Lời mở đầu A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lời mở đầu môTrong toán học nói chung hình học nói riêng, việc giải các bài toán có nhiều phương pháp khác nhau Trong đó bài toán có nhiều phương pháp sử dụng diện tích hình[.]
A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lời mở đầu mơTrong tốn học nói chung hình học nói riêng, việc giải tốn có nhiều phương pháp khác Trong tốn có nhiều phương pháp sử dụng diện tích hình phẳng để giải tập hình học phương pháp thú vị Việc sử dụng phương pháp để giải tốn hình học mang ý nghĩa tổng quát có lúc đem lại cho ta kết ngắn gọn bất ngờ Phương pháp diện tích cho phép ta hiểu sâu thêm tiêu đề hình học, đáng quan tâm tiêu đề diện tích đồng thời cho phép người đọc thấy rõ chất vấn đề nêu Giải tốn phương pháp diện tích cịn gây hứng thú tìm tịi cho người giải tốn Bởi lẽ khơng phải tốn giải phương pháp Song cố gắng tìm tịi ta khai thác nhiều vấn đề thú vị toán Trong q trình giảng dạy mơn tốn lớp trường THCS Vĩnh Thịnh, thấy em hiểu chưa vận dụng phương pháp diện tích để giải tốn hình học Với lý nghiên cứu “Một số biện pháp sử dụng phương pháp diện tích để giải tốn hình học lớp 8” nhằm giúp HS làm tốt toán hình học II Thực trạng cơng tác dạy học việc sử dụng phương pháp diện tích để giải tốn hình học lớp trường THCS Vĩnh Thịnh Thực trạng: Giáo viên: Ưu điểm: Trong trường có đầy đủ giáo viên dạy mơn Tốn có lực, nhiệt tình giảng dạy, nên HS học đầy đủ số tiết số bài, quan tâm nhiều Nhược điểm: Mặc dù GV có tinh thần trách nhiệm cao có trình độ, việc sử dụng phương pháp diện tích vào tốn hình học, cịn chưa tìm hiểu, nghiên cứu sâu để hướng dẫn kĩ cho HS, đặc biệt HS giỏi Học sinh: Các em thích học tốn ln xem môn quan trọng Nhưng việc dùng phương pháp diện tích để giải tốn hình học em chưa nhạy bén, chưa tìm hướng làm nhanh cách trình bày dễ hiểu Trong năm dạy toán Trường THCS Vĩnh Thịnh, thơng qua việc tìm hiểu số lượng tập hình học tốn giải phương pháp diện tích trình bày q Chính học sinh thường lúng túng đứng trước toán Bởi thế, để giúp học sinh giải tốt tốn hình học nói chung phần tập diện tích đa giác nói riêng điều mà thầy giáo quan tâm suy nghĩ Vì tơi chọn kiến thức tập phần diện tích đa giác lớp để đưa kinh nghiệm “Một số biện pháp sử dụng phương pháp diện tích để giải tốn hình học lớp 8” Kết quả, hiệu thực trạng việc sử dụng phương pháp diện tích để giải tốn hình học lớp Khi chưa áp dụng đề tài, việc giải tập dạng sử dụng phương pháp diện tích giải tốn hình học em gặp nhiều khó khăn Kết thu HK1 năm học 2011 - 2012 sau: Lớp Sĩ số 8A1 8A2 Kết đạt Giỏi Khá Trung bình Yếu 39 6% 21% 44% 29% 39 8% 24% 45% 23% B CÁC GIẢI PHÁP CẢI TIẾN I Các giải pháp thực hiện: Dựa đặc điểm tình hình nhà trường, vào kết đạt năm trước chất lượng học tập đặc điểm lớp phụ trách, dựa vào lực học sinh, đề giải pháp sau: Giải pháp 1: Nắm mục tiêu dưa vào giảng dạy Tìm tịi tốn để từ học sinh nắm phát triển toán Giải pháp 2: Phân loại tốn giải phương pháp diện tích II Các biện pháp tổ chức thực Biện pháp 1: Khắc sâu cơng thức diện tích hay sử dụng cho tam giác Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c đối diện với đỉnh A, B, C - ha, hb, hc: độ dài đường cao ứng với cạnh a, b, c -P= A (a + b + c) nửa chu vi tam giác c hb - r: bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC - ra, rb, rc: bán kính đường tròn a B tiếp ABC tiếp xúc với a, b, c Ta có cơng thức tính diện tích tam giác sau: S= S = 1 = b hb = c hc 2 (1) (2) công thức Hêrông p ( p a )( p b)( p c ) S= 1 ab Sin Cˆ bcSinAˆ ac sin Bˆ 2 S= abc 4R (3) ; S = p.r S = (p - a) - (p - b) rb = (p - c) rc hc (4) (5) b C * Giá trị sử dụng công thức: - Công thức (1) sử dụng biết cạnh đường cao thực - Công thức (2) sử dụng biết cạnh - Công thức (3) sử dụng biết cạnh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác - Công thức (4) sử dụng biết cạnh bán kính đường trịn nội tiếp - Cơng thức (5) sử dụng biết cạnh bán kính đường trịn tiếp tương ứng *Cơng thức diện tích: Diện tích hình vng cso cạnh a: S = a 2 Diện tích hình chữ nhật có hai kích thước a, b: S = a b Diện tích hình bình hành có cạnh a chiều cao tương ứng h: S = a.h Diện tích hình thoi có đường chéo l 1, l2: S = l1 l2 (diện tích hình thoi cịn tính theo cơng thức tính diện tích hình bình hành) Diện tích hình thang có hai đáy a, b b đường cao h : S= (a b).h Diện tích hình thang có đường cao h, đường trung bình m: S = m h Bài tốn 1: GT ABC, ADE, B, C, D, E thuộc đường thẳng a KL SABC = k SADE (k > 0) Chứng minh: Ta có BC DE đoạn thẳng nên tồn số k > để BC k => BC = k DE DE Mặt khác ta lại có: SABC = 1 AH.BC = AH K DE = k( AH.DE) 2 => SABC = k SADE Hệ 1: Nếu C, B, P thẳng hàng (cùng thực đường thẳng a) điểm A không thuộc đường thẳng a, BC = k CP S ABC = k SACP Hệ 2: Nếu PB = C S ABC = SAPC (k = 1) A Bài toán 2: GT ABC, A’BC A’ AH BC, A’H’ BC KL S ABC AH S ' A' BC AH ' B H’ H’’ C Chứng minh: BC AH S ABC AH Thật S A' BC AH ' BC AH ' Hệ 3: Nếu ABC có diện tích khơng đổi có cạnh đáy a đường cao h a h hai đại lượng tỉ lệ nghịch Biện pháp 2: Phân loại toán giải phương pháp diện tích Loại 1: Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ Loại 2: Tổng hiệu đoạn thẳng đoạn thẳng khác Loại 3: Tổng hiệu diện tích hình diện tích hình khác Loại 4: Tỉ số diện tích hai hình phẳng Loại 5: Chứng minh bất đẳng thức hình học Loại 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy Loại 7: Chứng minh tốn cực trị hình học số toán dạng khác Loại 1: Phương pháp chứng minh “các đoạn thẳng tỉ lệ” Để chứng minh AB = k, ta có thể: - Hoặc rằng: S MAB = SMA’B’ d(M ; AB) = K d(M; AB) - Hoặc rằng: S MAB = SNA’B’ d(N ; A’B’) = K d(M; AB) - Hoặc rằng: S MAB = K SMA’B’ d(M ; AB) = K d(M; A’B’) - Hoặc rằng: S MAB = K SNA’B’ d(M ; AB) = d(M; A’B’) S ABM d ( M ; AB ) K K d ( M ; A' B ' ) S A' B ' M BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài toán 1: Lấy điểm O ABC Các tia AO, BO, CO cắt OA OB OC BC, AC, AB P, Q, R Chứng minh AP BQ CR 2 Chứng minh: Từ O kẻ OK BC, từ A kẻ AH BC (K, H BC) Khi ta có: S OBA S ABC OK (hệ 2) AH A Mặt khác OK // AH OK OP S OP R OBZC => AH AP S (1) AP ABC O Q Chứng minh tương tự ta có: B S AOB OQ (2) S ABC PQ H K P C S AOC OR (3) S ABC CR OP OQ S OR S S OBC AOB AOC 1 Từ (1) (2) (3) ta có: AP BQ CR S S S ABC ABC ABC AO BO CD Ta có: AP BQ CR AP OP BQ OQ CR OR AP BQ CR OP OQ BO CO CO = - ( AP BQ CR ) 3 2 AO => AP BQ CR 2 (ĐPCM) Bài tốn 2: Cho ABC có ba góc nhọn ba đường cao AA’, BB’, CC’, gọi H trực tâm ABC Chứng minh HA' HB ' HC ' AA' BB' CC ' A Chứng minh Ta nhận thấy CHB CAB B’ C’ hai tam giác có chung đáy CB S HA' CHB Nên S (1) AA' ABC Tương tự ta có H B C A’ S AHC HB' (2) S ABC BB' S HAB HC ' (3) S ABC CC ' HA' HB ' HC ' S S S HBC AHC AHB Từ (1) (2) (3) ta có AA' BB' CC ' S S S ABC ABC ABC = S HBC S AHC S AHB S ABC Do ABC có ba góc nhọn nên trục tâm H nằm miền ABC Do SHBC + SAHC + SAHB => S HBC S AHC S AHB S ABC 1 S ABC S ABC => HA' HB ' HC ' =1 AA' BB' CC ' Biện pháp 3: Phương pháp chứng minh tổng hiệu đoạn thẳng đoạn thẳng khác Muốn chứng minh: AD + CD = PQ Ta chứng minh theo cách sau: Cách 1: Chỉ tồn điểm M SMAB + SMCD = SMPQ d(M; AB) = d(M; CD) = d(M;PQ) Cách 2: Chỉ tồn hai điểm M, N SMAB + SMCD = SNPQ d(M; AB) = d(M; CD) = d(N;PQ) Cách 3: Chỉ tồn ba điểm M, N, R SMAB + SMCD = SRPQ d(M; AB) = d(N; CD) = d(R;PQ) BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài toán 1: Cho ABC (AB = AC) Một điểm D di chuyển cạnh đáy BC Từ D kẻ đường thẳng DE DF vng góc với AC, AB Chứng minh tổng DE + EF không phụ thuộc vào vị trí điểm D BC Chứng minh: A Để chứng minh DE + DE không phụ thuộc vào vị trí điểm D ta chứng minh ln đoạn thẳng có K độ dài khơng đổi Thật kẻ đường cao CK ta có SABD + SACD = SABC mà SABD = 1 AB.DF , S ACD AC.DF 2 E F B C SABC = 1 1 AB.CK => AB DF + AC DF = AB CK 2 2 Do AB = AC (gt) => (DF + DE) AB = AB CK => DF + DE CK, CK đường cao => CK không đổi Vậy DR + DE không đổi Bài toán 2: Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm thuộc miền tam giác ABC đến cạnh khơng phụ thuộc vào vị trí điểm Chứng minh: A Ta có: SMAB + SMBC + SMAC = SABC Mà SMAB = SMBC MR.AB M = MB.BC SMAC = SABC = B MQ.AC SMAB + SMAC = Q R H P C 1 1 MR.AB + MB + BC + MQ.AC 2 1 BC (MR + MD + MQ) = BC.AH 2 Vậy MR + MP + MQ không đổi Biện pháp 4: Phương pháp chứng minh tổng hiệu hình diện tích hình khác Để chứng minh: S + S2 + S3 + + Sn = S, ta sử dụng: - Các cơng thức tính diện tích - Các tốn nêu BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh BC AD, P giao điểm đường thẳmg AM BN, Q giao điểm đường thẳng CN DM Chứng minh SMPNQ - SAPB + SCQD Chứng minh; M B Hạ đường vng góc C BB, MM’, CC’ xuống AD (B’, M’ C’ thuộc AD) Xét hình thang BB’CC’ có MN A đường trung bình nên