I BIẾN ĐỔI TRỰC TIẾP VỀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN (A 2005) 2 2cos 3 cos2 cos 0 x x x− = ( , 2 x k π= ) k ∈ (A 2006) 6 62(cos sin ) sin cos 0 2 2sin x x x x x + − = − 5( 2 , 4 x kπ π= + ) k ∈ Lưu ý Nếu tr[.]
I BIẾN ĐỔI TRỰC TIẾP VỀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN (A-2005) cos 3x cos x − cos x = (A-2006) (x=k 2(cos x + sin x) − sin x cos x = − 2sin x = (x π , k ∈ ) 5π + 2kπ , k ∈ ) Lưu ý: Nếu phương trình có số hạng bậc hai dạng sin (u + α ); cos (u + β ) ta thường làm sau: - Sử dụng công thức hạ bậc để đưa số hạng bậc hai bậc cos góc nhân đơi - Sử dụng cơng thức biến tổng thành tích để rút gọn quy phương trình đơn giản Công thức: cos x − sin x = cos x − sin x = cos x Thí dụ 2(cos x + sin x) + 5(cos3 x − sin x) = (cos α = 2α 3π 2π − + + m , k , m ∈ ) + k 2π , x = 10 π (x = − ) , sin α = 29 29 a cách đặt Lưu ý: Giải PT a (sin u + cos v) + b(sin v + cos u ) = a +b 2 = cos α ; b a +b 2 = sin α ; a + b ≠ 0, đưa dạng sin(u + α ) + cos(v − α ) = π 2π π x + k 2π , = + m , k , m ∈ ) 42 π 2π (x = , k ∈ ) − +k (x = − (B-2009) sin x + cos x sin x + cos3x =2(cos x + sin x) (A-2009) (1 − 2sin x)cos x = (1 + 2sin x)(1 − sin x) 18 (A-2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2π ) phương trình cos3 x + sin x sin x + cos x + = + 2sin x cos x + sin x − sin x + tan x 2 (B-2003) cot x − tan x + 4sin x = sin x π ( x1 = 5π ) , x2 = π + kπ , k ∈ ) x −1 (A-2003) cot= ( x= (B-2004) 5sin x − = 3(1 − sin x) tan x π + kπ , k ∈ ) 5π π x + m2π , k , m ∈ ) ( x= + k 2π ,= 6 π 5π x (= x + kπ ,= + mπ , k , m ∈ ) x (B-2006) cot x + sin x 1 + tan x tan = 2 ± (x = 12 12 (D-2002) Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm phương trình: cos3 x − 4cos x + 3cos x − = π π (D-2005) cos x + sin x + cos x − sin 3x − − = 4 4 (x = ( x= x x (D-2007) sin + cos + cos x = 2 (D-2009) cos5 x − 2sin x cos x − sin x = (D-2010) sin x − cos x + 3sin x − cos x − =0 ( x= π π π π , x= 3π 5π 7π , x= , x= ) 2 + kπ , k ∈ ) − + k 2π , x = π π + m 2π , k , m ∈ ) π π + m , k , m ∈ ) 18 π 5π x ( x= + k 2π ,= + m2π , k , m ∈ ) 6 (= x +k , x= − II ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA π ( x =k π, x =− + k π, k ∈ ) Thí dụ Chứng minh ba góc tam giác ABC nghiệm phương trình sau ABC (DB2-D2007) (1 − tan x)(1 + sin x) = + tan x tam giác đều: tan x + 2sin x = f hàm số sin, cos, tan, cot, Lưu ý: Nếu phương trình có a tan u + bf (2u ) + c = đặt t = tan u biến đổi phương trình theo cơng thức sin 2u = trình bậc t Thí dụ + sin x + cos3 x = sin x Lưu ý: (x = − 2t 2t 1− t2 ; phương cos u = ; tan 2u = 2 1+ t 1− t2 1+ t π + k 2π , x= π + m 2π , k , m ∈ ) t −1 1− t2 Nếu đặt = t sin x − cos x sin x = − t ; sin x.cos x = Nếu đặt = t sin x + cos x sin x= t − 1; sin x.cos x = Trong trường hợp, NHẤT THIẾT phải đặt thử lại điều kiện t ≤ 6cos3 x Thí dụ sin x.sin x + sin 3x = ± = ( x arctan + kπ , x = π + mπ , k , m ∈ ) Lưu ý: Nếu PT có số hạng bậc bậc ba sin x cos x, ta chia hai vế phương trình cho cos3 x sin x để đưa PT cho PT bậc ba tan x cot x III BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Thí dụ Giải phương trình: sin x + sin x = −1 sin 3x ( x= π + kπ , k ∈ ) Lưu ý: Công thức π π sin 3x sin x(2cos x + 1)(2cos x − 1) 4sin x sin + x sin − x = = 3 3 π π cos3 x = cos x(1 − 2sin x)(1 + 2sin x) = 4cos x cos + x cos − x 3 3 π sin x − + cos x + 3sin x + = 4 k , m, n, p ∈ ) Thí dụ (x = − 7π π π x + m 2π , − + n 2π , π + p 2π , + k 2π ,= 6 Lưu ý: Nếu phương trình có số hạng dạng: a sin x + b sin x + c; a cos x + b cos x + c lưu ý cách phân tích thành tích: at + bt + c = a (t − t1 )(t − t2 ) Thí dụ 2sin x + 3cos x + tan x + 3cot x + = π − arctan + mπ , ( x = ± arccos 1 − + k 2π , x = 2 k , m ∈ ) Lưu ý: Các hệ thức hay dùng: b a a (sin x + tan x + 1) + b(cos x + cot x + 1) = (sin x + cos x + sin x cos x) + ; cos x sin x b a a (tan x − sin x + 1) + b(cot x − cos x + 1) = (sin x + cos x − sin x cos x) + cos x sin x (A-2007) (1 + sin x)cos x + (1 + cos x)sin x =1 + sin x (x = − x x π (D-2003) sin − tan x − cos = 2 4 ( x= + sin x + cos x = sin x sin x + cot x 1 7π (A-2008) 4sin + = − x 3π sin x sin x − (A-2011) π (1 + sin x + cos x)sin x + 4 (A-2010) = cos x + tan x ( x= π π (x = − π π + kπ , x= + k 2π , x = − + kπ , x= π + m 2π , x = p 2π , k , m, p ∈ ) π π + mπ , k , m ∈ ) + m 2π , k , m ∈ ) − + kπ , x = π 5π x + pπ , k , m, p ∈ ) + mπ ,= 8 (B-2008) sin x − cos3 x = sin x cos x − sin x cos x π 7π x + k 2π ,= + m 2π , k , m ∈ ) 6 kπ mπ (x = , x= , k , m ∈ ) 2π π ± + m 2π , k , m ∈ ) (x = − + kπ , x = 5π 2π π π x ( x= + m , k , m ∈ ) + k ,= 18 π π kπ − + mπ , k , m ∈ ) ( x= + , x= (B-2010) (sin x + cos x)cos x + 2cos x − sin x = ( x= (B-2011) sin x cos x + sin x cos x = cos x + sin x + cos x ( x= (B-2002) sin 3x − cos x =sin x − cos x (B-2005) + sin x + cos x + sin x + cos x = sin x (B-2007) 2sin 2 x + sin x − = (D-2004) (2cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin x − sin x (D-2006) cos3 x + cos x − cos x − =0 + 2cos x (D-2008) 2sin x(1 + cos x) + sin x = (D-2011) sin x + 2cos x − sin x − = tan x + (x = − π +k π , k ∈ ) π 2π + m , k , m ∈ ) 3 π π (x = ± + k 2π , x = − + mπ , k , m ∈ ) π + k 2π , x= 2π ± + m 2π , k , m ∈ ) ( x = kπ , x = 2π π (x = ± + k 2π , x= + mπ , k , m ∈ ) π ( x= + k 2π , k ∈ ) IV ĐÁNH GIÁ HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH Thí dụ (cos x − cos x) = + sin x ( x= π + k 2π , k ∈ ) Lưu ý: Các BĐT thường dùng để ước lượng: sin x ≤ 1; cos x ≤ 1; a sin x + b cos x ≤ a + b Nếu m, n số tự nhiên lớn sin m x ± cos n x ≤ sin x + cos x = (A-2004) Cho ∆ ABC không tù, thỏa mãn điều kiện cos A + 2 cos B + 2 cos C = ( A= 90 , B= C= 45 ) BÀI TẬP TỔNG HỢP ( ) (DB1-D2008) sin x + cos x + cos x + sin x = π ( x =− + k π, k ∈ ) π (DB1-D2007) 2 sin x − cos x = 12 (DB2-D2006) 4sin x + 4sin x + 3sin x +cos x = (DB1-D2006) cos3 x + sin x + 2sin x = cos x − π (DB2-D2005) tan + x − 3tan x = cos x 2 (DB1-D2005) sin x cos x + cos x(tan x − 1) + 2sin x = (DB2-D2004) sin x + sin x= 3(cos x + cos x) (DB1-D2004) 2sin x cos x + sin x cos x = sin x cos x (DB2-D2003) cot = x tan x + (DB1-D2003) 2cos x sin x cos x(cos x − 1) = 2(1 + sin x) sin x + cos x (x = π π + k π, x = + k π, k ∈ ) π 2π ( x = + k 2π, x = ± + k 2π, k ∈ ) π π ( x =− + k π, x =k 2π, x =− + k 2π, k ∈ ) π ( x =− + k π, k ∈ ) π 5π ( x = + k 2π, x = + k 2π, k ∈ ) 6 2π 2π (x = + k , x = −π − k 2π, k ∈ ) π ( x =k π, x =± + k π, k ∈ ) π ( x =± + k π, k ∈ ) π (x = − + k 2π, x = π + k 2π, k ∈ ) (DB2-D2002) Xác định m để phương trình 2(sin x + cos x) + cos x + 2sin x − m = có nghiệm thuộc π đoạn 0; 2 (DB1-D2002) = sin x 8cos x π 3π 5π 7π ( x = + k 2π, x = + k 2π, x = + k 2π, x = + k 2πk ∈ ) 8 8 π π π π (DB2-B2010) cos + x cos − x + sin x(cos x + 1) = với x ∈ − ; 4 4 4 x (DB2-B2008) 3sin x + cos x + sin x = 4sin x cos π π (DB1-B2008) 2sin x + − sin x − = 3 6 π π ( x = + k 2π, x =− + k π, k ∈ ) sin x cos x + =tan x − cot x cos x sin x 3x 5x π x π (DB1-B2007) sin − − cos − = cos 4 2 4 π + k 2π, k ∈ ) π π ( x = + k 2π, x = + k 2π, x =π + k 2π, k ∈ ) (DB2-B2007) (x = ± π π ( x = + k π, x = + k 2π, x = π + k 2π, k ∈ ) π π (DB1-B2006) (2sin x − 1) tan 2 x + 3(2cos x − 1) = (x = ± + k , k ∈ ) (DB2-B2005) Tìm nghiệm khoảng (0; π) phương trình (DB2-B2006) cos x + (1 + 2cos x)(sin x − cos x) = 4sin 3π x + 2cos x − − cos x = (DB1-B2005) sin x + cos x + 3sin x − cos x − = (DB2-B2004) sin x sin x = cos3 x cos x π 1 (DB1-B2004) 2 cos x + + = sin x cos x 5π 7π 5π ,x = ,x = x = 18 18 π π 5π x = + k 2π, x =π + k 2π, x = + k 2π, x = + k 2π, k ∈ 6 π π π +k , x = + k π, k ∈ ) 20 10 π ( x =± + k π, k ∈ ) (x = ( − ) cos x − 2sin (DB2-B2003) 2cos x − x π − = (DB1-B2003) 3cos x − 8cos x + 2cos x + = (DB2-B2002) sin x + cos x 1 = cot x − 5sin x 8sin x π + (2k + 1)π, k ∈ ) π π ( x = + k , x =k π, k ∈ ) π ( x =± + k π, k ∈ ) (x = (2 − sin 2 x)sin 3x (DB1-B2002) tan x + = cos x π 2π 5π 2π ( x =+ k , x =+ k , k ∈ ) 18 18 π π (DB2-A2008) sin x − = sin x − + 4 4 π π ( x = + k π, x =± + k 2π, k ∈ ) (DB1-A2008) tan = x cot x + 4cos 2 x (DB2-A2007) 2cos x + sin x cos x= + 3(sin x + cos x) (DB1-A2007) sin x + sin x − 1 − = 2cot x 2sin x sin x π (DB2-A2006) 2sin x − + 4sin x + = 6 π π π π ( x = + k , x =− + k , k ∈ ) 2π ( x= + k π, k ∈ ) π π (x = + k , k ∈ ) 7π ( x =k π, x = + k 2π, k ∈ )