Chương 10 thanh chịu lực phức tạp

5 Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Chương 10 Thanh chịu lực phức tạp 1 GV Lê đức Thanh Chương 10 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP I KHÁI NIỆM  Định nghĩa Thanh chịu lực phức tạp khi trên các mặt cắt ngang có nhiều[.]

Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Chương 10 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP I KHÁI NIỆM  Định nghĩa: Thanh chịu lực phức tạp mặt cắt ngang có nhiều thành phần nội lực tác dụng lực dọc Mx Mz Nz, mômen uốn Mx, My, mômen xoắn Mz (H.10.1) Khi chịu lực phức tạp, ảnh hưởng lực cắt Nz x đến chịu lực nhỏ so với thành phần nội My lực khác nên tính tốn khơng xét đến lực cắt  Cách tính tốn chịu lực phức tạp y Áp dụng Nguyên lý cộng tác dụng: H.10.1 “Một đại lượng nhiều nguyên nhân đồng thời gây tổng đại lượng nguyên nhân riêng lẽ gây ra“(Chương 1) Thí dụ dạng sơ đồ chịu lực sau: A q x B A P=qL L q z l B L C P=ql x C A L C l P B L P=ql y q A z B P=qL l z D 2P 2l y l Nhắc lại: Mx momen xoay quanh trục x,lực tác dụng tác dụng mp(yoz) My momen xoay quanh trục y lực tác dụng tác dụng mp(xoz) Mz momen xoay quanh trục z lực tác dụng tác dụng mp(xoy) Chú ý vẽ biểu đố nội lực: Momen uốn vẽ phía chịu kéo II THANH CHỊU UỐN XIÊN 1) Định nghĩa – Nội lực Thanh chịu uốn xiên mặt cắt ngang có hai thành phần nội lực mômen uốn Mx mômen uốn My tác dụng mặt phẳng yoz xoz (Hình 10.2) Dấu Mx , My (hệ trục mặc định hình vẽ) Mx  căng (kéo) phía dương trục y My  căng (kéo) phía dương trục x Mx z x My y H.10.2 Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Mx tác động mp(yoz) My tác động mp(xoz) Mx Mx z x x z My z z My y y y x y x Theo Cơ học lý thuyết, ta biểu diễn mơmen Mx My véctơ mômen Mx My (nằm hai trục theo qui tắc vặn nút chai bàn tay phải (H.10.2); Hợp hai véctơ mômen Mx My nầy có vectơ mơmen tổng Mu.Chuyển vectơ Mu thành momen Mu Mu x nằm mặt phẳng v chứa trục z, thẳng góc với phương u (H.10.3) Mx z Mặt phẳng tải trọng mặt phẳng chứa Mu My Giao tuyến mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang Mu Đường tải trọng y Ký hiệu  : Góc hợp trục x đường tải trọng; Ta có: Mu  M x2  M y2 tan  Mx My (10.1) Hinh10.3 Định nghĩa khác uốn xiên: Thanh chịu uốn xiên mặt cắt ngang có mơmen uốn Mu tác dụng mặt phẳng chứa trục mà không trùng với mặt phẳng quán tính trung tâm y0z hay x0z Đặc biệt, tiết diện tròn, đường kính trục trung tâm (trục đối xứng), nên mặt phẳng chứa trục mặt phẳng quán tính trung tâm Do đó, mặt cắt ngang trịn ln ln chịu uốn phẳng 2- Ứng suất pháp mặt cắt ngang Theo nguyên lý cộng tác dụng, điểm C(x,y) tiết diện, ứng suất hai mơmen Mx , My gây tính theo cơng Mx thức sau (H10.4) My Mx z z  y x x (10.2) Ix Iy My Trong (10.2), số hạng thứ ứng suất pháp Mx gây ra, số hạng thứ hai ứng suất pháp My gây Cơng thức (10.2) cơng thức đại số, mômen uốn Mx, H.10.4 My tọa độ điểm C(x,y) có dấu đại số Trong tính tốn thực hành, dùng công thức kỹ thuật sau: z   Mx Ix y  Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp My Iy x C(x,y) y (10.3) GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Lấy dấu (+) điểm