TÍCH PHÂN

Chương III TÍCH PHÂN Bài 1 TÍCH PHÂN BẤT ðỊNH 1. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ðỊNH Trong chương trước chúng ta ñã biết rằng, nếu một hàm số f(x) khả vi trong khoảng (a, b) thì có ñạo hàm trong (a, b) và có thể tính ñược ñạo hàm của nó. Bây giờ ta xét bài toán ngược lại, nếu cho trước một hàm số f(x) xác ñịnh trong khoảng (a, b), hỏi có tồn tại hay không một hàm số F(x) khả vi trong khoảng (a, b) và có ñạo hàm ? 1.1. ðịnh nghĩa nguyên hàm Hàm số F(x) ñược gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) nếu với ∀x ∈ (a, b) ta có: F'(x) = f(x) hay dF(x) = f(x)dx. N ếu thay cho khoảng (a, b) là ñoạn [a, b] thì ta phải có thêm: F'(a + 0) = f(a) và F'(b - 0) = f(b). Ví dụ: 1) F(x) = là nguyên hàm của f(x) = 4x 2 - x + 1 trên . 2) G(x) = là nguyên hàm của g(x) = 4x 2 - x + 1 trên 3) H(x) = là nguyên hàm c ủ a h(x) = sin2x trên . MỤC TIÊU Học xong bài này sinh viên có khả năng: 1. Trình bày ñược ñịnh nghĩa tích phân bất ñịnh, các tính chất của tích phân bất ñịnh. 2. Áp dụng ñược các phương pháp tính tích phân bất ñịnh: phương pháp ñổi biến và phương pháp tích phân từng phần ñể tính ñược tích phân. 3. Tính ñược tích phân của phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác và hàm vô tỷ. f (x) ′ F (x) f (x) ′ = 3 2 4 1 x x x 5 3 2 − + + 3 2 4 1 x x x 3 2 − + 1 cos2x 2 − Page 1 of 57 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter3.htm 1.2. ðịnh lý N ếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b). Khi ñó với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng ñó. Ng ược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) ñều có thể viết dưới dạng F(x) + C, vớ i C là một hằng số. Nói khác ñi: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b) thì {F(x) + C, C ∈ } là họ các nguyên hàm hay là tất cả các nguyên hàm của f(x) (Bạn ñọc tự chứng minh hoặc tham khảo chứng minh ñịnh lý). 1.3. ðịnh nghĩa tích phân bất ñịnh Tích phân bất ñịnh của hàm f(x) xác ñịnh trên khoảng (a, b) là họ tất cả các nguyên hàm của nó trên (a, b) và ñược ký hiệu là . = F(x) + C, trong ñó: F(x) là một nguyên hàm của f(x) hay F'(x) = f(x); C là một hằng số tuỳ ý. Ký hiệu: : dấu tích phân; x : biến lấy tích phân; f(x) : hàm số dưới dấu tích phân; f(x)dx : biểu thức dưới dấu tích phân. Trở lại các ví dụ trên ta có: 1.4. Tính chất của tích phân bất ñịnh f (x)dx ∫ f (x)dx ∫ ∫ 2 3 2 4 1 (4x x + 1)dx = x x x C; 3 2 − − + + ∫ 1 sin2xdx = cos2x+ C; 2 − ∫ 2 dx tgx C cos x = + ∫ a Page 2 of 57 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter3.htm Một vấn ñề ñặt ra là những hàm nào có nguyên hàm ? 