∈ Kg F (¯ x), y ; (H2) Vỵi méi (H3) H m g l g kh£ vi trản ỗ th parabol tÔi chẵnh quy parabol tÔi Trong â l h m F (¯ x) èi vỵi måi F (¯ x) x¯; èi vỵi måi y ∈ Λ(¯ x, v¯) Λ(¯ x, v¯) := y ∈ ∂g F (¯ x) | ∇F (¯ x)∗ y = v¯ têp nhƠn tỷ Lagrange (Lagrangian multipliers) tữỡng ựng vợi (x, v¯) v nân tỵi Kg F (¯ x), y := w ∈ Rm | dg F (¯ x) (w) = h v , wi hÔn (critical cone) cừa hm g tÔi (F (x), y BƠy gií, x²t b i to¡n tèi ÷u minn −hz, v¯i + d2 g F (¯ x) ∇F (¯ x)w|∇F (¯ x)z + ∇2 F (¯ x)(w, w) z∈R 1.2.24 M»nh · Gi£ sû h m ψ : Rn → R ữủc biu diạn dữợi dÔng (1.14) v thọa mÂn cĂc giÊ thiát cỡ bÊn (H1) (H3) tÔi (x, v¯) Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau (i) Vỵi méi w ∈ Kψ (¯ x, v¯), b i to¡n (1.14) cõ ối ngău l max y( x, v) y, ∇2 F (¯ x)(w, w) + d2 g F (¯ x)|y ∇F (¯ x)(w) ; (1.9) (1.15) 12 gi¡ trà tèi ÷u cõa b i to¡n (1.14) v bi toĂn ối ngău (1.15) bơng v hỳu hÔn Hìn núa, Λ(¯x, v¯; w) ∩ τ B 6= ∅, õ (x, v; w) l têp nghiằm tối ữu cõa b i to¡n (1.15) v τ := κ`k∇F (¯ x)k + κk¯ v k + `, (1.16) â ` v ữủc lĐy tứ (1.10) v (1.12), tữỡng ựng (ii) Hm chẵnh quy parabol tÔi x ối vợi v¯ v d2 ψ(¯ x|¯ v )(w) = max y, ∇2 F (¯ x)(w, w) + d2 g F (¯ x)|y ∇F (¯ x)w y∈Λ(¯ x,¯ v) = max y, ∇2 F (¯ x)(w, w) + d2 g F (¯ x)|y ∇F (¯ x)w , y∈Λ(¯ x,¯ v )∩(τ B) vỵi måi w Rn, õ ữủc lĐy tứ (1.16) (iii) Hm khÊ vi trản ỗ th hai lƯn tÔi x ối vợi v (1.17) 13 CHìèNG IU KIN TNG TRìéNG BC HAI V TNH DìẻI CHNH QUY MTRIC MNH CếA DìẻI VI PHN Chữỡng ny ữủc chúng tổi dnh trẳnh by cĂc vĐn à sau VĐn à thự nhĐt, chúng tổi thiát lêp cĂc iÃu kiằn ừ bêc hai cho iÃu kiằn tông trững bêc hai cừa hm chẵnh thữớng v nỷa liản tửc dữợi VĐn à thù hai, chóng tỉi kh£o s¡t v x¥y düng mët số lợp hm thọa mÂn iÃu kiằn tông trững bêc hai ko theo tẵnh dữợi chẵnh quy mảtric mÔnh cừa Ănh xÔ dữợi vi phƠn 2.1 iÃu kiằn tối ữu cho hm chẵnh thữớng nỷa liản tửc dữợi dỹa vo Ôo hm ỗ th dữợi gradient Trong phƯn ny, chúng tổi sỷ dửng Ôo hm ỗ th dữợi gradient thiát lêp ữủc cĂc iÃu kiằn ừ bêc hai cho iÃu kiằn tông trững bêc hai 2.1.1 nh nghắa mÂn Cho hm chẵnh thữớng f : Rn R, ta nõi rơng iÃu kiằn tông trững bêc hai (viát tưt QGC) tÔi im x R >0 v mổ un >0 x f thọa náu tỗn tÔi cho f (x) f (¯ x) ≥ Khi â, iºm n ÷đc gåi l κ kx − x¯k2 , ∀x ∈ Bγ ( x) (2.1) cỹc tiu a phữỡng mÔnh cừa h m f K½ hi»u QG (f ; x¯) := sup κ > | x¯ l cüc tiºu àa ph÷ìng mÔnh cừa f vợi mổ un Kát quÊ sau Ơy, chúng tổi cho thĐy rơng tẵnh xĂc nh dữỡng cừa Ôo hm ỗ th dữợi gradient l iÃu kiằn ừ cho iÃu kiằn tông trững bêc hai 2.1.6 nh lỵ GiÊ sỷ f l hm chẵnh thữớng nỷa liản tửc dữợi v x dom f Xt cĂc khng nh sau Ơy (i) iÃu kiằn tông trững bêc hai (2.1) ữủc thọa mÂn tÔi x (ii) x l cỹc tiu a phữỡng v f l dữợi chẵnh quy mảtric mÔnh tÔi x ối vợi (iii) p f (¯ x) v D(∂f )(¯ x|0) x¡c ành d÷ìng, theo ngh¾a : Rn → R hz, wi > 0, ∀z ∈ D(∂f )(¯ x|0)(w), w ∈ dom D(∂f )(¯ x|0) \ {0} (iv) ∈ ∂p f (¯ x) (2.2) v tỗn tÔi c > cho hz, wi ≥ ckwk2 , ∀z ∈ D(∂f )(¯ x|0)(w), w ∈ dom D(∂f )(¯ x|0) (2.3) 14 Khi â, c¡c quan hằ ko theo sau Ơy thọa mÂn (iv) (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i) Hìn núa, n¸u (iv) thäa mÂn thẳ QG(f ; x) inf n hz,wi kwk2 ... kh£ vi hai lƯn theo nghắa m rởng Trong phƯn ny, chúng tổi nghiản cựu mởt số tẵnh chĐt cừa hm khÊ vi hai lƯn theo nghắa m rởng v thiát lêp ữủc mởt số quy tưc tẵnh toĂn vi phƠn suy rởng bêc hai 1.2.1... trẳnh by ba chữỡng Trong chữỡng 1, chúng tổi trẳnh by mởt số kát quÊ và php tẵnh vi phƠn suy rởng giÊi tẵch bián phƠn Mửc 1.1 ữủc dnh trẳnh by mởt số khĂi niằm cỡ bÊn giÊi tẵch bián phƠn lm cỡ... quan trồng cừa giÊi tẵch bián phƠn  tỗn tÔi tứ lƠu GiÊi tẵch bián phƠn bêc hai l mởt bở phên cừa giÊi tẵch bián phƠn, nghiản cựu cĂc cĐu trúc vi phƠn suy rởng bêc hai v cĂc vĐn à liản quan