Automata Hữu hạn và biểu thức chính quy

Cấu tạo của OHT Cấu tạo:  Một băng vào: chứa xâu cần xử lý xâu vào, mỗi ô chứa một kí tự  Một đầu đọc: tại mỗi thời điểm trỏ vào một ô của băng vào và cho phép đọc kí hiệu trong ô đ

Chương 2:

ÔTÔMÁT HỮU HẠN VÀ BIỂU

THỨC CHÍNH QUY

Nội dung

I Biểu thức chính quy

II Ôtômat hữu hạn

 Ôtômat hữu hạn tiền định

 Ôtômat hữu hạn không tiền định

 Sự tương đương giữa ô tô mát hữu hạn tiền định và

không tiền định

III Sự tương đương giữa ô tô mát và biểu thức chính quy

IV Văn phạm chính quy

V Các ngôn ngữ chính quy

 Các tính chất đóng của các ngôn ngữ chính quy

 Định lý “đùn”

 Trong BTCQ chỉ có 3 phép toán và thứ tự ưu tiên là *,.,+

 Toán tử ghép tiếp “.” có thể viết: αβ

 Ta gọi ngôn ngữ chính quy là mọi ngôn ngữ có thể

được chỉ định bởi một biểu thức chính quy

(0+1)*00(0+1)* {x|x ∈ {0,1}* và x chứa 2 con 0 liên tiếp}

(1+10)* {x|x ∈ {0,1}* x có con 1 ở đầu và không

có hai con 0 liên tiếp}

(12) φ *= ε (13) r+r*=r*

(14) (r*s*)*=(r+s)*

Cấu tạo của OHT

 Cấu tạo:

 Một băng vào: chứa xâu cần xử lý (xâu vào), mỗi ô chứa một

kí tự

 Một đầu đọc: tại mỗi thời điểm trỏ vào một ô của băng vào

và cho phép đọc kí hiệu trong ô đó

 Cái điều khiển (bộ chuyển trạng thái): tại mỗi thời điểm có một trạng thái:

 Các trạng thái là hữu hạn

 Có một trạng thái đầu và các trạng thái thừa nhận

 Một hàm dịch chuyển: cho phép xác định trạng thái tiếp theo dựa và trạng thái và kí hiệu đọc được hiện tại

II Ôtômát hữu hạn

 Là máy đoán nhận ngôn ngữ

 Có hai loại:

 Ôtômát hữu hạn tiền định (đơn định)(ÔHT)

 Ôtômát hữu hạn không tiền định(ÔHK)

Cấu tạo của OHT

Nguyên lý hoạt động

 Ban đầu: OHT ở trạng thái đầu, đầu đọc trỏ vào kí hiệu đầu tiên

của xâu vào

Ôtômát hữu hạn tiền định

 Ví dụ: Cho ôtômát tiền

Ôtômát tiền định

 Hệ viết lại ngầm định của ôtômát M là W=(V,P), trong đó:

 P: tập các sản xuất được xây dựng như sau:

Nếu δ(q,a)=p thì qap là một quy tắc trong P

 Ngôn ngữ đoán nhận bởi M là:

 L(M)={ω| ω∈∑*, q 0ω*q∈F}

Biểu diễn đồ thị của OHT

 Biểu diễn OHT bằng đồ thị:

 Mỗi nút biểu diễn một trạng thái cụ thể:

 Mỗi nút là một vòng tròn có tên trạng thái

 Có bao nhiêu trạng thái thì có bấy nhiêu nút

 Mỗi cung là một mũi tên chỉ hướng chuyển có kèm

kí hiệu gây ra sự chuyển

 Nút trạng thái đầu có mũi tên chỉ vào

 Nút trạng thái cuối vẽ bằng nét kép

Biểu diễn đồ thị của OHT

Ôtômát hữu hạn không tiền định

 Định nghĩa: OHK là bộ 5 M=(∑,Q,δ,q0,F) trong đó:

Ôtômát hữu hạn không tiền định

 Ví dụ: Sơ đồ chuyển trạng thái của một OHK

Ôtômát hữu hạn không tiền định

Sự tương đương giữa OHT và OHK

Sự tương đương giữa OHT và OHK

 L được đoán nhận bởi OHT thì cũng được đoán nhận bởi một OHK: Thêm một số trạng thái qi và một số bước chuyển sao cho:

 Các q i không thể đến được đích F

 Phá vỡ tính tiền định

 Như vậy, OHT trở thành OHK và cũng đoán nhận ngôn ngữ L

 L được đoán nhận bởi OHK thì cũng được đoán nhận bởi một OHT:

 Loại bỏ dịch chuyển ε

 Loại bỏ các đặc tính không tiền định

Sự tương đương giữa OHT và OHK

 Loại bỏ dịch chuyển –ε:

 Định lý II.1: Nếu một ngôn ngữ được thừa nhận bởi một ô tô mát hữu hạn thì nó cũng sẽ được thừa nhận bởi một ô tô mát hữu hạn không có dịch

chuyển ε

(CM:Lý thuyết ngôn ngữ và tính toán – Nguyễn Văn Ba)

Loại bỏ dịch chuyển ε

 Ví dụ: cho OHK có sơ đồ dịch chuyển sau:

 Tìm OH tương đương với OHK đã cho

Ví dụ

 Tính E(s) cho mọi trạng thái s:

 E(p)={p,q,r}; E(q)={q,r}; E(r)={r}

Ví dụ

 Ô tô mát hữu hạn không còn dịch chuyển ε tương đương:

Sự tương đương giữa OHT và OHK

 Loại bỏ tính không tiền định:

 Định lý II.2: Nếu một ngôn ngữ được thừa nhận bởi một ô tô mát hữu hạn không có dịch chuyển ε thì nó cũng được thừa nhận bởi một ô tô mát hữu hạn tiền định.

(CM:Lý thuyết ngôn ngữ và tính toán – Nguyễn Văn Ba)

Loại bỏ tính không tiền định

 Cho OHK M= (∑, Q, δ, q0, F) không còn dc- ε, dựng OHT M’=(∑’, Q’, δ’, q0’, F’)

 ∑’= ∑; q 0 ’= q 0

 Q’=℘(Q) ( tập các tập con của Q)

 δ’: δ’(S,a)=U δ(s, a) với mọi S∈Q’, s∈S, a∈ ∑

 F’= {S ∈Q’|S∩F≠φ}

Sự tương đương giữa OHT và OHK

 Ví dụ: Cho ôtômat hữu hạn M={∑,Q,δ,q0,F} như sau:

 Tìm Otomat hữu hạn tiền định tương đương

Sự tương đương giữa OHT và OHK

 Loại bỏ tính không tiền định

Sự tương đương giữa OHT và OHK

 Ta cần tìm M’ =(∑,℘(Q),δ’,{p},F’) trong đó:

 δ(S,a)=Uδ(s,a) với ∀S∈℘(Q), a∈∑

 F’={S ∈℘(Q)|S∩F≠φ}

Sự tương đương giữa OHT và OHK

Cuối {p,q,r} {p,q,r} φ

Sự tương đương giữa OHT và OHK

 Ôtômat tiền định tương đương:

Sự tương đương giữa OHT và OHK

III Sự tương đương giữa ô tô mát hữu hạn và

BTCQ

 Từ biểu thức chính quy đến Ô tô mat hữu hạn

 Từ ô tô mát hữu hạn tới ngôn ngữ chính quy

Từ biểu thức chính quy đến Ô tô mat hữu

hạn

 Định lý II.4

 Mọi ngôn ngữ chính quy trên ∑ đều là ngôn ngữ

trạng thái hữu hạn trên ∑ (ngôn ngữ được đoán

Từ biểu thức chính quy đến Ô tô mat hữu

hạn

 Thiết lập các ô tô mát tương ứng với các biểu thức

chính quy:

 φ được đoán nhận bởi: ( trạng thái đầu)

 ε được đoán nhận bởi: ( trạng thái cuối)

 a được đoán nhận bởi:

Từ biểu thức chính quy đến Ô tô mat hữu

Từ biểu thức chính quy đến Ô tô mat hữu

hạn

 α1* được đoán nhận bởi ô tô mát:

Từ biểu thức chính quy đến Ô tô mat

hữu hạn

 α1 +α2

Từ ô tô mát hữu hạn tới ngôn ngữ chính

quy

 Định lý II.5(Kleene)

 Mọi ngôn ngữ trạng thái hữu hạn đều có thể phân tích được thành các ngôn ngữ thành phần sao cho khi kết hợp các ngôn ngữ thành phần đó lại bằng các phép toán: hợp, ghép tiếp, ghép lặp(*).