1.5. ðịnh lý về sự tồn tại của nguyên hàm. M ọi hàm số f(x) liên tục trên [a, b] ñều có nguyên hàm hay tích phân bất ñịnh trên ñoạn ñó. Từ ñạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản ta suy ra các tích phân, gọi là tích phân cơ bản B ảng tích phân cơ bản Ví dụ 1: Ví dụ 2: . Ví dụ 3: . ( ) ( ) 1) f (x)dx f (x) 2) d f (x)dx f (x)dx 3) df (x) f(x) C 4) af (x)dx a f (x)dx (a 0) 5) (f(x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx 6) f (t)dt F(t) C f (u(x))u '(x)dx F(u(x)) C ′ = = = + = ≠ + = + = + ⇒ = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 x x x x 1) 0dx C 2) dx x C 1 3) x dx x C ( 1) 1 dx 4) ln x C x 5) e dx e C a 6) a dx C (0 a 1) lna 7) cosxdx sin x C α α+ = = + = + α ≠ − α + = + = + = + < ≠ = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 8) sin xdx cosx C dx 9) tgx C cos x dx cotgx C 10) sin x dx 11) arctgx C 1 x dx 12) arcsin x C 1 x = − + = + = − + = + + = + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 5 2 5 2 (2x 3x x 3)dx 2 x dx 3 x dx xdx 3 dx − + + = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 6 3 1 x x x 3x C. 3 2 = − + + + 2 2 1 1 cos x dx cosxdx dx sin x sin x   − = −     ∫ ∫ ∫ sin x cot gx C = + + 3/ 2 2 2 x 1 dx x dx x dx x − − + = + ∫ ∫ ∫ 2 1 C x x = − − + Page 3 of 57 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter3.htm Muốn tính tích phân bất ñịnh của một hàm số f(x), ta so sánh tích phân cần tính với các tích phân cơ bả n ñể thực hiện các phép biến ñổi thích hợp, sau ñó ñưa tích phân cần tính ñó về dạng tích phân cơ bản rồi áp dụng công thức. 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 2.1. Phương pháp ñổi biến số Trong nhiều trường hợp, khi tính nếu ñể biến tích phân là x thì không thấy ngay ñượ c tích phân cần tính ñó gắn với dạng tích phân cơ bản nào, nhưng nếu thực hiện một số phép ñổi biến thích hợp ta có thể ñưa nó về dạng tích phân cơ bản. 2.1.1. ðổi biến số dạng 1: x = ϕ ϕϕ ϕ (t) Trong một số trường hợp, thực hiện phép ñổi biến x = ϕ(t), ta ñược: Ví dụ: Tính . Giải: Vì muốn khử căn bậc hai ta thực hiện phép ñổi biến x = asint. Ta thấy: nên ; Ta có: . Vậy . 2.12. ðổi biến số dạng 2: t = Ψ ΨΨ Ψ (x) Ta có thể thực hiện phép ñổi biến t = Ψ(x) thì dt = (x)dx và khi ñó tích phân cần tính trở thành: ở ñ ây bi ể u th ứ c có d ạ ng c ủ a các tích phân c ơ b ả n ñ ã bi ế t. ở ñ ây bi ể u th ứ c có d ạ ng c ủ a các tích phân c ơ b ả n f (x)dx ∫ f (x)dx f ( (t)) (t)dt g(t)dt ′ = ϕ ϕ = ∫ ∫ ∫ g(t)dt ∫ 2 2 I a x dx = − ∫ a x a − ≤ ≤ t 2 2 π π − ≤ ≤ 2 2 x a x a cost; dx a costdt;t arcsin . a − = = = 2 2 2 2 1 cos2t 1 1 I a cos tdt a dt a t sin 2t C. 2 2 4 +   = = = + +     ∫ ∫ 2 2 2 a 1 1 sin 2t asin t acost x a x 4 2 2 = = − 2 2 2 2 2 1 a x a x dx x a x arcsin C 2 2 a − = − + + ∫ ′ Ψ f (x)dx g( (x)) (x)dx g(t)dt ′ = Ψ Ψ = ∫ ∫ ∫ g(t)dt ∫ Page 4 of 57 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter3.htm Ví dụ 1: Tính . Giải: ðặt t = 2x + 3; dt = 2dx. Ví dụ 2: Tính . Giải: ðặt t = x 2 - 