tính ứng suất nằm miền chịu kéo Lấy dấu (–) điểm tính ứng suất nằm miền chịu nén H.10.5 biểu diển miền kéo, nén mặt cắt mômen uốn Mx (+) ,(- ) My + _ Thí dụ1 Tiết diện chữ nhật bxh =2040cm2 chịu uốn xiên (H.10.6), Tính ứng suất B Cho Mx = 8kNm My = 5kNm Chiều hệ trục chọn vẽ Ứng suất pháp B (xB =+10 cm; yB = - 20 cm) + Tính theo (10.2) sau: B  _ _ + _ x + + + _ y H.10.5 800 500 (20)  (10)  0,0375kN / cm 3 20(40) 40(20) 12 12 + Tính theo (10.3) công thức kỹ thuật sau: Mx gây kéo điểm nằm 0y gây nén điểm oy; My gây kéo điểm bên phải 0x gây nén điểm bên trái 0x Biểu diễn vùng kéo dấu (+) vùng nén dấu (–) tiết diện (H.10.4a) ta thấy, điểm B; Mx gây nén; My gây kéo  B   800 20(40) 12 20  500 40(20) 12 B Mx z x My C(x,y) y H.10.6 10  0,0375kN / cm 3- Đường trung hịa biểu đồ ứng suất Cơng thức(10.3) hàm hai biến, đồ thị mặt phẳng hệ trục Oxyz Nếu biểu diễn giá trị ứng suất pháp z Đường trung hòa cho (10.3) đoạn thẳng đại số theo trục z định hướng x dương mặt cắt ngược x  My lại.(H.10.7)Ta mặt phẳng 0 chứa đầu mút véctơ ứng suất pháp điểm tiết diện, y gọi mặt ứng suất Gọi giao tuyến mặt ứng suất y + H.10.7 mặt cắt ngang đường trung hịa,  max vậy: Mặt phẳng ứng suất y Biểu đồ ứngMsuất phẳng Cho biểu thức z = 0, ta phương trình đường trung hòa: đường trung hòa đường thẳng quỹ tích điểm mặt cắt ngang có trị số ứng suất pháp khơng Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu z  My My I x Mx y x   y  ( )x Ix Iy Mx I y (10.4) Phương trình (10.4) có dạng y = ax, đường trung hịa đường thẳng qua gốc tọa độ, có hệ số góc tính theo cơng thức: My I x tg   (Mx, My mang dấu đại số) Mx I y Nhận xét: - Đường trung hòa chia tiết diện làm hai miền: miền chịu kéo miền chịu nén -Những điểm nằm đường thẳng song song với đường trung hịa có giá trị ứng suất - Càng xa đường trung hòa, trị số ứng suất điểm đường thẳng vng góc đường trung hòa tăng theo luật bậc Dựa tính chất nầy, biểu diễn phân bố biểu đồ ứng suất phẳng sau Kéo dài đường trung hịa, vẽ đường chuẩn vng góc với đường trung hòa K, ứng suất điểm đường trung hòa (z = 0) biểu diễn điểm K đường chuẩn.Sử dụng phép chiếu thẳng góc, điểm có chân hình chiếu xa K điểm chịu ứng suất pháp lớn - Điểm xa thuộc miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất, gọi max - Điểm xa thuộc miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất, gọi min Tính max, min biểu diễn hai đoạn thẳng hai phía đường chuẩn nối lại đường thẳng, biểu đồ ứng suất phẳng, trị số ứng suất điểm tiết diện đường thẳng song song với đường trung hịa tung độ biểu đồ ứng suất xác định (H.10.7) 4- Ứng suất pháp cực trị điều kiện bền - Ứng suất pháp cực trị: Gọi B(xkmax, ykmax) C(xnmax, ynmax) hai điểm xa đường trung hịa phía chịu kéo chịu nén, cơng thức (10.4) cho:  B   max    C     Mx Ix Mx Ix y k max  n y max  My Iy x M  x y Iy   k max n max  Mx Wxn My My Mx M   kx  k Ix Iy Wx Wy k k y max xmax  My W yn Đặt: Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu W k x  Mx k y max ,W k y  My k xmax W n x  Mx n y max ,W n y  My n xmax Trường hợp thường dùng: †Đối với có tiết diện chữ nhật bxh (hay nội tiếp hình chữ nhật) điểm xa đường trung hịa ln ln điểm góc tiết diện, đó: b k h k n n b xB= xB/ = ; yC = yB = h  Wx  Wx  Wx  ,Wy  Wy  Wy  2 2  max  với: Mx Wx  My Mx My     Wx Wy Wy ; Ix Ix bh hb Wx   ; Wy   h/2 b/2 C/ C B/ (10,5) B † Đối với có tiết diện trịn, tiết diện chịu tác dụng hai mômen uốn Mx, My hai mặt phẳng vng góc yOz, xOz, mơmen tổng Mu tác dụng mặt phẳng vOz mặt phẳng quán tính trung tâm , Như tiết diện trịn: chịu uốn phẳng, đó:  max, Mu  D3 2  ; M u  M x  M y ; Wu Wx   0,1D3 Wu 32 (10.6)  Điều kiện bền: mặt cắt ngang chịu uốn xiên có ứng suất pháp, khơng có ứng suất tiếp, trạng thái ứng suất đơn, hai điểm nguy hiểm hai điểm chịu max, min, tiết diện bền hai điểm nguy hiểm thỏa điều kiện bền: Đối với vật liệu dòn: [ ]k # [ ]n max  []k ; min  []n Đối với vật liệu dẻo: [ ]k = [ ]n = [ ], điều kiện bền thỏa khi: max max , min  [] Thí dụ2 Một dầm tiết diện chữ nhật (12x20) cm chịu lực H.10.8.a a) Vẽ biểu đồ nội lực, b) Vẽ hình rõ nội lực mặt cắt ngàm c) Xác định đường trung hịa tính ứng suất max, min tiết diện ngàm Cho: P =5,0kN(tác dụng mp(xoy) , L= 2m ,  =300 Giải Phân tích lực P thành thành phần hai trục x :mp(xoz) y:mp(yoz), (chọn hình vẽ)và tính mômen ngàm ta được: Py = P.cos300  Mx = Py.L = 8,66kNm Px = P.sin300  My = Px.L = 5kNm Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Xét chịu lực mặt phẳng riêng lẻ Trong mặt phẳng (yOz), chịu lực Py, biểu đồ mômen Mx ; Tương tự, mặt phẳng (xOz), chịu lực Px ,biểu đồ mômen My ; Biểu đồ mômen uốn vẽ chung H.10.8.b 8,66kNm Mx L=2m 5, 0kNm 12cm Mx 20cm x My MY z y Px x x P  z y H.10.8a Py H.10.8b y y Phương trình đường trung hịa: My I x x Mx I y (a) Tại tiết diện ngàm: Mx  = 8,66 kNm ; My  = 5,0kNm Chiều Mx My biểu diễn H.10.8.b, chọn chiều dương trục x y H.10.9.a (a), mơmen uốn Mx có dấu - My có dấu + y Ta có: Suy 500 12 x 20 / 12 x   1,61.x  866 20 x12 / 12 (b)  = 580 A + - Mx x My z x + + - + - - + x + B y a) - + + H.10.9 y b) +, - Mx + - My y c)Đường trung hòa Đường trung hòa vẽ H10.9.c Điểm chịu kéo lớn điểm A(xA=6cm,yA=10cm), điểm chịu nén nhiều điểm B đối xứng với A qua trọng tâm mặt cắt Áp dụng cơng thức (10.6), ta có: Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 866 500 kN   0,342 2 12 x 20 20 x12 cm 6 kN   0,342 cm  A   max    B   Nếu thay tiết diện chữ nhật hình trịn d=10cm Tính lại  max ,   max,min   Mu  Wu d 32 M x2  M y2   32 (866)  (500)  2,56kN / cm  10 Thí dụ3 Cho dầm có gối tựa đơn gỗ, tiết diện trịn đường kính D =16cm, chịu lưc hình vẽ Xác định trị số [P] theo điều kiện bền Cho L = 50cm, [ ] =1,2kN/cm2 Giải 4PL 2PL My = 3 5PL PL Tại mặt cắt C: Mx = My = 3 Tại mặt cắt B: Mx =  M u  M x2  M y2  1,49PL  M u  M x2  M y2  1,7PL Vậy mặt cắt nguy hiểm C có :  max    Mu W  P C A x D z B 3L 2L 1,7 PL  1,2  P  5,67 KN D 32 P P 2PL 2P y L D x x x y 5PL Hinh 10.10 4PL PL Thí dụ (Tự đọc) Một dầm tiết diện tròn chịu lực hình vẽ a) Vẽ biểu đồ nội lực, b)Tính max, min mặt cắt nguy hiểm theo P, L (với L=1m).Từ có thể: - Kiểm tra bền 300 P 2P P 2P 300 K A B 1m 2m C x 1m y D Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu -Chọn tiết diện tròn, hay vành khăn Giải