(CM:Lý thuyết ngôn ngữ và tính toán – Nguyễn Văn Ba)

Từ ô tô mát hữu hạn tới ngôn ngữ chính quy

 Cho Ô tô mát hữu hạn M=(∑, {q1, q2, …, qn},δ, q1, F) Gọi L(M) là ngôn ngữ được đoán nhận bởi M:

 Đặt Rijk là tập các xâu trên cho phép M dịch chuyển từ trạng thái qi đến qj mà chỉ đi qua các trạng thái ql (l≤k, i,j có thể >k) (qix=>*qj):

 Hoặc là M không đi qua q k => x∈R k-1ij

 Hoặc là M đi qua q k (một số lần)

 Như vậy Rn1j chính là ngôn ngữ L (qj ∈F)

Từ ô tô mát hữu hạn tới ngôn ngữ chính quy

 Nếu M đi qua trạng thái qk, x có thể cắt thành các xâu con:

 Một xâu dẫn M từ q i đến q k đầu tiên (R k-1 ik )

 Một xâu dẫn M từ q k đến q k tiếp theo (R k-1 kk ) (có thể không có hoặc có nhiều xâu này)

 Một xâu dẫn M từ q k cuối đến q j (R k-1 kj )

 Như vậy: Rkij=Rk-1ij∪Rk-1ik(Rk-1kk)*Rk-1kj

Sự tương đương giữa ô tô mát hữu hạn

và BTCQ

 Định lý II.6:

 Mọi ngôn ngữ trạng thái hữu hạn trên bộ chữ ∑

đều là ngôn ngữ chính quy trên ∑

 Từ định lý II.4 và II.6 ta có Định lý II.7:

 Một ngôn ngữ trên bộ chữ ∑ là một ngôn ngữ

trạng thái hữu hạn khi và chỉ khi nó là một ngôn ngữ chính quy

Văn phạm chính quy

 Văn phạm chính quy là văn phạm tuyến tính (trái hoặc phải)

 Văn phạm chính quy sinh ra ngôn ngữ chính quy

 Ngôn ngữ chính quy có thể được ký hiệu đơn giản bằng một biểu thức chính quy

 Tập hợp các chuỗi được ký hiệu bởi một biểu thức

chính quy được gọi là tập hợp chính quy

Sự tương đương giữa VPTT và OH

Sự tương đương giữa VPTT phải đơn và FA

 Ta xây dựng văn phạm G=(∑,∆,S,P)

Sự tương đương giữa VPTT phải đơn và FA

 Xây dựng văn phạm G=(∑,∆,S,P) trong đó:

 ∆=Q; q0 là kí hiệu đầu (tiên đề);

 P gồm:

 q → ap nếu δ (q,a)=p;

 q →ε nếu q ∈ F.

Sự tương đương giữa VPTT phải đơn và FA

 Ví dụ 2: Cho DFA như sau:

 Y/c: Tìm văn pham tuyến tính phải tương đương với DFA đã cho

Sự tương đương giữa VPTT phải đơn và FA

Sự tương đương giữa VPTT phải đơn và FA

Sự tương đương giữa VPTT phải đơn và FA

Sự tương đương giữa VPTT phải đơn và FA

 Ví dụ 3: Cho Văn phạm:

Sε|aS|bT|bTbT|b

 Y/c: Tìm Ô tô mát hữu hạn tương đương với văn phạm đã cho

Sự tương đương giữa VPTT phải đơn và FA

 Ô tô mát hữu hạn tương đương:

Sự tương đương giữa VPTT phải đơn và FA

 Định lý II.11:

Một ngôn ngữ được sản sinh bởi một văn phạm tuyến tính phải khi và chỉ khi nó là chính quy

 Chứng minh:

Định lý là hệ quả trực tiếp từ các Định lý II.9

và II.10

V Các ngôn ngữ chính quy

 Các phương tiện xác định ngôn ngữ chính quy:

 Biểu thức chính quy

 Các ô tô mát hữu hạn tiền định

 Các ô tôt mát hữu hạn không tiền định

 Các văn phạm tuyến tính phải

Các bài toán quyết định trên NNCQ

 Bài toán từ: Cho L là NNCQ và một từ x∈∑* Phải chăng x∈L

 Bài toán ngôn ngữ rỗng: Cho L là NNCQ Phải chăng

Định lý Đùn (Bổ đề Bơm)

 Cho L là ngôn ngữ chính quy vô hạn và một xâu w∈L sao cho w≥#Q (Q là tập các trạng thái của một ô tô mát hữu hạn tiền định thừa nhận L) Khi đó tồn tại x,u,y

sao cho w=xuy (u≠ε và |xu|≤#Q) và xuny ∈L

 Định lý đùn là điều kiện cần đối với các ngôn ngữ chính quy, mọi ngôn ngữ không thỏa định lý đùn thì

không thể là ngôn ngữ chính quy