5; dt = 2xdx. Giải: ðặt t = lnx ; dt = Giải: Ta có: Tương tự ta cũng chứng minh ñược tích phân: 2.2. Ph ươ ng pháp tích phân t ừ ng ph ầ n 100 I (2x 3) dx = + ∫ 101 101 100 1 t (2x 3) I t dt C C. 2 202 202 + = = + = + ∫ 2 3 I (x 5) xdx = − ∫ 4 2 4 3 1 t (x 5) I t dt C C. 2 8 8 − = = + = + ∫ Ví dụ 3: Tính 2 dx I xln x = ∫ dx x 2 dt 1 1 I C C t ln x t = = − + = − + ∫ Ví dụ 4: Tính 2 2 2 2 x 1 d dx 1 1 1 1 x a a I dx arctg C a a a a x x x 1 1 a 1 a a a       = = = = +         + +   +                 ∫ ∫ ∫ I = t ừ 2 2 dx x arcsin C a a x = + − ∫ 2 dx arcsin x C 1 x = + − ∫ 2 sin x I dx cos x 4 = + ∫ Ví dụ 5: Tính 2 1 1 t 1 cos x I dt arctg C arctg C 2 2 2 2 t 4   = − = − + = − +     + ∫ 2 2 1 I dx a x = + ∫ Page 5 of 57 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter3.htm Giả sử u = f(x) và v = g(x) là hai hàm số khả vi và có ñạo hàm là hai hàm s ố liên tục. Khi ñó, theo quy tắc lấy vi phân của tích ta có: d(uv) = vdu + udv hay udv = d(uv) – vdu. Vì nguyên hàm của d(uv) là uv nên ta suy ra: . Quy tắc lấy tích phân từng phần này chuyển việc lấy tích phân của biểu thức udv = u dx về tích phân của vdu = v mà ở ñó tích phân của vdu dễ tìm hơn. Những dạng tích phân sau ñây thường dùng quy tắc lấy tích phân từng phần: … Ví dụ 1: Tính . Do ñó: Ví dụ 2: Tính Do ñó: Giải: ðặ t Giải: T ấ t nhiên ở ñ ây, có th ể ñặ t Ta có: u f (x); ′ ′ = v g (x) ′ ′ = udv uv vdu = − ∫ ∫ v ′ u dx ′ k m k k k ax x ln xdx, x sin bxdx, x cosbxdx, x e dx, ∫ ∫ ∫ ∫ 2 I x ln xdx = ∫ 3 3 2 x x 1 I x ln x dx ln x dx 3 3 x = = − ∫ ∫ 3 3 3 2 x 1 x x ln x x dx ln x C. 3 3 3 9 = − = − + ∫ 3 2 dx du u ln x x x dv x dx v 3  =  =    ⇒   =    =   I x sin 2xdx. = ∫ Giải: ðặ t 1 1 1 1 I xsin 2xdx xcos2x cos2xdx x cos2x sin2x C 2 2 2 4 = = − + =− + + ∫ ∫ du dx u x 1 dv sin 2x dx v cos 2x 2 =  =   ⇒   = = −    Ví d ụ 3: 2 x x du 2xdx u x v e dv e dx  =  =   ⇒   =  =    2 x 2 x x I x e dx x e 2 xe dx = = − ∫ ∫ 2 x I x e dx = ∫ ðặt tiế p: x x u x du dx dv e dx v e = =     ⇒   = =     Page 6 of 57 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter3.htm Dùng cách cân bằng hệ số, suy ra: a = 1; b = -2; c = 2 Vậy . 3. TÍCH PHÂN CÁC PHÂN THỨC HỮU TỶ 3.1. Tích phân phân thức ñơn giản 1) ; 2) , k ≥ 2, nguyên; 3) ; 4) , k ≥ 2, nguyên trong ñó: A, M, N, a, p, q là các số thực, p 2 - 4q < 0. Nói cách khác là tam th ức x 2 + px + q không có nghiệm thực và luôn dương với mọi x. Xét từng dạng tích phân trên ta có: • (3.1.1) • , k ≥ 2, nguyên (3.1.2) x x x x 1 I xe dx xe e dx e (x 1) C = = − = − + ∫ ∫ V ậ y 2 x x 2 I x e dx e (ax bx c) C. = = + + + ∫ 2 x x 2 x 2 x x 2 x e e (ax bx c) C e (ax bx c) e (2ax b) e ax (2a b)x (b c) ′   ≡ + + + ≡ + + + +       ≡ + + + +   x 2 I e (x 2x 2) C. = − + + 2 x x 2 I x e dx e (x 2x 2) C = = − + + ∫ A dx x a − ∫ k A dx (x