Phân tích lực theo hai phương biểu đồ momen hình bên M uB  M x2  M y2  0,925PL , M uc  M x2  M y2  1,525PL Trường hợp nầy làm sau: Nếu xoay hệ trục theo phương lực tác dụng khơng cần phân tích lực biểu đồ hình bên (uốn túy) P PL     3 2  B y x K C P M  M  M  1,525PL x p B A M uB  M x2  M y2  0,925PL c u P z y PL  1 3    2 C Nhận xét: P X P 2P B A z PL My  B X K C Y Mx  Nội lực mặt cắt B C cho hai trường hợp tính Mặt cắt C có nội lực lớn Tính ứng suất thí dụ Y 3PL My  C 3PL Mx  PL  3 3     PL  3 1     2P D PL Thí dụ : Tìm D, d Cho [ ]=16kN/cm2,P=10kN,   P P d  0,9 D P P P x B L P C L=1m L D y L d PL 1,5PL m 2PL 1,5PL m Thí dụ 6: Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Vẽ Mx, My ,Tìm b Cho q=2kN/m, L=1m, [ ]=10kN/cm2 q x q q 1,5b y 30o 2L L 2L b III THANH CHỊU UỐN CỘNG KÉO ( HAY NÉN ) 1- Định nghĩa Thanh chịu uốn cộng kéo (hay nén) đồng thời Mx mặt cắt ngang có thành phần nội lực mơmen uốn Mu lực dọc Nz Mu mômen uốn tác dụng mặt phẳng chứa trục z, z Nz x ln ln phân thành hai mơmen uốn Mx My My z mặt phẳng đối xứng yOz xOz (H.10.13) C(x,y) Dấu Mx My qui ước giống uốn xiên y Nz > gây kéo (hướng mặt cắt) H.10.13 Nz < gây nén (hướng vào mặt cắt) 2- Công thức ứng suất pháp Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta thấy tóan xét tổ hợp chịu uốn xiên kéo (hay nén) + Mx tâm Do đó, điểm mặt cắt ngang có tọa độ - (x,y) chịu tác dụng ứng suất pháp My Nz Mx  y x tính theo cơng thức sau:  z  A Ix Iy (10.7) Các số hạng công thức (10.7) số đại số, ứng suất Nz lấy (+) lực dọc kéo ngược lại lực nén lấy dấu (-) Ứng suất Mx, My lấy dấu công thức (10.1) uốn xiên, Khi tính tốn thực hành, ta có cơng thức kỹ thuật: Z   Nz A  Mx Ix y  My Iy x x + - + My + y H.10.4 Do My + Do Mx + Do Nz + (10.8) Trong công thức ứng với số hạng Mx, My ta lấy dấu (+) đại lượng gây kéo ngược lại Cịn Nz > (+) kéo, Nz< (-) nén Thí dụ 7: Cho cột chịu lực hình vẽ P1=120kN, P2=20kN Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp GV: Lê đức Thanh z Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu a) Vẽ hình rõ nội lực chân cột b) Tính ứng suất K,B,C (Bỏ qua trọng lượng thân cột) Giải P1 = gây nén , P2 gây uốn Mx ,q gây uốn My, chân cột Nz = P1 = 120 kN (gây nén) Mx = P2.H = 20.4 =80kNm My = q H2 = 2.8 =16kNm z P1 =1 00 kN0 z h=20cm Nz C My Mx o x + _ _ + + y x _ q = 2kN/m + _ B K y P2 =1 00x kN H =4m y b =15cm Mx(+,-) My + _ Nz (-) Để áp dụng công thức (10.12), biểu diễn tác dụng gây kéo, nén thnh phần nội lực hình vẽ với điểm K,B,C có: C K B  xK  =7,5cm,  yK =10cm Z   Nz A  Mx Ix y  120 8000 1600  (10)  (7,5) 20.15 15  20 20  15 , 12 12  c   0,4   2,13  9,73 kN/cm c   My Iy x 120 8000 1600  (10)  (7,5) 20.15 15  20 20  15 12 12   0,4   2,13  10,53 kN/cm K  K 120 8000 1600  (10)  (7,5) 20.40 15  20 20  15 12 12   0,4   2,13   6,27 kN/cm B  B 3- Đường trung hòa biểu đồ ứng suất pháp Tương tự uốn xiên, thấy phương trình (10.7) hàm hai biến z = f(x,y), biểu diễn hệ trục Oxyz, với O tâm mặt cắt ngang z định hướng dương ngòai mặt cắt, hàm (10.11) biểu diễn mặt phẳng, gọi mặt ứng Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 10 GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu suất, giao tuyến với mặt cắt ngang đường trung hòa Dễ thấy rằng, đường trung hòa đường thẳng chứa tất điểm mặt cắt ngang có ứng suất pháp khơng Từ đó, cho z = 0, ta có phương trình đường trung hòa: y My I x N I x z x Mx I y A Mx (10.9) Phương trình (10.13) có dạng y = ax + b, đường thẳng không qua gốc tọa độ, cắt trục y tung độ b   N z I x A.M x Mặt khác, tính chất mặt phẳng ứng suất, điểm nằm đường song song đường trung hịa có giá trị ứng suất, điểm xa đường trung hịa có giá trị ứng suất lớn nhất, ứng suất đường vng góc với đường trung hòa thay đổi theo quy luật bậc - Đường trung hòa chia Đường trung hồ tiết diện thành hai miền, miền chịu ứng suất kéo miền chịu ứng suất  x nén.Nhờ tính chất My x nầy, biểu diễn phân bố ứng suất z N/A pháp mặt cắt ngang y biểu đồ ứng suất phẳng sau + y -Kéo dài đường trung hòa  max H.10.14 ngòai tiết diện, vẽ Biểu đồ ứng suất phẳng đường chuẩn vng góc Mặt phẳng ứng suất với đường kéo dài điểm O, điểm biểu diễn giá trị ứng suất pháp điểm đường trung hòa Sử dụng phép chiếu thẳng góc, chiếu điểm đường song song đường trung hịa lên đường chuẩn, điểm có chân hình chiếu xa O chịu ứng suất pháp lớn -Điểm xa miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất, gọi max, -Điểm xa miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất, gọi min Biểu diễn giá trị max, min tung độ hai phía đường chuẩn nối chúng lại đường thẳng, ta biểu đồ ứng suất phẳng (H.10.14) Ứng suất pháp cực trị điều kiện bền K K Gọi xmax ,và y max điểm chịu kéo xa đường trung hòa N N Và xmax y max điểm chịu nén xa đường trung hòa Theo (10.14), ta nhận xét, ứng suất có lực dọc trái dấu với ứng suất Mx, My Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 11 GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu trị số lực dọc lớn tổng trị số tuyệt đối ứng suất Mx, My, lúc đường trung hồ nằm mặt cắt, mặt cắt ngang có ứng suất dấu (chỉ chịu kéo chịu nén) - Với có tiết diện chữ nhật, điểm nguy hiểm C,B luôn điểm  c   max   Nz  B     Nz A góc tiết diện: A  Mx  Mx Wx Wx   My Wy My (10.10) Wy b h Wxk  Wxn  Wx  ,Wyk  Wyn  Wy  2 - Thanh có tiết diện trịn, mơmen tổng Mx, My Mu gây uốn túy phẳng, ta có cơng thức tính ứng suất pháp cực trị: N Mu  c   max   z  A Wu (10.11) Nz Mu  B      A Wu Lúc : Mu  M x2  M y2 , Wu  Wx  D 32 Áp dụng thí dụ 10.10  c   max   Nz  B     Nz A A  Mx  Mx Wx Wx   My Wy My Wy  120 8000 1600    9,73kN / cm 15 x 20 1000 750  120 8000 1600    10,53kN / cm 15 x 20 1000 750 Thanh chịu uốn cộng kéo hay nén đồng thời gây ứng suất pháp mặt cắt ngang, điểm nguy hiểm, phân tố trạng thái ứng suất đơn, điều kiện bền là: Vật liệu dòn : max  []k ; min  []n Vật liệu dẻo: max  max ,   [ ] Chú ý :Nếu lực dọc chịu kéo  max , lớn Nếu lực dọc chịu nén  , lớn Cho gãy khúc ABC tiết diện tròn chịu lực hình vẽ a Vẽ biển đồ Mx,My,Nz b Tính ứng suất max, min ngàm A Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 12 GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Cho q=2kN/m, a=2m D=10cm 2qa2 y P1=2qa y A - qa2 qa a a (2qL2 )  ( qL2 )  18,18kN / cm  10 32 N Mu qa  z     102 A