MM’ = M’ N C’ BB'CC ' Mặt khác ta có AN = ND nên MM’ AD = => B’ BB'CC ' AD 1 AD AD CC ' M’M AD = B’B 2 2 => SAMN = SABN + SCND Mặt khác ta có: S MPNQ = SAMD - (SAPN + SMDQ) Thay SMPQN = (SABN + SCND) - (SAƠN + SNQD) SMPQN = (SABN - SAPN) + (SCND - SQND) vvậy SMPQN = SABP + SCQD Biện pháp 5 : Phương pháp chứng minh tỉ số diện tích hai hình phẳng Để chứng minh SA1 A An SABC K K ' K K ' SA' B' C ' SA'1 A' Ta chứng minh cách sau: Cách 1: Chỉ ABC ~ A’B’C’ theo tỉ số k Cách 2: Chỉ SABC = K S A’B’C’ dựa vào phương pháp chứng minh loại 1, loại 10 D Cách 3: Dùng tiêu đề diện tích để từ toán tổng quát đưa toán cho tam giác BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài toán: Chứng minh tam giác có đỉnh giao điểm hai cạnh đối tứ giác lồi, hai đỉnh hai trung điểm hai đường chéo tứ giác lồi có diện tích diện tích tứ giác Chứng minh: Gọi M N trung điểm E đường chéo BD AC tứ gác ABCD, E giao điểm hai cạnh AD BC B Ta có: SEMN = SEDC - SEMD - SDMN - SDNC SEMN = SEDC SEMN = ( +( A 1 1 SEBD - SEAC - SDNB - SDAC 2 2 M D 1 SEDC - SEAC - SDAC) + 2 N 1 SEDC + SEBD - SDNB) 2 SEMN = 1 1 1 (SDNC + SBNC) = ( AABC + SADC) = (SABC + SADC) = SABCD 2 2 4 Vậy SEMN = SABCD Biện pháp 6 : Phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học Cách 1: Sử dụng phép biến đổi đại số bất đẳng thức bất đẳng thức cosi trường hợp áp dụng cho hai số dương a2 + b2 > 2ba, a2 b2 >2 b2 a2 Hoặc số bất đẳng thức khác Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức tam giác a+b < a + b Cách 3: Sử dụng phép biến đổi hình học làm xuất bất đẳng thức từ đại lượng số đo diện tích đa giác mà ta kiến lập nên 11 C Cách 4: Sử dụng mối quan hệ cạnh tam giác (c-b) < a < c + b (a 1b1c số đo cạnh tam giác) - Sử dụng mối quan hệ đường vuông góc đường xiên kẻ từ điểm đến đường thẳng Biện pháp 7: Phương pháp chứng minh đường thẳng đồng quy Khó phương pháp chung dùng diện tích để chứng minh đường thẳng đồng quy ( ta nói khơng có phương pháp diện tích tốn chứng minh đường thẳng đồng quy thực (như sử dụng phương pháp toạ độ số phương pháp khác) Vì việc tìm tịi phương pháp diện tích để chứng minh sộ cố gấng Tuy nhiên, ta dựa vào tính chất quan trọng hình bình hành sau để làm sở cho phương pháp chứng minh đồng quy Tính chất: ABCD hình bình hành.M điểm ABCD Qua M kẻ đưởng thẳng song song với cạnh ta bốn hình bình hành Khi C B M AC SMA1,MB1 = SMC1DD1 hay A1C1, B1 D1, AC đồng quy SMA,BB1 = SC1DD1M A1 Chứng minh: C A Giả sử MCAC, ta có: A (A1 MB1B) M D1 D = SABC - SAA1M - SMB1C = S ABC - SAD1M - SMC1D = SABC - SAD1M - SMC1C = SD1MC1D Ngược lại: Giả sử M không thuộc AC S A1MB1B SD1MC1D Do M thuộc AC BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tốn: Trên cạnh AB, BC, CD, DA hình bình hành ABCD lấy điểm M, H, K, P tương ứng cho MK//AD HP//AB Chứng minh đường thẳng BP, MD, CD đồng quy điểm (O giao điểm HP MK) Chứng minh: 12 Gọi E giao điểm đường thẳng CD BP