a)− ∫ 2 Mx N dx x px q + + + ∫ 2 k Mx N dx (x px q) + + + ∫ A dx Aln x a C x a = − + − ∫ k 1 k k A A dx A (x a) dx (x a) C 1 k (x-a) − − = − = − + − ∫ ∫ Page 7 of 57 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter3.htm • • = Áp d ụ ng công th ứ c tích phân t ừ ng ph ầ n v ớ i: 2 2 M M (2x p) N p Mx N 2 2 dx dx x px q x px q + + − + = + + + + ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 2 p d x M d(x px q) M 2 N p 2 2 x px q p p x q 2 4 M 2N Mp 1 2x p ln(x px q) arctg C 2 2 4q p 4q p 2   +   + +     = + −       + +   + + −           − + = + + + + − − ∫ ∫ (3.1.3) 2 2 2 M 2N - Mp 2x + p = ln(x + px + q) + arctg + C 2 4q - p 4q - p 2 k Mx N dx (x px q) + + + ∫ 2 k k 2 2 M (2x p) M dx dx N p 2 2 (x px q) p p x q 2 4 +   = + −     + +       + + −                 ∫ ∫ ðặ t: p t x 2 = + và 2 2 p a q 4 = − tích phân (*) có d ạ ng: k 2 2 k dt I (t a ) = + ∫ 2 2 2 2 2 2 2 k 2 2 2 k 1 2 2 2 k 2 2 k 1 k 1 2 2 2 2 k 2 2 2 2 k 2 2 1 k k 1 2 2 1 a t t 1 dt 1 t dt dt a (t a ) a (t a ) a (t a ) 1 1 t 2tdt 1 1 td(t a ) I I a 2a (t a ) a 2a (t a ) 1 1 I td(t a ) . a 2a (k 1) − − − − − + − = = − + + + + = − = − + + = + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Page 8 of 57 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter3.htm Công thức tính I k (3.1.4) ñược gọi là công thức truy hồi. Sở dĩ gọi là công thức truy hồi vì áp dụng công thức này tính I k , ta lại ñưa về tính I k-1 (thấp hơn 1 bậc), tính I k-1 qua I k-2 , … Do ñó sau (k - 1) lần liên tiếp dùng công thức (3.1.4) sẽ ñi tới tích phân quen thuộc I 1 sau: Nh ư vậy, ta ñã tính ñược tích phân của các phân thức ñơn giản. Gi ả i: Ta có: Gi ả i: Ta có: Gi ả i: Ta có: 2 2 1 k 2 2 1 k 2 2 1 k 2 2 1 k 2 2 1 k k 1 2 2 k 1 k k 1 k 1 2 2 2 2 k 1 u t du dt; dv d (t a ) v (t a ) t td(t a ) t(t a ) (t a ) dt I (t a ) 1 1 t I I I a 2a (k 1) (t a ) − − − − − − − − − −   = ⇒ = = + ⇒ = +   + = + − + = − +   ⇒ = + −   − +     ∫ ∫ k k 1 2 2 2 k 1 1 t I (2k 3)I 2a (k 1) (t a ) − −   = + −   − +     hoặ c (3.1.4) k k 1 2 2 2 k 1 2 t 1 2k 3 I I 2k 2 2a (k 1)(t a ) a − − − = + − − + trong ñ ó k 1 2 2 k 1 dt I (t a ) − − = + ∫ 1 2 2 dt 1 t I arctg C a a t a = = + + ∫ (3.1.5) ðể trở về biến x, trong kết quả ta thay p t x 2 = + Ví dụ 1: Tính 1 dx ln 5 x C 5 x = − − + − ∫ 1 I dx. 5 x = − ∫ Ví dụ 2: Tính 2 2 2 2 1 x 1 1 dx I dx 1 dx dx 1 x 1 x 1 x + −   = = − = −   + + +  ∫ ∫ ∫ ∫ x arctgx C. = − + 2 2 x I dx. 1 x = + ∫ Ví dụ 3: Tính 2 3x 1 I dx. x x 2 + = + + ∫ Page 9 of 57 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter3.htm Giải: Áp d ụ ng công th ứ c (3.1.4) ta ñượ c: Gi ả i: Ta có: ðặ t: x + 1 = t Theo công th ứ c (3.1.4) ta có: Ở ñ ây a = 3, k = 3 ta có: 2 2 2 2 2 2 1 6x 2 3 2x 1 1 dx I dx dx 2 2 2 x x 2 x x 2 x x 2 1 d x 3 1 2 ln (x x 2) 2 2 1 7 x 2 2 + + = = − + + + + + +   +     = + + −     + +         ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 x 3 1 2 2 ln (x x 2) arctg C 2 2 7 7 2 + = + + − + 2 3 1 2x 1 ln (x x 2) arctg C. 2 7 7 + = + + − + Ví d ụ 4: Tính 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 t I (2 2 3)I 2a (2 1) (t a ) 1 t 1 t arctg C a a 2a t a −   = + × −   − +       = + +   +   2 2 2 3 t 1 t arctg C a 2a (t a ) 2a = + + + 2 2 2 2 dt I (t a ) = + ∫ Ví d ụ 5: Tính 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2x 2 1 I dx 4 dx (x 2x 10) (x 2x 10) d(x 1) (x 2x 10) (x 2x 10) d (x 2x 10) 4 4I* 2 (x 1) 9 − − + = + + + + + + + + = + + + + + = + −   + +     ∫ ∫ ∫ ∫ 3 2 2 3 dt I* I (t 3 ) = = + ∫ 3 2 2 2 2 k 1 2 t 1 2k 3 I I 2k 2 2a (k 1)(t a ) a − − = + − − + 2 3 2x 6 I dx (x 2x 10) + = + + ∫ Page 10 of 57 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter3.htm [...]... )∆x i max ∆x i →0 i =1 [a,b]: ño n l y tích phân; a: c n dư i; b: c n trên; x: bi n l y tích phân; f: hàm s l y tích phân; ñây: f(x)dx: bi u th c dư i d u tích phân b Chú ý 1 Tích phân ∫ f (x)dx (n u có) ch ph thu c vào hàm f(x) dư i d u tích phân và các c n a, b mà không ph thu c vào bi n tích phân a b a T c b a ∫ f (x)dx = ∫ f (t)dt Chú ý 2 Khi ñ nh nghĩa tích phân xác ñ nh, ta gi thi t a ≤ b b a a... of 57 Bài 2 TÍCH PHÂN XÁC ð NH M C TIÊU H c xong bài này sinh viên có kh năng: 1 Trình bày ñư c ñ nh nghĩa tích phân xác ñ nh b ng cách l p t ng Sn, tính gi i h n và ý nghĩa hình h c c a tích phân xác ñ nh 2 Áp d ng ñư c các phương pháp tính tích phân xác ñ nh: công th c Newton - Leibnitz, phương pháp ñ i bi n và phương pháp tích phân t ng ph n ñ tính tích phân 3 Tính g n ñúng ñư c tích phân xác ñ nh... + 3.2 Tích phân các phân th c h u t 3.2.1 Phân th c th c s và phân th c ñơn gi n Xét phân th c h u t : − N u m < n thì P(x) ñư c g i là phân th c th c s Q(x) − N u m ≥ n thì P(x) g i là phân th c không th c s Q(x) P(x) N u là phân th c không th c s thì b ng cách chia t cho m u bao gi ta cũng có th bi u di n nó Q(x) dư i d ng t ng c a m t ña th c và m t phân th c th c s Vi c l y tích phân phân th... 3x x sin + sin + sin + sin + C 7 4 5 4 3 4 4 7x 4 5x 4 3x x 4  7 sin 4 + 5 sin 4 + 3 sin 4 + 4sin 4  + C   5 TÍCH PHÂN M T S HÀM VÔ T Khi tính tích phân các hàm vô t ta thư ng dùng phép ñ i bi n thích h p ñ ñưa tích phân ñã cho v d ng tích phân hàm h u t , t c là "h u t hoá" tích phân ñã cho ñây ta ch xét m t s d ng ñơn gi n 5.1 D ng ∫ r m n , , x s )dx R(x, x R(u, v, , ω) là hàm h u t c a các... ln − arctgx + C 20 x + 2 5 4 TÍCH PHÂN M T S HÀM LƯ NG GIÁC Gi s c n tính tích phân I = = sinx; v = cosx) ∫ R(sin x,cos x)dx, 4.1 Phương pháp chung ñ tính tích phân trong ñó R(u, v) là m t bi u th c h u t ñ i v i u, v (u ∫ R(sin x,cos x)dx x 2dt = arctgt ⇒ x = 