Wu    a 2P B B  max x A x (2qL2 )  (qL2 )  18,28kN / cm  10 32 Nz Mu qa   (   102 A Wu 5- Thanh chịu kéo hay nén lệch tâm Thanh chịu kéo hay nén lệch tâm mặt cắt ngang có lực P song song trục không trùng với trục (H.10.14.a) xk yk Mx x x z K Nz P z My K(xk,yk) y H.10.14a b y H.10.14b Trong thực tế, toán nén lệch tâm thường gặp tính tốn cột, móng nhà cơng nghiệp hay dân dụng, tính tốn trụ, móng cẩu tháp Áp dụng nguyên lý dời lực, đưa lực kéo hay nén lệch tâm tâm tiết diện, ta chứng minh trường hợp nầy thực chất toán uốn cộng kéo hay nén đồng thời Trên H.10.14.a, gọi K(xK, yK) tọa độ điểm đặt lực lệch tâm P, dời tâm O, ta có: N z   P ,lấy (+) P lực kéo, ngược lại, lấy (–) Mx = P.yK ,v My = P.xK Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 13 GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Chiều mômen lấy theo ngun lý dời lực Do đó, tất cơng thức thiết lập cho toán uốn cộng kéo hay nén đồng thời áp dụng cho toán kéo hay nén lệch tâm Đối với chịu kéo hay nén lệch tâm, phương trình đường trung hịa viết dạng khác Cho biểu thức z (10.9) khơng, ta phương trình đường trung hòa z  My Nz M x  y x 0 A Ix Iy Thay: M x  N z y K ; M y  N z xK Nz y A x A [1  K y  K x]  A Ix Iy Nz N y N x  z K y z K x  A Ix Iy Đặt: a   iy2 xK ; ix  với : Iy Ix ; iy  A A y y x x 1 K2  K2  ix iy ix2 b   yK Ta thu dạng khác phương trình đường trung hòa : x y  1 a b (10.12) Từ (10.12) ta thấy đường trung hịa có tính chất sau: - Đường trung hòa cắt trục x a trục y b - Đường trung hịa khơng qua phần tư chứa điểm đặt lực K a b ln trái dấu với xK, yK - Điểm đặt lực tiến gần tâm O tiết diện đường trung hịa rời xa tâm xK, yK giảm a, b tăng -Điểm đặt lực K nằm trục đường trung hòa song song với trục - Khi đường trung hòa nằm ngòai tiết diện, tiết diện chịu ứng suất dấu: kéo nén y y2 a1 a2 2 k2 y1 k1 x1 x2 x b2 k1 a2 k3 b1 k2 x 1 b3 b1 Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp a3 y 3 14 GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Lỏi tiết diện( Ngành XD tự đọc) Gọi lõi tiết diện miền kín bao quanh tâm tiết diện thoả mãn tính chất: -Nếu lực lệch tâm đặt miền kín đường trung hịa hồn tồn nằm ngồi tiết diện -Nếu lực lệch tâm đặt chu vi miền kín đường trung hịa tiếp tuyến với chu vi tiết diện Trong thực tế có nhiều loại vật liệu chịu nén tốt gạch, đá, gang, bêtông không thép , chúng chịu nén lệch tâm mà lực nén đặt lỏi tiết diện, ứng suất kéo phát sinh lớn khả chịu kéo chúng, vật liệu bị phá hoại, để tận dụng tốt khả chịu lực vật liệu cần thiết kế đặt lực nén lỏi tiết diện Có thể xác định lỏi tiết diện theo cách sau: - Xác định hệ trục quán tính trung tâm tiết diện - Cho đường trung hịa tiếp xúc cạnh tiết diện, từ ta viết phương trình đường trung hịa,( biết ai,bi )rồi suy tọa độ điểm đặt lực Ki tương ứng với vị trí đường trung hịa Áp dụng cách tương tự tất cạnh lại, nối vị trí điểm đặt lực, ta lỏi tiết diện Để ý rằng, dù tiết diện đa giác lõm lỏi tiết diện ln đa giác lồi Ví dụ: tiết diện chữ nhật (H.10.15) Khi đường trung hòa trùng cạnh AB: Đường trung hịa y x y  1  h/ iy2     xK  xK  A ix2 h h2 h   yK     h yK 12 D x y  1 b/  iy2 b b2 