ta cần phải chứng minh MD qua E Ta có: Qua E kẻ P’H’ // PH M’K’ // MK Ta có P’H’ cắt MK F, M’K’ cắt PH G Do điểm O CE nên theo kết toán => SFOHH’ = SGOKK’ H B ta có: SFOHH’ = SGOKK’ H ’ C (1) F M M’ Do điểm E BP => SAM’EP’ = SEGHH’ (2) Từ (1) (2) suy ra: SEFKK’ = SAM’EP; Điều chứng tỏ điểm E E P P ’ A O K K ’ D phải thuộc đường chéo MD hay ba đường thẳng BP, MD CO đồng quy Biện pháp : Phương pháp chứng minh toán cực trị hình học Về phương pháp chứng minh tương tự giống loại ý thêm: + Tổng số dương khơng đổi tích số đạt giá trị lớn chúng + Nếu tích số dương khơng đổi tổng số đạt giá trị bé chúng Từ suy ra: + Trong hình chữ nhật (hình thoi) có chu vi hình vng có diện tích lớn + Trong hình chữ nhật (hình thoi) có diện tích hình vng có chu vi bé BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài toán: Cho M nằm tam giác ABC Các đường A thẳng AM, BM, CM cắt cạnh BC, CA, AB A 1, B1, C1 Hãy xác định điểm M tám giác cho: C1 S3 S2 B1 M S1 13 B A1 C MA MB MC MA MB MC a MA MB MC bé 1 1 1 b MA MB MC bé Chứng minh: a Đặt AMBC = S1, SMAC = S2, SMBA = S3 S MA S S2 S MAC MAB Ta có: MA S S MA1B S1 MA1C S MB S S2 S MAC MAB Tương tự MB S S MA1B S3 MA1C S S1 S S S S S1 S = MA MB MC S MB S2 S3 S3 S2 MA MB MC => MA MB MC 1 > Vậy MA MB MC đạt giá trị bé 1 MA S MC S 2 b MA S S ; MB S S , MC S S 1 Gọi S = S1 = S2 = S3 Xét S S S 1 -3 P= S S S S S S (S1+S2+S3) 3 S S S S S S1 P= 1 S S S S S S1 S S S1 S S S1 > MA MB 9-3= 2 MC 1 Vậy P = MA MB MC > MA1 MB1 MC1 Do MA MB MC đạt giá trị bé S1 = S2 = S3 => M trọng tâm ABC C KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM 14 Sau sử dụng phương pháp vào dạy học thấy HS có hứng thú học hình, 100% học sinh hiểu Đặc biệt em biết vận dụng phương pháp diện tích để làm tốn hình học I Kết đạt Do đặc trưng tính chất đề tài nên việc áp dụng thử nghiệm đề tài không thực diện rộng, mà dành cho học sinh giỏi lớp Qua việc hướng dẫn cho học khối lúc cuối năm lớp 8A1 8A 2, năm học 2011 - 2012, thu kết sau: Lớp Sĩ số 8A1 8A2 Kết đạt Giỏi Khá Trung bình Yếu 39 30% 21% 49% 0% 39 28% 24% 48% 0% II Bài học kinh nghiệm Sau đưa biện pháp sử dụng phương pháp để giải tốn hình học cho HS lớp vào trình giảng dạy phần diện tích đa giác lớp Đối với thân, rút học sau: - GV nắm vững kiến thức, bám sát chuẩn nghề nghiệp để dạy cho HS - GV thực yêu nghề, yêu quý HS - Thường xuyên tự học tự bồi dưỡng, tìm thêm tài liệu nghiên cứu - Tăng cường dự giờ, học hỏi đồng nghiệp Lắng nghe ý kiến đồng nghiệp để rút phương pháp dạy tốt - Chuẩn bị chu đáo trước lên lớp Sử dụng đồ dùng dạy học triệt để có hiệu - Quan tâm đến việc phát triển học sinh 15 Trên đây, số kinh nghiệm mà q trình giảng dạy tơi rút Rất mong đồng nghiệp góp ý bổ sung để tơi có thêm kiến thức vận dụng vào giảng dạy đưa chất lượng giáo dục trưòng ngày lên Vĩnh Thịnh, ngày 01 tháng 10 năm 2012 Nhận xét hội đồng Người thực khoa học nhà trường Nguyễn Hữu Ninh 16