2arctgt ⇒ dx = 2 1+ t2  2t 1 − t 2  2dt ⇒ ∫ R(sinx, cosx)dx = ∫ R  ,  1+ t2 1 + t2 1+ t2    ðây là tích phân c a m t hàm h u t ñ i v... thì di n tích hình thang cong xác ñ nh b i y = f b (x), y = 0, x = a, x = b b ng ∫ f (x)dx ðó là ý nghĩa hình h c c a tích phân xác ñ nh a 1.3 D u hi u kh tích c a m t s hàm quen thu c Sau khi ñ nh nghĩa v tích phân xác ñ nh, m t v n ñ ñ t ra là: Nh ng hàm nào thì kh tích trên ño n [a, b]? V n ñ ñó ñư c kh ng ñ nh b i ñ nh lý sau: 1.3.1 ð nh lý 1 N u f(x) liên t c trên [a, b] thì f(x) kh tích trên... + 3, ta có dt = 2xdx Do ñó: I= 1 2 dt ∫ t2 − 4 = 1 1 t−2 1 x2 +1 ln + C = ln 2 +C 2 4 t+2 8 x +5 1 Ví d 7: Tính I ∫ x 4 − 3x 2 − 4 dx = Gi i: ð tính tích phân trên ta có th dùng phương pháp h s b t ñ nh ñ phân tích bi u th c dư i d u tích phân thành các phân th c ñơn gi n Ta có th bi u di n 1 x 4 − 3x 2 − 4 = 1 (x 2 + 1)(x 2 − 4) = 1 (x 2 + 1)(x − 2)(x + 2) = Ax + B x2 + 1 + C D + x+2 x−2 r i dùng các... ñó kh tích trên [0, 1]; dùng phân ñi m ñ u ∆xi = 1− 0 và các ñi m chia: n x 0 = 0; x1 = 1 i ; ; x i = , i = 0, n n n file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter3.htm 30/09/2009 Page 35 of 57 ch n ñi m ξi ≡ xi, có t ng tích phân là In, do ñó: 1 lim I n = I = ∫ dx 0 1+ x n →∞ 1 2 = arctgx 0 = π 4 2 CÔNG TH C NEWTON – LEIBNITZ 2.1 ð nh lí cơ b n gi a nguyên hàm và tích phân xác ñ nh x N u f(x) kh tích trên... khác v i di n tích hình thang cong AabB càng nh n u n càng l n và các ∆xi càng nh Do ñó ngư i ta ñ nh nghĩa di n tích hình thang cong AabB như sau: N u t ng (3.2.1) d n t i m t gi i h n xác ñ nh S khi n → ∞ sao cho max ∆x i → 0 thì S ñư c g i là 1≤ i ≤ n di n tích c a hình thang cong AabB V y di n tích c a hình thang cong AabB là: n S= lim ∑ f (ξi )∆xi max ∆x i →0 i=1 1.2 ð nh nghĩa tích phân xác ñ... u qua các ví d dư i ñây 3.2.3 M t s ví d v tích phân các phân th c h u t Ví d 1: Tính I = Gi i: Ta có: x 4 + 2x 3 + x 2 + 2x + 1 dx ∫ x2 +1 1  dx  2 I = ∫  x 2 + 2x + 2  dx = ∫ x dx + ∫ 2xdx + ∫ 2 x +1  x +1  = x3 + x 2 + arctgx + C 3 dx Ví d 2: Tính I = ∫ 5 x − x2 Gi i: I=∫ Phân tích dx 2 3 x (x − 1) =∫ dx 2 x (x − 1)(x 2 + x + 1) 1 thành t ng các phân th c ñơn gi n: 2 x (x − 1)(x 2 + x + 1) . hiệu: : dấu tích phân; x : biến lấy tích phân; f(x) : hàm số dưới dấu tích phân; f(x)dx : biểu thức dưới dấu tích phân. Trở lại các ví dụ trên ta có: 1.4. Tính chất của tích phân bất ñịnh. tính tích phân bất ñịnh của một hàm số f(x), ta so sánh tích phân cần tính với các tích phân cơ bả n ñể thực hiện các phép biến ñổi thích hợp, sau ñó ñưa tích phân cần tính ñó về dạng tích phân. nghĩa tích phân bất ñịnh, các tính chất của tích phân bất ñịnh. 2. Áp dụng ñược các phương pháp tính tích phân bất ñịnh: phương pháp ñổi biến và phương pháp tích phân từng phần ñể tính ñược tích