b    xK     xK 12.b / x O h Khi đường trung hòa trùng cạnh BC:  B b C Đường trung hịa Li tiết diện chữ nhật Hình 10.15 ix2    yK  yK Do tính đối xứng tiết diện, đường trung hòa trùng cạnh CD, AD, ta xác định hai điểm K tương ứng có tọa độ là: xK = 0; yK = h xK = b ; yK = Nối điểm K, ta lỏi tiết diện tiết diện chữ nhật hình thoi có đỉnh trục x,y (H.10.15) - Tiết diện tròn (H.10.16) Khi đường trung hòa tiếp tuyến với đường tròn Đường trung hịa y x O D/8 D Lỏi tiết diện trịn Hình 10.16 Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 15 GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu : x y  1  D/2 i2y i2     xK  ;  x  D / xK yK  yK   .D D   .D D 64 Do tính đối xứng tiết diện, ta thấy lỏi tiết diện đường tròn đồng tâm đường kính D/8 Thí dụ : Một tiết diện chữ nhật (bxh), chịu tác dụng ngoại lực H.10.17.a a) Vẽ biểu đồ nội lực, biểu diễn nội lực mặt cắt ngàm b) Tính max, min.và rõ điểm mặt cắt c) Xác định đường trung hòa mặt cắt ngàm Cho: q =10kN/m, P =100kN, H = m, h = 20 cm , b =15 cm Giải Dời lực P tâm gây Mx, My đầu cột số theo H ,và q bậc hai theo H không đầu cột lớn chân cột Biểu đồ nội lực nguyên nhân gây vẽ H.10.17.b Tại ngàm, nội lực có giá trị lớn (do P q gây ra) Nz = – P = -100 kN ,Mx = P.b/2 = 100.7,5 =750 kNcm My = qH2/2 – P.h/2=10.4.400/2-100.10 = 7000kNcm z b=15cm y H=4m =4m h=20cm B K P = x 0 k q=10kN/m N h P C Mx= P b x qH h y M y = -p Hình 17a,b,c Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 16 D_ C + Mx(+,- ) x _ _ + Mx + K + + B y z Nz Mx D My C B x K y x y Đường trung hồ GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Áp dụng công thức (10.12): 100 750 7000    0,125  1,0  7,0  6,125kN / cm 2 15.20 20.15 15.20 6 100 750 7000  max,min     15.20 20.15 15.20 6 7,875kN/cm (taïiB )   0.125  1,0  7,0   8,125 kN/cm (tạiD ) K   Phương trình đường trung hịa: y My I x N I x  z x Mx I y A Mx (a) Chọn hệ trục x,y hình vẽ (Mx,v My dương) 20  15 20  153 7000 100 y  (  12 ) x   12   5,25 x  2,5   = 79 750 15  20 15  20 750 12 Thí du 9: Kiểm tra bền mặt cắt chân móng có mặt cắt ngang hình chữ nhật bxh, []k =60N/cm2,[]n =700N/cm2, P=6kN đặt lệch tâm 20cm so với trọng tâm mặt cắt chân móng Cho b =18cm, h = 20cm, Q=12kN Đường trung hòa  max,min  My Iy x Nz   x  5cm A  50 1800 120000     150 18.20 18.120 e=20cm P N / cm z z X My= 10x200kNcm N=P X X My= 6x20kNcm N=P+Q X X x X X x X 0X X/ X X X/ X* X X y X* XX X X X XX XX X / X XX / / * X / * * X X * X X X / X X X * X 17 XChương 10: Thanh chịu lực phức tạp X Q K b  x h y Hình GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2m Thí dụ10: B Xác định tiết diện cột AB, cho []=16kN/cm2 P = 10kN  max  K Nz A My  Wy  ,  max  10  b.2b 2000.6  16 b(2b) Ở ta bỏ qua lực dọc để tìm b Sau tìm b phải kiểm tra lại điều kiện bền với b vừa tìm Nếu chưa thỏa ta tăng b lên kiểm b tra lại.