Automat hữu hạn và biểu thức chính quy

Automata hữu hạn & Biểu thức chính quy Nội dung: • Khái niệm DFA & NFA • Sự tương đương giữa DFA & NFA • Biểu thức chính quy • Các tính chất của tập chính quy Chương 3:... Automata hữu

Automata hữu hạn &

Biểu thức chính quy

Nội dung:

• Khái niệm DFA & NFA

• Sự tương đương giữa DFA & NFA

• Biểu thức chính quy

• Các tính chất của tập chính quy

Chương 3:

Nondeterministic Finite Automata

Biểu thức

chính quy

Start 1

1 0

Phép chuyển trên nhãn x

Automata hữu hạn đơn định (DFA)

If (q in F) then write("YES") else write("NO");

Automata hữu hạn không đơn định (NFA)

Nhận xét:

• Ứng với một trạng thái và một ký tự nhập, có thể có

không, một hoặc nhiều phép chuyển trạng thái.

• DFA là một trường hợp đặc biệt của NFA

q 0 q 3 q 4

1 0

q 1

q 2

0 1

• Ví dụ: cho automata M (hình vẽ) và xét chuỗi nhập 01001

0

0

1 0

0 1

Định nghĩa NFA

Chú ý: khái niệm δ(q, a) là tập hợp tất cả các trạng thái p

sao cho có phép chuyển từ trạng thái q trên nhãn a

Ví dụ: xét chuỗi nhập w=01001 và NFA đã cho ở trên

• M( {q 0 , q 1 , q 2 , q 3 , q 4 }, {0, 1}, δ, q 0 , {q 2 , q 4 } )

{q4} {q4}

q4

Ø {q4}

q3

{q2} {q2}

q2

{q2} Ø

q1

{q0,q1} {q0,q3}

q0

1 0

Sự tương đương giữa DFA & NFA

Định lý 1: Nếu L là tập được chấp nhận bởi một NFA thì tồn tại một DFA chấp nhận L.

• F’ là tập hợp các trạng thái của Q’ có chứa ít nhất một

trạng thái kết thúc trong tập F của M

• Hàm chuyển δ’([q 1 , q 2 , , q i ], a) = [p 1 , p 2 , , p j ] nếu và chỉ nếu δ({q 1 , q 2 , , q i }, a) = {p 1 , p 2 , , p j }

Ví dụ về sự tương đương giữa DFA & NFA

Ví dụ: NFA M ({q 0 , q 1 }, {0, 1}, δ, q 0 , {q 1 }) với hàm chuyển

Định nghĩa: NFAε M(Q, Σ, δ, q 0 , F)

• δ : hàm chuyển ánh xạ Q x (Σ ∪ {ε}) → 2Q

• Khái niệm δ(q, a) là tập hợp các trạng thái p sao cho

có phép chuyển nhãn a từ q tới p, với a ∈ (Σ ∪ {ε})

• δ*(q, w) = { p | có đường đi từ q tới p theo nhãn w, trên

đường đi có thể chứa cạnh nhãn ε }

Mục đích: mô phỏng hoạt động của NFAε

If (q in F) then write("YES") else write("NO");

Định lý 2: nếu L được chấp nhận bởi một NFA có ε-dịch

chuyển thì L cũng được chấp nhận bởi một NFA không có

q1

{q2} {q1, q2}

{q0, q1, q2}

q0

2 1

0 Trạng thái

Inputs δ’

Ví dụ: xây dựng DFA tương đương với NFAε sau:

M = (Q={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, Σ={a, b}, δ, 0, F={10})

a

b

ε ε

ε ε

ε ε

Ta xây dựng DFA M’= (Q’, Σ, δ’, q0’, F’) tương đương M

• Trạng thái bắt đầu: q0’ ↔ ε-CLOSURE(q0)

• F’ = { p | trong ký hiệu của p có chứa ít nhất một trạng

thái của F }

• Xây dựng hàm chuyển δ’

Giải thuật xây dựng hàm chuyển δ’

Giải thuật:

T := ε-CLOSURE (q 0 ) ; T chưa được đánh dấu ;

Thêm T vào tập các trạng thái Q’ của DFA ;

While Có một trạng thái T của DFA chưa được đánh dấu do

Begin

Đánh dấu T; { xét trạng thái T}

For Với mỗi ký hiệu nhập a do

begin

U:= ε -closure( δ (T, a))

If U không có trong tập trạng thái Q’ của DFA then

begin

Thêm U vào tập các trạng thái Q’ của DFA ;

Trạng thái U chưa được đánh dấu;

δ[T, a] := U;{δ[T, a] là phần tử của bảng chuyển DFA}

end;

end;

End;

• Bảng hàm chuyển

E A

a a

E

E B

D

C B

C

D B

B

C B

A

b a

Ký hiệu nhập Trạng thái

• Ký hiệu bắt đầu: q0’ = A (↔ ε-CLOSURE(q0) )

• Tập trạng thái kết thúc: F’ = {E} (vì trong E có chứa trạng thái 10 ∈ F)

Biểu thức chính quy (RE)

Định nghĩa: cho Σ là một bộ chữ cái BTCQ trên Σ là các tập

hợp mà chúng mô tả được định nghĩa đệ quy như sau:

● ∅ là BTCQ ký hiệu cho tập rỗng

● ε là BTCQ ký hiệu cho tập {ε}

● ∀a ∈ Σ, a là BTCQ ký hiệu cho tập {a}

● Nếu r và s là các BTCQ ký hiệu cho các tập hợp R và

Định lý 3: nếu r là BTCQ thì tồn tại một NFA với ε-dịch

chuyển chấp nhận L(r)

Chứng minh: quy nạp theo số phép toán

• Xét r không có phép toán nào

Sự tương đương giữa DFA và BTCQ

Định lý 4: Nếu L được chấp nhận bởi một DFA, thì L được

trạng thái i đến trạng thái j mà không đi ngang qua trạng thái nào lớn hơn k)

Sự tương đương giữa DFA và BTCQ

• Ta sẽ chứng minh (quy nạp theo k) bổ đề sau: với mọi

R k

ij đều tồn tại một biểu thức chính quy ký hiệu cho R k

ij

 Giả sử ta có bổ đề trên đúng với k-1, tức là tồn tại BTCQ rk-1

Sự tương đương giữa DFA và BTCQ

Ví dụ: viết BTCQ cho DFA

r k 33

(0 + 1)(00)*

0 + 1

0 + 1

r k 32

(0 + 1)(00)*0

∅

∅

r k 31

0*1

1 + 01 1

r k 23

(00)*

ε + 00

ε

r k 22

0(00)*

0 0

r k 21

0*1 1

1

r k 13

0(00)*

0 0

r k 12

(00)*

ε ε

r k 11