(chuyển tóan thiết kế sang tốn kiểm tra) 2b Thí dụ11 : a) Vẽ biểu đồ Mx,My,Nz gẫy khúc KBC b) Tìm [q].Cho [] =16kN/cm2, L=50cm Mx =2 qL2 K q My =2,5 qL2 d=10cm P = 2qL - L Nz=2qL b C B L P = 2qL Điều kiện bền:   max 2qL  d   Nz Mu     A Wu ( 2qL2 )  ( 2,5qL2 )  16  q  19,3kN / m d 32 IV UỐN CỘNG XOẮN 1- Định nghĩa Thanh chịu uốn cộng xoắn mặt cắt ngang có tác dụng đồng thời mơmen uốn Mu mặt phẳng chứa trục mômen xoắn Mz 2- Tiết diện tròn Thanh tiết diện tròn chịu uốn xoắn đồng thời thường gặp tính trục truyền động trình truyền tác dụng xoắn qua puli kèm theo tác dụng uốn lực căng dây đai, trọng lượng thân trục, puli Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 18 GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Xét tiết diện trịn chịu tác dụng mơmen uốn Mu (chỉ uốn đơn) mơmen xoắn Mz(H.10.21.a).(Nếu có nhiều ngoại lực gây uốn tác dụng mặt phẳng khác nhau, ta ln ln phân tích chíng thành thành phần tác dụng hai mặt phẳng vuơng góc, mơmen tổng Mu = M x2  M y2 )  max Mz A A o  max B Mu  o B Nz H.21 a.b  max Biểu đồ ứng suất (h.21-b) Dưới tác dụng mômen uốn Mu, hai điểm A,B chịu ứng suất pháp lớn max, min, ngòai ra, tác dụng mômen xoắn Mz hai điểm A, B cịn chịu ứng suất tiếp max, hai điểm nguy hiểm tiết diện  max,min   Ta có:  max  Mu Wu ; Mu  M x2  M y2 (10.13) Mz M  z Wp 2Wx Phân tố xét A B vừa chịu ứng suất pháp vừa chịu ứng suất tiếp, phân tố trạng thái ứng suất phẳng Điều kiện bền:   4  [ ] Theo thuyết bền thứ 3:  Wx M x  M y2  M z  [ ] Theo thuyết bền thứ 4:  Wx (10.14)   3  [ ] 2 M x  M y2  M z  [ ] 2- Thanh tiết diện chữ nhật (Ngành CK không học) Uốn xoắn tiết diện chữ nhật thường gặp cơng trình dân dụng lanh tơ đỡ văng, dầm chịu lực ngịai mặt phẳng đối xứng, chịu uốn hệ không gian Xét tiết diện chữ nhật bxh chịu uốn xoắn (H.22) mơmen uốn Mu phân tích thành hai mômen uốn Mx, My mặt phẳng quán tính trung tâm yOz, xOz Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng lý thuyết uốn, xoắn, ta kết sau (H.22): Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 19 GV: Lê đức Thanh Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Tại góc tiết diện (A,B,C,D), có ứng suất pháp lớn Mx,My, phân tố trạng thái ứng suất đơn: Mx  max,min   Wx  My Wy Điều kiện bền: max  k; Mz min  n Mx Wx ; 1   max Điều kiện bền: B Mx Tại điểm cạnh ngắn (H1,H2), chịu ứng suất pháp lớn Mx gây ứng suất tiếp 1=max Mz gây Phân tố trạng thái ứng suất phẳng:  max,min   H2 C x K2 z D My K1 A H1 y H.22 Theo thuyết bền thứ 3: 2  42  [] Theo thuyết bền thứ 4: 2  32  [] Tại điểm cạnh dài (K1,K2), chịu ứng suất pháp lớn My ứng suất tiếp max Mz gây phân tố trạng thái ứng suất phẳng:  max,min  My Wy ;  max  Mz .h.b2 Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: 2  42  [] 2  32  [] Theo thuyết bền thứ 4: Như tiết diện chữ nhật phân tố phải thỏa điều kiện bền Từ muốn tìm tải trọng hay tiết diện thường xuất phát từ điều kiện bền TTƯS đơn ,sau kiểm tra cho phân tố cịn lại Thí dụ 12: Thanh trịn AB đường kính D =10cm chịu tác dụng tải trọng hình vẽ a) Vẽ biểu đồ nội lực b) Chọn [q] theo TB3 điều kiện bền Cho: P = qL; [] =16kN/cm2 c) Tính  AB Cho G =8000kN/cm2 Giải Dời Lực P 2P trọng tâm ta lực 3P tác dụng theo phương x M z  P D Biểu đồ nội lực vẽ H.10.22.b, tiết diện ngàm có nội lực lớn Mx = qL2/2 My = 3pL =3qL2 Mz = pD/2 =qlx0,05 Điều kiện bền (TB3): Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 20 GV: Lê đức Thanh